ОГЭ
Задание 6639
В треугольнике АВС углы А и С равны 32° и 68° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.
1) $$\angle B=180-(\angle A+\angle \angle C)=80$$
2) $$\angle DBC=\frac{1}{2}\angle B=40$$(DB - биссектриса)
3) $$\angle HBC=90-\angle C=22$$($$\Delta BHC$$ - прямоугольный)
4) $$\angle DBH=\angle DBC-\angle HBC=18$$
Задание 1908
В треугольнике ABC известно, что AC=14, $$BC=\sqrt{165}$$, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы, тогда по теореме Пифагора: $$AB=\sqrt{AC^{2}+CB^{2}}=\sqrt{361}=19$$, тогда радиус описанной окружности составляет 9,5
Задание 1907
Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 23°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.
По свойству суммы острых углов прямоугольного треугольника второй острый угол будет равен: $$90-23=67^{\circ}$$
Задание 1906
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 12 и 13.
По теореме Пифагора найдем второй катет: $$\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5$$
Найдем площадь прямоугольного треугольника как половину произведения длин его катетов :$$\frac{1}{2}*12*5=30$$
Задание 1904
В прямоугольном треугольнике ABC катет AC равен 35, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна $$14\sqrt{6}$$. Найдите $$\sin\angle ABC$$.
По свойству высоты прямоугольного треугольника, опущенной из прямого угла: $$\angle ACH=\angle ABC$$
Тогда из треугольника ACH: $$\cos ACH=\frac{CH}{AC}=\frac{14\sqrt{6}}{35}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$$
По основному тригонометрическому тождеству: $$\sin ACH=\sqrt{1-\cos^{2} ACH}=\sqrt{\frac{24}{25}}=\frac{1}{5}$$.
Задание 1903
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 6, AC = 24.
Из подобия треугольников BHA и ABC (по свойтсву высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла): $$\frac{HA}{AB}=\frac{AB}{AC}\Leftrightarrow$$$$AB=\sqrt{HA*AC}=12$$
Задание 1902
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=12, $$\tan A=\frac{2\sqrt{10}}{3}$$. Найдите AB.
Из определения тангенса угла: $$CB=AC*tg A=8\sqrt{10}$$
По теореме Пифагора: $$AB=\sqrt{AC^{2}+CB^{2}}=\sqrt{144+640}=28$$
Задание 1901
Площадь прямоугольного треугольника равна $$32\sqrt{3}$$. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы.
Пусть катет, лежащий напротив угла в 30 градусов равен х, тогда по свойству катета, лежащего напротив угла в 30 градусов, гипотенуза равна 2х.
По теореме Пифагора третий катет будет равен: $$\sqrt{(2x)^{2}-x^{2}}=\sqrt{3}x$$
Распишем площадь треугольника как половину произведения его катетов:$$\frac{1}{2}x*\sqrt{3}x=32\sqrt{3}\Leftrightarrow$$$$x^{2}=64\Leftrightarrow$$$$x=8$$, тогда гипотенуза составит $$2*8=16$$
Задание 1900
Катеты прямоугольного треугольника равны $$\sqrt{15}$$ и 1. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.
Найдем гипотенузу по теореме Пифагора: $$\sqrt{(\sqrt{15})^{2}+1^{2}}=4$$
Напротив меньшей стороны лежит меньший угол, то есть меньший угол лежит напротив катета, равного 1, тогда $$\sin \alpha=\frac{1}{4}=0,25$$
Задание 1899
Катеты прямоугольного треугольника равны 35 и 120. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.
Найдем гипотенузу треугольника по теореме Пифагора: $$\sqrt{35^{2}+120^{2}}=125$$
Высоту прямоугольного треугольника, опущенного из прямого угла можно выразить как: $$h=\frac{ab}{c}$$, где a,b - катеты, с - гипотенуза, тогда $$h=\frac{35*120}{125}=33,6$$
Задание 1898
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 20, $$\tan A=0,5$$. Найдите AC.
