ОГЭ / Числовые неравенства, координатная прямая

По условию : $$a<b<c$$; $$\left | b \right |<\left | a \right |<\left | c \right |$$.

Пусть $$ a=-2; b=1;c=3$$: 

1. a^{2}<b^{2}\Leftrightarrow (-2)^{2}<1^{2}\Leftrightarrow 2<1 -неверно
2. \frac{c}{a}>0\Leftrightarrow \frac{3}{-2}>0-неверно
3. a+b<c\Leftrightarrow -2+1<3\Leftrightarrow -1<3-верно
4. \frac{1}{6}<-1\Leftrightarrow \frac{1}{1}<-1-неверно

Начнем представлять целые числа от 6 в виде квадратных корней:
$$6=\sqrt{36}$$
$$7=\sqrt{49}$$
$$8=\sqrt{64}$$
$$9=\sqrt{81}$$
Как видим, $$\sqrt{78}$$ располагается между $$\sqrt{64}$$ и $$\sqrt{81}$$, что соответствует 8 и 9 или 4 варианту ответа.

Выберем значения х и у в соответствии с представленным рисунком $$y<0<x;|y|<|x|$$: пусть $$y=-1;x=2$$. Рассмотрим на верность представленные варианты:

1. $$xy<0\Leftrightarrow$$$$2*(-1)=-2<0$$ - верно
2. $$x^{2}y>0\Leftrightarrow$$$$2^{2}*(-1)=-4<0$$ - неверно
3. $$x+y>0\Leftrightarrow$$$$2+(-1)=1>0$$ - верно
4. $$y-x<0\Leftrightarrow$$$$-1-2=-3<0$$ - верно

Неверным оказался только 2 вариант ответа

Представим числа 6 и 7 в виде квадратных корней: $$6=\sqrt{36}, 7=\sqrt{49}$$. Число А ближе к 7, то есть к $$\sqrt{49}$$. Из представленных вариантов, наиболее близко располагается $$\sqrt{46}$$ или второй вариант ответа.

Найдем приблизительное (до сотых) значение $$\frac{130}{11}$$ (деление столбиком): $$\frac{130}{11}\approx 11,81$$. Полученное число располагается между 11 и 12, что соответствует 2 варианту ответа

Выберем значения х и у в соответствии с первоначальным условием x > 0, y < 0: пусть $$x=2; y=-2$$. Проверим истинность представленных вариантов:

1. $$xy=2*(-2)=-4<0$$
2. $$(x-y)y=(2-(-2))*(-2)=-8<0$$
3. $$(y-x)y=(-2-2)*(-2)=8>0$$
4. $$(y-x)x=(-2-2)*2=-8<0$$

Как видим, положительным явялется только 3 вариант ответа.

Рассмотрим представленный рисунок. Из него следует, что $$p<q<r$$. Рассмотрим представленные варианты:

1. $$p-r$$. Так как $$p<r\Rightarrow p-r<0$$
2. $$p-q$$. Так как $$p<q\Rightarrow p-q<0$$
3. $$r-q$$. Так как $$q<r\Rightarrow r-q>0$$
4. ни одна из них

Как видим, третий вариант ответ является ответом

Представим числа из данных промежутках в виде корней второй степени:

1. $$\left[4; 5\right]\Leftrightarrow \left[\sqrt{16}; \sqrt{25}\right]$$
2. $$\left[5; 6\right]\Leftrightarrow \left[\sqrt{25}; \sqrt{36}\right]$$
3. $$\left[6; 7\right]\Leftrightarrow \left[\sqrt{36}; \sqrt{49}\right]$$
4. $$\left[7; 8\right]\Leftrightarrow \left[\sqrt{49}; \sqrt{64}\right]$$

Как видим, из представленных вариантов $$\sqrt{53}$$ располагается в промежутке $$\left[\sqrt{49}; \sqrt{64}\right]$$, что соответствует 4 варианту ответа

С учетом представленного рисунка получаем, что $$x<y$$ так как х расположен левее 0, то есть $$x<0$$ и $$y>0$$, так как у расположен правее от нуля. С другой стороны $$|y|>|x|$$ так как расстояние от нуля до у больше, чем от нуля до х. Тогда получаем, что правильным ответом будет вариант под номером 1.

