ОГЭ
Задание 4061
В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ, равной 10, на высоте СD как на диаметре построена окружность. Касательные к этой окружности, проходящие через точки А и В, пересекаются при продолжении в точке К. чему равны касательные к окружности, выходящие из точки К?
1) Пусть $$HB=x\Rightarrow AH=10-x$$
по свойству касательных $$MB=HB=x$$
$$AH=AN=10-x$$; пусть $$OH=OC=r$$;
$$KN=KM=z$$
2) По свойству высоты прямоугольного треугольинка:
$$CH=\sqrt{AH\cdot HB}\Leftrightarrow(2r)^{2}=x(10-x)$$
$$\Leftrightarrow r^{2}=\frac{x(10-x)}{4}$$
3) $$S_{AKB}=p\cdot r$$, где
$$p=\frac{AK+KB+AB}{2}$$
$$S=\sqrt{p(p-AK)(P-KB)(p-AB)}$$
$$p=\frac{10+10-x+x+2z}{2}=10+z$$
$$S=\sqrt{(10+z)(10+z-10+x-x)(10+z-x-z)(10+z-10}=$$
$$=\sqrt{(10+z)\cdot x\cdot(10-x)\cdot z}$$
Тогда:
$$r=\frac{S}{p}=\frac{xz(10+z)(10-x)}{10+z}=\sqrt{\frac{xz(10-x)}{10+z}}$$
4) 2 из 3:
$$\sqrt{\frac{x(10-x)}{4}}=\sqrt{\frac{xz(10-x)}{10+z}}$$
$$\frac{1}{4}=\frac{z}{10+z}$$
$$10+z=4z\Leftrightarrow z=\frac{10}{3}$$
Задание 4993
В треугольнике АВС угол В равен 30°. Через точки А и В проведена окружность радиуса 2, касающаяся прямой АС в точке А. Через точки В и С проведена окружность радиуса 3, касающаяся прямой АС в точке С. Найдите длину стороны АС.
1) $$O_{1}$$ - ценрт оружности $$R_{1}=2$$; $$O_{2}$$ - ценрт оружности $$R_{2}=3$$; $$\angle ABC=\alpha$$; $$\angle BAC=\beta$$;
2) $$\angle BO_{2}C=2\angle BCA=2\alpha$$; $$\angle AO_{1}B=2\angle BAC=2\beta$$;
3) $$AB=2R_{1}\sin\beta=4\sin\beta$$; $$BC=2R_{2}\sin\alpha=6\sin\alpha$$; (по теореме синусов) $$\frac{AB}{\sin\alpha}=\frac{BC}{\sin\beta}$$ (из $$\bigtriangleup ABC$$) $$\Rightarrow$$ $$\frac{4\sin\beta}{\sin\alpha}=\frac{6\sin\alpha}{\sin\beta}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$4\sin^{2}\beta=6\sin^{2}\alpha$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}=\sqrt{\frac{3}{2}}$$
4) $$\frac{AC}{\sin\angle ABC}=\frac{AB}{\sin\angle ACB}$$ $$\Rightarrow$$ $$AC=\frac{AB}{\sin\angle ACB}\cdot\sin\angle ABC=$$ $$\frac{4\sin\beta}{\sin\alpha}\cdot\sin30^{\circ}=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{2}=\sqrt{6}$$
Задание 5322
Диагонали вписанного в окружность четырехугольника ABCD пересекаются в точке Е, причем AD·СЕ = DС·АЕ, BD = 6, $$\angle ADB = 22,5^{\circ}$$. Найдите площадь четырехугольника ABCD
1) AD*CE=CD*AE, тогда $$\frac{AD}{CD}=\frac{AE}{CE} \Leftrightarrow$$ DB - биссектриса в треугольнике ADC. Тогда $$\angle BDA = \angle CDB$$ , но $$\angle BDA = \angle BCA$$ и $$\angle CDB = \angle BAC$$ (как вписанные), следовательно $$\angle BCA = angle BAC$$ , тогда треугольник ABC - равнобедренный
2)Построим продолжение DС за точка C и отложим из B отрезок BF = DB так, что $$F \in DC$$. Тогда треугольник DBF - равнобедренный. Так как AB = BC, DB = BF и из равнобедренности DBF $$\angle BDF = \angle BFD$$, но и $$\angle BDA = \angle CDB$$, тогда $$\angle BDA=\angle BFD$$. $$\angle BAD + \angle DCB = 180$$ по свойству вписанного четырехугольника, но и $$\angle BCF + \angle DCB = 180$$ по свойству смежных углов, тогда $$\angle BAD = \angle BCF$$ и, следовательно, треугольники ABD и BCF равны, следовательно, $$S_{ADF}=S_{ABCD}$$
3)$$\angle DBF = 180 - 2*22.5 = 135$$ (из треугольника DBF), $$S_{DBF}=\frac{1}{2}DB*DF*\sin DBF$$, то есть $$S_{DBF}=0,5*6*6*\frac{\sqrt{2}}{2}=9\sqrt{2}$$
Задание 6168
Точки K, L, M, N, P расположены последовательно на окружности радиуса $$2\sqrt{2}$$ . Найдите площадь треугольника KLM, если LM || KN, KM || NP, MN || LP, а угол LOM равен 45, где О – точка пересечения хорд LN и MP
1) $$LM\left | \right | KN\Rightarrow \angle LMK=\angle MKN$$(накрест лежащие)$$\Rightarrow \cup LK=\cup MN$$(вписанные углы равны)
$$MK \left | \right |NP\Rightarrow \angle MKN=\angle KNP\Rightarrow \cup KP=\cup MN=\cup LK.$$
$$LP\left | \right | MN\Rightarrow \angle LPM=\angle PMN\Rightarrow \cup LM=\cup NP.$$
2)Пусть $$\cup KL=\alpha$$ и $$\cup LM=\beta .$$
$$\angle LOM=\angle NOP$$(вертикальные) ,но т.к.
