Перейти к основному содержанию

ОГЭ

(C4) Геометрическая задача на вычисление

Окружности

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10983

Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как $$6:13:17$$. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 18.
Ответ: 18
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть Пусть дуги $$6x;13x;17x$$. Тогда $$6x+13x+17x=360\to x=10$$ т.е. дуги $$60^{\circ}; 130^{\circ}; 170^{\circ}$$. Пусть $$\angle C$$ опирается на дугу в $$60^{\circ}\to \angle C=30^{\circ}$$ (вписанный) $$\to AB=18, R=\frac{AB}{2\sin{C}}=\frac{18}{2\cdot \frac{1}{2}}=18$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10425

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB=16, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 15 и 8.

Ответ: 30
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10005

Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите АС, если диаметр окружности равен 15, а АВ = 4.
Ответ: 16
Аналоги к этому заданию:

Задание 5517

В треугольнике ABC угол B равен 72°, угол C равен 63°, $$BC=2\sqrt{2}$$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Ответ: 2
Скрыть

1) $$\angle A=180^{\circ}-(\angle B-\angle C)=45^{\circ}$$

2) Пусть $$R$$ - радиус описанной окружности, тогда : $$\frac{BC}{\sin A}=2R$$ $$\Rightarrow$$ $$R=\frac{BC}{\sin A}=\frac{2\sqrt{2}}{2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}=2$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5516

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 15, AC = 25.

Ответ: 16
Скрыть

1) Пусть О - центр окружности. М - точка пересечения $$AC$$ и окружности.

2) По свойству касательной и секущей: $$AM\cdot AC=AB^{2}$$

Пусть $$M=x$$, тогда $$AM=25-x$$.

Получим: $$(25-x)\cdot25=15^{2}$$ $$\div25$$ $$\Rightarrow$$

$$25-x=9$$ $$\Rightarrow$$ $$x=16=CM$$ - диаметр

Аналоги к этому заданию:

Задание 5515

Окружность, вписанная в треугольник ABC , касается его сторон в точках M, K и P. Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP равны 49°, 69° и 62°.

Ответ: $$42^{\circ}$$
Скрыть

1) $$\angle PKM$$ - вписанный и опирается на $$\smile PM$$. Но и $$\angle PMB$$ опирается на эту же хорду (угол между хордой и касательной равен половине дуги, на которую опирается) $$\Rightarrow$$ $$\angle PMB=\angle PKM=62^{\circ}$$ аналогично $$\angle MPB=62^{\circ}$$, тогда $$\angle B=180^{\circ}-2\cdot 62^{\circ}=56^{\circ}$$

2) Аналогично п.1 : $$\angle A=180^{\circ}-2\cdot 49^{\circ}=82^{\circ}$$; $$\angle C=180^{\circ}-2\cdot 69^{\circ}=42^{\circ}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5514

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 18, а сторона AC в 1,2 раза больше стороны BC.

Ответ: 15
Скрыть

1) Пусть $$BC=x$$ $$\Rightarrow$$ $$AC=1,2x$$;

2) $$BKPC$$ - вписан $$\Rightarrow$$ $$\angle KPC+ \angle KBC=180^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle APK=\angle ABC$$. Аналогично $$\angle AKP=\angle PCB$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup APK\sim \bigtriangleup ABC$$;

3) из п. 2: $$\frac{AK}{AC}=\frac{KP}{BC}$$ $$\Rightarrow$$ $$KP=\frac{AK\cdot BC}{AC}=\frac{18\cdot x}{1.2x}=15$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5513

Отрезки АВ и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если АВ = 24, а расстояние от центра окружности до хорд АВ и CD равны соответственно 16 и 12.

Ответ: 32
Скрыть

1) Пусть О - центр окружности, $$OH\perp AB$$ и $$OM\perp CD$$;

2) $$OB=OA$$ - радиусы, $$OH$$ - общий катет $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup OHB=\bigtriangleup OHA$$ $$\Rightarrow$$ $$AH=HB=\frac{1}{2}AB=12$$;

3) $$OB=\sqrt{OH^{2}+HB^{2}}=20$$ (по т. Пифагора); $$OD=OB$$ - радиусы.

4) $$DM=\sqrt{OD^{2}-OM^{20}}=16$$ (по т. Пифагора);

5) $$DM=MC$$ (аналогично п. 2) $$\Rightarrow$$ $$CD=32$$