Возьмем любое значение для числа a с учетом первоначального условия $$7>a>6$$. Пусть $$a=6,5$$, проверим истинность представленных вариантов:

1. $$(a-6)^{2}>1\Leftrightarrow$$$$(6,5-6)^{2}>1\Leftrightarrow$$$$0,25>1$$ - неверно
2. $$(a-7)^{2}>1\Leftrightarrow$$$$(6,5-7)^{2}>1\Leftrightarrow$$$$0,25>1$$ - неверно
3. $$a^{2}>36\Leftrightarrow$$$$6,5^{2}>6^{2}$$ - верно
4. $$a^{2}>49\Leftrightarrow$$$$6,5^{2}>7^{2}$$ - неверно

Верным является только вариант под номером 3

Преобразуем данные неравенства:

1. $$b-a<-2\Leftrightarrow$$$$-a<-2-b|*(-1)\Leftrightarrow$$$$a>b+2$$. То есть мы получили неравенство, которое не выполняется при всех числах, соответствующих условию $$a>b$$ (пусть a=2, b=1, что соответствует начальному условию, но при этом не выполняется текущее).
2. $$a-b>-1\Leftrightarrow$$$$a>b-1$$. То есть мы получили неравенство, которое соотвтетсвует полностью тому, которое дано в условии $$a>b$$ (так как a больше b, то a будет больше любого числа, которое меньше, чем b, то есть b-1). Следовательно, оно выполняется при любых a и b 
3. $$a-b<3\Leftrightarrow$$$$a<3+b$$. То есть мы получили неравенство, которое не выполняется при всех числах, соответствующих условию $$a>b$$ (пусть a=200, b=100, что соответствует начальному условию, но при этом не выполняется текущее).
4. $$b-a>-3\Leftrightarrow$$$$-a>-3+b|*(-1)\Leftrightarrow$$$$a<3-b$$. То есть мы получили неравенство, которое не выполняется при всех числах, соответствующих условию $$a>b$$ (пусть a=2, b=1, что соответствует начальному условию, но при этом не выполняется текущее).

Верным оказался вариант под номером 2

Выберем значения для чисел a и b в соответствии с первоначальным условием: $$-3<a<-2; -1<b<0$$. Пусть $$a=-2,5; b=-0,5$$. Проверем истинность представленных выражений:

1. $$a+b<0\Leftrightarrow -2,5+(-0,5)=-3<0$$ - верно
2. $$-2<b-1<-1\Leftrightarrow -2<-0,5-1<-1\Leftrightarrow -2<-1,5<-1$$ - верно
3. $$a^2b<0\Leftrightarrow (-2,5)^{2}*(-0,5)<0\Leftrightarrow -3,125<0$$ - верно
4. $$-a<0\Leftrightarrow -(-2,5)<0 \Leftrightarrow 2,5<0$$ - неверно

Неверным оказалось утверждение под номером 4

Найдем приблизительное значение (до сотых) чисел $$\frac{1}{6}$$ и $$\frac{1}{4}$$ (путем деления столбиком числителя на знаменатель):

$$\frac{1}{6}\approx 0,16$$

$$\frac{1}{4}=0,25$$

Как видим, между полученным значениями из представленных вариантов располагается только число 0,2, что соответствует 2 варианту ответа.

