Перейти к основному содержанию

ОГЭ

(C3) Функции и их свойства. Графики функций

Разные задачи

Задание 2669

Известно, что графики функций y=x2+p и y=2x-5 имеют ровно одну общую точку. Определите координаты этой точки. Постройте графики заданных функций в одной системе координат.

Ответ: (1; -3)
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$y=x^{2}+p$$

$$y=2x-5$$

$$x^{2}+p=2x-5$$  имеет одно решение, т.к. D=0

$$x^{2}-2x+5+p=0$$

$$D=4-4(5+p)=0$$

$$\Rightarrow p=-4\Rightarrow x=1 y=-3$$

Задание 2927

Постройте график функции $$y=\frac{(x-9)(x^{2}-9)}{x^{2}-6x-27}$$ и определите, при каких значениях k построенный график не будет иметь общих точек с прямой у=kх.

Ответ: 1 ; 2/3 ; 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Решение временно отсутствует, можете найти его в моем видео-разборе ( вначале варианта )

Задание 3141

Найдите все значения k, при каждом из которых прямая y= kx - 1 имеет с графиком функции y=x2-4x+3 ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые.

Ответ: -8;0
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Текстовое решение временно недоступно, вы можете найти его в видео в начале варианта

Задание 3273

Найдите  все  значения  а,  при  каждом  из  которых  уравнение $$|3x+2|+|3x-2|=ax+4$$ имеет ровно два решения. 

Ответ: $$a\in(-6;0)\cup(0;6)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть $$f(x)=|3x+2|+|3x-2|$$

$$g(x)=ax+4$$

$$3x+2$$

$$3x-2$$

$$x<-\frac{2}{3}$$ $$\Rightarrow$$ $$f(x)=-3x-2-3x+2=-6x$$

$$x\in [-\frac{2}{3};\frac{2}{3}]\Rightarrow f(x)=3x+2-3x+2=4$$

$$x\geq \frac{2}{3}\Rightarrow f(x)=3x+2+3x-2=6x$$

$$g(x)=ax+4$$ при $$a\in(-6;0)\cup(0;6)$$

Задание 4869

Постройте график функции $$y=\frac{(\sqrt{x^{2}-5x+6})^{2}}{x-3}$$ и найдите все значения а при которых прямая $$y=a$$ не имеет с графиком ни одной общей

Ответ: $$a \in (0;1]$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
Напишем ОДЗ (так как есть корень четной степени и переменная в знаменателе):
$$\left\{\begin{matrix}x^{2}-5x+6\geq 0\\ x-3\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}x\geq 3\\ x\leq 2\\ x\neq 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$x\in (-\infty ;2]\cup (3;+\infty )$$
Упростим выражение:
$$\frac{(\sqrt{x^{2}-5x+6})^{2}}{x-3}=\frac{(x-3)(x-2)}{x-3}=x-2$$
То есть график функции $$y=x-2$$ совпадает с графиком функции первоначальной при учете применения ОДЗ. Построим это график.
Прямая $$y=a$$ - это прямая, параллельная оси Ох, проходящая через ординату y. Как видим по рисунку, при $$a \in (0;1]$$ пересечения с графиком не будет

Задание 5086

Постройте график функции $$y=\frac{(x^{2}-4)(x-4)}{x^{2}-2x-8}$$ и определите, при каких значениях $$k$$ построенный график не будет иметь общих точек с прямой $$y=kx$$

Ответ: $$0,5;1;2$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
ОДЗ:$$x^{2}-2x-8 \neq 0 \Leftrightarrow$$$$x \neq -2 ; x \neq 4$$
Выполним преобразования:
$$f(x)=\frac{(x^{2}-4)(x-4)}{x^{2}-2x-8}=$$$$\frac{(x-2)(x+2)(x-4)}{(x+2)(x-4)}=x-2$$
То есть график функции f(x) при наличии ОДЗ будет совпадать с первоначальным графиком. Начертим его:
Прямая $$y=kx$$ - проходит через начало координат, чтобы не было пересечений с графиком функции $$f(x)$$ есть три различных варианта:
1) Проходит через пустую точку (-2;-4), тогда: $$-4=-2*k \Leftrightarrow k=2$$
2) Проходит через пустую точку (4;2), тогда: $$2=4*k \Leftrightarrow k=0,5$$
3) Параллельна графику функции $$f(x)$$, тогда коэфициенты при х (k) у них должны совпадать, то есть $$k=1$$
 

