ОГЭ
Задание 1935
Сторона квадрата равна 10. Найдите его площадь.
Площадь квадрата составляет $$S=a^{2}=10^{2}=100$$
Задание 1936
Периметр квадрата равен 40. Найдите площадь квадрата.
Так как периметр квадрата составляет 40, тогда сторона квадрата равна $$a=\frac{P}{4}=\frac{40}{4}=10$$. Следовательно, площадь квадрата составляет $$S=a^{2}=10^{2}=100$$
Задание 1937
Из квадрата вырезали прямоугольник (см. рисунок). Найдите площадь получившейся фигуры.
Площадь квадрата на данном рисунке составляет $$6^{2}=36$$, площадь прямоугольника составляет $$3*2=6$$, тогда площадь оставшейся фигуры $$36-6=30$$
Задание 1938
Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.
Площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними. По свойству квадрата, его диагонали равны, а угол между ними составляет 90 градусов.
Тогда площадь квадрата составит $$S=\frac{1}{2}*1*1*\sin 90^{\circ}=0,5$$
Задание 1939
Найдите площадь квадрата, описанного вокруг окружности радиуса 83.
Если квадрат описан около окружности, то диаметр окружности и сторона квадрата равны друг другу, тогда радиус окружности в два раза меньше стороны, то есть сторона квадрата $$a=2r=2*83=166$$.
Тогда площадь квадрата составляет $$S=a^{2}=166^{2}=27556$$
Задание 1940
В прямоугольнике одна сторона равна 10, другая сторона равна 12. Найдите площадь прямоугольника.
По определению площади прямоугольника : $$S=10*12=120$$
Задание 1941
В прямоугольнике диагональ равна 10, а угол между ней и одной из сторон равен 30°. Найдите площадь прямоугольника, делённую на $$\sqrt{3}$$.
- Из треугольника ABC: пусть угол С равен 30 градусам, тогда $$AB=AC*\sin 30^{\circ}=5$$
- Аналогично $$BC=AC*\cos 30^{\circ}=5\sqrt{3}$$
- Площадь прямоугольника в таком случае: $$S=5*5\sqrt{3}=25\sqrt{3}$$, в ответе необходимо указать значение, деленное на $$\sqrt{3}$$, то есть 25
Задание 1942
Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 44 и одна сторона на 2 больше другой.
- Пусть х - меньшая сторона, тогда х+2 - большая сторона. Из определения периметра прямоугольника: $$(x+x+2)*2=44\Leftrightarrow$$$$x=10$$, тогда меньшая сторона равна 10, большая 12
- Из определения площади прямоугольника: $$S=10*12=120$$
Задание 1943
Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 60, а отношение соседних сторон равно 4:11.
- Пусть меньшая сторона 4х, тогда большая сторона 11х. По определению периметра прямоугольника: $$(4x+11x)*2=60\Leftrightarrow$$$$x=2$$, тогда меньшая сторона $$4*2=8$$, большая сторона $$11*2=22$$
- Из формулы площади прямоугольника $$S=8*22=176$$
Задание 1944
В прямоугольнике одна сторона равна 96, а диагональ равна 100. Найдите площадь прямоугольника.
1) Из треугольника ABC по теореме Пифагора: $$AB=\sqrt{100^{2}-96^{2}}=28$$
2) Из формулы площади прямоугольника: $$S=96*28=2688$$
Задание 1945
На стороне BC прямоугольника ABCD, у которого AB = 12 и AD = 17, отмечена точка E так, что ∠EAB = 45°. Найдите ED.
1) $$\angle EAB=45^{\circ}$$ и $$\angle B=90^{\circ}$$, тогда $$\angle AEB=45^{\circ}$$ (по сумме углов треугольника), следовательно, AEB - равнобедренный, и AB=BE=12
2) EC=BC-BE=17-12=5, DC=AB=12, тогда по теоереме Пифагора из треугольника DCE: $$ED=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13$$
Задание 1946
В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив него, равен 45°. Найдите площадь треугольника.