Из определения тангенса угла: $$AC=\frac{BC}{tg A}=\frac{20}{0,5}=40$$
Задание 1897
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 20, tgA = 0,5. Найдите BC.
По определению тангенса: $$CB=AC*tg A=20*0,5=10$$
Задание 1896
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=12, $$\sin A=\frac{4}{11}$$. Найдите AB.
По определению синуса: $$AB=\frac{BC}{\sin A}=\frac{12}{\frac{4}{11}}=33$$
Задание 1895
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=15, $$\cos A=\frac{5}{7}$$. Найдите AB.
По определению косинуса: $$AB=\frac{AC}{\cos A}=\frac{15}{\frac{5}{7}}=21$$
Задание 1894
Два острых угла прямоугольного треугольника относятся как 4:5. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.
Пусть меньший угол равен 4х, тогда больший - 5х. По свойству суммы острых углов прямоугольного треугольника: $$4x+5x=90\Leftrightarrow$$$$x=10$$, тогда больший угол $$5*10=50^{\circ}$$
Задание 1892
Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Так как одна из сторон проходит через диаметр окружности, тогда угол, противолежащий этой стороне равен $$90^{\circ}$$ по свойству вписанного угла
Задание 1889
В треугольнике два угла равны 54° и 58°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.
По свойству суммы углов треугольника: $$\angle 3=180^{\circ}-\angle 2-\angle 1$$, тогда $$\angle 3=180-54-58=68^{\circ}$$
Задание 1887
На прямой AB взята точка M. Луч MD — биссектриса угла CMB. Известно, что ∠DMC = 60°. Найдите угол CMA. Ответ дайте в градусах.
Задание 1886
Найдите величину угла AOK, если OK — биссектриса угла AOD, ∠AOB = 64°. Ответ дайте в градусах.
По свойству смежных углов: $$\angle AOD=180-\angle AOB=116^{\circ}$$
По свойству биссеткрисы: $$\angle AOK=\frac{\angle AOD}{2}=58^{\circ}$$
Задание 1884
Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1 = 22°, ∠2 = 72°. Ответ дайте в градусах.
Вертикальный угол для $$\angle 3$$ составляет с углами 1 и 2 по свойству смежных углов 180 градусов, тогда $$\angle 3=180-(\angle 1+\angle 2)=86^{\circ}$$
Задание 1883
Диагональ прямоугольника образует угол 51° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
Пусть $$\angle EDH=51^{\circ}$$, по свойству диагоналей прямоугольника $$\angle DEH=\angle EDH$$, следовательно, из треугольника EHD по свойству суммы углов треугольника $$\angle EHD=180-2*51=78^{\circ}$$.
Причечание: при пересечении двух прямых получается две пары равных вертикальных углов, при нахождении угла между прямыми из них всегда выбирается острый, потому искать угол DHG нет смысла
Задание 1882
На плоскости даны четыре прямые. Известно, что $$\angle 1=120^{\circ}$$, $$\angle 2=60^{\circ}$$, $$\angle 3=55^{\circ}$$. Найдите $$\angle 4$$. Ответ дайте в градусах.
По свойству вертиикальных углов $$\angle 2=\angle LMK$$, но $$\angle 1+\angle LMK=120+60=180$$, следовательно, так как они являются односторонними, то прямые параллельны. Следовательно, $$\angle 3+\angle 4=180\Leftrightarrow$$$$\angle 4=180-125=55^{\circ}$$, так как так же являются односторонними.
Задание 1879
Биссектрисы углов N и M треугольника MNP пересекаются в точке A. Найдите $$\angle NAM$$, если $$\angle N=84^{\circ}$$, а $$\angle M=42^{\circ}$$.
По свойству биссетрис: $$\angle NMB=\frac{1}{2}\angle M=21^{\circ}$$ и $$\angle MNK=\frac{1}{2}\angle N=42^{\circ}$$
По свойству суммы углов треугольника из треугольника NAM: $$\angle NAM=180-\angle NMB -\angle MNK=117^{\circ}$$
Задание 1878
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC, сторона AB равна 66, сторона BC равна 37, сторонa AC равна 74. Найдите MN.