Задание 5319

Постройте график функции $$y=\frac{(x-4)(x^{2}-4)}{x^{2}-6x+8}$$ и определите, при каких значениях k построенный график не будет иметь общих точек с прямой у=kx

Ответ: 1 ; 1,5 ; 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Найдем область определения заданной функции: $$x^{2}-6x+8 \neq 0 \Leftrightarrow $$$$x_{1} \neq 2 ; 4$$

Преобразуем данную функцию с учетом полученной области определения: $$\frac{(x-4)(x^{2}-4)}{x^{2}-6x+8}=$$$$\frac{(x-4)(x-2)(x+2)}{(x-4)(x-2)}=x+2$$. То есть график функции $$y=x+2$$ совпадает с графиком начальной функции при наличии области ее определения.

Получаем, что точки (2;4) и (4;6) пустые, следовательно, чтобы прямая y=kx не имела с графиком пересечений, она должна пройти через эти точки. Подставим их координаты в уравнение прямой, чтобы найти k:

$$4=2k \Leftrightarrow$$$$k=2$$

$$6=4k \Leftrightarrow$$$$k=1,5$$

Так же прямая не будет иметь пересечений, если она будет параллельна графику начальной функции. Две прямые $$y_{1}=k_{1}x+b_{1}$$ и $$y_{2}=k_{2}x+b_{2}$$ параллельны в том случае, если коэффициенты при х у них одинаковы ($$k_{1}=k_{2}$$, а свободные - разные ($$b_{1} \neq b_{2}$$). То есть k=1 тоже будет ответом.

Задание 6259

Постройте график функции $$y=\frac{(x-5)(x^{2}-16)}{x^{2}-x-20}$$ и определите, при каких значениях k построенный график не будет иметь общих точек с прямой $$y=kx$$ .

Ответ: 0,2;1;2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   $$y=\frac{(x-5)(x^{2}-16)}{x^{2}-x-20}$$

Найдем область определения. Так как есть знаменатель, то он не равен нулю:

$$x^{2}-x-20\neq 0$$

$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}\neq 1 \\x_{1}*x_{2}\neq -20 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}\neq -4 \\x_{2}=5 \end{matrix}\right.$$

   Воспользуемся формулой: $$ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})$$:

$$y=\frac{(x-5)(x-4)(x+4)}{(x+4)(x-5)}=x-4$$

   Не будет иметь если $$y=kx$$ пройдет через точку (5;1) или (-4;-8), а так же если будет параллельна:

1)$$1=5*k\Rightarrow k=0,2$$

2) $$-8=(-4)k\Rightarrow k=2$$

3) Прямые параллельны, если их коэффициенты при х равны. То есть прямая $$y=kx$$ параллельна $$y=x-4$$ при $$k=1$$

Задание 6551

Постройте график функции $$y=|x+3|+|x-3|$$ и найдите все значения а, при которых прямая $$y=ax+6$$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: $$(-2;0)\cup (0;2)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Раскроем модуль:

$$x\leq -3\Leftrightarrow y=-x-3-x+3=-2x$$

$$x \in (-3, 3]\Leftrightarrow y=x+3-x+3=6$$

$$x>3\Rightarrow y=x+3+x-3=2x$$

     Начертим график:

     Видим, что две точки пересечения будут в том случае, если прямая лежит в первой четверти при $$a\in(0;2)$$ (от момента, когда она будет параллельна оси Ох, до момента, когда она будет параллельна прямой $$y=2x$$) и, если прямая лежит во второй четверти при $$a\in(-2;0)$$ (от момента, когда она будет параллельна $$y=-2x$$, до момента, когда она будет параллельна оси Ох): $$a \in (-2;0)\cup (0;2)$$

