ОГЭ
Задание 1823
Сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 300°. Найдите четвертый угол. Ответ дайте в градусах.
Сумма всех углов выпуклого четырехугольника составляет 360 градусов, тогда оставшийся их четырех углов равен: $$360-300=60^{\circ}$$
Задание 1825
Углы выпуклого четырехугольника относятся как 1:2:3:4. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.
Сумма углов четырехугольника составляет 360 градусов. Пусть меньший из углов (угол А) равен х, тогда остальные углы равны 2х, 3х, 4х. Тогда: $$x+2x+3x+4x=360\Leftrightarrow$$$$10x=360\Leftrightarrow$$$$x=36$$, то есть меньший угол равен 36 градусам
Задание 1826
Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырехугольника составляет 180 градусов, следовательно, больший из оставшихся будет равен $$180-58=122^{\circ}$$ (второй из оставшихся $$180-82=98^{\circ}$$)
Задание 1827
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 136°, угол CAD равен 82°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Угол ABC - вписанный, следовательно, величина дуги ADC два раза больше (так как он опирается на данную дугу), тогда $$\smile ADC=272^{\circ}$$, аналогично $$\smile DC =2\angle CAD=164^{\circ}$$, тогда $$\smile AD=\smile ADC-\smile DC=272-164=108^{\circ}$$, но угол ABD опираются на эту дугу и является вписанным, следовательно, $$\angle ABD=\frac{1}{2}\smile AD=54^{\circ}$$
Задание 1828
ABCDEFGH — правильный восьмиугольник. Найдите угол EFG. Ответ дайте в градусах.
Так как дан правильный восьмиугольник, то всего его углы равны. Угол же правильного n-угольника можно найти по формуле :$$\alpha =\frac{n-2}{n}*180$$, тогда $$\angle EFG=\frac{8-2}{8}*180=135^{\circ}$$
Задание 1829
Радиус окружности с центром в точке O равен 85, длина хорды AB равна 80 (см. рисунок). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.
Пусть EH - общий перпендикуляр к AB и k, тогда EH - искомое расстояние. Из треугольника AOH (прямоугольный) по теореме Пифагора: $$OH=\sqrt{OA^{2}-AH^{2}}$$, AH=0,5AB=40, тогда: $$OH=\sqrt{85^{2}-40^{2}}=75$$. EH=EO+OH=85+75=160.
Задание 1831
В выпуклом четырехугольнике ABCD AB = BC, AD = CD, ∠B = 77°, ∠D = 141°. Найдите угол A. Ответ дайте в градусах.
Так как AB = BC, AD = CD, то $$\angle A=\angle C$$. Сумма углов выпуклового четырехугольника составляет $$360^{\circ}$$, следовательно, $$\angle A=\frac{360^{\circ}-\angle B -\angle D}{2}=\frac{360-77-141}{2}=71^{\circ}$$
Задание 1832
Сторона AC треугольника ABC проходит через центр описанной около него окружности. Найдите $$\angle C$$, если $$\angle A=81^{\circ}$$. Ответ дайте в градусах.
Так ка сторона проходит через центр окружности, то треугольник является прямоугольным, следовательно: $$\angle C=90^{\circ}-\angle A=90^{\circ}-81^{\circ}=9^{\circ}$$
Задание 1833
Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 50°. Найдите меньший угол параллелограмма.
Пусть $$\angle ABC=65^{\circ};\angle CBD=50^{\circ}$$, тогда $$\angle B=65+50=115^{\circ}$$, и по свойству углов параллелограмма $$\angle A=180-\angle B=180-115=65^{\circ}$$, что и есть меньший угол парарллелограмма
Задание 1834
Разность углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 40°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Пусть $$\angle A=x$$, тогда $$\angle B=x+40$$, по свойству углов параллелограмма $$\angle A+\angle B=180\Leftrightarrow$$$$x+x+40=180\Leftrightarrow$$$$x=70$$,то есть $$\angle A=70^{\circ}$$, что и есть меньший угол
Задание 1835
Один угол параллелограмма в два раза больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.
Пусть $$\angle A=x$$, тогда $$\angle B=2x$$, по свойству углов параллелограмма $$\angle A+\angle B=180^{\circ}\Leftrightarrow$$$$x+2x=180\Leftrightarrow$$$$x=60$$, следовательно, $$\angle A=60^{\circ}$$, что и есть меньший угол
Задание 1836
Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 30° и 45°. Найдите больший угол параллелограмма.
Пусть $$\angle BAC=30^{\circ}; \angle CAD=45^{\circ}$$, тогда $$\angle A=30+45=75^{\circ}$$, и по свойству углов параллелограмма: $$\angle B=180-\angle A=180-75=105^{\circ}$$, что и есть больший угол
Задание 1837
В параллелограмм вписана окружность. Найдите периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна 6.
AB+CD=AD+BC (свойство описанного четырехугольника), но AB=CD, AD=BC (свойство параллелограмма), тогда AB=BC=CD=AD, и ABCD - ромб, тогда его периметр $$6*4=24$$
Задание 1838
В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 84°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
AE=EC (свойство диагоналей параллелограмма), тогда AB=AE, следовательно, треугольник ABE - равнобедренный и $$\angle ABE=\angle BEA$$, $$\angle ACD=\angle BAE$$ (накрестлежащие), тогда из треугольника ABE: $$\angle BEA=\frac{180-\angle BAE}{2}=\frac{180-84}{2}=48$$
Задание 1839
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 7, CK = 12.
$$\angle BAK=\angle KAD$$(свойство биссеткрисы), $$\angle BKA=\angle KAD$$ (накрестлежащие углы), следовательно, $$\angle BAK=\angle BKA$$, тогда треугольник ABK - равнобедренный и AB=BK=7, но BC=BK+KC=7+132=19=AD, тогда периметр составит: $$2*(7+19)=52$$
Задание 1841
Найдите острый угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 33°. Ответ дайте в градусах.
$$\angle EAD = \angle BEA=33^{\circ}$$ (накрестлежащие), но так как AE - биссектриса, то $$\angle BAE=\angle DAE=33^{\circ}$$, тогда $$\angle A=33+33=66^{\circ}$$
Задание 1842
В равностороннем треугольнике ABC биссектрисы CN и AM пересекаются в точке P. Найдите $$\angle MPN$$.
По свойству биссектрис равностороннего треугольника $$\angle BNP=\angle BMP=90^{\circ}$$, по свойству углов равностороннего треугольника $$\angle B=60^{\circ}$$, тогда по свойству углов выпуклого четырехугольника $$\angle MPN=360-90*2-60=120^{\circ}$$
Задание 1843
В равностороннем треугольнике ABC медианы BK и AM пересекаются в точке O. Найдите $$\angle AOK$$.
По свойству медианы раностороннего треугольника $$\angle AKO =90^{\circ}$$ и $$\angle OAK=\frac{1}{2}\angle A$$, по свойству углов равностороннего треугольника: $$\angle A=60^{\circ}\Rightarrow$$$$\angle OAK=30^{\circ}\Rightarrow$$$$\angle AOK=90-\angle OAK=60^{\circ}$$
Задание 1844
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.
По свойству смежных углов: $$\angle BCA=180-\angle BCD=180-123=57^{\circ}$$, так как треугольник равнобедренный, то $$\angle A=\angle BCA=57^{\circ}$$, следовательно по свойству улов треугольника $$\angle ABC=180-57*2=66^{\circ}$$
Задание 1845
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5. Угол при вершине, противолежащий основанию, равен 120°. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.
Пусть угол B равен 120 градусам, тогда $$\smile AC = 240^{\circ}$$ (по свойству вписанного угла), тогда меньшая дуга CA равна $$360-240=120^{\circ}$$, и центральный угол, опирающийся на эту дугу так же составляет 120 градусов ($$\angle AOC$$). Так как треугольники ABC и ACO равнобедренные, имею общую сторону и равные углы против этой стороны, то они между собой равны, следовательно, AO=5=r, где r - радиус окружности, следовательно, диаметр окружности равен 10
Задание 1846
Площадь равнобедренного треугольника равна $$196\sqrt{3}$$. Угол, лежащий напротив основания равен 120°. Найдите длину боковой стороны.
Площадь треугольника можно выразить как половину произведения сторон треугольник на синус угла между ними, пусть х - боковая сторона треугольника, тогда $$196\sqrt{3}=\frac{1}{2}x^{2}*\sin 120^{\circ}\Leftrightarrow$$$$x=\sqrt{\frac{196\sqrt{3}*2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}}=28$$
Задание 1847
Периметр равнобедренного треугольника равен 196, а основание — 96. Найдите площадь треугольника.
Найдем боковую сторону данного треугольника: $$\frac{196-96}{2}=50$$, полупериметр данного треугольника $$p=\frac{196}{3}=98$$, тогда по формуле Герона площадь данного треугольника: $$S=\sqrt{98(98-50)(98-50)(98-96)}=48*14=672$$
Задание 1848
Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD = AC. Известно, что ∠CAB = 80° и ∠ACB=59°. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.