Так как M и N середины сторон, то отрезок MN является средней линией, которая, в свою очередь равна половине стороны, которой она параллельна, то есть AC, тогда MN=0,5AC=37
Задание 1877
В треугольнике два угла равны 43° и 88°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.
По свойству углов треугольника: $$\angle 3=180-\angle 1 -\angle 2=180-43-88=49^{\circ}$$
Задание 1875
Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 65° и 85°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 14.
По свойству углов треугольника: $$\angle A=180-\angle B -\angle C=180-85-65=30^{\circ}$$
По теореме синусов: $$BC=2R*\sin A$$, где R - радиус описанной окружности около треугольника ABC, тогда $$BC=2*14*\sin 30^{\circ}=14$$
Задание 1874
В треугольнике ABC BM — медиана и BH – высота. Известно, что AC = 216, HC = 54 и ∠ACB = 40°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.
Задание 1873
В треугольнике ABC AB = BC, а высота AH делит сторону BC на отрезки BH = 64 и CH = 16. Найдите cos B.
Задание 1872
В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна $$20\sqrt{3}$$,а сторона AB равна 40. Найдите $$\cos B$$.
Из прямоугольного треугольника ABH: $$\cos B=\frac{BH}{AB}$$, по теореме Пифагора: $$BH=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=\sqrt{1600-400*3}=20$$, тогда $$\cos B=\frac{20}{40}=0,5$$
Задание 1871
В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH . Известно, что AC = 84 и BC = BM. Найдите AH.
Треугольник BMC - равнобедренный, следовательно, по свойству высоты равнобедренного треугольника BH - медиана, и $$MH=HC=\frac{1}{2}MC$$
BM - медиана в треугольнике ABC, следовательно, $$AM=MC=\frac{1}{2}AC$$, тогда $$MH=\frac{1}{2}AM=\frac{1}{4}AC$$, то есть $$AH=\frac{3}{4}AC=63$$
Задание 1870
В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 112°, угол ABC равен 106°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Задание 1869
У треугольника со сторонами 16 и 2 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?
Из формулы площади треугольника: $$S=\frac{1}{2}AL*BC=\frac{1}{2}AC*BD$$ , тогда пусть AC=16, BC=2, BD=1, получаем, что $$AL=\frac{AC*BD}{BC}=8$$
Задание 1868
В трапецию, сумма длин боковых сторон которой равна 24, вписана окружность. Найдите длину средней линии трапеции.
По свойству описанного четырехугольника AD+BC=AB+CD, тогда сумма оснований тоже 24, средняя линия же равна полусумме оснований, то есть 24/2=12.
Задание 1867
Около трапеции, один из углов которой равен 49°, описана окружность. Найдите остальные углы трапеции.
Запишите величины углов в ответ через точку с запятой в порядке неубывания.
По свойству вписанного четырехугольник $$\angle A+\angle C=180^{\circ}$$, пусть $$\angle A=49^{\circ}\Rightarrow$$$$\angle C=180-49=131^{\circ}$$. По свойству углов трапеции $$\angle B=180-\angle C=180-131=49^{\circ}$$, аналогично $$\angle D=180-\angle A=131^{\circ}$$
Задание 1866
Основания равнобедренной трапеции равны 50 и 104, боковая сторона 45. Найдите длину диагонали трапеции.
Опустим две высоты DE=CF, тогда AE=FB (из равенства прямоугольных треугольников ADE и CFB по катету и гипотенузе), и DC=EF=50, тогда $$AE=FB=\frac{104-50}{2}=27$$. Тогда из прямоугольного треугольника ADE : $$DE=\sqrt{AD^{2}-AE^{2}}=\sqrt{45^{2}-27^{2}}=36$$, следовательно, EB=AB-AE=104-27=77. Тогда из прямоугольного треугольника DEB: $$DB=\sqrt{DE^{2}+EB^{2}}=\sqrt{77^{2}+36^{2}}=85$$
Задание 1865
Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
EG - средняя линия треугольника ADB, тогда $$EG=\frac{1}{2}=AB=5$$, аналогично GF - средняя линия треугольника DCB, тогда $$GF=\frac{1}{2}DC=2$$, наибольший в таком случае равен 5
Примечение: больший из отрезков всегда будет равен половине большего основания
Задание 1864
В равнобедренной трапеции известны высота 4, меньшее основание 8 и угол при основании $$45^{\circ}$$. Найдите большее основание.
