ЕГЭ (профиль) / (C7) Числа и их свойства

Последовательность задана рекуррентным способом: $$a_1 = 1, a_2 = 2, a_{n+2}=\frac{a_n}{a_{n+1}}$$.

Найдите:

а) сумму пяти первых членов этой последовательности;

б) $$\log_2(a_{20})$$;

в) произведение двадцати первых членов этой последовательности.

Имеются зелёные и жёлтые карточки, всего их 80 штук. На каждой карточке написано натуральное число, а среднее арифметическое всех чисел равно 31. Все числа на жёлтых карточках разные. При этом любое число на жёлтой карточке больше любого числа на зелёной карточке. Числа на жёлтых карточках увеличили в 3 раза, после этого среднее арифметическое всех чисел стало равно 88.

А) Может ли быть ровно 50 жёлтых карточек?
Б) Может ли быть ровно 15 зелёных карточек?
В) Какое наибольшее количество жёлтых карточек может быть?

Маша задумала 6 различных натуральных чисел и проделывает с ними такую операцию: сначала находит среднее арифметическое первых двух чисел, затем - среднее арифметическое полученного результата и третьего числа, после - среднее арифметическое полученного результата и четвертого числа, затем - среднее арифметическое полученного числа и пятого числа, и наконец - среднее арифметическое полученного результата и шестого числа. Полученный результат она обозначает через М. Далее Маша находит число А - среднее арифметическое исходных чисел.

а) Возможно ли, что А = М?
б) Возможно ли, что М = 6А?
в) Найдите наибольшее натуральное значение n, для которого возможно, что М = nА.

В натуральном числе каждая цифра, кроме первой и последней, меньше среднего арифметического соседних с ней цифр.

А) Приведите пример такого четырёхзначного числа.

Б) Приведите пример такого шестизначного числа.

В) Найдите наибольшее такое число.

Известно, что квадратное уравнение вида $$x^2+mx+k=0$$ имеет два различных натуральных корня.

а) Найдите все возможные значения $$k$$ при $$m=-6$$.

б) Найдите все возможные значения $$m$$ при $$k-m=45$$

в) Найдите все возможные значения корней уравнения, если $$k^2-m^2=2236$$

На сайте выложено k видеоуроков по математике продолжительностью ровно 1 мин., 2 мин., 3 мин., ..., k мин. Виктор хочет за несколько дней посмотреть их все ровно по одному разу, затрачивая на это ровно полчаса каждый день. (Смотреть видеоуроки можно в любом порядке, но обязательно полностью).

а) Возможно ли это при k = 15?

б) Возможно ли это при k = 10?

в) Найдите все натуральные k, при которых это возможно.

а) Существует ли такое натуральное число n, что числа n² и (n + 17)² имеют одинаковые остатки при делении на 69?

б) Существует ли такое натуральное число n, что числа n² и (n + 17)² имеют одинаковые остатки при делении на 68?

в) Пусть k(m) - количество трехзначных натуральных чисел n, таких, что числа n² и (n + m)² имеют одинаковые остатки при делении на 68, причем m - двузначное натуральное число. Определите наименьшее значение k, отличное от нуля.

Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 8 раз больше, либо в 7 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 4040.

Из $$k$$ кг материала фабрика изготавливает $$n$$ одинаковых деталей массой $$m$$ кг каждая, причём $$k=nm+q$$, где $$q$$ кг — остатки материала, и $$q<m$$. После внедрения новых технологий на фабрике начали выпускать детали нового типа, каждая из которых стала на 0,2 кг легче детали старого типа, причём из 63 кг материала деталей нового типа стали делать на две больше, чем делали деталей старого типа из 64 кг материала.

Из $$k$$ кг материала фабрика изготавливает $$n$$ одинаковых деталей массой $$m$$ кг каждая, причём $$k=nm+q$$, где $$q$$ кг — остатки материала, и $$q<m$$. После внедрения новых технологий на фабрике начали выпускать детали нового типа, каждая из которых стала на 0,1 кг легче детали старого типа, причём из 18 кг материала деталей нового типа стали делать на две больше, чем делали деталей старого типа из 21 кг материала.

Из $$k$$ кг материала фабрика изготавливает $$n$$ одинаковых деталей массой $$m$$ кг каждая, причём $$k=nm+q$$, где $$q$$ кг — остатки материала, и $$q<m$$. После внедрения новых технологий на фабрике начали выпускать детали нового типа, каждая из которых стала на 0,1 кг легче детали старого типа, причём из 18 кг материала деталей нового типа стали делать на две больше, чем делали деталей старого типа из 21 кг материала.

Трёхзначное число, меньшее 910, поделили на сумму его цифр и получили натуральное число $$n$$.

Трёхзначное число, меньшее 700, поделили на сумму его цифр и получили натуральное число $$n$$.

Есть три коробки: в первой - 97 камней; во второй - 80, а в третьей коробке камней нет. Берут по одному камню из двух коробок и кладут их в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 7 раз больше, либо в 7 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 7735.