Так как AD=AC, то треугольник ADC - равнобедренный и $$\angle ADC=\angle ACD=\frac{180-\angle CAB}{2}=50^{\circ}$$, тогда $$\angle DCB=\angle ACB-\angle ACD=59-50=9^{\circ}$$
Задание 1849
Высота равностороннего треугольника равна $$15\sqrt{3}$$. Найдите его периметр.
По свойству высоты равностороннего треугольника $$\angle AHC=90^{\circ}$$ , тогда из треугольника AHC: $$AC=\frac{AH}{\sin ACH}$$, $$\angle ACH=60^{\circ}$$ ( по свойству углов равностороннего треугольника), следовательно, $$AC=\frac{15\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=30$$, тогда периметр треугольника составит: $$30*3=90$$
Задание 1850
В треугольнике ABC AB = BC = 53, AC = 56. Найдите длину медианы BM.
По свойству медианы в равнобедренном треугольнике: $$MC=\frac{1}{2}AC=28$$, из прямоугольного треугольника BMC по теореме Пифагора: $$BM=\sqrt{BC^{2}-MC^{2}}=\sqrt{53^{2}-28^{2}}=45$$
Задание 1851
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10, а основание равно 12. Найдите площадь этого треугольника.
Воспользуемся формулой Герона для нахождения площади треугольника. Найдем полупериметр: $$p=\frac{10+10+12}{2}=16$$, тогда $$S=\sqrt{16*(16-10)(16-10)(16-12)}=48$$
Задание 1852
Сторона равностороннего треугольника равна $$12\sqrt{3}$$. Найдите биссектрису этого треугольника.
По свойству биссектрисы равностороннего трекугольника $$\angle AHC=90^{\circ}$$, тогда из треугольника AHC: $$AH=AC*\sin ACH$$, $$\angle ACH=60^{\circ}$$( по свойству углов равностороннего треугольника), следовательно, $$AH=12\sqrt{3}*\frac{\sqrt{3}}{2}=18$$
Задание 1853
В треугольнике ABC AC = BC. Внешний угол при вершине B равен 140°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.
$$\angle ABC=180-\angle CBD=180-140=40^{\circ}$$ (по свойству смежных углов), но так как AC=BC, то $$\angle CAB=\angle CBA=40^{\circ}$$, тогда $$\angle C=180-40*2=100$$(по свойству углов треугольника)
Задание 1854
Сторона ромба равна 34, а острый угол равен 60° . Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?
Перечислите эти длины в ответе через точку с запятой в порядке возрастания.
Пусть BH - высота ромба, тогда треугльник BHA - прямоугольный и $$AH=AB*\cos A=34*\frac{1}{2}=17$$, тогда HD=AD-AH=34-17=17
Задание 1855
Площадь ромба равна 27, а периметр равен 36. Найдите высоту ромба.
Сторона ромба равна $$\frac{36}{4}=9$$, из формулы площади ромба:$$h=\frac{S}{a}=\frac{36}{9}=4$$, где h - высота, a - сторона ромба.
Задание 1856
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 19, а одна из диагоналей ромба равна 76. Найдите углы ромба.
В ответе запишите величины различных углов в порядке возрастания через точку с запятой.
По свойству диагоналей ромба: $$AE=\frac{1}{2}AC$$, пусть AC=76, тогда AE=38. Треугольник AEF - прямоугольный, тогда $$\sin EAF=\frac{EF}{EA}=\frac{19}{38}=0,5\Rightarrow$$$$\angle EAF=30^{\circ}$$, тогда по свойству диагоналей ромба $$\angle A=60^{\circ}$$ и по свойству углов ромба $$\angle B=180-\angle A=120^{\circ}$$
Задание 1857
Точка O — центр окружности, на которой лежат точки P, Q и R таким образом, что OPQR — ромб. Найдите угол ORQ. Ответ дайте в градусах.
OP=OR=PQ=QR ( по свойству ромба ), тогда, так как PR - общая, то треугольники POR И PQR равны, следовательно, $$\angle O=\angle Q$$. Пусть $$\angle Q=x$$, тогда большая дуга PR=2x (по свойству вписанного угла), тогда меньшая дуга RP=360-2x и $$\angle O=360-2x$$ ( по свойству центрального угла ), тогда $$x=360-2x\Leftrightarrow$$$$x=120$$, то есть $$\angle O=120^{\circ}$$, тогда по свойству углов ромба $$\angle P=180-\angle O=60^{\circ}$$
Задание 1858
Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием AD и боковой стороной AB углы, равные 30° и 45° соответственно.
$$\angle A=\angle BAC+\angle CAD=30+45=75^{\circ}$$, тогда по свойству углов трапеции: $$\angle B=180-\angle A=105^{\circ}$$
Задание 1860
Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 140°. Найдите больший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.
Так как дана равнобедренная трапеция, то сумма острых углов при большем основании будет составлять 140 градусов, $$\angle A=\angle B=\frac{140}{2}=70^{\circ}$$, по свойству углов трапеции: $$\angle D=180-\angle A=110^{\circ}$$
Задание 1861
Найдите меньший угол равнобедренной трапеции, если два ее угла относятся как 1:2. Ответ дайте в градусах.
Пусть меньший угол равен х, тогда больший угол равен 2х. По свойству углов трапеции получаем, что $$x+2x=180\Leftrightarrow$$$$x=60$$, то есть меньший угол составляет $$60^{\circ}$$
Задание 1863
Тангенс острого угла прямоугольной трапеции равен $$\frac{5}{6}$$. Найдите её большее основание, если меньшее основание равно высоте и равно 15.
Опустим высоту CF, тогда из прямоугольного треугольника CFB: $$FB=\frac{CF}{tgB}=\frac{15}{\frac{5}{6}}=18$$. DC=AF=15, тогда AB=15+18=33.
Задание 1864
В равнобедренной трапеции известны высота 4, меньшее основание 8 и угол при основании $$45^{\circ}$$. Найдите большее основание.
Опустим высоты DE=CF=4, тогда из прямоугольного треугольника ADE: так как $$\angle A=45^{\circ}$$, то $$\angle ADE=90-45=45^{\circ}$$, следовательно, реугольник AED - равнобедренный, и AE=DE=4, аналогично FB=4. Но EF=DC=8, тогда AB=4+4+8=16.
Задание 1865
Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
EG - средняя линия треугольника ADB, тогда $$EG=\frac{1}{2}=AB=5$$, аналогично GF - средняя линия треугольника DCB, тогда $$GF=\frac{1}{2}DC=2$$, наибольший в таком случае равен 5
Примечение: больший из отрезков всегда будет равен половине большего основания
Задание 1866
Основания равнобедренной трапеции равны 50 и 104, боковая сторона 45. Найдите длину диагонали трапеции.
Опустим две высоты DE=CF, тогда AE=FB (из равенства прямоугольных треугольников ADE и CFB по катету и гипотенузе), и DC=EF=50, тогда $$AE=FB=\frac{104-50}{2}=27$$. Тогда из прямоугольного треугольника ADE : $$DE=\sqrt{AD^{2}-AE^{2}}=\sqrt{45^{2}-27^{2}}=36$$, следовательно, EB=AB-AE=104-27=77. Тогда из прямоугольного треугольника DEB: $$DB=\sqrt{DE^{2}+EB^{2}}=\sqrt{77^{2}+36^{2}}=85$$
Задание 1867
Около трапеции, один из углов которой равен 49°, описана окружность. Найдите остальные углы трапеции.
Запишите величины углов в ответ через точку с запятой в порядке неубывания.
По свойству вписанного четырехугольник $$\angle A+\angle C=180^{\circ}$$, пусть $$\angle A=49^{\circ}\Rightarrow$$$$\angle C=180-49=131^{\circ}$$. По свойству углов трапеции $$\angle B=180-\angle C=180-131=49^{\circ}$$, аналогично $$\angle D=180-\angle A=131^{\circ}$$
Задание 1868
В трапецию, сумма длин боковых сторон которой равна 24, вписана окружность. Найдите длину средней линии трапеции.
По свойству описанного четырехугольника AD+BC=AB+CD, тогда сумма оснований тоже 24, средняя линия же равна полусумме оснований, то есть 24/2=12.
Задание 1869
У треугольника со сторонами 16 и 2 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?
Из формулы площади треугольника: $$S=\frac{1}{2}AL*BC=\frac{1}{2}AC*BD$$ , тогда пусть AC=16, BC=2, BD=1, получаем, что $$AL=\frac{AC*BD}{BC}=8$$
Задание 1870
В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 112°, угол ABC равен 106°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Задание 1871
В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH . Известно, что AC = 84 и BC = BM. Найдите AH.