Задание 6598

Постройте график функции $$y=\left\{\begin{matrix}-x^{2}, |x|\leq 1\\-\frac{1}{\left | x \right |}, |x|>1\end{matrix}\right.$$ и определите, при каких значениях c прямая y=c будет иметь с графиком ровно две общие точки

Ответ: 1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Рассмотрим график функции $$y=-x^{2}$$ с учетом того, что $$-1 \leq x \leq 1$$: это парабола, ветви вниз, вершина в начале координат (черным отмечена часть графика, с учетом ограничений)

      Рассмотрим график функции $$y=-\frac{1}{\left | x \right |}$$ с учетом, что $$x \in (-\infty; 1)\cup (1;+\infty)$$: без модуля была бы гипербола, располагающаяся во второй и четвертой координатной четвертях, с учетом модуля левая ее ветвь отобразится относительно оХ (черным выделена часть, с учетом ограничений по х):

Объеденим графики:

     Как видим, две точки пересечения прямая будет иметь в том случае, когда c=1

Задание 6713

Постройте график функции $$y=|x-4|+|x+4|$$ и найдите все значения k , при которых прямая $$y=kx$$ имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.

Ответ: $$(-\infty ;-2)\cup [0;+\infty )$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Рассмотрим раскрытие модулей:

$$\left\{\begin{matrix}x\leq -4, y=-x+4-(-x-4)=8\\x \in (-4,4)(1), y =-x+4-(x+4)=-2x-8\\x\geq 4(2), y=x-4-(x+4)=-8(3)\end{matrix}\right.$$

Построим график данной кусочной функции:

Как видим, одна точка пересечения у графика будет в случае: $$k \in (-\infty ;-2)\cup [0;+\infty )$$

Задание 7088

Постройте график функции $$\left\{\begin{matrix}-x^{2}, |x|\leq 2\\ \frac{8}{x},|x|>1\end{matrix}\right.$$ и определите, при каких значениях а прямая y=а будет иметь с графиком ровно одну общую точку

Ответ: [0;4)
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Построим график функции $$y=-x^{2}$$ и оставим часть при $$\left | x \right |\leq 2(x \in [-2 ;2])$$.

Построим $$y=\frac{8}{x}$$ при $$x \in (-\infty ;-2)\cup (2; +\infty )$$

1 общая точка при $$a \in [0 ; 4)$$

 

Задание 7278

Постройте график функции $$y=|2|x|-6|$$ и найдите все значения а при которых прямая $$y=a$$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Ответ: 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Раскроем внутренний модель : $$\left\{\begin{matrix}y=\left | 2x-6 \right |,x>0(1)\\y=\left | -2x-6 \right |, x<0 (2)\end{matrix}\right.$$

     1) Если $$2x-6\geq 0$$ (или $$x\geq 3$$), то $$y=2x-6$$ ,если $$x<3$$, то $$y=-2x+6$$

     2) Если $$-2x-6\geq 0\Leftrightarrow$$ $$x\leq -3$$, то $$y=-2x-6$$, если $$x\geq -3$$, то $$y=2x+6$$

Тогда получим следующую совокупность :

$$\left[\begin{matrix}\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x\geq 3 & & \\y=2x-6 & &\end{matrix}\right. & & \\\left\{\begin{matrix}0\leq x<3 & & \\y=-2x+6& &\end{matrix}\right.& &\end{matrix}\right. & & \\\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x\leq -3 & & \\y=-2x-6& &\end{matrix}\right. & & \\\left\{\begin{matrix}-3<x<0 & & \\y=2x+6& &\end{matrix}\right. & &\end{matrix}\right.& &\end{matrix}\right.$$

     Прямая y=a имеет с графиком 3 общие точки при a=6

Задание 7394

Постройте график функции $$\left\{\begin{matrix}y=|x-2|,x\leq 0\\ -x^{2}+4x+2,x>0\end{matrix}\right.$$ и определите, при каких значениях а прямая y=a имеет с графиком ровно две общие точки

Ответ: 2;6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7617

При каких значениях а число корней уравнения $$||x^{2}-2x|-7|=a$$ в четыре раза больше а?

