ОГЭ / Площади фигур

1. Пусть $$\angle BAC=30^{\circ} ; \angle CAD=45^{\circ}$$, тогда $$\angle A=30+45=75^{\circ}$$
2. По свойству углов параллелограмма: $$\angle B=180-75=105^{\circ}$$ - это и есть больший угол

1. $$AD=AH+HD=5+8=13$$, тогда по свойству ромба $$AB=13$$
2. Из прямоугольного треугольника ABH: $$BH=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12$$
3. Из формулы площади ромба $$S=12*13=156$$

1. Из прямоугольного треуголььника BDH : $$BH=\sqrt{53^{2}-28^{2}}=45$$
2. $$AD=AH+AD=29$$, тогда площадь параллелограмма $$S=45*29=1305$$

1. Пусть BD=80, тогда по свойству диагоналей ромба: $$ED=\frac{1}{2}BD=40$$
2. Из прямоугольного треугольника EAD: $$EA=\sqrt{50^{2}-40^{2}}=30$$, тогда AC=60
3. Из формулы площади ромба: $$S=\frac{1}{2}*80*60=2400$$

1. Из треугольника AED: $$S_{AED}=\frac{1}{2}*1*9=4,5$$
2. Ромб состоит из четырех равных прямоугольных треугольников, образованных диагоналями ромба, тогда $$S_{ABCD}=4S_{AED}=18$$

Из формулы площади ромба: $$S=\frac{1}{2}*14*6=42$$

1. Найдем площадь треугольника AED: $$S_{AED}=\frac{1}{2}ED*h=\frac{1}{4}CD*h=\frac{1}{4}S_{ABCD}$$, где h - высота параллелограмма
2. Тогда $$S_{AECB}=\frac{3}{4}S_{ABCD}=42$$

Пусть угол D равен 30 градусам, тогда из формулы площади ромба: $$S=10*10*\sin D=50$$

Из формулы площади параллелограмма: $$S=12*5*\sin 45=30\sqrt{2}$$. В ответе необходимо найти указать ответ, деленный на $$\sqrt{2}$$, то есть 30

Из формулы площади параллелограмма: $$S=12*10=120$$

1. Пусть a - сторона ромба, тогда $$a=\frac{24}{4}=6$$
2. Найдем площадь ромба: $$S=6*6*\frac{1}{3}=12$$

1. Пусть a - сторона ромба, тогда $$a=\frac{40}{4}=10$$
2. Найдем площадь ромба: $$S=10*10*\sin 30^{\circ}=50$$

Из формулы площади треугольника $$S=\frac{1}{2}*12*33=198$$

1. Так как DE - средняя линия, то $$DE=\frac{1}{2}AC$$, но тогда $$S_{CDE}=\frac{1}{2}S_{ADC}$$ (у них одинаковая высота, но различные в два раза основания). То есть $$S_{ADC}=2*45=90$$, тогда $$S_{ADEC}=135$$
2. Треугольники ABC и DBE подобны (по свойству средней линии), при это $$k=\frac{1}{2}$$ - коэффициент подобия, тогда $$\frac{S_{BDE}}{S_{ABC}}=k^{2}=\frac{1}{4}$$, тогда $$S_{BDE}=\frac{1}{4}S_{ABC}$$, следовательно, $$S_{ADEC}=\frac{3}{4}S_{ABC}$$. Получаем, что $$S_{ABC}=\frac{4}{3}S_{ADEC}=180$$

По формуле площади треугольника $$S=\frac{1}{2}10*10\sqrt{3}*\sin 60^{\circ}=75$$

По формуле площади треугольника $$S=\frac{1}{2}*10*5=25$$

1. Из площади трапеции $$AE=\frac{2S_{ABCD}}{BC+AD}=\frac{2*12}{3+1}=6$$
2. Из формулы площади треугольника: $$S_{ABC}=\frac{1}{2}BC*AE=\frac{1}{2}*6*1=3$$

1. Из формулы площади трапеции $$BE=\frac{2S_{ABCD}}{AD+BC}=\frac{2*28}{5+2}=8$$
2. $$BF=FE=\frac{1}{2}BE=4$$ так как MN - средняя линия трапеции, $$MN=\frac{BC+AD}{2}=\frac{2+5}{2}=3,5$$
3. Площадь трапеции BCNM: $$S=\frac{BC+MN}{2}*BF=\frac{2+3,5}{2}*4=11$$

