Перейти к основному содержанию

ОГЭ

(C4) Геометрическая задача на вычисление

Окружности

Задание 3189

Из одной точки проведены к окружности две касательные, длина каждой из которых равна 12 см, а расстояние между точками касания равно 14,4 см. Найдите радиус окружности.

Ответ: 9
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) $$OB\perp AB$$ и $$OC\perp CA$$ (свойство радиусов в точку касания), ОА - общая, $$AC=AB$$ по условию $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup OBA=\bigtriangleup OAC$$

2) $$\bigtriangleup ABH=\bigtriangleup AHC$$ (АH - общая; $$\angle BAH=\angle HAC$$; $$AB=AC$$) $$\Rightarrow$$ $$BH=HC$$ и $$BC\perp OA$$ $$\Rightarrow$$ $$BH=HC=0,5BC=14,4\cdot0,5=7,2$$

3) По теореме Пифагора $$AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{12^{2}-7,2^{2}}=\sqrt{92,16}=9,6$$

4) из $$\bigtriangleup BHA\sim \bigtriangleup BOA$$: $$\frac{HA}{AB}=\frac{BH}{OB}$$ $$\Rightarrow$$ $$OB=\frac{AB\cdot BH}{HA}=\frac{12\cdot7,2}{9,6}=9$$

Задание 4991

 Через концы хорды, длина которой 30, проведены две касательные, до пересечения в точке А. Найдите расстояние от точки А до хорды, если радиус окружности равен 17. 

Ответ: $$28\frac{1}{8}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Треугольник OCD - равнобедренный (OC=OD - Радиусы). Треугольник OCA равен треугольнику OAD (оба прямоугольные по свойству касательной и радуиса в точку касания, AC=AD по свойству касательной, OA - общая). Тогда углы COA и DOA равны, тогда треугольники COH и OHD равны. Тогда $$CH=\frac{1}{2}CB=15$$; $$OH=\sqrt{OC^{2}-CH^{2}}=\sqrt{17^{2}-15^{2}}=8$$;

2) Пусть $$CA=x$$,$$HA=y$$, тогда по теореме Пифагора и по формуле высоты прямоугольного треугольника как произведение катетов деленное на гипотенузу:

$$\left\{\begin{matrix}CA^{2}+CO^{2}=OA^{2}\\CH=\frac{OC\cdot CA}{OA}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+17^{2}=(8+y)^{2}\\15=\frac{17\cdot x}{8+y}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$120+15y=17\cdot x$$; $$y=\frac{17x-120}{15}$$; $$x^{2}+289=(8+\frac{17x-120}{15})^{2}$$; $$x^{2}+289=\frac{289x^{2}}{225}$$; $$225x^{2}+289\cdot225=289x^{2}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$64x^{2}=289\cdot225$$;$$x=\frac{17\cdot15}{8}=31,875$$; $$y=28,125=28\frac{1}{8}$$

Задание 5367

В окружности радиуса 16 см проведена хорда длиной, равной 8 см. через один конец хорды проведена касательная, а через другой – секущая, параллельная касательной. Найдите расстояние между касательной и секущей.

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
1)Из треугольника AOB: по теореме косинусов $$\cos OAB = \frac{OA^{2}+AB^{2}-OB^{2}}{2OA*OB}=\frac{16^{2}+8^{2}-16^{2}}{2*16*8}=\frac{1}{4}$$
2)По свойству касательной и радиуса, проведенного в точку касания получаем, что $$AO\perp AK$$, но из параллельности AK и BH получаем, что $$AO\perp BH$$
3)Из треугольника ABH: $$AH=AB\cos OAB=8*\frac{1}{4}=2$$

Задание 5513

Отрезки АВ и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если АВ = 24, а расстояние от центра окружности до хорд АВ и CD равны соответственно 16 и 12.

Ответ: 32
Скрыть

1) Пусть О - центр окружности, $$OH\perp AB$$ и $$OM\perp CD$$;

2) $$OB=OA$$ - радиусы, $$OH$$ - общий катет $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup OHB=\bigtriangleup OHA$$ $$\Rightarrow$$ $$AH=HB=\frac{1}{2}AB=12$$;

3) $$OB=\sqrt{OH^{2}+HB^{2}}=20$$ (по т. Пифагора); $$OD=OB$$ - радиусы.

4) $$DM=\sqrt{OD^{2}-OM^{20}}=16$$ (по т. Пифагора);

5) $$DM=MC$$ (аналогично п. 2) $$\Rightarrow$$ $$CD=32$$

Задание 5514

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 18, а сторона AC в 1,2 раза больше стороны BC.

Ответ: 15
Скрыть

1) Пусть $$BC=x$$ $$\Rightarrow$$ $$AC=1,2x$$;

2) $$BKPC$$ - вписан $$\Rightarrow$$ $$\angle KPC+ \angle KBC=180^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle APK=\angle ABC$$. Аналогично $$\angle AKP=\angle PCB$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup APK\sim \bigtriangleup ABC$$;

3) из п. 2: $$\frac{AK}{AC}=\frac{KP}{BC}$$ $$\Rightarrow$$ $$KP=\frac{AK\cdot BC}{AC}=\frac{18\cdot x}{1.2x}=15$$

Задание 5515

Окружность, вписанная в треугольник ABC , касается его сторон в точках M, K и P. Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP равны 49°, 69° и 62°.