- Если один острый угол прямоугольного треугольника составляет 45 градусов, то и другой угол также равен $$90-45=45^{\circ}$$, тогда треугольник равнобедренный, и катеты равны
- По определению площади прямоугольного треугольника: $$S=\frac{1}{2}*10*10=50$$
Задание 1947
В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, острый угол, прилежащий к нему, равен 60°, а гипотенуза равна 20. Найдите площадь треугольника, делённую на $$\sqrt{3}$$.
- Пусть AB=10, $$\angle A=60^{\circ}$$, тогда из определения тангенса $$BC=AB*tg A=10\sqrt{3}$$
- Из определения площади прямоугольного треуольника $$S=\frac{1}{2}*10*10\sqrt{3}=50\sqrt{3}$$, ответ необходимо указать деленный на $$\sqrt{3}$$, то есть 50
Задание 1948
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 28 и 100.
- Пусть b - второй катет, тогда по теореме Пифагора: $$b=\sqrt{100^{2}-28^{2}}=96$$
- По определению площади прямоугольного треугольника : $$S=\frac{1}{2}*96*28=1344$$
Задание 1949
В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 4, а острый угол, прилежащий к нему, равен 45°. Найдите площадь треугольника.
- Пусть BC=4, тогда $$\angle C=45^{\circ}$$, тогда $$\angle A=90-45=45^{\circ}$$, следовательно, треугольника ABC - равнобедренный и AB=BC
- По определению площади прямоугольного треугольника $$S=\frac{1}{2}*4*4=8$$
Задание 1950
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 70, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника.
- $$AB=AC*\sin 45^{\circ}=$$$$70*\frac{\sqrt{2}}{2}=35\sqrt{2}$$
- $$BC=AC*\cos 45^{\circ}=$$$$70*\frac{\sqrt{2}}{2}=35\sqrt{2}$$
- Площадь треугольника в таком случае: $$S=\frac{1}{2}*35\sqrt{2}*35\sqrt{2}=1225$$
Задание 1951
Катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 15. Найдите гипотенузу этого треугольника.
По теореме Пифагора $$c=\sqrt{8^{2}+15^{2}}=17$$, где с - гипотенуза данного треугольника.
Задание 1952
Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 9. Найдите площадь этого треугольника.
По определению площади прямоугольного треугольника: $$S=\frac{1}{2}4*9=18$$
Задание 1953
Сторона равностороннего треугольника равна 10. Найдите его площадь, делённую на $$\sqrt{3}$$.
Из формулы площади треугольника: $$S=\frac{1}{2}*10*10*\sin 60^{\circ}=25\sqrt{3}$$, в ответе необходимо указать значение без $$\sqrt{3}$$, то есть 25
Задание 1954
Периметр равностороннего треугольника равен 30. Найдите его площадь, делённую на $$\sqrt{3}$$.
- Пусть a - сторона равностороннего треугольника, тогда $$a=\frac{P}{3}=10$$
- Из формулы площади треугольника: $$S=\frac{1}{2}*10*10*\sin 60^{\circ}=25\sqrt{3}$$, в ответе необходимо указать значение без $$\sqrt{3}$$, то есть 25
Задание 1955
Высота равностороннего треугольника равна 10. Найдите его площадь, делённую на $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$.
- Из треугольника ACH: $$AC=\frac{CH}{\sin A}=\frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{20}{\sqrt{3}}$$
- Так как треугольник равносторонний, то AC=AB, тогда из формулы площади треугольника: $$S=\frac{1}{2}CH*AB=\frac{100}{\sqrt{3}}$$. В ответе необходимо указать результат, деленный на $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$: $$\frac{100}{\sqrt{3}}:\frac{\sqrt{3}}{3}=100$$
Задание 1956
В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, а угол, лежащий напротив основания, равен 120°. Найдите площадь треугольника, делённую на $$\sqrt{3}$$
По формуле площади треугольника $$S=\frac{10*10*\sin 120^{\circ}}{2}=\frac{1}{2}*10*10*\frac{\sqrt{3}}{2}=25\sqrt{3}$$. В ответе необходимо указать ответ, деленный на $$\sqrt{3}$$, то есть 25
Задание 1957
В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, основание — $$5(\sqrt{6}-\sqrt{2})$$, а угол, лежащий напротив основания, равен 30°. Найдите площадь треугольника.
