ОГЭ

←

(C5) Геометрическая задача на доказательство

Треугольники и их элементы

→

Задание 2929

Докажите, что если в треугольнике две высоты равны, то он равнобедренный.

Ответ:

Видео-решение Решение 1 Предложить свое решение / сообщить об ошибке

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Решение временно отсутствует, можете найти его в моем видео-разборе ( вначале варианта )

Задание 3019

Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

Ответ: ч.т.д.

Видео-решение Решение 1 Предложить свое решение / сообщить об ошибке

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

AH - медиана и биссектриса $$\Rightarrow$$ $$\angle HAC=\angle HAB$$; BH=HC и АН - общая.

По теореме косинусов:

$$\left.\begin{matrix}\frac{AH}{\sin C}=\frac{HC}{\sin HAC}\\\frac{AH}{\sin B}=\frac{HB}{\sin BAH}\end{matrix}\right\}$$

$$\Rightarrow \sin C=\sin B\Rightarrow \angle C=\angle B$$

ч.т.д.

Задание 2972

Докажите, что если у треугольника равны две высоты, то этот треугольник равнобедренный.

Ответ:

Видео-решение Решение 1 Предложить свое решение / сообщить об ошибке

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$CH=AM$$ $$\bigtriangleup BCH=\bigtriangleup AMB$$ ($$\angle B$$ - общий катеты равны) $$\Rightarrow$$ $$AB=BC$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ABC$$ - равнобедренный.

ч. т. д.

Задание 4803

Докажите, что сумма длин медиан треугольника меньше его периметра.

Ответ:

Видео-решение Решение 1 Предложить свое решение / сообщить об ошибке

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

На каждой стороне треугольника достроим параллелограмм, как показано на рисунке и введем обозначения: BC=a;AB=c;AC=b;CC₁=m_c;BB₁=m_b;AA₁=m_a

1) Рассмотрим параллелограм ACFB: AF - его диагональ (так как А1 - середина BC), тогда 2AA₁=AF; по свойству длин сторон треугольника AF<AC+CF, но СF=AB, и тогда получаем 2m_a<b+c или m_a<0,5(b+c)(1)

2) Аналогично рассматривая два других параллелограма и треугольники CBE и BCD, получаем m_с<0,5(a+b)(2) и m_b<0,5(a+c)(3) соответственно.

3) Сложим неравенства 1,2 и 3 и получим : m_a+m_b+m_c<0,5b+0,5c+0,5a+0,5b+0,5a+0,5c или m_a+m_b+m_c<a+b+c

ч.т.д.

Аналоги к этому заданию:

2671

Задание 4871

На высоте $$AD$$ треугольника $$ABC$$ взята точка $$N$$. Докажите, что $$AB^{2}-AC^{2}=NB^{2}-NC^{2}$$.

Ответ:

Видео-решение Решение 1 Предложить свое решение / сообщить об ошибке

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1)По теореме Пифагора из $$\bigtriangleup ABD ; \bigtriangleup ADC$$:

$$\left\{\begin{matrix}AB^{2}=DB^{2}+DA^{2}\\AC^{2}=DC^{2}+DA^{2}\end{matrix}\right.$$

Вычтем из первого второе и получим: $$AB^{2}-AC^{2}=DB^{2}-DC^{2}$$

2)По теореме Пифагора из $$\bigtriangleup BND ; \bigtriangleup CND$$:

$$\left\{\begin{matrix}NB^{2}=DB^{2}+DN^{2}\\NC^{2}=DC^{2}+DN^{2}\end{matrix}\right.$$

Вычтем из первого второе и получим: $$NB^{2}-NC^{2}=DB^{2}-DC^{2}$$

3)Из равенств пунктов 1 и 2 получаем: $$AB^{2}-AC^{2}=NB^{2}-NC^{2}$$

Задание 5041

В треугольнике $$ABC$$ угол $$ACB$$ тупой, $$BO\perp AC$$, $$OF\perp AB$$, $$OD\perp BC$$. Докажите, что $$\angle ACB=\angle DFB$$.

Ответ:

Видео-решение Решение 1 Предложить свое решение / сообщить об ошибке

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть $$\angle A=\alpha$$; $$\angle B=\beta$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle ACB=180-\angle\alpha-\angle\beta$$

1) $$\angle BCO=180-\angle C=\alpha+\beta$$ $$\Rightarrow$$ из $$\bigtriangleup OCB$$: $$\angle CBO=90^{\circ}-\angle BCO=90^{\circ}-\alpha-\beta$$

2) $$\bigtriangleup ODN\sim\bigtriangleup FNB$$ (прямоугольные); $$\angle DNO=\angle FNB$$ (как вертикал.); $$\Rightarrow$$ $$\frac{ON}{NB}=\frac{DN}{FN}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{ON}{DN}=\frac{NB}{NF}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle DFN=\angle NBO=90^{\circ}-\alpha-\beta$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle DFB=90^{\circ}+90^{\circ}-\alpha-\beta=180^{\circ}-\alpha-\beta=\angle ACB$$

ч.т.д.

Задание 5088

Докажите, что если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Ответ:

Видео-решение Решение 1 Предложить свое решение / сообщить об ошибке

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть $$BH\perp AC$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ABH\sim\bigtriangleup BHC$$ по 2 углам, но т.к. $$BH$$ - общая ,то $$\bigtriangleup ABH=\bigtriangleup BHC$$ $$\Rightarrow$$ $$AB=BC$$

ч.т.д.

Задание 5175

Докажите, что в прямоугольном треугольнике сумма катетов равна сумме диаметров вписанной и описанной окружностей.

Ответ:

Видео-решение Предложить свое решение / сообщить об ошибке

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Задание 5559

Докажите, что медиана треугольника делит его на два треугольника, площади которых равны между собой.

Ответ: ч.т.д.

Решение 1 Предложить свое решение / сообщить об ошибке

Скрыть

1) Пусть дан $$\bigtriangleup ABC$$, $$CM$$ - медиана $$\Rightarrow$$ $$AM=MB$$ ($$\star$$)

2) Пусть $$CH\perp AB$$, тогда $$S_{AMC}=\frac{1}{2}AM\cdot CH$$; $$S_{CMB}=\frac{1}{2}MB\cdot CH$$ с учетом ($$\star$$): $$S_{AMC}=S_{CMB}$$

Аналоги к этому заданию:

14981

11260

Задание 5562

На стороне $$AC$$ треугольника $$ABC$$ выбраны точки $$D$$ и $$E$$ так, что отрезки $$AD$$ и $$CE$$ равны. Оказалось, что углы $$ADB$$ и $$BEC$$ тоже равны. Докажите, что треугольник $$ABC$$ — равнобедренный.

Ответ:

Предложить свое решение / сообщить об ошибке

Скрыть

Задание 5563

Окружность касается стороны $$AB$$ треугольника $$ABC$$, у которого $$\angle C=90^{\circ}$$, и продолжений его сторон $$AC$$ и $$BC$$ за точки $$A$$ и $$B$$ соответственно. Докажите, что периметр треугольника $$ABC$$ равен диаметру этой окружности.

Ответ:

Предложить свое решение / сообщить об ошибке

Скрыть