Перейти к основному содержанию

ОГЭ

Треугольники, четырёхугольники, многоугольники и их элементы

Трапеция

Задание 1858

Най­ди­те боль­ший угол рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD, если диа­го­наль AC об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем AD и бо­ко­вой сто­ро­ной AB углы, рав­ные 30° и 45° со­от­вет­ствен­но.

Ответ: 105
Скрыть

$$\angle A=\angle BAC+\angle CAD=30+45=75^{\circ}$$, тогда по свойству углов трапеции: $$\angle B=180-\angle A=105^{\circ}$$

Задание 1859

Най­ди­те угол АDС рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD, если диа­го­наль АС об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем ВС и бо­ко­вой сто­ро­ной АВ углы, рав­ные 30° и 50° со­от­вет­ствен­но.

Ответ: 80
Скрыть

$$\angle A=\angle BAC+\angle CAD=30+50=80^{\circ}$$

Задание 1860

Сумма двух углов рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равна 140°. Най­ди­те боль­ший угол тра­пе­ции. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 110
Скрыть

Так как дана равнобедренная трапеция, то сумма острых углов при большем основании будет составлять 140 градусов, $$\angle A=\angle B=\frac{140}{2}=70^{\circ}$$, по свойству углов трапеции: $$\angle D=180-\angle A=110^{\circ}$$

Задание 1861

Най­ди­те мень­ший угол рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции, если два ее угла от­но­сят­ся как 1:2. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 60
Скрыть

Пусть меньший угол равен х, тогда больший угол равен 2х. По свойству углов трапеции получаем, что $$x+2x=180\Leftrightarrow$$$$x=60$$, то есть меньший угол составляет $$60^{\circ}$$

Задание 1863

Тан­генс остро­го угла пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции равен $$\frac{5}{6}$$. Най­ди­те её боль­шее ос­но­ва­ние, если мень­шее ос­но­ва­ние равно вы­со­те и равно 15.

Ответ: 33
Скрыть

Опустим высоту CF, тогда из прямоугольного треугольника CFB: $$FB=\frac{CF}{tgB}=\frac{15}{\frac{5}{6}}=18$$. DC=AF=15, тогда AB=15+18=33.

Задание 1864

В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции из­вест­ны вы­со­та 4, мень­шее ос­но­ва­ние 8 и угол при ос­но­ва­нии $$45^{\circ}$$. Най­ди­те боль­шее ос­но­ва­ние.

Ответ: 16
Скрыть

Опустим высоты DE=CF=4, тогда из прямоугольного треугольника ADE: так как $$\angle A=45^{\circ}$$, то $$\angle ADE=90-45=45^{\circ}$$, следовательно, реугольник AED - равнобедренный, и AE=DE=4, аналогично FB=4. Но EF=DC=8, тогда AB=4+4+8=16.

Задание 1865

Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 4 и 10. Най­ди­те боль­ший из от­рез­ков, на ко­то­рые делит сред­нюю линию этой тра­пе­ции одна из её диа­го­на­лей.

Ответ: 5
Скрыть

EG - средняя линия треугольника ADB, тогда $$EG=\frac{1}{2}=AB=5$$, аналогично GF - средняя линия треугольника DCB, тогда $$GF=\frac{1}{2}DC=2$$, наибольший в таком случае равен 5

Примечение: больший из отрезков всегда будет равен половине большего основания

Задание 1866

Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 50 и 104, бо­ко­вая сто­ро­на 45. Най­ди­те длину диа­го­на­ли тра­пе­ции.

Ответ: 85
Скрыть

Опустим две высоты DE=CF, тогда AE=FB (из равенства прямоугольных треугольников ADE и CFB по катету и гипотенузе), и DC=EF=50, тогда $$AE=FB=\frac{104-50}{2}=27$$. Тогда из прямоугольного треугольника ADE : $$DE=\sqrt{AD^{2}-AE^{2}}=\sqrt{45^{2}-27^{2}}=36$$, следовательно, EB=AB-AE=104-27=77. Тогда из прямоугольного треугольника DEB: $$DB=\sqrt{DE^{2}+EB^{2}}=\sqrt{77^{2}+36^{2}}=85$$

Задание 1867

Около тра­пе­ции, один из углов ко­то­рой равен 49°, опи­са­на окруж­ность. Най­ди­те осталь­ные углы тра­пе­ции.

За­пи­ши­те ве­ли­чи­ны углов в ответ через точку с за­пя­той в по­ряд­ке не­убы­ва­ния.

Ответ: 49; 131; 131
Скрыть

По свойству вписанного четырехугольник $$\angle A+\angle C=180^{\circ}$$, пусть $$\angle A=49^{\circ}\Rightarrow$$$$\angle C=180-49=131^{\circ}$$. По свойству углов трапеции $$\angle B=180-\angle C=180-131=49^{\circ}$$, аналогично $$\angle D=180-\angle A=131^{\circ}$$

Задание 1868

В тра­пе­цию, сумма длин бо­ко­вых сто­рон ко­то­рой равна 24, впи­са­на окруж­ность. Най­ди­те длину сред­ней линии тра­пе­ции.

Ответ: 12
Скрыть

По свойству описанного четырехугольника AD+BC=AB+CD, тогда сумма оснований тоже 24, средняя линия же равна полусумме оснований, то есть 24/2=12.

Задание 2850

В трапецию, сумма длин боковых сторон которой равна 26, вписана окружность. Найдите длину средней линии трапеции.

Ответ: 13
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Условием того, что в четырехугольник( в том числе и в трапецию) можно вписать окружность является то, что сумма противоположных сторон у него одинакова. Значит, сумма боковых сторон, равна сумме оснований, то есть сумма оснований будет 26. Средняя линия равна полусумме оснований, то есть 26/2=13

Задание 2921

Основания трапеции равны 7 и 12. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Ответ: 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Из трекгольника ABC: MO=0.5BC=3.5

Из треугольника ACD: ON=0.5AD=6

Задание 3011

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 3 и 9. Найдите длину основания BC.

 

Ответ: 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$BC=9-3=6$$

Задание 3095

Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 120°, а CD=25.

Ответ: $$25\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$D=180-C=180-120=60$$

Из CHB : $$CH=CD * \sin D = 25 \sin 60=25 * \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{25\sqrt{3}}{2}$$

$$AM=CH$$ ;

$$AB=\frac{AM}{\sin B}=\frac{\frac{25\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=25\sqrt{3}$$

 

Задание 3307

В трапецию, сумма длин боковых сторон которой равна 24, вписана окружность. Найдите длину средней линии трапеции.

Ответ: 12
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!