По формуле площади треугольника $$S=\frac{AB*AC*\sin B}{2}=\frac{1}{2}*10*10*\frac{1}{2}=25$$
Задание 1958
В равнобедренном треугольнике ABC AC=BC. Найдите AC, если высота CH=12, AB=10.
- По свойству высоты равнобедренного треугольника, проведенной к основанию: $$AH=HB=\frac{1}{2}AB=5$$
- По теореме Пифагора из треугольника ACH: $$AC=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13$$
Задание 1959
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 34, а основание равно 60. Найдите площадь этого треугольника.
- Найдем полупериметр данного треугольника: $$p=\frac{34*2+60}{2}=64$$
- По формуле Герона: $$S=\sqrt{64(64-34)^{2}(64-60)}=480$$
Задание 1960
Периметр равнобедренного треугольника равен 216, а боковая сторона — 78. Найдите площадь треугольника.
- Найдем основание равнобедренного треугольника : $$216-2*78=60$$
- Полупериметр данного треугольника: $$p=\frac{216}{2}=108$$. По формуле Герона: $$S=\sqrt{108(108-78)^{2}(108-60)}=2160$$
Задание 1965
Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 6, а синус угла между ней и одним из оснований равен $$\frac{1}{3}$$. Найдите площадь трапеции.
- Опустим высоту CE. Пусть $$\sin D=\frac{1}{3}$$, тогда из прямоугольного треугольника CED: $$CE=CD*\sin D=2$$
- Из формулы площади трапеции: $$S_{ABCD}=\frac{18+12}{2}*2=30$$
Задание 1966
Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 6, а косинус угла между ней и одним из оснований равен $$\frac{2\sqrt{2}}{3}$$. Найдите площадь трапеции.
- Пусть $$\cos D =\frac{2\sqrt{2}}{3}$$, опустим высоту CE. Тогда из треугольника CED: $$ED=CD*\cos D=6*\frac{2\sqrt{2}}{3}=4\sqrt{2}$$
- По теореме Пифагора из треугольника CED: $$CE=\sqrt{6^{2}-(4\sqrt{2})^{2}}=2$$
- Из формулы площади трапеции $$S_{ABCD}=\frac{18+12}{2}*2=30$$
Задание 1967
Средняя линия трапеции равна 11, а меньше основание равно 5. Найдите большее основание трапеции.
Пусть a - большее основание, тогда из формулы длины средней линии трапеции : $$a=2*11-5=17$$
Задание 1968
Боковая сторона трапеции равна 5, а один из прилегающих к ней углов равен 30°. Найдите площадь трапеции, если её основания равны 3 и 9.
- Пусть $$\angle D=30^{\circ}$$. Опустим высоту CE, тогда из прямоугольного треугольника CED: $$CE=CD*\sin D=2,5$$
- По формуле площади трапеции $$S_{ABCD}=\frac{3+9}{2}*2,5=15$$
Задание 1969
В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.
- Опустим высоты CE и BF. Тогда FE=BC=3, $$AF=ED=\frac{AD-FE}{2}=3$$ (из равенства прямоугольных треугольников ABF и CED)
- Пусть $$\angle D=45^{\circ}$$, тогда треугольник CED - равнобедренный ($$\angle ECD=90-45=45=\angle D$$), тогда CE=ED=3
- Из формулы площади трапеции: $$S_{ABCD}=\frac{3+9}{2}*3=18$$
Задание 1970
Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.
- $$AD=AE+ED=21$$
- Площадь трапеции ABCD: $$S=\frac{7+21}{2}*12=168$$
Задание 1971
Основания равнобедренной трапеции равны 5 и 17, а ее боковые стороны равны 10. Найдите площадь трапеции.