Опустим высоты DE=CF=4, тогда из прямоугольного треугольника ADE: так как $$\angle A=45^{\circ}$$, то $$\angle ADE=90-45=45^{\circ}$$, следовательно, реугольник AED - равнобедренный, и AE=DE=4, аналогично FB=4. Но EF=DC=8, тогда AB=4+4+8=16.
Задание 1863
Тангенс острого угла прямоугольной трапеции равен $$\frac{5}{6}$$. Найдите её большее основание, если меньшее основание равно высоте и равно 15.
Опустим высоту CF, тогда из прямоугольного треугольника CFB: $$FB=\frac{CF}{tgB}=\frac{15}{\frac{5}{6}}=18$$. DC=AF=15, тогда AB=15+18=33.
Задание 1861
Найдите меньший угол равнобедренной трапеции, если два ее угла относятся как 1:2. Ответ дайте в градусах.
Пусть меньший угол равен х, тогда больший угол равен 2х. По свойству углов трапеции получаем, что $$x+2x=180\Leftrightarrow$$$$x=60$$, то есть меньший угол составляет $$60^{\circ}$$
Задание 1860
Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 140°. Найдите больший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.
Так как дана равнобедренная трапеция, то сумма острых углов при большем основании будет составлять 140 градусов, $$\angle A=\angle B=\frac{140}{2}=70^{\circ}$$, по свойству углов трапеции: $$\angle D=180-\angle A=110^{\circ}$$
Задание 1858
Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием AD и боковой стороной AB углы, равные 30° и 45° соответственно.
$$\angle A=\angle BAC+\angle CAD=30+45=75^{\circ}$$, тогда по свойству углов трапеции: $$\angle B=180-\angle A=105^{\circ}$$
Задание 1857
Точка O — центр окружности, на которой лежат точки P, Q и R таким образом, что OPQR — ромб. Найдите угол ORQ. Ответ дайте в градусах.
OP=OR=PQ=QR ( по свойству ромба ), тогда, так как PR - общая, то треугольники POR И PQR равны, следовательно, $$\angle O=\angle Q$$. Пусть $$\angle Q=x$$, тогда большая дуга PR=2x (по свойству вписанного угла), тогда меньшая дуга RP=360-2x и $$\angle O=360-2x$$ ( по свойству центрального угла ), тогда $$x=360-2x\Leftrightarrow$$$$x=120$$, то есть $$\angle O=120^{\circ}$$, тогда по свойству углов ромба $$\angle P=180-\angle O=60^{\circ}$$
Задание 1856
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 19, а одна из диагоналей ромба равна 76. Найдите углы ромба.
В ответе запишите величины различных углов в порядке возрастания через точку с запятой.
По свойству диагоналей ромба: $$AE=\frac{1}{2}AC$$, пусть AC=76, тогда AE=38. Треугольник AEF - прямоугольный, тогда $$\sin EAF=\frac{EF}{EA}=\frac{19}{38}=0,5\Rightarrow$$$$\angle EAF=30^{\circ}$$, тогда по свойству диагоналей ромба $$\angle A=60^{\circ}$$ и по свойству углов ромба $$\angle B=180-\angle A=120^{\circ}$$
Задание 1855
Площадь ромба равна 27, а периметр равен 36. Найдите высоту ромба.
Сторона ромба равна $$\frac{36}{4}=9$$, из формулы площади ромба:$$h=\frac{S}{a}=\frac{36}{9}=4$$, где h - высота, a - сторона ромба.
Задание 1854
Сторона ромба равна 34, а острый угол равен 60° . Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?
Перечислите эти длины в ответе через точку с запятой в порядке возрастания.