Подберем любые числа, удовлетворяющие условию $$a>b>c$$. Пусть $$c=1;b=2;a=3$$. Найдем значения представленных вариантов с учетом подобранных значений:

1. $$a-b=3-2=1>0$$ - положительное
2. $$a-c=3-1=2>0$$ - положительное
3. $$b-c=2-1=1>0$$ - положительное
4. $$c-b=1-2=-1<0$$ - отрицательное

Как видим, отрицательным является только 4 вариант ответа

Возьмем приблизительное значение числа a  с учетом его расположения a>6. Пусть $$a=6,5$$, тогда:

1. $$a-6>0\Leftrightarrow$$$$6,5-6>0\Leftrightarrow$$$$0,5>0$$ - верно
2. $$5-a<0\Leftrightarrow$$$$5-6,5<0\Leftrightarrow$$$$-1,5<0$$ - верно
3. $$a-1>0\Leftrightarrow$$$$6,5-1>0\Leftrightarrow$$$$5,5>0$$ - верно
4. $$0-a>0\Leftrightarrow$$$$0-6,5>0\Leftrightarrow$$$$-6,5>0$$ - неверно

Как видим, ответ под номером 4 оказался неверным

Пусть $$m=-1$$, тогда $$2m=-2, m^{2}=1$$. Расположим полученные числа в порядке возрастания: $$-2;-1;0;1$$ или $$2m;m;0;m^{2}$$, что соответствует 1 варианту ответа

Расположим числа в порядке возрастания и получим −0,02; 0,09; 0,098; 0,11. Число 0,09 располагается 2 по счету, то есть соответствует букве B или второму варианту ответа

Представим числа 7,8 и 9 в виде квадратных корней: $$7=\sqrt{49}$$, $$8=\sqrt{64}$$, $$9=\sqrt{81}$$. Как видим, $$\sqrt{77}$$ ближе всего к $$\sqrt{81}$$ или к 9, то есть это точка D, что соответствует 4 варианту ответа

Представим все представленные числа, а так же границы отрезка, на котором располагается точка, с общим знаменателем: $$7*8*9$$

1. $$\frac{5}{6}=\frac{420}{7*8*9}$$
2. $$\frac{5}{8}=\frac{315}{7*8*9}$$
3. $$\frac{5}{9}=\frac{280}{7*8*9}$$
4. $$\frac{5}{12}=\frac{210}{7*8*9}$$

$$\frac{3}{7}=\frac{216}{7*8*9}, \frac{4}{7}=\frac{288}{7*8*9}$$. Как видим, между полученным числами располагается $$\frac{280}{7*8*9}$$, что соответствует $$\frac{5}{9}$$ или 3 варианту ответа

Найдем приблизительные значения для каждого из представленных чисел: 

1. $$\sqrt{2}\approx 1,4$$
2. $$\sqrt{3}\approx 1,7$$
3. $$\sqrt{7}\approx 2,6$$
4. $$\sqrt{11}\approx 3,3$$

Представленное число располагается между 1 и 2 и находится явно дальше середины отрезка, то есть больше 1,5. Из полученыых вариантов к данным условиям попадает только 1,7, что соответствует $$\sqrt{3}$$ или второму варианту ответа

Возьмем произвольное значение а  в соответствии с начальным условием $$a>1$$. Пусть $$a=1,5$$. Тогда $$a^{2}=1,5^{2}=2,25$$, $$a^{3}=1,5^{3}=3,375$$, $$a^{4}=1,5^{4}=5,0625$$.

Наименьшее из полученных чисел равно 2,25, что соответствует 1 варианту ответа.

Выберем значение а в соответствии с условием задания $$a<-1$$. Пусть $$a=-1,5$$. Тогда $$a^2=(-1,5)^{2}=2,25$$ и $$\frac{1}{a}=\frac{1}{-1,5}=-\frac{2}{3}$$.

Расположим в порядке убывания полученные числа: $$ 2,25;-\frac{2}{3} ; -1,5$$ или $$a^2$$; $$\frac{1}{a}$$; a, что соответствует 2 варианту ответа.