Треугольник BMC - равнобедренный, следовательно, по свойству высоты равнобедренного треугольника BH - медиана, и $$MH=HC=\frac{1}{2}MC$$
BM - медиана в треугольнике ABC, следовательно, $$AM=MC=\frac{1}{2}AC$$, тогда $$MH=\frac{1}{2}AM=\frac{1}{4}AC$$, то есть $$AH=\frac{3}{4}AC=63$$
Задание 1872
В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна $$20\sqrt{3}$$,а сторона AB равна 40. Найдите $$\cos B$$.
Из прямоугольного треугольника ABH: $$\cos B=\frac{BH}{AB}$$, по теореме Пифагора: $$BH=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=\sqrt{1600-400*3}=20$$, тогда $$\cos B=\frac{20}{40}=0,5$$
Задание 1873
В треугольнике ABC AB = BC, а высота AH делит сторону BC на отрезки BH = 64 и CH = 16. Найдите cos B.
Задание 1874
В треугольнике ABC BM — медиана и BH – высота. Известно, что AC = 216, HC = 54 и ∠ACB = 40°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.
Задание 1875
Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 65° и 85°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 14.
По свойству углов треугольника: $$\angle A=180-\angle B -\angle C=180-85-65=30^{\circ}$$
По теореме синусов: $$BC=2R*\sin A$$, где R - радиус описанной окружности около треугольника ABC, тогда $$BC=2*14*\sin 30^{\circ}=14$$
Задание 1877
В треугольнике два угла равны 43° и 88°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.
По свойству углов треугольника: $$\angle 3=180-\angle 1 -\angle 2=180-43-88=49^{\circ}$$
Задание 1878
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC, сторона AB равна 66, сторона BC равна 37, сторонa AC равна 74. Найдите MN.
Так как M и N середины сторон, то отрезок MN является средней линией, которая, в свою очередь равна половине стороны, которой она параллельна, то есть AC, тогда MN=0,5AC=37
Задание 1879
Биссектрисы углов N и M треугольника MNP пересекаются в точке A. Найдите $$\angle NAM$$, если $$\angle N=84^{\circ}$$, а $$\angle M=42^{\circ}$$.
По свойству биссетрис: $$\angle NMB=\frac{1}{2}\angle M=21^{\circ}$$ и $$\angle MNK=\frac{1}{2}\angle N=42^{\circ}$$
По свойству суммы углов треугольника из треугольника NAM: $$\angle NAM=180-\angle NMB -\angle MNK=117^{\circ}$$
Задание 1882
На плоскости даны четыре прямые. Известно, что $$\angle 1=120^{\circ}$$, $$\angle 2=60^{\circ}$$, $$\angle 3=55^{\circ}$$. Найдите $$\angle 4$$. Ответ дайте в градусах.
По свойству вертиикальных углов $$\angle 2=\angle LMK$$, но $$\angle 1+\angle LMK=120+60=180$$, следовательно, так как они являются односторонними, то прямые параллельны. Следовательно, $$\angle 3+\angle 4=180\Leftrightarrow$$$$\angle 4=180-125=55^{\circ}$$, так как так же являются односторонними.
Задание 1883
Диагональ прямоугольника образует угол 51° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
Пусть $$\angle EDH=51^{\circ}$$, по свойству диагоналей прямоугольника $$\angle DEH=\angle EDH$$, следовательно, из треугольника EHD по свойству суммы углов треугольника $$\angle EHD=180-2*51=78^{\circ}$$.
Причечание: при пересечении двух прямых получается две пары равных вертикальных углов, при нахождении угла между прямыми из них всегда выбирается острый, потому искать угол DHG нет смысла
Задание 1884
Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1 = 22°, ∠2 = 72°. Ответ дайте в градусах.
Вертикальный угол для $$\angle 3$$ составляет с углами 1 и 2 по свойству смежных углов 180 градусов, тогда $$\angle 3=180-(\angle 1+\angle 2)=86^{\circ}$$
Задание 1886
Найдите величину угла AOK, если OK — биссектриса угла AOD, ∠AOB = 64°. Ответ дайте в градусах.
По свойству смежных углов: $$\angle AOD=180-\angle AOB=116^{\circ}$$
По свойству биссеткрисы: $$\angle AOK=\frac{\angle AOD}{2}=58^{\circ}$$
Задание 1887
На прямой AB взята точка M. Луч MD — биссектриса угла CMB. Известно, что ∠DMC = 60°. Найдите угол CMA. Ответ дайте в градусах.
Задание 1889
В треугольнике два угла равны 54° и 58°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.
По свойству суммы углов треугольника: $$\angle 3=180^{\circ}-\angle 2-\angle 1$$, тогда $$\angle 3=180-54-58=68^{\circ}$$
Задание 1892
Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Так как одна из сторон проходит через диаметр окружности, тогда угол, противолежащий этой стороне равен $$90^{\circ}$$ по свойству вписанного угла
Задание 1894
Два острых угла прямоугольного треугольника относятся как 4:5. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.
Пусть меньший угол равен 4х, тогда больший - 5х. По свойству суммы острых углов прямоугольного треугольника: $$4x+5x=90\Leftrightarrow$$$$x=10$$, тогда больший угол $$5*10=50^{\circ}$$
Задание 1895
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=15, $$\cos A=\frac{5}{7}$$. Найдите AB.
По определению косинуса: $$AB=\frac{AC}{\cos A}=\frac{15}{\frac{5}{7}}=21$$
Задание 1896
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=12, $$\sin A=\frac{4}{11}$$. Найдите AB.
По определению синуса: $$AB=\frac{BC}{\sin A}=\frac{12}{\frac{4}{11}}=33$$
Задание 1897
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 20, tgA = 0,5. Найдите BC.
По определению тангенса: $$CB=AC*tg A=20*0,5=10$$
Задание 1898
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 20, $$\tan A=0,5$$. Найдите AC.
Из определения тангенса угла: $$AC=\frac{BC}{tg A}=\frac{20}{0,5}=40$$
Задание 1899
Катеты прямоугольного треугольника равны 35 и 120. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.
Найдем гипотенузу треугольника по теореме Пифагора: $$\sqrt{35^{2}+120^{2}}=125$$
Высоту прямоугольного треугольника, опущенного из прямого угла можно выразить как: $$h=\frac{ab}{c}$$, где a,b - катеты, с - гипотенуза, тогда $$h=\frac{35*120}{125}=33,6$$
Задание 1900
Катеты прямоугольного треугольника равны $$\sqrt{15}$$ и 1. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.
Найдем гипотенузу по теореме Пифагора: $$\sqrt{(\sqrt{15})^{2}+1^{2}}=4$$
Напротив меньшей стороны лежит меньший угол, то есть меньший угол лежит напротив катета, равного 1, тогда $$\sin \alpha=\frac{1}{4}=0,25$$
Задание 1901
Площадь прямоугольного треугольника равна $$32\sqrt{3}$$. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы.
Пусть катет, лежащий напротив угла в 30 градусов равен х, тогда по свойству катета, лежащего напротив угла в 30 градусов, гипотенуза равна 2х.
По теореме Пифагора третий катет будет равен: $$\sqrt{(2x)^{2}-x^{2}}=\sqrt{3}x$$
Распишем площадь треугольника как половину произведения его катетов:$$\frac{1}{2}x*\sqrt{3}x=32\sqrt{3}\Leftrightarrow$$$$x^{2}=64\Leftrightarrow$$$$x=8$$, тогда гипотенуза составит $$2*8=16$$
Задание 1902
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=12, $$\tan A=\frac{2\sqrt{10}}{3}$$. Найдите AB.
Из определения тангенса угла: $$CB=AC*tg A=8\sqrt{10}$$
По теореме Пифагора: $$AB=\sqrt{AC^{2}+CB^{2}}=\sqrt{144+640}=28$$
Задание 1903
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 6, AC = 24.
Из подобия треугольников BHA и ABC (по свойтсву высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла): $$\frac{HA}{AB}=\frac{AB}{AC}\Leftrightarrow$$$$AB=\sqrt{HA*AC}=12$$
Задание 1904
В прямоугольном треугольнике ABC катет AC равен 35, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна $$14\sqrt{6}$$. Найдите $$\sin\angle ABC$$.
По свойству высоты прямоугольного треугольника, опущенной из прямого угла: $$\angle ACH=\angle ABC$$
Тогда из треугольника ACH: $$\cos ACH=\frac{CH}{AC}=\frac{14\sqrt{6}}{35}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$$
По основному тригонометрическому тождеству: $$\sin ACH=\sqrt{1-\cos^{2} ACH}=\sqrt{\frac{24}{25}}=\frac{1}{5}$$.
Задание 1906
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 12 и 13.
По теореме Пифагора найдем второй катет: $$\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5$$
Найдем площадь прямоугольного треугольника как половину произведения длин его катетов :$$\frac{1}{2}*12*5=30$$
Задание 1907
Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 23°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.