Пусть BH - высота ромба, тогда треугльник BHA - прямоугольный и $$AH=AB*\cos A=34*\frac{1}{2}=17$$, тогда HD=AD-AH=34-17=17
Задание 1853
В треугольнике ABC AC = BC. Внешний угол при вершине B равен 140°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.
$$\angle ABC=180-\angle CBD=180-140=40^{\circ}$$ (по свойству смежных углов), но так как AC=BC, то $$\angle CAB=\angle CBA=40^{\circ}$$, тогда $$\angle C=180-40*2=100$$(по свойству углов треугольника)
Задание 1852
Сторона равностороннего треугольника равна $$12\sqrt{3}$$. Найдите биссектрису этого треугольника.
По свойству биссектрисы равностороннего трекугольника $$\angle AHC=90^{\circ}$$, тогда из треугольника AHC: $$AH=AC*\sin ACH$$, $$\angle ACH=60^{\circ}$$( по свойству углов равностороннего треугольника), следовательно, $$AH=12\sqrt{3}*\frac{\sqrt{3}}{2}=18$$
Задание 1851
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10, а основание равно 12. Найдите площадь этого треугольника.
Воспользуемся формулой Герона для нахождения площади треугольника. Найдем полупериметр: $$p=\frac{10+10+12}{2}=16$$, тогда $$S=\sqrt{16*(16-10)(16-10)(16-12)}=48$$
Задание 1850
В треугольнике ABC AB = BC = 53, AC = 56. Найдите длину медианы BM.
По свойству медианы в равнобедренном треугольнике: $$MC=\frac{1}{2}AC=28$$, из прямоугольного треугольника BMC по теореме Пифагора: $$BM=\sqrt{BC^{2}-MC^{2}}=\sqrt{53^{2}-28^{2}}=45$$
Задание 1849
Высота равностороннего треугольника равна $$15\sqrt{3}$$. Найдите его периметр.
По свойству высоты равностороннего треугольника $$\angle AHC=90^{\circ}$$ , тогда из треугольника AHC: $$AC=\frac{AH}{\sin ACH}$$, $$\angle ACH=60^{\circ}$$ ( по свойству углов равностороннего треугольника), следовательно, $$AC=\frac{15\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=30$$, тогда периметр треугольника составит: $$30*3=90$$
Задание 1848
Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD = AC. Известно, что ∠CAB = 80° и ∠ACB=59°. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.
Так как AD=AC, то треугольник ADC - равнобедренный и $$\angle ADC=\angle ACD=\frac{180-\angle CAB}{2}=50^{\circ}$$, тогда $$\angle DCB=\angle ACB-\angle ACD=59-50=9^{\circ}$$
Задание 1847
Периметр равнобедренного треугольника равен 196, а основание — 96. Найдите площадь треугольника.
Найдем боковую сторону данного треугольника: $$\frac{196-96}{2}=50$$, полупериметр данного треугольника $$p=\frac{196}{3}=98$$, тогда по формуле Герона площадь данного треугольника: $$S=\sqrt{98(98-50)(98-50)(98-96)}=48*14=672$$
Задание 1846
Площадь равнобедренного треугольника равна $$196\sqrt{3}$$. Угол, лежащий напротив основания равен 120°. Найдите длину боковой стороны.
Площадь треугольника можно выразить как половину произведения сторон треугольник на синус угла между ними, пусть х - боковая сторона треугольника, тогда $$196\sqrt{3}=\frac{1}{2}x^{2}*\sin 120^{\circ}\Leftrightarrow$$$$x=\sqrt{\frac{196\sqrt{3}*2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}}=28$$
Задание 1845
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5. Угол при вершине, противолежащий основанию, равен 120°. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.
Пусть угол B равен 120 градусам, тогда $$\smile AC = 240^{\circ}$$ (по свойству вписанного угла), тогда меньшая дуга CA равна $$360-240=120^{\circ}$$, и центральный угол, опирающийся на эту дугу так же составляет 120 градусов ($$\angle AOC$$). Так как треугольники ABC и ACO равнобедренные, имею общую сторону и равные углы против этой стороны, то они между собой равны, следовательно, AO=5=r, где r - радиус окружности, следовательно, диаметр окружности равен 10
Задание 1844
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.
