Перейти к основному содержанию

ОГЭ

(C2) Текстовые задачи

Задачи на проценты, сплавы и смеси

Задание 2382

Сме­шав 60%−ый и 30%−ый рас­тво­ры кис­ло­ты и до­ба­вив 5 кг чи­стой воды, по­лу­чи­ли 20%−ый рас­твор кис­ло­ты. Если бы вме­сто 5 кг воды до­ба­ви­ли 5 кг 90%−го рас­тво­ра той же кис­ло­ты, то по­лу­чи­ли бы 70%−ый рас­твор кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов 60%−го рас­тво­ра ис­поль­зо­ва­ли для по­лу­че­ния смеси?

Ответ: 2 кг
Скрыть

Пусть х кг - масса первого раствора, тогда кислоты в нем 0,6х кг. Пусть у кг - масса второго раствора, тогда кислоты в нем 0,3у кг. Сначала добавили 5 кг воды, то есть получили x+y+5 кг раствора, кислоты в котором 0,2(x+y+5) кг. При этом данная масса равна сумме масс кислоты в первоначальных растворах. Аналогично, добавив 5 кг 90%-го раствора, получим раствор массой x+y+5 кг, кислоты в котором 0,7(x+y+5), но данная кислоты уже соответствует массе кислоты в первых двух растворах и массе кислоты в 5 кг добавленного 90%-го. Получим систему уравнений:

$$\left\{\begin{matrix}0,6x+0,3y=0,2(x+y+5)\\0,6x+0,3y+0,9*5=0,7(x+y+5)\end{matrix}\right.$$

Вычтем из второго уравнения первое, получим:

$$4,5=0,5(x+y+5)|:0,5\Leftrightarrow$$$$9=x+y+5\Leftrightarrow$$$$x=4-y(1*)$$. Подставим полученное выражение вместо х в первое уравнение, умножив его первоначально на 10:

$$6(4-y)+3y=2(4-y)+2y+10\Leftrightarrow$$$$24-3y-18=0\Leftrightarrow$$$$y=2$$

Подставим полученный у в (1*): $$x=4-2=2$$, то есть масса 60%-го составляла 2 кг.

Задание 2383

Име­ет­ся два спла­ва с раз­ным со­дер­жа­ни­ем меди: в пер­вом со­дер­жит­ся 60%, а во вто­ром — 45% меди. В каком от­но­ше­нии надо взять пер­вый и вто­рой спла­вы, чтобы по­лу­чить из них новый сплав, со­дер­жа­щий 55% меди?

Ответ: $$\frac{2}{1}$$
Скрыть

Пусть х - масса первого, тогда меди в нем 0,6х, у - масса второго, меди в нем 0,45у. Тогда получаем третий сплав массой х+у, меди в котором 0,55(х+у). При этом данная масса получается путем сложения масс меди в первичных сплавах:

$$0,6x+0,45y=0,55(x+y)\Leftrightarrow$$$$0,6x-0,55x=0,55y-0,45y\Leftrightarrow$$$$0,05x=0,1y|:0,05\Leftrightarrow$$$$x=2y$$. Следовательно, масса первого в два раза больше массы второго, то есть отношение масс 2:1.

Задание 2384

При сме­ши­ва­нии пер­во­го рас­тво­ра кис­ло­ты, кон­цен­тра­ция ко­то­ро­го 20%, и вто­ро­го рас­тво­ра этой же кис­ло­ты, кон­цен­тра­ция ко­то­ро­го 50%, по­лу­чи­ли рас­твор, со­дер­жа­щий 30% кис­ло­ты. В каком от­но­ше­нии были взяты пер­вый и вто­рой рас­тво­ры?

Ответ: $$\frac{2}{1}$$
Скрыть

Пусть х - масса первого, тогда кислоты в нем 0,2х, у - масса второго, кислоты в нем 0,5у. Тогда получаем третий раствор массой х+у, кислоты в котором 0,3(х+у). При этом данная масса получается путем сложения масс кислоы в первичных сплавах:
$$0,2x+0,5y=0,3(x+y)\Leftrightarrow$$$$0,5y-0,3y=0,3x-0,2x\Leftrightarrow$$$$0,2y=0,1x|:0,1\Leftrightarrow$$$$x=2y$$.Следовательно, масса первого в два раза больше массы второго, то есть отношение масс 2:1.

Задание 2385

На пост главы ад­ми­ни­стра­ции го­ро­да пре­тен­до­ва­ло три кан­ди­да­та: Жу­равлёв, Зай­цев, Ива­нов. Во время вы­бо­ров за Ива­но­ва было от­да­но в 2 раза боль­ше го­ло­сов, чем за Жу­равлёва, а за Зай­це­ва — в 3 раза боль­ше, чем за Жу­равлёва и Ива­но­ва вме­сте. Сколь­ко про­цен­тов го­ло­сов было от­да­но за по­бе­ди­те­ля?