По свойству суммы острых углов прямоугольного треугольника второй острый угол будет равен: $$90-23=67^{\circ}$$
Задание 1908
В треугольнике ABC известно, что AC=14, $$BC=\sqrt{165}$$, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы, тогда по теореме Пифагора: $$AB=\sqrt{AC^{2}+CB^{2}}=\sqrt{361}=19$$, тогда радиус описанной окружности составляет 9,5
Задание 2480
| Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 50°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах. |
| $$\angle B=65+50=115^{\circ}$$ $$\angle A=180^{\circ}-\angle B=180^{\circ}-115^{\circ}=65^{\circ}$$ |
Задание 2483
В треугольнике ABC АВ = ВС = 10, AC = 12. Найдите sin A.
| BH - высота, медиана. $$AH=0,5\cdot AC=6$$ $$BH=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$$ $$\sin A=\frac{BH}{AB}=\frac{8}{10}=0,8$$ |
Задание 2665
В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна $$6\sqrt{39}$$, а сторона AB равна 40. Найдите cos B.
|
1) $$AH=6\sqrt{39}$$ $$AB=40$$ $$\Rightarrow BH=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=14$$; 2) $$\cos B=\frac{BH}{AB}=\frac{14}{40}=0,35$$ |
Задание 2766
| В треугольнике ABC AC=BC. Внешний угол при вершине B равен $$139^{\circ}$$. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах. |
 |
$$\angle CBA=180^{\circ}-139^{\circ}=41^{\circ}=\angle CAB$$ $$\angle C==180^{\circ}-\angle CBA-\angle CAB=180^{\circ}-41^{\circ}-41^{\circ}=98^{\circ}$$
Задание 2767
Высота равностороннего треугольника равна $$4\sqrt{3}$$. Найдите его периметр.
|
Пусть x - сторона. $$\angle C=60^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\sin 60^{\circ}=\frac{4\sqrt{3}}{x}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$4\sqrt{3}\cdot 2=x\sqrt{3}$$ $$x=\frac{4\sqrt{3}\cdot 2}{\sqrt{3}}=8$$ $$8*3=24$$ |
Задание 2807
| Найдите величину угла DOK, если OK — биссектриса угла AOD, ∠DOB=64°. Ответ дайте в градусах. |  |
$$\angle AOD=180^{\circ}-\angle DOB=160^{\circ}-64^{\circ}=116^{\circ}$$ $$\angle KOD=\frac{\angle AOD}{2}=\frac{116^{\circ}}{2}=58^{\circ}$$
Задание 2808
| В треугольнике ABC BM – медиана и BH –высота. Известно, что AC=84 и BC=BM. Найдите AH. |  |
$$MC=\frac{1}{2}AC=\frac{84}{2}=42$$ $$AH=AM+MH=MC+\frac{MC}{2}=42+\frac{42}{2}=63$$
Задание 2810
Катеты прямоугольного треугольника равны $$3\sqrt{51}$$ и $$21$$. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.
|
$$C=\sqrt{(3\sqrt{51})^{2}+(21)^{2}}=30$$ $$21<3\sqrt{51}$$ $$\Rightarrow$$ $$\alpha$$ - искомый угол, $$\sin \alpha=\frac{21}{30}$$ |
 |
Задание 2850
В трапецию, сумма длин боковых сторон которой равна 26, вписана окружность. Найдите длину средней линии трапеции.
Условием того, что в четырехугольник( в том числе и в трапецию) можно вписать окружность является то, что сумма противоположных сторон у него одинакова. Значит, сумма боковых сторон, равна сумме оснований, то есть сумма оснований будет 26. Средняя линия равна полусумме оснований, то есть 26/2=13
Задание 2851
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=10, tg A=0,8. Найдите BC.
tg A = CB/AC => CB=AC*tg A=10*0.8=8
Задание 2888
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=4, sinA=0,8. Найдите AB
sinA=BC/AB => AB=BC/sinA=4/0.8=5
Задание 2920
Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1=42, ∠2 =68. Ответ дайте в градусах.
∠1+∠2+∠3=180 ∠3=180-∠1-∠2=180-42-68=70
Задание 2921
Основания трапеции равны 7 и 12. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
|
Из трекгольника ABC: MO=0.5BC=3.5 Из треугольника ACD: ON=0.5AD=6 |
 |
Задание 2968
| Сторона ромба равна 26, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков? |  |
|
$$AB=AD$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ABD$$ - равнобедренный; $$\angle B=\angle D=\frac{180-\angle A}{2}=60^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ABD$$ - равносторонний $$\Rightarrow$$ ВН - медиана, биссектриса, высота $$\Rightarrow$$ $$AH=HD=\frac{26}{2}=13$$ |
Задание 3011
| Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 3 и 9. Найдите длину основания BC. |  |
$$BC=9-3=6$$
Задание 3013
Катеты прямоугольного треугольника равны $$4\sqrt{6}$$ и 2. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.
$$AB=\sqrt{(4\sqrt{6})^{2}+2^{2}}=10$$ $$CA< CB$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle B< \angle A$$
$$\sin A=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{10}=0,2$$
Задание 3057
Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1=16, ∠2=71. Ответ дайте в градусах.
|
Обозначим углы, как показано на рисунке: ∠4=∠1=16 (вертикальные) ∠5=∠2=71 (накрестлежащие) ∠4+∠3+∠5=180 ∠3=180-∠4-∠5=93 |
 |
Задание 3061
В треугольнике ABC угол C прямой, BC=6, sinA=0,6. Найдите AB.
$$\sin A=\frac{BC}{AB}=0,6$$ $$\frac{6}{AB}=0,6$$ $$AB=10$$
Задание 3094
В треугольнике АВС проведена биссектриса AL, угол ALC равен 100, угол АВС равен 84,. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
ALB=180-ALC=180-100=80 BAL=LAC=180-B-ALB=180-84-80=16 ACB=180-LAC-ALC=180-100-16=64
Задание 3095
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 120°, а CD=25.
$$D=180-C=180-120=60$$
Из CHB : $$CH=CD * \sin D = 25 \sin 60=25 * \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{25\sqrt{3}}{2}$$
$$AM=CH$$ ;
$$AB=\frac{AM}{\sin B}=\frac{\frac{25\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=25\sqrt{3}$$
Задание 3097
Катеты прямоугольного треугольника равны $$3\sqrt{11}$$ и 1. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.
Гипотенуза по теореме Пифагора: $$\sqrt{(3\sqrt{11})^{2}+1^{2}}=10$$ Напротив меньшей стороны лежит меньший угол, то есть угол у нас меньший будет напротив катета, равного 1, значит его синус будет равен 1/10=0,1
Задание 3134
| В треугольнике ABC BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=76, HC=19 и ∠ACB=80. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах. |  |
AC=MC=0.5AC=0.5*76=92 (BM - медиана) MH=MC-HC=38-19=19 => MH=HC => треугольник BMC - равнобедренный (высота является медианой) ∠BMC=∠ACB=80 =>∠BMA=180-∠BMC=180-80=100
Задание 3135
Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне BC. Найдите AB, если BC=24.
|
∠BAM=∠MAD (биссектриса AM) ∠MAD=∠AMB (накрестлежащие) Получаем, что ∠BAM=∠AMB, значит треугольник ABM - равнобедренный и AB=BM Аналогично, треугольник MCD - ранвобедренный , и MC=СD, а так как AB=СD, то BC=2AB => AB=0.5BC=0.5*24=12 |
 |
Задание 3137
Катеты прямоугольного треугольника равны $$3\sqrt{91}$$ и 9. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.
|
Пусть $$AB=3\sqrt{91}$$ , $$BC=9$$, тогда по теореме Пифагора: $$AB=\sqrt{3\sqrt{91}^{2}+9^2}=30$$ Так как AC>CB, то угол A меньше угла B (так как лежит напротив меньшей стороны) $$ \sin A=\frac{CB}{AB}=0.3$$ |
 |
Задание 3182
Катеты прямоугольного треугольника равны $$20\sqrt{41}$$ и $$25\sqrt{41}$$ . Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
Гипотенуза (c) = $$\sqrt{(20\sqrt{41})^{2} + (25\sqrt{41})^{2}} =\sqrt{25*41*41}=5*41$$ Высота прямоугольного треугольника h равна произведению катетов деленное на гипотенузу: $$h=\frac{(20\sqrt{41}) *(25\sqrt{41})}{5*41}=100$$
Задание 3184
Площадь прямоугольного треугольника равна $$250\sqrt{75}$$ . Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы треугольника.