- Опустим высоты BF и CE, тогда треугольники ABF и CED равны по гипотенузе и катету, следовательно, FE=BC=5, $$AF=ED=\frac{AD-BC}{2}=6$$
- Из прямоугольного треугольника ABF по теореме Пифагора $$BF=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$$
- Площадь трапеции ABCD: $$S=\frac{5+17}{2}*8=88$$
Задание 1972
Основания трапеции равны 1 и 13, одна из боковых сторон равна $$15\sqrt{2}$$, а угол между ней и одним из оснований равен 135°. Найдите площадь трапеции.
- Пусть $$\angle C=135^{\circ}, CD=15\sqrt{2}$$. Опустим высоту CE , тогда $$\angle ECD=135-90=45^{\circ}$$, следовательно, треугольник CDE - прямоугольный и равнобедренный
- Из треугольника CDE -$$CE=CD*\sin ECD=15\sqrt{2}*\frac{\sqrt{2}}{2}=15$$
- Площадь трапеции $$S_{ABCD}=\frac{1+13}{2}*15=105$$
Задание 1973
В трапеции ABCD AD = 5, BC = 2, а её площадь равна 28. Найдите площадь трапеции BCNM, где MN – средняя линия трапеции ABCD.
- Из формулы площади трапеции $$BE=\frac{2S_{ABCD}}{AD+BC}=\frac{2*28}{5+2}=8$$
- $$BF=FE=\frac{1}{2}BE=4$$ так как MN - средняя линия трапеции, $$MN=\frac{BC+AD}{2}=\frac{2+5}{2}=3,5$$
- Площадь трапеции BCNM: $$S=\frac{BC+MN}{2}*BF=\frac{2+3,5}{2}*4=11$$
Задание 1974
В трапеции ABCD AD = 3, BC = 1, а её площадь равна 12. Найдите площадь треугольника ABC.
- Из площади трапеции $$AE=\frac{2S_{ABCD}}{BC+AD}=\frac{2*12}{3+1}=6$$
- Из формулы площади треугольника: $$S_{ABC}=\frac{1}{2}BC*AE=\frac{1}{2}*6*1=3$$
Задание 1975
В треугольнике одна из сторон равна 10, а опущенная на нее высота — 5. Найдите площадь треугольника.
По формуле площади треугольника $$S=\frac{1}{2}*10*5=25$$
Задание 1976
В треугольнике одна из сторон равна 10, другая равна $$10\sqrt{3}$$, а угол между ними равен 60°. Найдите площадь треугольника.
По формуле площади треугольника $$S=\frac{1}{2}10*10\sqrt{3}*\sin 60^{\circ}=75$$
Задание 1981
В треугольнике ABC отрезок DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 45. Найдите площадь треугольника ABC.
- Так как DE - средняя линия, то $$DE=\frac{1}{2}AC$$, но тогда $$S_{CDE}=\frac{1}{2}S_{ADC}$$ (у них одинаковая высота, но различные в два раза основания). То есть $$S_{ADC}=2*45=90$$, тогда $$S_{ADEC}=135$$
- Треугольники ABC и DBE подобны (по свойству средней линии), при это $$k=\frac{1}{2}$$ - коэффициент подобия, тогда $$\frac{S_{BDE}}{S_{ABC}}=k^{2}=\frac{1}{4}$$, тогда $$S_{BDE}=\frac{1}{4}S_{ABC}$$, следовательно, $$S_{ADEC}=\frac{3}{4}S_{ABC}$$. Получаем, что $$S_{ABC}=\frac{4}{3}S_{ADEC}=180$$
Задание 1982
Сторона треугольника равна 12, а высота, проведённая к этой стороне, равна 33. Найдите площадь этого треугольника.
Из формулы площади треугольника $$S=\frac{1}{2}*12*33=198$$
Задание 1985
Периметр ромба равен 40, а один из углов равен 30°. Найдите площадь ромба.