По свойству смежных углов: $$\angle BCA=180-\angle BCD=180-123=57^{\circ}$$, так как треугольник равнобедренный, то $$\angle A=\angle BCA=57^{\circ}$$, следовательно по свойству улов треугольника $$\angle ABC=180-57*2=66^{\circ}$$
Задание 1843
В равностороннем треугольнике ABC медианы BK и AM пересекаются в точке O. Найдите $$\angle AOK$$.
По свойству медианы раностороннего треугольника $$\angle AKO =90^{\circ}$$ и $$\angle OAK=\frac{1}{2}\angle A$$, по свойству углов равностороннего треугольника: $$\angle A=60^{\circ}\Rightarrow$$$$\angle OAK=30^{\circ}\Rightarrow$$$$\angle AOK=90-\angle OAK=60^{\circ}$$
Задание 1842
В равностороннем треугольнике ABC биссектрисы CN и AM пересекаются в точке P. Найдите $$\angle MPN$$.
По свойству биссектрис равностороннего треугольника $$\angle BNP=\angle BMP=90^{\circ}$$, по свойству углов равностороннего треугольника $$\angle B=60^{\circ}$$, тогда по свойству углов выпуклого четырехугольника $$\angle MPN=360-90*2-60=120^{\circ}$$
Задание 1841
Найдите острый угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 33°. Ответ дайте в градусах.
$$\angle EAD = \angle BEA=33^{\circ}$$ (накрестлежащие), но так как AE - биссектриса, то $$\angle BAE=\angle DAE=33^{\circ}$$, тогда $$\angle A=33+33=66^{\circ}$$
Задание 1839
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 7, CK = 12.
$$\angle BAK=\angle KAD$$(свойство биссеткрисы), $$\angle BKA=\angle KAD$$ (накрестлежащие углы), следовательно, $$\angle BAK=\angle BKA$$, тогда треугольник ABK - равнобедренный и AB=BK=7, но BC=BK+KC=7+132=19=AD, тогда периметр составит: $$2*(7+19)=52$$
Задание 1838
В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 84°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
AE=EC (свойство диагоналей параллелограмма), тогда AB=AE, следовательно, треугольник ABE - равнобедренный и $$\angle ABE=\angle BEA$$, $$\angle ACD=\angle BAE$$ (накрестлежащие), тогда из треугольника ABE: $$\angle BEA=\frac{180-\angle BAE}{2}=\frac{180-84}{2}=48$$
Задание 1837
В параллелограмм вписана окружность. Найдите периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна 6.
AB+CD=AD+BC (свойство описанного четырехугольника), но AB=CD, AD=BC (свойство параллелограмма), тогда AB=BC=CD=AD, и ABCD - ромб, тогда его периметр $$6*4=24$$
Задание 1836
Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 30° и 45°. Найдите больший угол параллелограмма.
Пусть $$\angle BAC=30^{\circ}; \angle CAD=45^{\circ}$$, тогда $$\angle A=30+45=75^{\circ}$$, и по свойству углов параллелограмма: $$\angle B=180-\angle A=180-75=105^{\circ}$$, что и есть больший угол
Задание 1835
Один угол параллелограмма в два раза больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.
Пусть $$\angle A=x$$, тогда $$\angle B=2x$$, по свойству углов параллелограмма $$\angle A+\angle B=180^{\circ}\Leftrightarrow$$$$x+2x=180\Leftrightarrow$$$$x=60$$, следовательно, $$\angle A=60^{\circ}$$, что и есть меньший угол
Задание 1834
Разность углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 40°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Пусть $$\angle A=x$$, тогда $$\angle B=x+40$$, по свойству углов параллелограмма $$\angle A+\angle B=180\Leftrightarrow$$$$x+x+40=180\Leftrightarrow$$$$x=70$$,то есть $$\angle A=70^{\circ}$$, что и есть меньший угол
Задание 1833
Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 50°. Найдите меньший угол параллелограмма.
