Перейти к основному содержанию

ОГЭ

(C5) Геометрическая задача на доказательство

Треугольники и их элементы

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 13927

Высоты BB1и СС1остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Е. Докажите, что углы ВВ1С1и ВСС1равны.

Ответ: ч.т.д.
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 13864

Докажите, что биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника равны.

Ответ: ч.т.д.
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 13822

Высоты ВВ1и CC1остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Е. Докажите, что углы СС1В1 и СВВ1равны.

Ответ: ч.т.д.
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 13678

В треугольнике ABC известны длины сторон AB=36, AC=48, точка O - центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

Ответ: 21
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 13677

На медиане KF треугольника MPK отмечена точка E. Докажите, что если EM=EP, то KM=KP.

Ответ: ч.т.д.
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 13527

На стороне AC треугольника ABC отмечены точки D и E так, что AD=CE. Докажите, что если BD=BE, то AB=BC.

Ответ: ч.т.д.
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 13505

В треугольнике АВС с тупым углом ВАС проведены высоты ВВ1и CC1Докажите, что треугольники АВ1С1и АВС подобны.

Ответ: ч.т.д.
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 13482

В треугольнике АВС с тупым углом АВС проведены высоты АА1и CC1Докажите, что треугольники А1ВС1и АВС подобны.

Ответ: ч.т.д.
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 13247

В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон AB, BC, CA соответственно. Докажите, что треугольник MNK — равносторонний.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 13095

В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА1и ВВ1. Докажите, что углы ВВ1А1  и ВАА1  равны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 13072

В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА1и CC1Докажите, что углы СС1А1  и САА1равны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 13051

В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы DAC и DBC равны. Докажите, что углы CDB и САВ также равны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11692

В треугольнике АВС биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 12. Найдите стороны треугольника АВС.

Ответ: $$3\sqrt{13};6\sqrt{13};9\sqrt{5}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11605

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и CC1. Докажите, что углы CC1A1 и CAA1равны.

Ответ: ч.т.д.
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11493

Высоты ВВ1и СС1остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Е. Докажите, что углы ВВ1С1и ВСС1равны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11445

Высоты ВВ1и СС1остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Е. Докажите, что углы СС1В1и СВВ1  равны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11302

Сторона АВ параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AD. Точка К — середина стороны АВ. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11260

На стороне AC треугольника ABC выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны. Точка E лежит между точками A и D. Оказалось, что углы AEB и BDC тоже равны. Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11216

В треугольнике АВС с тупым углом ВАС проведены высоты ВВ1 и СС1 Докажите, что треугольники АВ1С1 и АВС подобны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11194

В треугольнике АВС с тупым углом АВС проведены высоты АА1 и СС1 Докажите, что треугольники А1ВС1 и АВС подобны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11068

Два равных прямоугольника $$ABCO$$ и $$KLMO$$ имеют общую вершину $$O,$$ причём $$AO=OM$$ и $$OC=OK.$$ Докажите, что площади треугольников $$AOK,\ COM$$ равны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть $$\angle AOK=\alpha \to \angle COM=360-2\cdot 90-\alpha =180-\alpha \to {\sin AOK\ }={\sin COM\ }.$$ $$S_{\triangle AOK}=\frac{AO\cdot OK\cdot {\sin AOK\ }}{2};\ S_{\triangle COM}=\frac{OC\cdot OM\cdot {\sin COM\ }}{2},$$ но $$AO=OM;OC=OK\to S_{AOK}=S_{COM}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9738

В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K – середины сторон AB , BC, CA соответственно. Докажите, что BMKN – ромб.

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9447

В треугольнике ABC известны длины сторон AB=28, AC=56 , точка O - центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

Ответ: 42
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9289

В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA1 и BB1 . Докажите, что треугольники A1CB и ACB подобны.

Ответ: ч.т.д.
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9222

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны.

Ответ: ч.т.д.
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9089

Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы BB1C1 и BCC1 равны.