- Пусть a - сторона ромба, тогда $$a=\frac{40}{4}=10$$
- Найдем площадь ромба: $$S=10*10*\sin 30^{\circ}=50$$
Задание 1986
Периметр ромба равен 24, а синус одного из углов равен $$\frac{1}{3}$$. Найдите площадь ромба.
- Пусть a - сторона ромба, тогда $$a=\frac{24}{4}=6$$
- Найдем площадь ромба: $$S=6*6*\frac{1}{3}=12$$
Задание 1987
Одна из сторон параллелограмма равна 12, а опущенная на нее высота равна 10. Найдите площадь параллелограмма.
Из формулы площади параллелограмма: $$S=12*10=120$$
Задание 1988
Одна из сторон параллелограмма равна 12, другая равна 5, а один из углов — 45°. Найдите площадь параллелограмма, делённую на $$\sqrt{2}$$.
Из формулы площади параллелограмма: $$S=12*5*\sin 45=30\sqrt{2}$$. В ответе необходимо найти указать ответ, деленный на $$\sqrt{2}$$, то есть 30
Задание 1990
Площадь параллелограмма ABCD равна 56. Точка E — середина стороны CD. Найдите площадь трапеции AECB.
- Найдем площадь треугольника AED: $$S_{AED}=\frac{1}{2}ED*h=\frac{1}{4}CD*h=\frac{1}{4}S_{ABCD}$$, где h - высота параллелограмма
- Тогда $$S_{AECB}=\frac{3}{4}S_{ABCD}=42$$
Задание 1991
Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 14 и 6.
Из формулы площади ромба: $$S=\frac{1}{2}*14*6=42$$
Задание 1992
Сторона ромба равна 9, а расстояние от центра ромба до неё равно 1. Найдите площадь ромба.
- Из треугольника AED: $$S_{AED}=\frac{1}{2}*1*9=4,5$$
- Ромб состоит из четырех равных прямоугольных треугольников, образованных диагоналями ромба, тогда $$S_{ABCD}=4S_{AED}=18$$
Задание 1993
Сторона ромба равна 50, а диагональ равна 80. Найдите площадь ромба.
- Пусть BD=80, тогда по свойству диагоналей ромба: $$ED=\frac{1}{2}BD=40$$
- Из прямоугольного треугольника EAD: $$EA=\sqrt{50^{2}-40^{2}}=30$$, тогда AC=60
- Из формулы площади ромба: $$S=\frac{1}{2}*80*60=2400$$
Задание 1994
Высота BH параллелограмма ABCD делит его сторону AD на отрезки AH = 1 и HD = 28. Диагональ параллелограмма BD равна 53. Найдите площадь параллелограмма.
- Из прямоугольного треуголььника BDH : $$BH=\sqrt{53^{2}-28^{2}}=45$$
- $$AD=AH+AD=29$$, тогда площадь параллелограмма $$S=45*29=1305$$
Задание 1995
Высота BH ромба ABCD делит его сторону AD на отрезки AH = 5 и HD = 8. Найдите площадь ромба.
- $$AD=AH+HD=5+8=13$$, тогда по свойству ромба $$AB=13$$
- Из прямоугольного треугольника ABH: $$BH=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12$$
- Из формулы площади ромба $$S=12*13=156$$
Задание 1996
Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 30° и 45° . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- Пусть $$\angle BAC=30^{\circ} ; \angle CAD=45^{\circ}$$, тогда $$\angle A=30+45=75^{\circ}$$
- По свойству углов параллелограмма: $$\angle B=180-75=105^{\circ}$$ - это и есть больший угол
Задание 2482
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 36 и 39.
| $$BC=\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{39^{2}-36^{2}}=15$$ $$S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 36\cdot 15=270$$ |
Задание 2664
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 39, а основание равно 30. Найдите площадь этого треугольника.