1. Пусть $$\angle C=135^{\circ}, CD=15\sqrt{2}$$. Опустим высоту CE , тогда $$\angle ECD=135-90=45^{\circ}$$, следовательно, треугольник CDE - прямоугольный и равнобедренный
2. Из треугольника CDE -$$CE=CD*\sin ECD=15\sqrt{2}*\frac{\sqrt{2}}{2}=15$$
3. Площадь трапеции $$S_{ABCD}=\frac{1+13}{2}*15=105$$

1. Опустим высоты BF и CE, тогда треугольники ABF и CED равны по гипотенузе и катету, следовательно,  FE=BC=5, $$AF=ED=\frac{AD-BC}{2}=6$$
2. Из прямоугольного треугольника ABF по теореме Пифагора $$BF=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$$
3. Площадь трапеции ABCD: $$S=\frac{5+17}{2}*8=88$$

1. $$AD=AE+ED=21$$
2. Площадь трапеции ABCD: $$S=\frac{7+21}{2}*12=168$$

1. Опустим высоты CE и BF. Тогда FE=BC=3, $$AF=ED=\frac{AD-FE}{2}=3$$ (из равенства прямоугольных треугольников ABF и CED)
2. Пусть $$\angle D=45^{\circ}$$, тогда треугольник CED - равнобедренный ($$\angle ECD=90-45=45=\angle D$$), тогда CE=ED=3
3. Из формулы площади трапеции: $$S_{ABCD}=\frac{3+9}{2}*3=18$$

1. Пусть $$\angle D=30^{\circ}$$. Опустим высоту CE, тогда из прямоугольного треугольника CED: $$CE=CD*\sin D=2,5$$
2. По формуле площади трапеции $$S_{ABCD}=\frac{3+9}{2}*2,5=15$$

Пусть a - большее основание, тогда из формулы длины средней линии трапеции : $$a=2*11-5=17$$

1. Пусть $$\cos D =\frac{2\sqrt{2}}{3}$$, опустим высоту CE. Тогда из треугольника  CED: $$ED=CD*\cos D=6*\frac{2\sqrt{2}}{3}=4\sqrt{2}$$
2. По теореме Пифагора из треугольника CED: $$CE=\sqrt{6^{2}-(4\sqrt{2})^{2}}=2$$
3. Из формулы площади трапеции $$S_{ABCD}=\frac{18+12}{2}*2=30$$

1. Опустим высоту CE. Пусть $$\sin D=\frac{1}{3}$$, тогда из прямоугольного треугольника CED: $$CE=CD*\sin D=2$$
2. Из формулы площади трапеции: $$S_{ABCD}=\frac{18+12}{2}*2=30$$

1. Найдем основание равнобедренного треугольника : $$216-2*78=60$$
2. Полупериметр данного треугольника: $$p=\frac{216}{2}=108$$. По формуле Герона: $$S=\sqrt{108(108-78)^{2}(108-60)}=2160$$

1. Найдем полупериметр данного треугольника: $$p=\frac{34*2+60}{2}=64$$
2. По формуле Герона: $$S=\sqrt{64(64-34)^{2}(64-60)}=480$$

1. По свойству высоты равнобедренного треугольника, проведенной к основанию: $$AH=HB=\frac{1}{2}AB=5$$
2. По теореме Пифагора из треугольника ACH: $$AC=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13$$

По формуле площади треугольника $$S=\frac{AB*AC*\sin B}{2}=\frac{1}{2}*10*10*\frac{1}{2}=25$$

По формуле площади треугольника $$S=\frac{10*10*\sin 120^{\circ}}{2}=\frac{1}{2}*10*10*\frac{\sqrt{3}}{2}=25\sqrt{3}$$. В ответе необходимо указать ответ, деленный на $$\sqrt{3}$$, то есть 25

1. Из треугольника ACH: $$AC=\frac{CH}{\sin A}=\frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{20}{\sqrt{3}}$$
2. Так как треугольник равносторонний, то AC=AB, тогда из формулы площади треугольника: $$S=\frac{1}{2}CH*AB=\frac{100}{\sqrt{3}}$$. В ответе необходимо указать результат, деленный на $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$: $$\frac{100}{\sqrt{3}}:\frac{\sqrt{3}}{3}=100$$

1. Пусть a - сторона равностороннего треугольника, тогда $$a=\frac{P}{3}=10$$
2. Из формулы площади треугольника: $$S=\frac{1}{2}*10*10*\sin 60^{\circ}=25\sqrt{3}$$, в ответе необходимо указать значение без $$\sqrt{3}$$, то есть 25

Из формулы площади треугольника: $$S=\frac{1}{2}*10*10*\sin 60^{\circ}=25\sqrt{3}$$, в ответе необходимо указать значение без $$\sqrt{3}$$, то есть 25

По определению площади прямоугольного треугольника: $$S=\frac{1}{2}4*9=18$$

По теореме Пифагора $$c=\sqrt{8^{2}+15^{2}}=17$$, где с - гипотенуза данного треугольника.