Ответ: ч.т.д.
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9028

Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы CC1B1 и CBB1 равны.

Ответ: ч.т.д.
Аналоги к этому заданию:

Задание 5572

Высоты AA1 и BB1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы AA1B1 и ABB1 равны.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5571

В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK — равносторонний.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5570

На стороне AC треугольника ABC отмечены точки D и E так, что AD=CE . Докажите, что если BD=BE, то AB=BC.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5569

На медиане KF треугольника MPK отмечена точка E. Докажите, что если EM=EP, то KM=KP .

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5568

Докажите, что биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника равны

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5567

Два равносторонних треугольника имеют общую вершину. Докажите, что отмеченные на рисунке отрезки AB и CD равны.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5566

Два равных прямоугольника имеют общую вершину O(см. рис.). Докажите, что площади треугольников AOK и COM равны.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5565

Докажите, что у равных треугольников ABC и A1B1C1 биссектрисы, проведённые из вершины A и A1, равны.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5564

В треугольнике ABC угол B равен 36°,AB=BC, AD — биссектриса. Докажите, что треугольник ABD — равнобедренный.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5563

Окружность касается стороны AB треугольника ABC, у которого ∠ C = 90°, и продолжений его сторон AC и BC за точки A и B соответственно. Докажите, что периметр треугольника ABC равен диаметру этой окружности.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5562

На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что углы АDB и BEC тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5561

В остроугольном треугольнике ABC точки A, C, центр описанной окружности O и центр вписанной окружности I лежат на одной окружности. Докажите, что угол ABC равен 60°.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5560

В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60° . Докажите, что точки A, C, центр описанной окружности треугольника ABC и центр вписанной окружности треугольника ABC лежат на одной окружности.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

1) $$O$$ - центр описанной окружности $$\Rightarrow$$ $$\angle AOC=2\angle ABC=120^{\circ}$$ (вписанный и центральный углы)

2) $$\angle A+\angle C=180^{\circ}-\angle B=120^{\circ}$$; $$\angle IAC=\frac{\angle A}{2}$$; $$\angle ICA=\frac{\angle C}{2}$$ ($$I$$ - центр вписанной $$\Rightarrow$$ $$AI$$ и $$CI$$ - биссектрисы) $$\Rightarrow$$ $$\angle IAC+\angle ICA=\frac{\angle A+\angle C}{2}=60^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle AIC=120^{\circ}$$

3) из п.1 и п.2: $$\angle AOC=\angle AIC$$ (они опираются на одну сторону $$AC$$) $$\Rightarrow$$ $$AOIC$$ - вписанный четырехугольник.

Аналоги к этому заданию:

Задание 5559

Докажите, что медиана треугольника делит его на два треугольника, площади которых равны между собой.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

1) Пусть дан $$\bigtriangleup ABC$$, $$CM$$ - медиана $$\Rightarrow$$ $$AM=MB$$ ($$\star$$)

2) Пусть $$CH\perp AB$$, тогда $$S_{AMC}=\frac{1}{2}AM\cdot CH$$; $$S_{CMB}=\frac{1}{2}MB\cdot CH$$ с учетом ($$\star$$): $$S_{AMC}=S_{CMB}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5557

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1и BB1. Докажите, что углы AA1B1 и ABB1 равны

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

1) Пусть $$AA_{1}\cap BB_{1}=M$$, тогда $$\angle B_{1}MA=\angle A_{1}MB$$ (вертикальные)

2) $$\angle AB_{1}M=\angle MA_{1}B=90^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup AMB_{1}\sim\bigtriangleup A_{1}MB$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{B_{1}M}{A_{1}M}=\frac{AM}{MB}$$ ($$\ast$$)

3) $$\angle B_{1}MA_{1}=\angle AMB$$ (вертикальные), с учетом ($$\ast$$) $$\bigtriangleup B_{1}MA_{1}\sim\bigtriangleup AMB$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle B_{1}A_{1}M=\angle MBA$$