ОГЭ
Задание 4061
В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ, равной 10, на высоте СD как на диаметре построена окружность. Касательные к этой окружности, проходящие через точки А и В, пересекаются при продолжении в точке К. чему равны касательные к окружности, выходящие из точки К?
1) Пусть $$HB=x\Rightarrow AH=10-x$$
по свойству касательных $$MB=HB=x$$
$$AH=AN=10-x$$; пусть $$OH=OC=r$$;
$$KN=KM=z$$
2) По свойству высоты прямоугольного треугольинка:
$$CH=\sqrt{AH\cdot HB}\Leftrightarrow(2r)^{2}=x(10-x)$$
$$\Leftrightarrow r^{2}=\frac{x(10-x)}{4}$$
3) $$S_{AKB}=p\cdot r$$, где
$$p=\frac{AK+KB+AB}{2}$$
$$S=\sqrt{p(p-AK)(P-KB)(p-AB)}$$
$$p=\frac{10+10-x+x+2z}{2}=10+z$$
$$S=\sqrt{(10+z)(10+z-10+x-x)(10+z-x-z)(10+z-10}=$$
$$=\sqrt{(10+z)\cdot x\cdot(10-x)\cdot z}$$
Тогда:
$$r=\frac{S}{p}=\frac{xz(10+z)(10-x)}{10+z}=\sqrt{\frac{xz(10-x)}{10+z}}$$
4) 2 из 3:
$$\sqrt{\frac{x(10-x)}{4}}=\sqrt{\frac{xz(10-x)}{10+z}}$$
$$\frac{1}{4}=\frac{z}{10+z}$$
$$10+z=4z\Leftrightarrow z=\frac{10}{3}$$
Задание 4993
В треугольнике АВС угол В равен 30°. Через точки А и В проведена окружность радиуса 2, касающаяся прямой АС в точке А. Через точки В и С проведена окружность радиуса 3, касающаяся прямой АС в точке С. Найдите длину стороны АС.
1) $$O_{1}$$ - ценрт оружности $$R_{1}=2$$; $$O_{2}$$ - ценрт оружности $$R_{2}=3$$; $$\angle ABC=\alpha$$; $$\angle BAC=\beta$$;
2) $$\angle BO_{2}C=2\angle BCA=2\alpha$$; $$\angle AO_{1}B=2\angle BAC=2\beta$$;
3) $$AB=2R_{1}\sin\beta=4\sin\beta$$; $$BC=2R_{2}\sin\alpha=6\sin\alpha$$; (по теореме синусов) $$\frac{AB}{\sin\alpha}=\frac{BC}{\sin\beta}$$ (из $$\bigtriangleup ABC$$) $$\Rightarrow$$ $$\frac{4\sin\beta}{\sin\alpha}=\frac{6\sin\alpha}{\sin\beta}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$4\sin^{2}\beta=6\sin^{2}\alpha$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}=\sqrt{\frac{3}{2}}$$
4) $$\frac{AC}{\sin\angle ABC}=\frac{AB}{\sin\angle ACB}$$ $$\Rightarrow$$ $$AC=\frac{AB}{\sin\angle ACB}\cdot\sin\angle ABC=$$ $$\frac{4\sin\beta}{\sin\alpha}\cdot\sin30^{\circ}=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{2}=\sqrt{6}$$
Задание 5322
Диагонали вписанного в окружность четырехугольника ABCD пересекаются в точке Е, причем AD·СЕ = DС·АЕ, BD = 6, $$\angle ADB = 22,5^{\circ}$$. Найдите площадь четырехугольника ABCD
1) AD*CE=CD*AE, тогда $$\frac{AD}{CD}=\frac{AE}{CE} \Leftrightarrow$$ DB - биссектриса в треугольнике ADC. Тогда $$\angle BDA = \angle CDB$$ , но $$\angle BDA = \angle BCA$$ и $$\angle CDB = \angle BAC$$ (как вписанные), следовательно $$\angle BCA = angle BAC$$ , тогда треугольник ABC - равнобедренный
2)Построим продолжение DС за точка C и отложим из B отрезок BF = DB так, что $$F \in DC$$. Тогда треугольник DBF - равнобедренный. Так как AB = BC, DB = BF и из равнобедренности DBF $$\angle BDF = \angle BFD$$, но и $$\angle BDA = \angle CDB$$, тогда $$\angle BDA=\angle BFD$$. $$\angle BAD + \angle DCB = 180$$ по свойству вписанного четырехугольника, но и $$\angle BCF + \angle DCB = 180$$ по свойству смежных углов, тогда $$\angle BAD = \angle BCF$$ и, следовательно, треугольники ABD и BCF равны, следовательно, $$S_{ADF}=S_{ABCD}$$
3)$$\angle DBF = 180 - 2*22.5 = 135$$ (из треугольника DBF), $$S_{DBF}=\frac{1}{2}DB*DF*\sin DBF$$, то есть $$S_{DBF}=0,5*6*6*\frac{\sqrt{2}}{2}=9\sqrt{2}$$