Пусть a - катет, лежащий напротив 30 градусов, b - второй катет, с - гипотенуза. Так как a - напротив 30 градусов, то a = 0,5c. Тогда по теореме Пифагора: $$b = \sqrt{c^{2}-(0,5c)^{2}}=\frac{c\sqrt{3}}{2}$$ Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}0,5c*\frac{c\sqrt{3}}{2}$$ $$250\sqrt{75}=\frac{c^{2}*\sqrt{3}}{8}$$ $$c^2=\frac{250\sqrt{75}*8}{\sqrt{3}}=10000$$ Отсюда с равно 100
Задание 3230
Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 75° и 40°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
∠B в таком случае 75° + 40° = 115° Тогда ∠A = 180 - ∠B = 180° - 115° = 65° - наименьший
Задание 3233
В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна $$19\sqrt{21}$$ , а сторона AB равна 95. Найдите cosB.
Из прямоугольного треугольника ABH по теореме Пифагора:
$$BH = \sqrt{ AB^{2}-AH^{2}}=\sqrt{95^{2}-(19\sqrt{21})^{2}}=$$
$$=\sqrt{9025-361*21}=\sqrt{9025-7581}=\sqrt{1444}=38$$
Тогда cosB = BH/AB = 38/95 = 0,4
Задание 3266
В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 148, угол ABC равен 132 . Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Задание 3267
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK=10, CK=18.
Задание 3268
Высота равностороннего треугольника равна 78√3 . Найдите его периметр.
Все углы в равностороннем треугольнике равны 60. Пусть сторона треугольника x, тогда : $$\sin 60 = \frac{78\sqrt{3}}{x}$$ $$x=\frac{78\sqrt{3}}{\sin 60}=\frac{78\sqrt{3}*2}{\sqrt{3}}=156$$ $$P=3*156=468$$
Задание 3400
На прямой АВ взята точка М. Луч MD — биссектриса угла CMВ. Известно, что $$\angle DMC=58^{\circ}$$. Найдите угол CMA. Ответ дайте в градусах.
$$\angle DMB=\angle DMC=58^{\circ}$$ $$\angle CMB=\angle DMB+\angle DMC=116^{\circ}$$ $$\angle CAM=180^{\circ}-\angle CMB=180-116=64^{\circ}$$
Задание 3401
Катеты прямоугольного треугольника равны 7 и 24. Найдите гипотенузу этого треугольника.
$$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{7^{2}+24^{2}}=\sqrt{49+576}=25$$
Задание 3403
Катеты прямоугольного треугольника равны $$2\sqrt{6}$$ и $$1$$. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.
$$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{4\cdot6+1}=5$$ $$\angle A<\angle C$$ т.к. $$BC
Задание 3560
Основания трапеции равны 8 и 14. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции
из $$\bigtriangleup ABC$$: $$HM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot8=4$$
из $$\bigtriangleup ABD$$: $$HN=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}\cdot14=7$$
$$MN=HN-HM=7-4=3$$
Задание 3562
В треугольнике ABC АВ = ВС = 13, AС = 10. Найдите tg A.
Пусть ВН - высота, медиана, биссектриса: $$AH=\frac{1}{2}AC=5$$
из $$\bigtriangleup ABH$$: $$BH=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12$$
$$\tan A=\frac{BH}{AH}=\frac{12}{5}=2,4$$
Задание 3837
В треугольнике ABC BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=97 и BC=BM. Найдите AH.
$$AM=MC=\frac{1}{2}AC=\frac{97}{2}=48,5$$ $$\bigtriangleup BMC$$ -равнобедренный $$\Rightarrow$$ $$BH$$ - высота и медиана $$\Rightarrow$$ $$MH=HC=\frac{1}{2}MC=24,25$$ $$AH=AM+MH=72,25$$
Задание 3838
В треугольнике со сторонами 15 и 3 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?
$$CH=1$$, $$AB=15$$, $$AC=3$$
$$BM-?$$
$$S=\frac{1}{2}AB\cdot HC=\frac{1}{2}AC\cdot BM$$
$$\Rightarrow$$ $$BM=\frac{AB\cdot HC}{AC}=\frac{15\cdot1}{3}=5$$
Задание 3988
Основания трапеции равны 9 и 14. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
$$MO=\frac{1}{2}\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot9=4,5$$
$$ON=\frac{1}{2}\cdot AD=\frac{1}{2}\cdot14=7$$
Задание 3989
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке Е. Найдите периметр параллелограмма, если $$BE=12$$, $$CE=5$$.
$$BC=12+5=17=AD$$
$$\angle BAE=\angle EAD$$ - биссектриса
$$\angle EAD=\angle BEA$$ - (накрестлежащие)
$$\Rightarrow$$ $$\angle BAE=\angle BEA$$ $$\Rightarrow$$
$$AB=BE=12=CD$$
$$P=2AB+2BC=2\cdot12+2\cdot17=24+34=58$$
Задание 4051
Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD=AC. Известно, что ∠CAB=70° и ∠ACB=72°. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.
$$\angle DCB=\angle ACB-\angle ACD$$
$$\angle ACD=\angle ADC=\frac{180-\angle CAD}{2}=55^{\circ}$$
$$\angle DCB=72^{\circ}-55^{\circ}=17^{\circ}$$
Задание 4054
В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна $$4\sqrt{51}$$, а сторона AB равна 40. Найдите cosB.
$$\cos\angle B=\frac{BH}{AB}$$
$$BH=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=\sqrt{1600-816}=\sqrt{784}=28$$
$$\cos\angle B=\frac{28}{40}=0,7$$
Задание 4321
В треугольнике АВС углы А и С равны 44° и 56° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.
$$\angle B=180^{\circ}-\angle A-\angle C=80^{\circ}$$; $$\angle DBC=\frac{80}{2}=40$$ (BD - биссекриса); $$\angle HBC=90-\angle C=90-56=34^{\circ}$$; $$\angle DBH=\angle DBC-\angle HBC=40-34=6^{\circ}$$
Задание 4324
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=8, tg A=0,75. Найдите BC.
$$\tan A=0,75=\frac{BC}{AC}=\frac{x}{8}$$; $$x=8\cdot0,75=6$$
Задание 4527
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке М. Найдите периметр параллелограмма, если BМ=12, CМ=15.
$$BC=AD=12+15=27$$; $$\angle MAD=\angle AMB$$ (накрестлежащие); $$\angle BAM=\angle MAD$$ (биссектриса) $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ABM$$ - равнобедренный $$\Rightarrow$$ $$AB=BM=12$$; $$P_{ABCD}=12\cdot2+27\cdot2=24+54=78$$
Задание 4530
Катеты прямоугольного треугольника равны $$\sqrt{19}$$ и 9 . Найдите косинус наименьшего угла этого треугольника.
$$AB=\sqrt{\sqrt{19}^{2}+9^{2}}=10$$; напротив меньшей стороны - меньший угол $$\Rightarrow$$ $$\angle B<\angle A$$; $$\cos\angle B=\frac{CB}{AB}=\frac{9}{10}=0,9$$
Задание 4646
В трапецию, сумма длин боковых сторон которой равна 22, вписана окружность. Найдите длину средней линии трапеции.
Если в четырехугольник можно вписать окружность, то сумма противоположных сторон в нем будет одинаково. То есть сумма оснований так же 22. Средняя линия равна полусумме оснований, то есть 11
Задание 4794
Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 50° и 85°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
$$\angle B = 50+85=135^{\circ}$$ $$\angle A = 180- \angle B = 45^{\circ}$$
Задание 4796
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=12, $$tg A = \frac{3}{4}$$ . Найдите AB.
$$tg A = \frac{CB}{AC}=\frac{3}{4}\Rightarrow $$$$CB=AC*tg A=9$$ По теореме Пифагора: $$AB=\sqrt{12^{2}+9^{2}}=15$$
Задание 4841
На прямой AB взята точка M. Луч MD — биссектриса угла CMB. Известно, что $$\angle DMC=16^{\circ}$$. Найдите угол CMA. Ответ дайте в градусах.
$$\angle CMO=\angle BMD=16^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle CMB=16\cdot2=32$$; $$\angle AMC=180^{\circ}-\angle CMB=180^{\circ}-32^{\circ}=148^{\circ}$$
Задание 4844
Катеты прямоугольного треугольника равны $$3\sqrt{15}$$ и 3. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.
$$AC=\sqrt{(3\sqrt{15})^{2}+3^{2}}=\sqrt{9\cdot15+9}=12$$; $$\sin A=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{12}=0,25$$
Задание 4890
Найдите периметр прямоугольника, если в него вписана окружность радиуса 12.
$$r=12$$ $$\Rightarrow$$ $$a=24$$; $$P=24\cdot4=96$$
Задание 4892
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=19,2, $$\tan A=\frac{7}{24}$$. Найдите AB.
$$\tan A=\frac{7}{24}=\frac{CB}{19,2}$$; $$CB=\frac{7\cdot19,2}{24}=\frac{28}{5}=5,6$$; $$AB=\sqrt{19,2^{2}+5,6^{2}}=\sqrt{\frac{10000}{5^{2}}}=\frac{100}{5}=20$$
Задание 4936
Диагональ прямоугольника образует угол $$36^{\circ}$$ с одной из его сторон. Найдите угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
Пусть $$\angle CAB=36$$, тогда $$\angle ACB=180-36-36=108^{\circ}$$, и $$\angle ACD = 180-108=72^{\circ}$$. При пересечении двух прямых всегда берут острый угол.