Ответ: 1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7666

Постройте график функции $$y=\frac{(\sqrt{x^{2}-5x+6})^{2}}{x-2}$$ и найдите все значения а при которых прямая у=а не имеет с графиком ни одной общей точки.

Ответ: $$[-1;0)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 8476

Постройте график функции $$y=\left\{\begin{matrix}x^{2}+4x,x<1\\ \frac{5}{x},x\geq 1\end{matrix}\right.$$. Найдите все значения m, при каждом из которых прямая $$y=m$$ имеет с графиком функции ровно три общие точки.

Ответ: (0;5)
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 8632

При каком значении p прямая $$y=x+p$$ имеет с параболой $$y=x^{2}-3x$$ ровно одну общую точку? Постройте в одной системе координат данную параболу и прямую при найденном значении p.

Ответ: -4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 9710

Постройте график функции $$y=\frac{(\sqrt{x^{2}+3x})^{2}}{x}$$. Определите, при каких значениях m прямая y=m не имеет с графиком функции общих точек.

Ответ: $$(0;3]$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9831

Постройте график функции $$y=\frac{(\sqrt{x^{2}+3x})^{2}}{x}$$. Определите, при каких значениях m прямая y= m не имеет с графиком функции общих точек.

Ответ: (0;3]
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10243

Постройте график функции $$y=\frac{(x-9)(x^{2}-9)}{x^{2}-6x-27}$$. Найдите, при каких значениях прямая x не имеет с графиком функции общих точек

Ответ: 1;2;2/3
Скрыть Не забудьте про значение коэффициента 1!!!! В таком случае прямые параллельны и тоже не имеют общих точек, в видео не указал
 

Задание 10373

Первая прямая проходит через точки (0; 4,5) и (3; 6). Вторая прямая проходит через точки (1; 2) и (-4;7). Найдите координаты общей точки этих двух прямых.

Ответ: (-1;4)
 

Задание 10959

При каких значениях параметра $$a$$ прямая $$y=ax-4$$ имеет с параболой $$y=x^2+3x$$ ровно одну общую точку? Постройте данные графики в одной системе координат.
Ответ: -1; 7
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть Приравняем функции: $$ax-4=x^2+3x\leftrightarrow x^2+x\left(3-a\right)+4=0$$. Раз одна общая точка, то решение одно, т.е. $$D=0$$: $${\left(3-a\right)}^2-4\cdot 4=0\leftrightarrow {\left(3-a\right)}^2=16\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} 3-a=4 \\ 3-a=-4 \end{array} \right.\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} a=-1 \\ a=7 \end{array} \right.$$.
 

Задание 12938

Первая прямая проходит через точки $$(0;4,5)$$ и $$(3;6)$$. Вторая прямая проходит через точки $$(1;2)$$ и $$(-4;7)$$. Найдите координаты общей точки этих двух прямых.

Ответ: $$(-1;4)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13049

Постройте график функции

$$y=\left\{\begin{matrix} x^{2}-6x+6, x\geq 2\\ x-3, x<2 \end{matrix}\right.$$

Определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: -3; -2<m<-1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13137

Постройте график функции $$y=\frac{(x-9)(x^{2}-9)}{x^{2}-6x-27}$$ и найдите все значения k, при каждом из которых прямая y = kx не имеет с графиком данной функции ни одной общей точки.

Ответ: 2/3;1;2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13356

Найдите наибольшее значение выражения $$\frac{x^{3}-y}{x^{2}+1}-\frac{x^{2}y-x}{x^{2}+1}$$ , если x и y связаны соотношением $$y=x^{2}+x-4$$.

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13607

Прямая $$y=2x+b$$ касается окружности $$x^{2}+y^{2}=5$$ в точке с положительной абсциссой. Определите координаты точки касания.

Ответ: (2;-1)
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13820

Постройте график функции $$y=\left\{\begin{matrix} x^2+2,x\geq-2\\ -\frac{6}{x}, x<-2 \end{matrix}\right.$$ Определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: $$0<m<2;m>6$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!