|
1) BD - высота и медиана $$\Rightarrow$$ $$DC=15$$ 2) $$BD=\sqrt{BC^{2}-DC^{2}}=\sqrt{39^{2}-15^{2}}=36$$' 3) $$S=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot 30\cdot 36=540$$ |
 |
Задание 2809
| Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке. |  |
$$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{34^{2}-30^{2}}=16$$ $$S=\frac{1}{2}BC\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot30\cdot 16=240$$
Задание 2922
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 26, а основание равно 48. Найдите площадь этого треугольника.
|
AB=26 AC=48 Проведем высоту(медиана и биссектрисса) BH. AH будет равна половине AC = 24 По теореме Пифагора из треугольника AHB: $$BH=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=10$$ Тогда площадь будет равна 0.5*10*48=240 |
 |
Задание 2967
Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 62° и 84°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
$$\angle B=62+84=146^{\circ}$$ $$\angle A=180-\angle A=180-146=34^{\circ}$$
Задание 2969
Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 14.
$$AC^{2}=x^{2}+x^{2}=14^{2}$$ $$2x^{2}=196$$ $$x^{2}=98$$ $$S=x^{2}=98$$
Задание 3012
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 36 и 39.
$$\sqrt{39^{2}-36^{2}}=\sqrt{(39-39)\cdot(39+36)}=$$ $$=\sqrt{3\cdot75}=\sqrt{3\cdot3\cdot5^{2}}=15$$ $$S=\frac{1}{2}\cdot36\cdot15=18\cdot15=270$$
Задание 3096
Высота BH ромба ABCD равна 10 и делит его сторону AD на отрезки AH=5 и HD=8. Найдите площадь ромба.
AD=5+8=13 S=AD*BH=13*10=130
Задание 3136
| Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке |  |
$$S=\frac{a+b}{2}*h=\frac{21+64+76}{2}*48=3864$$
Задание 3232
В прямоугольнике одна сторона равна 16, а диагональ равна 65. Найдите площадь прямоугольника.
Найдем вторую сторону по теореме Пифагора: $$b = \sqrt{65^{2}-16^{2}}=63$$ Площадь прямоугольника вычисляется как произведение длин его смежных сторон: 16*63=
Задание 3353
Сторона ромба равна 25, а диагональ равна 48. Найдите площадь ромба.
Введем обозначения, как показано на рисунке
Пусть AD=25, AC=48. Диагонали в ромбе делятся пополам и перпендикулярны, значит AH = 48/2 = 24. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника AHD: $$HD = \sqrt{AD^{2}-AH^{2}}=\sqrt{625-576}=7$$
Тогда BD = 7*2 =14
Площадь ромба вычисляется как половина произведния длин его диагоналей: $$S=0,5*14*48=336$$
Задание 3402
В треугольнике ABC известно, что DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 12. Найдите площадь треугольника ABC.
Т.к. DE - средняя линия, то $$k=\frac{1}{2}$$ $$\frac{S_{CDE}}{S_{ABC}}=k^{2}=\frac{1}{4}$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{ABC}=4S_{CDE}=4\cdot12=48$$
Задание 4322
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 15 и 39.
Пусть а - второй катет по т. Пифагоора: $$a=\sqrt{39^{2}-15^{2}}=\sqrt{(39-15)(39+15)}=\sqrt{24\cdot54}=$$ $$\sqrt{8\cdot3\cdot27\cdot2}=\sqrt{2^{4}\cdot3^{4}}=4\cdot9=36$$; $$S=\frac{1}{2}\cdot36\cdot15=270$$
Задание 4645
Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке:
$$S=\frac{1}{2}ah=0.5*60(32+11)=1290$$
Задание 4795
Сторона ромба равна 15, а диагональ равна 24. Найдите площадь ромба.