Задание 4938
В трапецию, сумма длин боковых сторон которой равна 18, вписана окружность. Найдите длину средней линии трапеции.
Если в четырехугольник можно вписать окружность,то сумма длин противоположных сторон в нем одинакова. То есть сумма боковых сторон равна сумме оснований. Средняя линия же равна полусумме оснований, то есть $$\frac{18}{2}=9$$
Задание 4983
В треугольнике АВС углы А и С равны 34° и 68° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.
$$\angle=180-\angle A-\angle C=78^{\circ}$$
$$\angle DBC=\frac{\angle B}{2}=39^{\circ}$$
$$\angle HBC=90^{\circ}-\angle C=90^{\circ}-68^{\circ}=22^{\circ}$$
$$\angle DBH=\angle DBC-\angle HBC=39^{\circ}-22^{\circ}=17^{\circ}$$
Задание 4984
В равнобедренной трапеции высота равна 3, меньшее основание равно 5, угол при основании равен 45° . Найдите большее основание.
из $$\bigtriangleup CHD$$ и $$\bigtriangleup ABM$$: $$BH=CH=AM=HD=3$$; $$AD=AM+MH+HD=3+5+3=11$$
Задание 5032
В треугольнике АВС углы А и С равны 46° и 54° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD. Ответ дайте в градусах.
$$\angle B=180^{\circ}-(46+54)=80$$; $$\angle DBC=\frac{\angle B}{2}=40$$; $$\bigtriangleup BHC$$: $$\angle HBC=90^{\circ}-\angle C=90-54=36^{\circ}$$; $$\angle DBH=40-36=4$$
Задание 5033
Диагональ равнобедренной трапеции делит тупой угол пополам. Меньшее основание трапеции равно 5, а её периметр равен 24. Найдите большее основание трапеции.
$$\angle CBD=\angle ABD$$ (по условию)
$$\angle CBD=\angle ADB$$ (накрестлежащие)
тогда $$\bigtriangleup ABD$$ - равнобедр $$\Rightarrow$$ $$AB=CD=AD=x$$; $$P=3x+5=24$$; $$3x=19$$; $$x=\frac{19}{3}$$
Задание 5079
На прямой АВ взята точка М. Луч MD — биссектриса угла CMВ. Известно, что $$\angle DMC=55^{\circ}$$. Найдите угол CMA. Ответ дайте в градусах. 
$$\angle DMC=\angle DMB=55^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle CMB=110^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle AMC=180-110=70^{\circ}$$
Задание 5119
В треугольнике ABC AC=BC. Внешний угол при вершине B равен $$135^{\circ}$$. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.
$$\angle CBA=180^{\circ}-135^{\circ}=45^{\circ}=\angle CAB$$ (треугольник равнобедренный) $$\angle ACB=180^{\circ}-2*45^{\circ}=90^{\circ}$$
Задание 5120
Высота равностороннего треугольника равна $$2\sqrt{3}$$. Найдите его периметр.
Высота равностороннего треугольника вычисляется по формуле $$h=\frac{\sqrt{3}}{2}$$, где $$x$$ - сторона треугольника, тогда $$x=\frac{2}{\sqrt{3}}*x=\frac{2}{\sqrt{3}}*2\sqrt{3}=4$$. Периметр-это сумма длин всех сторон фигуры, то есть $$P=3x=3*4=12$$
Задание 5122
В треугольнике ABC угол C равен $$90^{\circ}$$, $$\tan A=0,6$$, $$AC=15$$. Найдите BC.
$$tg \angle A = \frac{BC}{AC} = 0,6$$. Тогда $$BC = AC*0,6 =15 * 0,6 =9$$
Задание 5166
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке Е. Найдите периметр параллелограмма, если BЕ=5, CЕ=14
$$BC=5+14=19=AO$$; $$\angle BAE=\angle EAD$$ (биссектриса); $$\angle EAD=\angle BEA$$ (накрестлежащие) $$\Rightarrow$$ $$AB=BE=5=CD$$; $$P=(19+5)\cdot2=48$$
Задание 5217
Высота равностороннего треугольника равна $$3\sqrt{3}$$. Найдите его периметр.
Пусть а - сторона треугольника, h - высота, тогда: $$h=a\sin 60^{\circ} \Leftrightarrow$$$$a=\frac{h}{\sin 60^{\circ}}=\frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=6$$. Периметр - сумма длин всех сторон, тогда : $$P=3*6=18$$
Задание 5218
Площадь ромба равна 60, а периметр равен 30. Найдите высоту ромба.
Раз периметр равен 30, то одна сторона ромба: $$a=\frac{30}{4}=7,5$$. Высоту ромба можно найти через его площадь: $$h=\frac{S}{a}=\frac{60}{7,5}=8$$
Задание 5219
В треугольнике $$ABC$$ $$AB=BC=3\sqrt{5}$$, высота СН равна 3. Найдите $$tg A$$.
По теореме Пифагора из треугольника BCH: $$BH=\sqrt{(3\sqrt{5})^{2}-3^{2}}=6$$. Вероятнее всего необходимо найти тангенс угла B, его можно найти как отношение CH к BH из треугольника BCH: $$tg A=\frac{3}{6}=0,5$$ Если же надо именно угла А, то найдем AH : $$AH=AB-BH=3\sqrt{5}-6$$. Тогда из треугольника AHC: $$tgA=\frac{CH}{AH}=\frac{3}{3\sqrt{5}-6}$$
Задание 5264
Окружность с центром в точке О описана около равнобедренного треугольника АВС, в котором $$AB=BC$$ и $$\angle ABC=108^{\circ}$$. Найдите величину угла ВОС. Ответ дайте в градусах.
Из треугольника $$ABC$$: $$\angle BAC = \frac{180-108}{2}=36$$ ( так как треугольник равнобедренный ). $$\angle BOC$$ является центральным, и он опирается на ту же дугу, что и вписанный $$\angle BAC$$, то есть он в два раза больше последнего: $$36*2=72$$
Задание 5265
В треугольнике ABC BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=10 и BC=BM. Найдите AH.
1) BM = BC, значит треугольник BMC - равнобедренный, тогда BH - высота и медиана, тогда MH=HC=0,5MC 2)AM=MC=0,5AC ( так как BM - медиана ), тогда MH = 0,25AC , и AH = 0,75AC = 0,75*10 = 7,5
Задание 5312
Прямые m и n параллельны. Найдите $$\angle 1$$, если $$\angle 2 = 52^{\circ}, \angle 3 = 48^{\circ}$$. Ответ дайте в градусах.
Угол 2 равен углу 4 как накрестлежащие, но сумма углов 3,4,1 равна 180, тогда $$\angle 1=180 - 52 - 48 = 80$$
Задание 5313
Основания трапеции равны 5 и 14. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
В треугольнике ABD HM - средняя линия, тогда: $$HM = \frac{1}{2}AB=2,5$$
В треугольнике BDC ML - средняя линия, тогда: $$ML=\frac{1}{2}DC=7$$
Задание 5315
В треугольнике ABC угол C равен 90°, СН – высота, AВ = 16, sin A = 3/4 . Найдите BН
Из треугольника ABC : $$CB=AB\sin A = 16*\frac{3}{4}=12$$. $$\angle A = \angle HCB$$ из подобия треугольников при проведении высоты в прямоугольном треугольнике. Из треугольника CHB: $$HB=CB \sin HCB = 12* \frac{3}{4}=9$$
Задание 5359
Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 48° и 74°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах
Весь угол в таком случае составляет: 48+74=122. Тогда меньший острый по свойству углов параллелограмма составляет: 180-122=58.
Задание 5360
В треугольнике ABC известно, что AC=24, BC= $$\sqrt{265}$$ , угол C равен 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
По теореме Пифагора: $$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{576+265}=29$$. По свойству радиуса описанной окружности около прямоугольного треугольника : $$R=\frac{AB}{2}=14,5$$
Задание 5362
В треугольнике ABC угол C равен 90°, СН – высота, AВ = 16, sin A = 3/4 . Найдите BН.
Из треугольника ABC: $$CB=AB\sin A=16*\frac{3}{4}=12$$.