$$\cup LM=\cup NP$$, то $$\angle LOM-\frac{\cup LM+\cup PN}{2}=\beta =45$$
3)$$\Delta LPK : LK=2R \sin LPK= 2R \sin 45$$
$$\Delta LPM: LM=2R \sin LPM =2R \sin 22,5$$
$$S_{\Delta LKM}=\frac{1}{2} *LK*LM* \sin KLM=$$$$\frac{1}{2} *2R \sin 22,5 * \sin (90+22,5)=$$$$2R^{2}* \sin 22,5 * \cos 22,,5 * \sin 45=R^{2}* \sin^{2} 45=4$$
Задание 7620
Окружность касается сторон АС и ВС треугольника АВС в точках А и В соответственно. На дуге этой окружности, лежащей вне треугольника, расположена точка К так, что расстояния от неё до продолжений сторон АС и ВС равны 39 и 156 соответственно. Найдите расстояние от точки К до прямой АВ.
Задание 7859
На катете ML прямоугольного треугольника KLM как на диаметре построена окружность. Она пересекает сторону KL в точке P. На стороне KM взята точка R так, что отрезок LR пересекает окружность в точке Q, причём отрезки QP и ML параллельны, KR=2RM и $$ML=8\sqrt{3}$$ . Найдите MQ
Пусть $$MR=x$$ $$\Rightarrow$$ $$RK=2x$$
1) $$MP\perp LK$$ ($$\angle LDM$$ - центральный и опирается на диаметр) $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup LPM\sim\bigtriangleup LMK$$
2) Аналогично $$\bigtriangleup LQM\sim\bigtriangleup LRM$$
3) $$LM\parallel PQ$$ $$\Rightarrow$$ $$LPQM$$ - трапеция вписанная $$\Rightarrow$$ $$\angle L+\angle Q=180^{\circ}$$; но $$\angle P+\angle Q=180^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle P=\angle Q$$ $$\Rightarrow$$ трапеция равнобедренная $$\Rightarrow$$ $$LP=MQ$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup LPM=\bigtriangleup LMQ$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup LRM\sim\bigtriangleup LKM$$
4) из подобия : $$\frac{LM}{MK}=\frac{MR}{LM}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{8\sqrt{3}}{3x}=\frac{x}{8\sqrt{3}}$$ $$\Rightarrow$$ $$3x^{2}=64\cdot3$$ $$\Rightarrow$$ $$x^{2}=64$$ $$\Rightarrow$$ $$x=8$$ $$\Rightarrow$$ $$LR=\sqrt{(8\sqrt{3})^{2}+8^{2}}=16$$ $$\Rightarrow$$ $$MQ=\frac{8\sqrt{3}\cdot8}{16}=4\sqrt{3}$$
Задание 8427
Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник ACP, равен 12, тангенс угла ABC равен 2,4. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC .
1) $$\tan ABC=\frac{AC}{BC}=2,4=\frac{12}{5}$$. Пусть $$AC=12x$$ $$\Rightarrow$$ $$AB=5x$$. По т. Пифагора: $$AB=\sqrt{AC^{2}+CB^{2}}=13x$$
2) $$\bigtriangleup CPA\sim\bigtriangleup ABC$$ (прямоугольные с общим сотрым углом) $$\Rightarrow$$ $$\frac{O_{1}L}{OK}=\frac{AC}{AB}=\frac{12x}{13x}=\frac{12}{13}$$ $$\Rightarrow$$ $$OK=\frac{O_{1}L\cdot13}{12}=\frac{12\cdot13}{12}=13$$
Задание 10246
Две касающиеся внешним образом в точке K окружности, радиусы которых равны 33 и 39, вписаны в угол с вершиной A. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку K, пересекает стороны угла в точках B и C. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC .
Задание 10962
1) Пусть $$\angle ACD=x$$. Тогда $$\cup AD=2x$$ (вписанный угол).
2) Также $$\cup ADC=144{}^\circ \left(2\angle ABC\right)\to \cup DC=144-2x\to \angle DAC=72-x$$.
3) Аналогично, $$\cup DAB=204{}^\circ \left(2\angle BCD\right)\to \cup AB=204-2x\to \angle ADB=102{}^\circ -x$$.
4) Из $$\triangle AMD:72-x+102-x+110=180\to 284-2x=180\to 2x=104{}^\circ \to x=52$$.