Найдем приблизительное значение данного числа (деление столбиком) и получим $$\frac{5}{9}\approx 0,555...$$. Округлим данное число до сотых $$0,(5)\approx 0,56$$. Данное число располагается между 0,5 и 0,6, что соответствует 1 варианту ответа

Выберем значения a и b в соответствии с условиями задачи $$a<0<b<1, |a|<|b|$$. Пусть $$a=-0,5 , b=0,8$$. Тогда $$\frac{1}{a}=\frac{1}{-0,5}=-2$$, $$\frac{1}{b}=\frac{1}{0,8}=1,25$$.

Если расположить в порядке возрастания полученные числа и единицу, то получим $$-2, 1, 1,25$$ или $$\frac{1}{a}$$;1; $$\frac{1}{b}$$, что соответствует первому варианту ответа

Возьмем любые значение а и b в соответствии с первоначальным условием: $$a<b<0$$. Пусть $$a=-2, b=-1$$. Найдем значения представленных вариантов:

1. $$a-1=-2-1=-3$$
2. $$b-1=-1-1=-2$$
3. $$ab=(-2)*(-1)=2$$
4. $$-b=-(-1)=1$$

Как видим, наименьшее из полученных значений равно -3, что соответствует 1 варианту ответа

Подберем значение а в соответствии с первоначальным условием $$0<a<1$$, пусть $$a=0,5$$. Найдем значение представленных вариантов:

1. $$a^2=0,5^{2}=0,25$$
2. $$a^3=0,5^{3}=0,125$$
3. $$-a=-0,5$$
4. $$\frac{1}{a}=\frac{1}{0,5}=2$$

Как видим, наименьшее из полученных чисел равно -0,5, следовательно, в ответе укажем 3 вариант ответа.

Так как $$b=c$$ и $$a<b$$, то $$a<c$$. Так как $$d>c$$,то $$d>a$$. Правильным ответом является вариант под номером 2

Найдем значение х, воспользуемся свойствами степеней: $$x=(2,2*10^{-2})*(3*10^{-1})=$$$$2,2*3*10^{-2+(-1)}=$$$$6,6*10^{-3}=0,0066$$. Так как 0,0066<0,007, то и x<y. 

Возьмем числа a и b в соответствии с условиями задания (a<0<b<1 ; |a|>|b|). Пусть $$a=-2 , b=0,5$$. Найдем значения представленных выражений:

1. $$a+b=-2+0,5=-1,5$$
2. $$-a=-(-2)=2$$
3. $$2b=2*0,5=1$$
4. $$a-b=-2-0,5=-2,5$$

Наибольшее число в данном случае равно 2, что соответсвтует 2 варианту ответа

Подберем числа a, b и c в соответствии с условиями задачи: $$a<b<0<c$$. Пусть $$a=-2 ; b=-1 ; c=1,5$$. Проверим истинность представленнх вариантов ответов:

1. $$a+b>0\Leftrightarrow$$$$-2+(-1)>0\Leftrightarrow$$$$-3>0$$ - неверно
2. $$\frac{1}{b}>\frac{1}{c}\Leftrightarrow$$$$\frac{1}{-1}>\frac{1}{1}\Leftrightarrow$$$$-1>1$$ - неверно
3. $$ab<0\Leftrightarrow$$$$(-2)*(-1)<0\Leftrightarrow$$$$2<0$$ - неверно
4. $$(a-b)c<0\Leftrightarrow$$$$(-2-(-1))*1<0\Leftrightarrow$$$$-1<0$$ - верно

Верным является только вариант под номером 4

Выберем значение а в соответствии с условием задачи: $$-3<a<-2$$. Пусть $$a=-2,5$$. Проверим истинность представленных варинатов:

1. $$-a<2\Leftrightarrow$$$$-(-2,5)<0\Leftrightarrow$$$$2,5<0$$ - неверно
2. $$-1-a>0\Leftrightarrow$$$$-1-(-2,5)>0\Leftrightarrow$$$$1,5>2$$ - верно
3. $$\frac{1}{a}>0\Leftrightarrow$$$$\frac{1}{-2,5}>0\Leftrightarrow$$$$-0,4>0$$ - неверно
4. $$a+3<0\Leftrightarrow$$$$-2,5+3<0\Leftrightarrow$$$$0,5<0$$ - неверно