Из треугольника CHB: $$HB=CB\sin BCH$$. Но из подобия прямоугольных треугольников при проведении высоты из прямого угла получаем, что $$\sin BCH=\sin A$$, тогда $$HB=CB\sin A=12*\frac{3}{4}=9$$
Задание 5408
Основания трапеции равны 10 и 18. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции
Построим среднюю линию и диагонали как показано на рисунке. MK - средняя линия в треугольнике ABD, следовательно, $$MK=\frac{1}{2}AD=9$$. Аналогично, MN - средняя линия в треугольнике ABC, следовательно, $$MN=\frac{1}{2}BC=5$$. Тогда $$NK=9-5=4$$
Задание 5410
В треугольнике ABC АВ = ВС = 13, AС = 10. Найдите tg A.
Проведем высоту BH. Так как треугольник равнобедренный, то BH - медиана, тогда: $$AH=5$$
По теореме Пифагора из треугольника ABH: $$BH=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12$$.
Следовательно, $$tg A=\frac{BH}{AH}=\frac{12}{5}=2,4$$
Задание 6063
Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 38° и 55°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Один угол: 38+55=93. Тогда второй по свойству углов параллелограмма: 180-93=87.
Задание 6111
Найдите периметр прямоугольника, если в него вписана окружность радиуса 10.
Если в прямоугольник вписана окружность, то данный прямоугольник является квадратом (так как сумма противоположных сторон равна) Радиус вписанной окружности в квадрат равен половине стороны квадрата, то есть сторона квадрата тогда 20 Периметр есть сумма длин всех сторон: $$P=20*4=80$$
Задание 6113
В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна $$20\sqrt{3}$$ , а сторона AB равна 40. Найдите $$\cos B$$.
Из треугольника ABH найдем синус угла B: $$\sin B=\frac{AH}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ Найдем косинус угла B по основному тригонометрическому тождеству: $$\cos B=\sqrt{1-\sin^{2} B}=\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}$$
Задание 6159
В треугольнике ABC BM – медиана и BH –высота. Известно, что AC=42 и BC=BM. Найдите AH.
$$BC=BM\Rightarrow \Delta BMC$$-равнобедренный $$\Rightarrow BH$$-медиана $$\Rightarrow MH=HC=\frac{1}{2}MC=\frac{1}{2}*\frac{1}{2}AC.$$ Т.е. $$MH=\frac{1}{4}*42=10,5 ; AM=21\Rightarrow AH=31,5.$$
Задание 6161
Катеты прямоугольного треугольника равны $$3\sqrt{11}$$ и 1. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.
1)$$\angle A<\angle B$$, т.к. $$CB<AC$$
2)Найдем $$AB=\sqrt{(3\sqrt{11})^{2}+1^{2}}=\sqrt{100}=10.$$
3) $$\sin \angle A =\frac{CB}{AB}=\frac{1}{10}=0,1.$$
Задание 6208
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=9, sin A=0,6. Найдите AB
$$\sin A=\frac{CB}{AB}$$, тогда $$AB=\frac{CB}{\sin A}=\frac{9}{0,6}=15$$
Задание 6252
Прямые m и n параллельны. Найдите $$\angle 3$$, если $$\angle 1=58, \angle 2=62$$. Ответ дайте в градусах.
Задание 6301
Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 42° и 78°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
$$\angle B=42+78=120$$
По свойству углов паралеллограма: $$\angle A=180-\angle B=180-120=60$$
Задание 6349
Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 5 и 8. Найдите длину основания BC.
Пусть $$BH_{1}\left | \right |CH$$ и $$BH_{1}=CH$$
Тогда $$AH_{1}=DH=5$$
$$HH_{1}=AH-AH_{1}=8-5=3=BC$$
Задание 6351
Катеты прямоугольного треугольника равны $$5\sqrt{3}$$ и 5. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.
$$CB>AC\Rightarrow \angle B<\angle A$$
$$AB=\sqrt{5^{2}+(5\sqrt{3})^{2}}=10$$
$$\sin A=\frac{AC}{AB}=\frac{5}{10}=0,5$$
Задание 6395
Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1=46, ∠2=51. Ответ дайте в градусах.
$$\angle 4=\angle 2$$-накрест лежащие, тогда: $$\angle 3=180-\angle 1-\angle 2=180-46-51=83$$
Задание 6443
Катеты прямоугольного треугольника равны 24 и 7. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
Пусть c-гипотенуза, h-высота $$c=\sqrt{24^{2}+7^{2}}=25$$ (по т. Пифагора) $$h=\frac{24*7}{25}=6,72$$
Задание 6445
Площадь прямоугольного треугольника равна $$49\sqrt{12}$$ . Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы треугольника.
Пусть x-гипотенуза AB, тогда $$AC=\frac{x}{2}$$
$$S=\frac{1}{2}*AB*AC*\sin A=49\sqrt{12}\Leftrightarrow$$$$\frac{1}{2}*x*\frac{x}{2}*\frac{\sqrt{3}}{2}=49\Leftrightarrow$$$$\sqrt{12} x^{2}=49*2*2^{3}\Leftrightarrow$$ $$x=7*4=28$$
Задание 6500
В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна $$19\sqrt{21}$$ , а сторона AB равна 95. Найдите cos B.
$$\Delta ABH:$$ $$BH=\sqrt{95^{2}-(19\sqrt{21})^{2}}=$$$$\sqrt{9025-7581}=$$$$\sqrt{1444}=38$$
$$\cos B=\frac{BH}{AB}=\frac{38}{95}=0,4$$
Задание 6544
В треугольнике ABC проведена биссектриса AМ, угол AМC равен 130, угол ABC равен 110. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
$$\angle AMB=180-\angle AMC=50$$
$$\Delta ABM$$: $$\angle BAM=180-(110+50)=20\Rightarrow$$ $$\angle A=20*2=40$$
$$\angle ACB=180-(110+40)=30$$
Задание 6545
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK=10, CK=18.
BC=10+18=28 $$\angle BAK=\angle KAD$$(AK-биссектриса )
$$\angle BKA=\angle KAD$$ (накрест лежащие)$$\Rightarrow \angle BAK=\angle BKA\Rightarrow$$
$$AB=BK=10$$ $$P=(10+28)*2=76$$
Задание 6546
Высота равностороннего треугольника равна $$\sqrt{12}$$. Найдите его периметр.
Найдем сторону треугольника: $$AB=\frac{BH}{\sin A}=$$$$\frac{\sqrt{12}}{\sin 60}=$$$$\frac{\sqrt{12}*2}{\sqrt{3}}=4$$
Найдем периметр треугольника: $$P=4*3=12$$
Задание 6547
В треугольнике ABC угол C равен 90, CH — высота, BC=15, CH=9. Найдите sin A
$$\sin A=\sin HCB$$( из $$\Delta ABC\sim \Delta HCB$$)
$$\sin HCB=\frac{HB}{CB}$$
$$HB=\sqrt{15^{2}-9^{2}}=12$$
$$\sin HCB=\frac{12}{15}=0,8$$
Задание 6592
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке Е. Найдите периметр параллелограмма, если BЕ=5, CЕ=16.
- $$BC=5+16=21=AD $$
- $$\angle BAE=\angle EAD$$(AE-биссектриса )
- $$\angle BEA=\angle EAD$$(накрест лежащие ), тогда $$BE=AB=5=CD $$
- $$P=2(5+21)=52$$
Задание 6593
В трапецию, сумма длин боковых сторон которой равна 28, вписана окружность. Найдите длину средней линии трапеции.
Пусть a,b - боковые стороны c,d - основания, m - средняя линия:
- По свойству описанного четырехугольника: $$a+b=c+d=28$$
- По свойству средней линии трапеции: $$m=\frac{c+d}{2}=14$$
Задание 6639
В треугольнике АВС углы А и С равны 32° и 68° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.
1) $$\angle B=180-(\angle A+\angle \angle C)=80$$
2) $$\angle DBC=\frac{1}{2}\angle B=40$$(DB - биссектриса)
3) $$\angle HBC=90-\angle C=22$$($$\Delta BHC$$ - прямоугольный)
4) $$\angle DBH=\angle DBC-\angle HBC=18$$
Задание 6708
В треугольнике ABC $$AC=\sqrt{5}$$ , $$BC=\sqrt{11}$$ , угол C равен 90. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы:
$$R=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\sqrt{11+5}=2$$
Задание 6780
На прямой АВ взята точка М. Луч MD — биссектриса угла CMВ. Известно, что $$\angle DMC=48$$. Найдите угол CMA. Ответ дайте в градусах
$$\angle BMC=2*48=96$$ (MD - биссектрисса)
$$\angle AMC=180-\angle BMC=84$$ (свойство смежных)
Задание 6781
Катеты прямоугольного треугольника равны 7 и 24. Найдите гипотенузу этого треугольника.
По т. Пифагора : $$\sqrt{7^{2}+24^{2}}=25$$
Задание 6783
Катеты прямоугольного треугольника равны $$5\sqrt{3}$$ и 5. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.