По свойству ромба, диагонали делятся пополам и под прямым углом, в таком случае мы можем по теореме Пифагора найти половину второй диагонали: $$\sqrt{15^{2}-12^{2}}=9$$. В таком случае вся вторая диагональ составляет 18. Площадь ромба можно найти как половину произведения его диагоналей: $$0,5*18*24=216$$
Задание 4843
Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 12 и 7.
$$S=\frac{1}{2}d_{1}d_{2}=\frac{1}{2}\cdot12\cdot7=42$$
Задание 4891
Высота BH ромба ABCD делит его сторону AD на отрезки AH=8 и HD=9. Найдите площадь ромба.
$$BH=\sqrt{17^{2}-8^{2}}=\sqrt{(17-8)(17+8)}=15$$; $$S=17\cdot15=255$$
Задание 4937
Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника равен $$150^{\circ}$$. Боковая сторона треугольника равна 8. Найдите площадь этого треугольника.
$$S=\frac{1}{2}\cdot8\cdot8\cdot\sin150^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot8\cdot8\cdot\frac{1}{2}=16$$
Задание 5081
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 13, а основание равно 24. Найдите площадь этого треугольника.
$$h=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5$$; $$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h=\frac{1}{2}\cdot24\cdot5=60$$
Задание 5121
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 24 и 26.
Второй катет найдем по теореме Пифагора: $$\sqrt{26^{2}-24^{2}}=10$$. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения длин катетов: $$S=0,5*10*24=120$$
Задание 5168
В треугольнике ABC угол C равен $$90^{\circ}$$, CH — высота, BC=15, CH=9. Найдите $$\sin A$$.
$$\sin A=\sin HCB$$; $$HB=\sqrt{CB^{2}-CH^{2}}=12$$; $$\sin A=\frac{HB}{CB}=\frac{12}{15}=0,8$$
Задание 5266
Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке
Площадь трапеции вычисляется как полусумму оснований на высоту: $$S = \frac{7+9+12}{2}*12=168$$
Задание 5272
Одна из сторон параллелограмма равна $$4\sqrt{3}$$ см, его площадь равна 12 см2, а острый угол между сторонами равен $$60^{\circ}$$. Найдите длину другой стороны параллелограмма.
Площадь параллелограмма вычисляется как произведение длин сторон на синус угла между ними. Пусть х - вторая сторона. Тогда; $$4\sqrt{3} * x * \sin 60^{\circ}=12 \Leftrightarrow$$$$x=\frac{12}{4\sqrt{3}*\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$$
Задание 5314
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 26, а основание равно 10. Найдите площадь этого треугольника.
Высота треугольника : $$h = \sqrt{26^{2}-5^{2}}=\sqrt{651}$$. Тогда его площадь $$S=\frac{1}{2}h*10=5\sqrt{651}$$
Задание 5361
Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
Пусть a,b - стороны прямоугольника и параллелограмма. Площадь прямоугольника: $$S_{1}=ab$$, площадь параллелограмма: $$S_{2}=ab\sin\alpha$$, где $$\alpha$$ - острый угол между сторонами параллелограмма, тогда: $$\frac{1}{2}ab=ab\sin\alpha\Leftrightarrow$$$$\sin\alpha=\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$$$\alpha=30^{\circ}$$
Задание 6065
Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 6.
Пусть $$a$$–сторона квадрата, тогда его площадь: $$S=a^{2}$$. По т. Пифагора $$\sqrt{a^{2}+a^{2}}\Rightarrow$$$$ 2a ^{2}=36\Leftrightarrow a ^{2}=18=S$$.
Задание 6112
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 26, а основание равно 12. Найдите площадь этого треугольника
Воспользуемся формулой Герона для вычисления площади треугольника. Найдем полупериметр: $$p=\frac{26+26+12}{2}=32$$. Тогда площадь треугольника равна: $$S=\sqrt{32(32-62)(32-26)(32-12)}=48\sqrt{10}$$
Задание 6254
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 25, а основание равно 14. Найдите площадь этого треугольника.
Найдём полупериметр $$p=\frac{25+25+14}{2}=32$$ $$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=$$$$\sqrt{32(32-25)^{2}(32-14)}=$$$$\sqrt{2^{5}*7^{2}*2*3^{2}}=$$$$2^{3}*3*7=168$$
Задание 6303
Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 8.
