ЕГЭ Профиль
Задание 14275
В основании прямой призмы $$ABCA_{1}B_{1}C_{1}$$ лежит равнобедренный треугольник $$ABC$$, в котором $$AB=AC$$.
А) Докажите, что объем пирамиды $$A_{1}BCC_{1}B_{1}$$ составляет 2/3 объема призмы.
Б) Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды $$A_{1}BCC_{1}B_{1}$$, если известно, что $$AB=5$$, $$BC=6$$, $$AA_{1}=15$$.
Ответ: $$\frac{65}{8}$$
Задание 14625
Основание ABCD правильной четырехугольной пирамиды SABCD вписано в нижнее основание цилиндра, а вершина S расположена на оси $$ОО_1$$ цилиндра ($$О_1$$ – центр верхнего основания цилиндра). Объем цилиндра равен $$450\pi,$$ объем пирамиды равен 50.
А) Докажите, что $$О_1S:SO=5:1$$
Б) Найдите расстояние между AS и CD, если диаметр основания цилиндра равен $$5\sqrt{2} .$$
Ответ: $$\frac{60}{13}$$
Задание 14898
Внутри цилиндра расположен куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ так, что все его вершины лежат на поверхности цилиндра, причём вершины $$В$$ и $$D_1$$ совпадают с центрами оснований, а остальные вершины лежат на боковой поверхности цилиндра.
А) Докажите, что плоскость $$АВ_1С$$ параллельна основаниям цилиндра;
Б) Найдите объём цилиндра, если ребро куба равно 3.
Ответ: $$18\sqrt{3}\pi$$
Задание 15344
Конус и полусфера имеют общее основание, радиус которого относится к высоте конуса как 1:3.
А) Докажите, что поверхность полусферы делит образующую конуса в отношении 4:1, считая от вершины конуса.
Б) Найдите площадь поверхности полусферы, находящейся внутри конуса, если радиус их общего основания равен 5.
Ответ: $$20\pi$$