Ответ: $$42^{\circ}$$
Скрыть

1) $$\angle PKM$$ - вписанный и опирается на $$\smile PM$$. Но и $$\angle PMB$$ опирается на эту же хорду (угол между хордой и касательной равен половине дуги, на которую опирается) $$\Rightarrow$$ $$\angle PMB=\angle PKM=62^{\circ}$$ аналогично $$\angle MPB=62^{\circ}$$, тогда $$\angle B=180^{\circ}-2\cdot 62^{\circ}=56^{\circ}$$

2) Аналогично п.1 : $$\angle A=180^{\circ}-2\cdot 49^{\circ}=82^{\circ}$$; $$\angle C=180^{\circ}-2\cdot 69^{\circ}=42^{\circ}$$

Задание 5516

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 15, AC = 25.

Ответ: 16
Скрыть

1) Пусть О - центр окружности. М - точка пересечения $$AC$$ и окружности.

2) По свойству касательной и секущей: $$AM\cdot AC=AB^{2}$$

Пусть $$M=x$$, тогда $$AM=25-x$$.

Получим: $$(25-x)\cdot25=15^{2}$$ $$\div25$$ $$\Rightarrow$$

$$25-x=9$$ $$\Rightarrow$$ $$x=16=CM$$ - диаметр

Задание 5517

В треугольнике ABC угол B равен 72°, угол C равен 63°, $$BC=2\sqrt{2}$$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Ответ: 2
Скрыть

1) $$\angle A=180^{\circ}-(\angle B-\angle C)=45^{\circ}$$

2) Пусть $$R$$ - радиус описанной окружности, тогда : $$\frac{BC}{\sin A}=2R$$ $$\Rightarrow$$ $$R=\frac{BC}{\sin A}=\frac{2\sqrt{2}}{2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}=2$$

Задание 6788

Хорда круга пересекает диаметр под углом 30 и делит его на части длиной 11 см и 55 см. Найдите расстояние от центра круга до хорды.

Ответ: 11
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) $$AB=AH+HB=66$$$$\Rightarrow$$ $$OA=OB=33$$(радиусы)

     2) $$OH=OB-HB=33-11=22$$

     3) из $$\Delta OHM$$: $$OM=OH*\sin OHM$$; $$OM=22*\frac{1}{2}=11$$

Задание 7667

Из точки А к окружности радиуса 7,5 проведены две касательные длиной 10. Найти расстояние от точки А до хорды, соединяющей точки касания

Ответ: 8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9027

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB=20, CD=48, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 24.

Ответ: 10
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9088

Отрезки AB и CB являются хордами окружности. Найдите длину хорды CB , если AB=24, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CB равны соответственно 16 и 12.

Ответ: 32
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10005

Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите АС, если диаметр окружности равен 15, а АВ = 4.
Ответ: 16
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10425

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB=16, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 15 и 8.

Ответ: 30
 

Задание 10983

Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как $$6:13:17$$. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 18.
Ответ: 18
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть Пусть дуги $$6x;13x;17x$$. Тогда $$6x+13x+17x=360\to x=10$$ т.е. дуги $$60^{\circ}; 130^{\circ}; 170^{\circ}$$. Пусть $$\angle C$$ опирается на дугу в $$60^{\circ}\to \angle C=30^{\circ}$$ (вписанный) $$\to AB=18, R=\frac{AB}{2\sin{C}}=\frac{18}{2\cdot \frac{1}{2}}=18$$
 

Задание 11044

Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 6:11:19. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 15.

Ответ: 15
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Углы A,B,C - вписанные, потому равны половинам соответствующих дуг, потому отношение углов 6:11:29.

2) Т.к. $$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ},$$ если $$\angle A=6x,$$ то: $$6x+11x+29x=180^{\circ}\to x=5\to \angle A=30^{\circ}.$$

3) Напротив меньшей стороны лежит меньший угол $$\to BC=15.  R=\frac{a}{2\sin{\alpha}}=\frac{BC}{2\sin{A}}=\frac{15}{2\cdot \frac{1}{2}}=15$$

 

Задание 11193

Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках К и Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если АР = 34, а сторона ВС в 2 раза меньше стороны АВ.

Ответ: 17
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11215

Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках К и Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если А К = 7, а сторона АС в 1,4 раза больше стороны ВС.

Ответ: 5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11444

Отрезки АВ и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если АВ=20, СВ=48, а расстояние от центра окружности до хорды АВ равно 24.

Ответ: 10
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11492

Отрезки АВ и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если АВ=24, а расстояния от центра окружности до хорд АВ и CD равны соответственно 16 и 12.

Ответ: 32
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13481

Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках К и Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если АР=34, а сторона ВС в 2 раза меньше стороны АВ.

Ответ: 17
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13821

Отрезки $$AB$$ и $$CD$$ являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды $$CD$$, если $$AB = 20$$, $$CD = 48$$, а расстояние от центра окружности до хорды $$AB$$ равно 24.

Ответ: 10
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13926

Отрезки АВ и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если АВ=24, а расстояния от центра окружности до хорд АВ и CD равны соответственно 16 и 12.

Ответ: 32
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14156

Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите диаметр окружности, если АВ=1, АС=5.

Ответ: 4,8