Ответ: 75%
Скрыть

Пусть х - количество голосов за Журавлева, тогда - за Иванова, и 3(х+2х)=9х - за Зайцева. Следовательно, всего голосов x+2x+9x=12x. Тогда, процент победителя: $$\frac{9x}{12x}*100=75$$%

Задание 2386

Пер­вый сплав со­дер­жит 5% меди, вто­рой — 13% меди. Масса вто­ро­го спла­ва боль­ше массы пер­во­го на 4 кг. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав, со­дер­жа­щий 10% меди. Най­ди­те массу тре­тье­го спла­ва.

Ответ: 16 кг
Скрыть

Пусть х кг - масса первого сплава, тогда 0,05х кг - масса меди в нем. Следовательно, х+4 кг - масса второго, 0,13(х+4) кг - масса меди в нем. Тогда масса третьего х+х+4=2х+4 кг, а меди в нем 0,1(2х+4) кг. При этом данная масса получается путем сложения меди с двух первоначальных сплавов: $$0,05x+0,13(x+4)=0,1(2x+4)\Leftrightarrow$$$$0,05x+0,13x+0,52=0,2x+0,4\Leftrightarrow$$$$0,02x=0,12|:0,2\Leftrightarrow$$$$x=6$$. Тогда масса третьего сплава: $$2*6+4=16$$ кг.

Задание 2387

Све­жие фрук­ты со­дер­жат 80% воды, а вы­су­шен­ные — 28%. Сколь­ко сухих фрук­тов по­лу­чит­ся из 288 кг све­жих фрук­тов?

Ответ: 80
Скрыть

Если в свежих фруктах содержится 80% воды, тогда 20% - сухая масса, которая переходит в сушеные фрукты. Тогда:
228 кг - 100%
x кг - 20%
$$x=\frac{228*20}{100}$$ кг - сухой массы.
В сухофруктах 28% воды, следовательно, 72% сухой массы, тогда:
$$x=\frac{228*20}{100}$$ кг - 72%
у - 100%
$$y=\frac{\frac{228*20}{100}*100}{72}=80$$ кг - масса сухофруктов

Задание 2388

Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 10-про­цент­но­го рас­тво­ра­ не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с таким же ко­ли­че­ством 12-про­цент­но­го рас­тво­ра ­это­го же ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Ответ: 11%
Скрыть

Пусть х - масса первого раствора, тогда х - масса второго раствора тоже, тогда вещества в них 0,1х и 0,12х, то есть мы получили третий раствор массой х+х=2х, вещества в котором 0,1х+0,12х=0,22х. Следовательно, концентрация полученного раствора: $$\frac{0,22x}{2x}*100=11$$%

Задание 2390

Име­ют­ся два со­су­да, со­дер­жа­щие 30 кг и 20 кг рас­тво­ра кис­ло­ты раз­лич­ной кон­цен­тра­ции. Если их слить вме­сте, то по­лу­чим рас­твор, со­дер­жа­щий 81% кис­ло­ты. Если же слить рав­ные массы этих рас­тво­ров, то по­лу­чен­ный рас­твор будет со­дер­жать 83% кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов кис­ло­ты со­дер­жит­ся во вто­ром рас­тво­ре?

Ответ: 18,6
Скрыть

Пусть х (в долях) - концентрация первого, тогда 30х кг - масса кислоты в нем. Пусть у - концентрация второго, тогда 20у кг - масса кислоты в нем. В первом случае масса нового 50 кг, а кислоты в нем 0,81*50 кг, во втором - 60 кг (взяли по 30 кг), а кислоты в нем 0,83*60 кг. Тогда:
$$\left\{\begin{matrix}30x+20y=0,81*50\\ 30x+30y=0,83*60\end{matrix}\right.$$
Вычтем из второго уравнения первое: $$10y=49,8-40,5=9,3|:10\Leftrightarrow$$$$y=0,93$$ - концентрация второго. Тогда кислоты в нем: $$0,93*20=18,6$$ кг.

Задание 2391

Све­жие фрук­ты со­дер­жат 88 % воды, а вы­су­шен­ные — 30 %. Сколь­ко тре­бу­ет­ся све­жих фрук­тов для при­го­тов­ле­ния 6 кг вы­су­шен­ных фрук­тов?

Ответ: 35 кг
Скрыть

В сушенных 30% воды, следовательно, 70% (х) - сухой массы, тогда:
6 кг - 100%
x кг - 70%
$$x=\frac{70*6}{100}$$ кг - сухая масса, именно она перешла из свежих фруктов, но, с учетом того, что воды в них 88%, то сухая масса составляет 12%, тогда:
$$x=\frac{70*6}{100}$$ ru - 12%
y кг - 100%
$$y=\frac{\frac{70*6}{100}*100}{12}=35$$ кг - масса свежих фркутов

Задание 2926

За 8 тетрадей и 10 альбомов для рисования заплатили 4560 р. Во время распродажи цена на тетради была снижена на 25%, а на альбомы на 10% и такая покупка стала стоить 3780 р. Найдите первоначальную цену каждого вида товара.