1. $$AB=AC*\sin 45^{\circ}=$$$$70*\frac{\sqrt{2}}{2}=35\sqrt{2}$$
2. $$BC=AC*\cos 45^{\circ}=$$$$70*\frac{\sqrt{2}}{2}=35\sqrt{2}$$
3. Площадь треугольника в таком случае: $$S=\frac{1}{2}*35\sqrt{2}*35\sqrt{2}=1225$$

1. Пусть BC=4, тогда $$\angle C=45^{\circ}$$, тогда $$\angle A=90-45=45^{\circ}$$, следовательно, треугольника ABC - равнобедренный и AB=BC
2. По определению площади прямоугольного треугольника $$S=\frac{1}{2}*4*4=8$$

1. Пусть b - второй катет, тогда по теореме Пифагора: $$b=\sqrt{100^{2}-28^{2}}=96$$
2. По определению площади прямоугольного треугольника : $$S=\frac{1}{2}*96*28=1344$$

1. Пусть AB=10, $$\angle A=60^{\circ}$$, тогда из определения тангенса $$BC=AB*tg A=10\sqrt{3}$$
2. Из определения площади прямоугольного треуольника $$S=\frac{1}{2}*10*10\sqrt{3}=50\sqrt{3}$$, ответ необходимо указать деленный на $$\sqrt{3}$$, то есть 50

1. Если один острый угол прямоугольного треугольника составляет 45 градусов, то и другой угол также равен $$90-45=45^{\circ}$$, тогда треугольник равнобедренный, и катеты равны
2. По определению площади прямоугольного треугольника: $$S=\frac{1}{2}*10*10=50$$

1) $$\angle EAB=45^{\circ}$$ и $$\angle B=90^{\circ}$$, тогда $$\angle AEB=45^{\circ}$$ (по сумме углов треугольника), следовательно, AEB - равнобедренный, и AB=BE=12

2) EC=BC-BE=17-12=5, DC=AB=12, тогда по теоереме Пифагора из треугольника DCE: $$ED=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13$$ 

  1) Из треугольника ABC по теореме Пифагора: $$AB=\sqrt{100^{2}-96^{2}}=28$$

  2) Из формулы площади прямоугольника: $$S=96*28=2688$$

1. Пусть меньшая сторона 4х, тогда большая сторона 11х. По определению периметра прямоугольника: $$(4x+11x)*2=60\Leftrightarrow$$$$x=2$$, тогда меньшая сторона $$4*2=8$$, большая сторона  $$11*2=22$$
2. Из формулы площади прямоугольника $$S=8*22=176$$

1. Пусть х - меньшая сторона, тогда х+2 - большая сторона. Из определения периметра прямоугольника: $$(x+x+2)*2=44\Leftrightarrow$$$$x=10$$, тогда меньшая сторона равна 10, большая 12
2. Из определения площади прямоугольника: $$S=10*12=120$$

1. Из треугольника ABC: пусть угол С равен 30 градусам, тогда $$AB=AC*\sin 30^{\circ}=5$$
2. Аналогично $$BC=AC*\cos 30^{\circ}=5\sqrt{3}$$
3. Площадь прямоугольника в таком случае: $$S=5*5\sqrt{3}=25\sqrt{3}$$, в ответе необходимо указать значение, деленное на $$\sqrt{3}$$, то есть 25

По определению площади прямоугольника : $$S=10*12=120$$

Если квадрат описан около окружности, то диаметр окружности и сторона квадрата равны друг другу, тогда радиус окружности в два раза меньше стороны, то есть сторона квадрата $$a=2r=2*83=166$$.
Тогда площадь квадрата составляет $$S=a^{2}=166^{2}=27556$$

Площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними. По свойству квадрата, его диагонали равны, а угол между ними составляет 90 градусов.
Тогда площадь квадрата составит $$S=\frac{1}{2}*1*1*\sin 90^{\circ}=0,5$$

Площадь квадрата на данном рисунке составляет $$6^{2}=36$$, площадь прямоугольника составляет $$3*2=6$$, тогда площадь оставшейся фигуры $$36-6=30$$

Так как периметр квадрата составляет 40, тогда сторона квадрата равна $$a=\frac{P}{4}=\frac{40}{4}=10$$. Следовательно, площадь квадрата составляет $$S=a^{2}=10^{2}=100$$

Площадь квадрата составляет $$S=a^{2}=10^{2}=100$$

Площадь ромба вычисляется как половина произведения его диагоналей:
S = 16 * 7 / 2 = 56