Пусть $$\angle ABC=65^{\circ};\angle CBD=50^{\circ}$$, тогда $$\angle B=65+50=115^{\circ}$$, и по свойству углов параллелограмма $$\angle A=180-\angle B=180-115=65^{\circ}$$, что и есть меньший угол парарллелограмма
Задание 1832
Сторона AC треугольника ABC проходит через центр описанной около него окружности. Найдите $$\angle C$$, если $$\angle A=81^{\circ}$$. Ответ дайте в градусах.
Так ка сторона проходит через центр окружности, то треугольник является прямоугольным, следовательно: $$\angle C=90^{\circ}-\angle A=90^{\circ}-81^{\circ}=9^{\circ}$$
Задание 1831
В выпуклом четырехугольнике ABCD AB = BC, AD = CD, ∠B = 77°, ∠D = 141°. Найдите угол A. Ответ дайте в градусах.
Так как AB = BC, AD = CD, то $$\angle A=\angle C$$. Сумма углов выпуклового четырехугольника составляет $$360^{\circ}$$, следовательно, $$\angle A=\frac{360^{\circ}-\angle B -\angle D}{2}=\frac{360-77-141}{2}=71^{\circ}$$
Задание 1829
Радиус окружности с центром в точке O равен 85, длина хорды AB равна 80 (см. рисунок). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.
Пусть EH - общий перпендикуляр к AB и k, тогда EH - искомое расстояние. Из треугольника AOH (прямоугольный) по теореме Пифагора: $$OH=\sqrt{OA^{2}-AH^{2}}$$, AH=0,5AB=40, тогда: $$OH=\sqrt{85^{2}-40^{2}}=75$$. EH=EO+OH=85+75=160.
Задание 1828
ABCDEFGH — правильный восьмиугольник. Найдите угол EFG. Ответ дайте в градусах.
Так как дан правильный восьмиугольник, то всего его углы равны. Угол же правильного n-угольника можно найти по формуле :$$\alpha =\frac{n-2}{n}*180$$, тогда $$\angle EFG=\frac{8-2}{8}*180=135^{\circ}$$
Задание 1827
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 136°, угол CAD равен 82°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Угол ABC - вписанный, следовательно, величина дуги ADC два раза больше (так как он опирается на данную дугу), тогда $$\smile ADC=272^{\circ}$$, аналогично $$\smile DC =2\angle CAD=164^{\circ}$$, тогда $$\smile AD=\smile ADC-\smile DC=272-164=108^{\circ}$$, но угол ABD опираются на эту дугу и является вписанным, следовательно, $$\angle ABD=\frac{1}{2}\smile AD=54^{\circ}$$
Задание 1826
Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырехугольника составляет 180 градусов, следовательно, больший из оставшихся будет равен $$180-58=122^{\circ}$$ (второй из оставшихся $$180-82=98^{\circ}$$)
Задание 1825
Углы выпуклого четырехугольника относятся как 1:2:3:4. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.
Сумма углов четырехугольника составляет 360 градусов. Пусть меньший из углов (угол А) равен х, тогда остальные углы равны 2х, 3х, 4х. Тогда: $$x+2x+3x+4x=360\Leftrightarrow$$$$10x=360\Leftrightarrow$$$$x=36$$, то есть меньший угол равен 36 градусам
Задание 1823
Сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 300°. Найдите четвертый угол. Ответ дайте в градусах.
Сумма всех углов выпуклого четырехугольника составляет 360 градусов, тогда оставшийся их четырех углов равен: $$360-300=60^{\circ}$$
Задание 957
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 120°, а CD=25.
Данные углы принадлежат одной стороне , то есть они односторонние, и , при этом, их сумма равна 180. А это значит, что нам дан параллелограмм , а не трапеция. А это , в свою очередь, означает, что AB = CD = 25
Задание 876
|
В треугольнике ABC угол A равен 30°, угол B равен 86°, CD — биссектриса внешнего угла при вершине C, причем точка D лежит на прямой AB. На продолжении стороны AC за точку C выбрана такая точка E, что CE = CB. Найдите угол BDE. Ответ дайте в градусах |
|
