Комбинация многоугольников и окружностей

Четырёхугольник ABCD со сторонами АВ = 12 и CD = 30 вписан в окружность. Диагонали АС и BD пересекаются в точке К, причём $$\angle AKB=60^{\circ}$$. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках M,K и P. Найдите больший угол треугольника ABC, если углы треугольника MKP равны 56^о , 58^о и 66^о.

В треугольнике АВС известны длины сторон АВ=14, АС=98, точка О — центр окружности, описанной около треугольника АВС. Прямая BD, перпендикулярная прямой АО, пересекает сторону АС в точке D. Найдите CD.

В треугольнике АВС известны длины сторон АВ=28, АС=56 , точка О — центр окружности, описанной около треугольника АВС. Прямая BD, перпендикулярная прямой АО, пересекает сторону АС в точке D. Найдите CD.

В выпуклом четырёхугольнике NPQM диагональ NQ является биссектрисой угла PNM и пересекается с диагональю PM в точке S. Найдите NS, если известно, что около четырёхугольника NPQM можно описать окружность, PQ=14, SQ=4.

Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 10. Окружность радиуса 7,5 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и к основания касается AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

В прямоугольном треугольнике ABC катет AC равен 8, а катет BC=15. Найдите диаметр окружности, которая проходит через концы гипотенузы и касается прямой BC.

На стороне ВС остроугольного треугольника АВС ($$AB\neq AC$$) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке М, AD=90, MD=69, Н — точка пересечения высот треугольника АВС. Найдите АН.

На стороне ВС остроугольного треугольника АВС ($$AB\neq AC$$) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке М, AD=80, MD=64, Н — точка пересечения высот треугольника АВС, Найдите АН.

В трапеции ABCD основания AD и ВС равны соответственно 34 и 2, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки А и В и касающейся прямой CD, если АВ=24.

В трапеции ABCD основания AD и ВС равны соответственно 34 и 14, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки А и В и касающейся прямой CD, если АВ=12.

Биссектриса СМ треугольника АВС делит сторону АВ на отрезки AM = 4 и МВ = 9. Касательная к окружности, описанной около треугольника АВС, проходит через точку С и пересекает прямую АВ в точке D. Найдите CD.

Две касающиеся внешним образом в точке K окружности, радиусы которых равны 33 и 39, вписаны в угол с вершиной A. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку K, пересекает стороны угла в точках B и C. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC .

На каждой из двух окружностей радиусами 3 и 4 лежат по три вершины ромба. Найдите длину стороны ромба.

В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 17:15, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC=16.

В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность прохо‐ дит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 8, BC = 4.

В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 49 и 21, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 20.

На стороне BC остроугольного треугольника ABC (AB ≠ AC) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD = 27, MD = 18, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 9 и 11 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB если $$\cos \angle BAC=\frac{\sqrt{11}}{6}$$

Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC и пересекает его стороны AB и AC в точках K и E соответственно. Отрезки AE и CK перпендикулярны. Найдите $$\angle ABC$$, если KCB = 20°.

В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 84, AC = 98, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM = 17 и MB = 19. Каса‐ тельная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает пря‐ мую AB в точке D. Найдите CD

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 25 и CD = 16 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB=60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в её середине. Длина стороны AC равна 4. Найдите радиус описанной окружности треугольника ABC.

На каждой из двух окружностей с радиусами 3 и 4 лежат по три вершины ромба. Найдите его сторону.

Длина катета AC прямоугольного треугольника ABC равна 8 см. Окружность с диаметром AC пересекает гипотенузу AB в точке M. Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что AM:MB=16:9.

Диагонали четырёхугольника ABCD, вершины которого расположены на окружности, пересекаются в точке M. Известно, что ABC= 72°, BCD= 102°, AMD= 110°. Найдите $$\angle ACD$$.

На стороне AB треугольника ABC взята точка D так, что окружность, проходящая через точки A, C и D, касается прямой BC. Найдите AD, если AC = 40, BC = 34 и CD = 20.

Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 96, тангенс угла BAC равен $$\frac{8}{15}$$. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

В выпуклом четырёхугольнике NPQM диагональ NQ является биссектрисой угла PNM и пересекается с диагональю PM в точке S. Найдите NS, если известно, что около четырёхугольника NPQM можно описать окружность, PQ = 14, SQ = 4 .

Высоты остроугольного треугольника ABC, проведённые из точек B и C, продолжили до пе‐ ресечения с описанной окружностью в точках B₁ и C₁ . Оказалось, что отрезок B₁C₁ проходит через центр описанной окружности. Найдите угол BAC.

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответ‐ ственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.