Верным оказался только 2 вариант ответа

Выберем значение а в соответствии с представленным рисунком: $$-5<a<-4$$. Пусть $$a=-4,5$$. Проверим верность представлнных утверждений:

1. $$a+4>0\Leftrightarrow$$$$-4,5+4>0\Leftrightarrow$$$$-0,5>0$$ - неверно
2. $$a+5<0\Leftrightarrow$$$$-4,5+5<0\Leftrightarrow$$$$0,5<0$$ - неверно
3. $$2-a>0\Leftrightarrow$$$$2-(-4,5)>0\Leftrightarrow$$$$6,5>0$$ - верно
4. $$3-a<0\Leftrightarrow$$$$3-(-4,5)<0\Leftrightarrow$$$$7,5<0$$ - неверно

Верным оказался только третий вариант ответа

Пусть $$a=2, b=1$$ (подобрали числа, чтобы выполнялось неравенство a>b>0). Проверим правильность представленных вариантов:

1. $$2a+1<0\Leftrightarrow$$$$2*2+1<0\Leftrightarrow$$$$5<0$$ - неверно
2. $$-a>-b\Leftrightarrow$$$$-2>-1$$ - неверно
3. $$2b>2a\Leftrightarrow$$$$2*1>2*2\Leftrightarrow$$$$2>4$$ - неверно
4. $$1-a<1-b\Leftrightarrow$$$$1-2<1-1\Leftrightarrow$$$$-1<0$$ - верно

Верным оказался только 4 вариант ответа

Выполним преобразования с каждым из представленных вариантов:

1. $$y>z+x|-x\Leftrightarrow$$$$y-x>z$$ - получили первоначальное неравенство
2. $$y-x-z<0|+z\Leftrightarrow$$$$y-x<z$$ - не получили первоначальное неравенство
3. $$z+x-y<0|-z|*(-1)\Leftrightarrow$$$$y-x>z$$ - получили первоначальное неравенство
4. $$y-z>x|-x+z\Leftrightarrow$$$$y-x>z$$ - получили первоначальное неравенство

Не получили только во втором варианте ответа

Подберем любые значения a и b, чтобы выполнялось неравенство, предаставленное на рисунке (a>c). Пусть $$a=2, c=1$$. Проверим истинность представленных вариантов:

1. $$a-1>c-1\Leftrightarrow$$$$2-1>1-1\Leftrightarrow$$$$1>0$$ - верно
2. $$-a<-c\Leftrightarrow$$$$-2<-1$$ - верно
3. $$\frac{a}{6}<\frac{c}{6}\Leftrightarrow$$$$\frac{2}{6}<\frac{1}{6}$$ - неверно
4. $$a+3>c+1\Leftrightarrow$$$$2+3>1+1\Leftrightarrow$$$$5>2$$ - верно

Неверным является вариант под номером 3

Пусть $$a=2, b=1$$ (подобрали числа, чтобы выполнялось неравенство a>b). Проверим правильность представленных вариантов:

1. $$a-b< -3\Leftrightarrow$$$$2-1< -3\Leftrightarrow$$$$1< -3$$ - неверно
2. $$b-a> 1\Leftrightarrow$$$$1-2> 1\Leftrightarrow$$$$-1>1$$ - неверно
3. $$b-a< 2\Leftrightarrow$$$$1-2< 2\Leftrightarrow$$$$-1< 2$$ - верно
4. Верно 1,2 и 3

Верным оказался только третий вариант

Данная точка распологается между 4 и 5. То есть между $$\sqrt{16}$$ и $$\sqrt{25}$$. Поэтому третий и четвертый варианты отпадают. Ближе он к четырем, поэтому это число $$\sqrt{17}$$