Пусть AB=BC=a
По т. Пифагора $$\Delta ABC$$: $$a^{2}+a^{2}=8^{2}$$
$$2a^{2}=64$$
$$a^{2}=32$$
$$S_{ABCD}=a^{2}=32$$
Задание 6707
Сторона ромба равна 17, а диагональ равна 16. Найдите площадь ромба
Из $$\Delta ABH$$: $$BH=\sqrt{17^{2}-8^{2}}=15\Rightarrow$$ $$BD=30$$
$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC*BD=$$$$\frac{1}{2}*30*16=240$$
Задание 6782
В треугольнике ABC известно, что DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 8. Найдите площадь треугольника ABC
$$\frac{DE}{AB}=\frac{1}{2}=k\Rightarrow$$ $$\frac{S_{DCE}}{S_{ABC}}=k^{2}=\frac{1}{4}\Rightarrow$$ $$S_{ABC}=8*4=32$$
Задание 6853
В равнобедренном треугольнике ABC АВ = ВС, AС = 24, cos A = 0,48. Найдите площадь треугольника АВС.
Опустим высоту (медиану) BH
1) $$AH=\frac{AC}{2}=12$$
2) $$AB=\frac{AH}{\cos A}=\frac{12}{0,48}=25$$
3) По формуле Герона: $$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$; $$p=\frac{a+b+c}{2}$$
$$p=\frac{25+25+24}{2}=37$$
$$S=\sqrt{37*12*12*13}=12\sqrt{481}$$
Задание 6901
В треугольнике со сторонами 15 и 3 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?
$$S=\frac{1}{2} AH*BC=\frac{1}{2} AC*BM\Rightarrow$$ $$AH*BC=AC*BM$$
Пусть BC=15, AC=3, AH=1, тогда $$BM=\frac{AH*BC}{AC}=\frac{1*15}{3}=5$$
Задание 7082
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 12 и 13.
По теореме Пифагора другой катет: $$\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5$$, тогда площадь $$S=\frac{1}{2}*12*5=30$$
Задание 7156
Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке:
$$S=\frac{1}{2} ah$$ , где a-сторона треугольника , h- высота к ней проведенная $$\Rightarrow$$ $$S=\frac{1}{2}(32+11)*60=1290$$
Задание 7243
Сторона ромба равна 15, а диагональ равна 18. Найдите площадь ромба
Пусть $$BD\cap AC=H\Rightarrow$$ $$BH=HD=\frac{18}{2}=9$$ Из $$\Delta ABH$$: $$AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=12$$$$\Rightarrow$$ $$AC=24$$
Задание 7273
Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 16 и 9.
Площадь ромба вычисляется как половина произведения диагоналей, тогда $$S=\frac{1}{2}*16*9=72$$
Задание 8393
Найдите площадь прямоугольной трапеции, одна из боковых сторон которой равна 7, а радиус окружности, вписанной в эту трапецию, равен 3.
Задание 8822
Диагонали параллелограмма равны 12 и 17, а угол между ними равен 30°. Найдите площадь этого параллелограмма.
Задание 8849
Две стороны параллелограмма равны 10 и 12, а один из углов этого параллелограмма равен 30°. Найдите площадь этого параллелограмма.
Задание 10460
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
Сторона (a), к которой проведена высота равна $$3+4=7$$.
Площадь параллелограмма равна $$S=ah=7\cdot 4=28$$
Задание 10954
Задание 10975
Сторона треугольника равна 29, а высота, проведённая к этой стороне, равна 12. Найдите площадь этого треугольника.
Задание 11036
Сторона треугольника равна 16, а высота, проведённая к этой стороне, равна 27. Найдите площадь этого треугольника.
Задание 11060
Сторона треугольника равна 14, а высота, проведённая к этой стороне, равна 23. Найдите площадь этого треугольника.
Задание 11165
Диагонали параллелограмма равны 7 и 24, а угол между ними равен 30°. Найдите площадь этого параллелограмма.
