Окружности и системы окружностей

Окружности с центрами в точках $$A, B$$ и $$C$$ и радиусами, равными $$a,b$$ и $$c$$ соответственно, попарно касаются друг друга внешним образом в точка $$K, M, P$$.

Две окружности касаются внутренним образом в точке $$K$$. Пусть $$AB$$ – хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке $$L$$.

Окружности $$С_1$$ и $$С_2$$ касаются внешним образом в точке $$А$$. Прямая $$l$$ касается окружности $$С_1$$ в точке $$В$$, а окружности $$С_2$$ – в точке D. Через точку $$А$$ проведены две прямые: одна проходит через точку $$В$$ и пересекает окружность $$С_2$$ в точке $$F$$, а другая касается окружностей $$С_1$$ и $$С_2$$ и пересекает прямую $$l$$ в точке $$Е$$, $$AF=3\sqrt{2}$$, $$BE=\sqrt{5}$$

В полуокружности с диаметром MN расположены две окружности с центрами O₁ и O₂, касающиеся друг друга, полуокружности и прямой MN (при этом точки касания c полуокружностью - это соответственно A и B).

А) Докажите, что прямые O₁A, O₂B и MN пересекаются в одной точке.

Б) Радиусы окружностей равны 2 и 5. Найдите радиус полуокружности.

Первая окружность проходит через вершины А и В треугольника АВС и пересекает стороны АС и ВС в точках D и Е соответственно. Вторая окружность проходит через точки D и Е и пересекает продолжения сторон ВС и АС за вершину С в точках М и N соответственно.

А) Докажите, что прямая MN параллельна прямой АВ.

Б) Прямые MD и NE вторично пересекают первую окружность в точках Х и Y соответственно. Найдите ее радиус, если AX=XY=2, а АВ=4.

Две окружности касаются внешним образом в точке А, через которую проведена их общая касательная, на которой отмечена точка В. Через точку В проведены две прямые: одна пересекает первую окружность в точках К и L (точка К находится между В и L), а другая - вторую окружность в точках М и N ( точка М находится между В и N). Прямые KN и LM пересекаются в точке Р.

А) Докажите, что точки K, L, M, N лежат на одной окружности.

Б) Найдите отношение площадей треугольников KLP и MNP, если BL=9, BM=5, AB=6.