ЕГЭ Профиль
Задание 9246
Задание 9661
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С, а на окружности другого основания - точка C1, причём СС1 - образующая цилиндра, а АС - диаметр основания. Известно, что $$\angle ACB$$=45°, $$AB=3\sqrt{2}$$, СС1=6.
Задание 9801
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С, а на окружности другого основания - точка С1 причём СС1 - образующая цилиндра, а АС - диаметр основания. Известно, что $$\angle ACB$$=30°, АВ=$$\sqrt{2}$$ , СС1=4.
Задание 10168
Радиус основания конуса с вершиной S и центром основания О равен 6, а его высота равна $$\sqrt{33}$$. Точка М – середина образующей SA конуса, а точки N и В лежат на основании конуса, причем MN параллельна образующей конуса SB.
Задание 10841
Радиус основания конуса равен 12, а высота конуса равна 5.
а) Взаимно перпендикулярные образующие дают прямой угол, следовательно, искомое сечение - прямоугольный треугольник ASB с гипотенузой AB и катетами AS и BS (см. рисунок).
б) Расстояние от плоскости сечения до центра основания конуса O есть отрезок OK (см. рисунок). Сначала найдем длину отрезка AB из прямоугольного треугольника ABS. Отрезки $$AS=SB=13$$ и по теореме Пифагора имеем: $$AB=\sqrt{2\cdot {13}^2}=13\sqrt{2}$$.
Теперь найдем длину ON из прямоугольного треугольника AON. Так как треугольник AOB равнобедренный, то высота ON также является медианой, следовательно, катет $$AN=AB:2$$, и ON равна: $$ON=\sqrt{AO^2-\frac{AB^2}{4}}=\sqrt{144-\frac{169}{2}}=\sqrt{\frac{119}{2}}$$.
Найдем длину отрезка SN из прямоугольного треугольника ASB. Можно заметить, что SN - это высота, проведенного из прямого угла, а отрезки AN и BN - это радиусы описанной окружности вокруг треугольника. Следовательно, SN - это тоже радиус и $$SN=NB=\frac{13\sqrt{2}}{2}$$.
Отрезок OK является высотой прямоугольного треугольника SON. Найдем его высоту из формулы площади $$S=\frac{1}{2}\cdot OK\cdot SN\to OK=\frac{2S}{SN}$$, где $$S=\frac{1}{2}OS\cdot ON$$ - формула площади для прямоугольного треугольника, т.е. $$S=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot \sqrt{\frac{119}{2}}=\frac{5\sqrt{119}}{2\sqrt{2}}$$ и расстояние OK равно $$OK=\frac{5\sqrt{119}}{\sqrt{2}}\cdot \frac{2}{13\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{119}}{13}$$.
Задание 11000
Дан прямой круговой конус с вершиной М. Осевое сечение конуса - треугольник с углом $$120{}^\circ $$ при вершине М. Образующая конуса равна $$2\sqrt{3}$$. Через точку М проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих.
А) Докажите, что получившийся в сечении треугольник - тупоугольный
Б) Найдите расстояние от центра О основания конуса до плоскости сечения.
Задание 12593
Точки А, В и С лежат на окружности основания конуса с вершиной S, причём А и С диаметрально противоположны. Точка М - середина ВС.
а) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью АВС такой же угол, как и прямая АВ с плоскостью SBC.
б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если $$AB\ =\ 6,\ BC\ =\ 8\ и\ SC\ =\ 5\sqrt{2}.$$
Задание 12613
Точки А, В и С лежат на окружности основания конуса с вершиной S, причём А и С диаметрально противоположны. Точка М - середина ВС.
а) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью АВС такой же угол, как и прямая АВ с плоскостью SBC.
б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если $$AB=\ 4,\ BC=\ 6\ и\ SC\ =\ 4\sqrt{2}.$$
Задание 12672
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С, а на окружности другого основания - точка $$C_1$$, причём $$CC_1$$ - образующая цилиндра, а АС - диаметр основания. Известно, что $$\angle ACB\ =\ 45{}^\circ ,\ AB=З\sqrt{2},\ CC_1\ =\ 6.$$
а) Докажите, что угол между прямыми $$AC_1$$ и ВС равен 60$${}^\circ$$.
б) Найдите расстояние от точки В до прямой $$AC_1$$
Задание 12693
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С, а на окружности другого основания - точка $$C_1$$, причём $$CC_1$$ - образующая цилиндра, а АС - диаметр основания. Известно, что $$\angle ACB=\ 30{}^\circ $$, $$AB=\sqrt{2}$$ , $${CC}_1=4$$
а) Докажите, что угол между прямыми $$AC_1$$ и ВС равен 60$${}^\circ$$.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Задание 12713
Точки А, В и С лежат на окружности основания конуса с вершиной S, причём А и С диаметрально противоположны. Точка М - середина ВС.
а) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью АВС такой же угол, как и прямая АВ с плоскостью SBC.
б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если $$AB=\ 6,\ BC\ =\ 10,\ SC\ =\ 4\sqrt{3}.$$
Задание 14248
В основании пирамиды $$PABC$$ лежит равнобедренный треугольник $$ABC$$ $$(AC=BC)$$. Все боковые ребра пирамиды попарно равны. Точка $$K$$ – середина $$AB$$. В эту пирамиду вписана сфера.
Задание 14255
В конусе с вершиной в точке $$P$$ высота равна 1, а образующая равна 2. В основании конуса провели диаметр $$CD$$ и перпендикулярную ему хорду $$AB$$. Известно, что хорда $$AB$$ удалена от центра основания на расстояние, равное 1.