Ответ: 240 и 270
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Решение временно отсутствует, можете найти его в моем видео-разборе ( вначале варианта )

Задание 3358

Актер Энский за роль Деда Мороза получил премию равную 40% своего оклада, а актриса Эмская, за роль Снегурочки – 30% своего оклада. Премия Деда Мороза оказалась на 4500 р. больше премии Снегурочки. Каков оклад актера, если он на 5000 р. больше оклада актрисы?

Ответ: 30000
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 3565

Свежие грибы содержат 90% влаги, сушеные – 12%. Сколько сушеных грибов получится из 22 кг свежих?

Ответ: 2,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть х - сухое вещество в грибах $$22-100$$% $$x-10$$% $$x=\frac{22\cdot10}{100}=2,2$$ Т.к. в сушеных 12% влаги, то 88% сухого вещетсва $$2,2-88$$% $$y-100$$% $$y=\frac{2,2\cdot100}{88}=2,5$$

Задание 3993

Имеются два сплава меди и цинка. В первом сплаве меди в 2 раза больше, чем цинка, а во втором в 5 раз меньше, чем цинка. Во сколько раз больше надо взять второго сплава, чем первого, чтобы получить новый сплав, в котором цинка было бы в 2 раза больше, чем меди?

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть х - масса 1го сплава, тогда $$\frac{2}{3}x$$ меди $$\frac{1}{3}x$$ цинка в нем.

Пусть у - масса 2го сплава,тогда $$\frac{1}{6}y$$ меди, $$\frac{5}{6}$$ цинка в нем.

Пусть $$k=\frac{y}{x}$$, тогда $$x+kx$$ - суммарная масса.

В нем: $$\frac{1}{3}(x+kx)$$ - медь, $$\frac{2}{3}(x+kx)$$ - цинк.

$$\left\{\begin{matrix}\frac{2}{3}x+\frac{1}{6}kx=\frac{1}{3}(x+kx)(1)\\\frac{1}{3}x+\frac{5}{6}kx=\frac{2}{3}(x+kx)(2)\end{matrix}\right.$$

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{6}kx=\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}kx$$

$$\frac{1}{3}x=\frac{1}{6}kx$$

$$k=2$$

1) вся медь из 1гои 2го ушла в сплав

2) весь цинк из 1гои 2го ушел в сплав

Задание 4327

Имеются два сплава золота и серебра. В одном сплаве количество этих металлов находится в отношении 3 : 5, а в другом – в отношении 1 : 3. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 20 кг нового сплава, в котором золото и серебро находились бы в отношении 3 : 7?

Ответ: 8,12
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть х - масса 1го $$\Rightarrow$$ $$\frac{3}{8}x$$ - золота, $$\frac{5}{8}x$$ - серебро. Пусть $$20-x$$ масса 2го  $$\Rightarrow$$ $$\frac{1}{4}(20-x)$$ - золота, $$\frac{3}{4}(20-x)$$ - серебро.

Всего золота: $$\frac{3}{8}x+\frac{1}{4}(20-x)=$$ $$\frac{3}{8}x+5-\frac{7}{8}x=\frac{1}{8}x+5$$

Всего серебра: $$\frac{5}{8}x+\frac{3}{4}(20-x)=$$ $$\frac{5}{8}x+15-\frac{6}{8}x=15-\frac{1}{8}x$$

$$\frac{\frac{1}{8}x+5}{15-\frac{1}{8}x}=\frac{3}{7}$$; $$\frac{7}{8}x+35=45-\frac{3}{8}x$$; $$\frac{10x}{8}=10$$; $$x=8$$ - первый

$$20-8=12$$ - второй

Задание 4895

Один раствор содержит 20% (по объему) соли, а второй – 70% соли. Сколько литров первого и второго растворов нужно взять, чтобы получить 100л 50% - ного соляного раствора? 

Ответ: 40 и 60
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть масса первого раствора х, тогда соли в нем 0,2x. Масса второго раствора 100-x (так как мы в результате получили 100 литров третьего), а соли в нем 0,7(100-х). Третий же раствор содержит 0,5*100=50 литров соли. Данный объем получается из слияния объемов соли первого и второго растворов: $$0,2x+0,7(100-x)=50\Leftrightarrow $$$$0,2x+70-0,7x=50\Leftrightarrow $$$$-0,5x=-20\Leftrightarrow $$$$x=40$$ - объем первого, тогда объем второго 100-40=60