Пусть CB=5; $$AC=5\sqrt{3}$$; $$CB<AC$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle A<\angle B$$ и $$\sin A$$ - наименьший
$$AB=\sqrt{AC^{2}+CB^{2}}=10$$; $$\sin A=\frac{CB}{AB}=0,5$$
Задание 6850
Основания трапеции равны 10 и 18. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции
1) из $$\Delta ABD$$: $$MK=\frac{AD}{2}=9$$
2) из $$\Delta ABC$$: $$ML=\frac{BC}{2}=5$$
3) $$LK=MK-ML=4$$
Задание 6900
В треугольнике ABC BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=97 и BC=BM. Найдите AH.
1) $$AM=MC=\frac{1}{2} AC$$ ( BM - медиана )
2) $$MH=HC=\frac{1}{2}MC=\frac{1}{4}AC$$ ( BH - медиана и высота, т.к. $$\Delta MBC$$ - равнобедренный )
3) Тогда: $$AH=AM+MH=\frac{3}{4}AC=72,75$$
Задание 6948
Основания трапеции равны 11 и 16. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
Меньший - половина меньшего основания (средняя линия в треугольнике) Больший – половина большого основания или $$\frac{16}{2}=8$$
Задание 6949
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке Е. Найдите периметр параллелограмма, если BЕ=10, CЕ=7
1) $$BC=AD=10+7=17$$
2) $$\angle BAE=\angle EAD$$ ( AE - биссектриса ); $$\angle EAD=BEA$$ (накрест лежащие) $$\Rightarrow$$ $$\angle BEA=\angle BAE\Rightarrow$$ $$AB=BE=10=CD$$
3) $$P_{ABCD}=(17+10)*2=54$$
Задание 6995
Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD=AC. Известно, что ∠CAB=70° и ∠ACB=72°. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.
1) из $$\Delta ACD$$: $$\angle ACD=\angle ADC=$$$$\frac{180-\angle CAD}{2}=55$$ 2) $$\angle DCB=\angle ACB-\angle ACD=$$$$72-55=17$$
Задание 6996
Основания трапеции равны 8 и 17. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
Больший составляет половину от большого основания $$\Rightarrow \frac{17}{2}=8,5$$
Задание 6998
В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна $$4\sqrt{51}$$ , а сторона AB равна 40. Найдите cos B
1) из $$\Delta ABH$$: $$BH=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=$$$$\sqrt{40^{2}-(4\sqrt{51})^{2}}=$$$$\sqrt{1600-816}=\sqrt{784}=28$$ 2) $$\cos \beta=\frac{BH}{AB}=$$$$\frac{28}{40}=0,7$$
Задание 7081
В треугольнике АВС углы А и С равны 70° и 50° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.
- из $$\Delta ABC$$: $$\angle B=180-(\angle A+\angle C)=60\Rightarrow$$ $$\angle HBC=\frac{\angle B}{2}=30$$
- $$\angle DBC=90-\angle C=40$$
- $$\angle DBH=\angle DBC-\angle HBC=10$$
Задание 7084
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=8, tg A=0,75. Найдите BC.
$$tg A=\frac{CB}{AC}\Rightarrow$$ $$CB=AC*tgA=0,75*8=6$$
Задание 7128
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке К. Найдите периметр параллелограмма, если BК = 10, CК = 3.
1) $$BC=BK+KC=13$$
2) $$\angle BAK=\angle KAD$$(AK-биссектриса ); $$\angle KAD=\angle AKB$$ (накрест лежащие )$$\Rightarrow$$ $$\angle BAK=\angle BKA$$$$\Rightarrow$$ $$AB=BK=10$$
3) $$P_{ABCD}=(13+10)*2=52$$
Задание 7131
Катеты прямоугольного треугольника равны $$5\sqrt{3}$$ и 5 . Найдите наименьший угол этого треугольника.
Меньший угол напротив меньшей стороны . Пусть $$BC=5\Rightarrow$$ $$\angle A$$-меньший
$$tg\angle A=\frac{BC}{AB}=$$$$\frac{1}{\sqrt{3}}=$$$$\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow$$ $$\angle A=30$$
Задание 7157
В трапецию, сумма длин боковых сторон которой равна 12, вписана окружность. Найдите длину средней линии трапеции.
Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны $$\Rightarrow$$ сумма оснований равна 12.Средняя линия равна полусумме оснований $$\Rightarrow$$ 6
Задание 7242
Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 30° и 85°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
$$\angle B=30+85=115\Rightarrow$$ $$\angle A+\angle B=180$$ $$\angle A=180-\angle B=180-115=65$$
Задание 7244
В треугольнике ABC угол C равен 90, AC=16, $$tg A=\frac{3}{4}$$ . Найдите AB.
1) $$tg A=\frac{BC}{AC}\Rightarrow$$ $$BC=AC tgA=16*\frac{3}{4}=12$$ 2) по т. Пифагора : $$AB=\sqrt{BC^{2}+AC^{2}}=20$$
Задание 7271
Прямые m и n параллельны. Найдите $$\angle 2$$, если $$\angle 1=35^{\circ}$$, $$\angle 3=100^{\circ}$$
1) $$\angle 4=180-(\angle 1+\angle 3)=45$$ (по свойству развернутого угла )
2) $$\angle 4=\angle 2=45$$ (по свойству параллельных прямых )
Задание 7274
Катеты прямоугольного треугольника равны $$3\sqrt{15}$$ и 3. Найдите косинус наибольшего угла этого треугольника.
Пусть $$AC=3\sqrt{15}; CB=3$$; Наибольший угол в прямоугольном треугольнике составляет 90 (прямой) $$\Rightarrow$$ $$\cos 90=0$$
Задание 7463
В треугольнике ABC известно, что AB=BC, ∠ABC=104°. Найдите ∠BCA. Ответ дайте в градусах
Так как дан равнобедренный треугольник, то $$\angle A=\angle C$$. Тогда $$\angle C=\frac{180-\angle B}{2}=\frac{180-104}{2}=38$$
Задание 7464
Основания равнобедренной трапеции равны 62 и 92, боковая сторона равна 39. Найдите длину диагонали трапеции.
- Опустим высоты BH и CM. Тогда AH=MD, BC=HM ($$\Delta ABH=\Delta CMD$$ по катету и гипотенузе)
- $$AH=MD=\frac{AD-BC}{2}=15$$, тогда $$AM=15+62=77$$
- Из $$\Delta CMD$$: $$CM=\sqrt{CD^{2}-MD^{2}}=36$$
- Из $$\Delta ACM$$: $$AC=\sqrt{AM^{2}+CM^{2}}=85$$
Задание 7465
Площадь ромба равна 15, а периметр равен 20. Найдите высоту ромба.
Найдем сторону ромба: $$a=\frac{P}{4}=5$$ Найдем высоту ромба: $$h=\frac{S}{a}=3$$
Задание 7849
Прямые m и n параллельны. Найдите $$\angle$$3, если $$\angle$$2=42, $$\angle$$1=58. Ответ дайте в градусах.
Назовем угол между 1 и 3 как $$\angle 4$$. Так как прямые параллельны, то $$\angle 2$$ и $$\angle 4$$ равны как накрест лежащие. Тогда для угла 3, суммарный угол из 4 и 1 является смежным, следовательно, $$\angle 3=180-(\angle 4+\angle 1)=$$$$180-42-58=80$$
Задание 7850
Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 80°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
$$\angle B=145^{\circ}$$, тогда по свойству параллелограмма $$\angle A=180-\angle B=35^{\circ}$$. При этом $$\angle A=\angle C$$, а $$\angle B=\angle D$$. То есть наименьший угол составляет 35 градусов
Задание 7851
В треугольнике со сторонами 16 и 2 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?
Площадь треугольника можно найти как половину произведения длины стороны на длину проведенной к этой стороне высоты. Пусть h - высота, проведенная ко второй стороне. Так как рассматривается один треугольник, то $$\frac{1}{2}*16*1=\frac{1]{2}*2*h$$ или $$h=8$$
Задание 8391
В треугольнике ABC с внутренними углами $$\angle A=56^{\circ}$$ и $$\angle B=56^{\circ}$$ на продолжении стороны AC за точку C отмечена точка D так, что BC=CD . Найдите градусную меру угла CBD.
Задание 8820
Задание 8847
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=14, AB=20. Найдите $$\sin B$$
Задание 10458
Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 23°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90 градусов, тогда второй острый: $$90^{\circ}-23^{\circ}=67^{\circ}$$
Задание 10952
В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и $$\angle ACD=63{}^\circ $$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Задание 10977
Диагональ прямоугольника образует угол 47° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
Задание 11038
Диагональ прямоугольника образует угол $$63^{\circ}$$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
Задание 11058
Задание 11163
В треугольнике АВС угол А равен 45°, угол В равен 30°‚ ВС = $$8\sqrt{2}$$. Найдите АС.
