Перейти к основному содержанию

ОГЭ

Окружность, круг и их элементы

Касательная, хорда, секущая, радиус

Задание 1909

Ра­ди­ус OB окруж­но­сти с цен­тром в точке O пе­ре­се­ка­ет хорду AC в точке D и пер­пен­ди­ку­ля­рен ей. Най­ди­те длину хорды AC, если BD = 1 см, а ра­ди­ус окруж­но­сти равен 5 см.

Ответ: 6
Скрыть

   1) $$OD=AB-BD=4$$

   2) Треугольник OAD - прямоугольный, тогда по теореме Пифагора: $$AD=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$$

   3) OA=AC, OD - общая, тогда прямоугольные треугольники AOD и ODC равны, следовательно, AD=DC=3, и AC=6

Задание 1910

Най­ди­те ве­ли­чи­ну (в гра­ду­сах) впи­сан­но­го угла α, опи­ра­ю­ще­го­ся на хорду  AB, рав­ную ра­ди­у­су окруж­но­сти.

Ответ: 30
Скрыть

   1) Треугольник OAB - равносторонний, тогда $$\angle AOB = 60^{\circ}=\smile AB$$

   2) $$\angle ADB=\angle \alpha=\frac{1}{2}\smile AB=30^{\circ}$$ (по свойству вписанного угла)

Задание 1911

К окруж­но­сти с цен­тром в точке О про­ве­де­ны ка­са­тель­ная AB и се­ку­щая AO. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, если AB = 12 см, AO = 13 см.

Ответ: 5
Скрыть

   1) По свойству радиуса и касательной $$OB\perp AB$$, тогда треугольник OAB - прямоугольный

   2) По теореме Пифагора $$OB=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5$$

Задание 1912

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, AC = 30 , $$BC=5\sqrt{13}$$. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около этого тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 17,5
Скрыть

    1) По теореме Пифагора $$AB=\sqrt{30^{2}+(5\sqrt{13})^{2}}=35$$

    2) По свойству прямоугольного треугольника, радиус описанной окружности равен половине гипотенузы, то есть $$R=\frac{35}{2}=17,5$$

Задание 1913

Длина хорды окруж­но­сти равна 72, а рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до этой хорды равно 27. Най­ди­те диа­метр окруж­но­сти.

Ответ: 90
Скрыть

   1)OA=OC (радиусы), AB - перпендикуляр (так как расстояние), тогда треугольники AOB и OBC прямоугольные и равные по катету и гипотенузе

   2)AB=BC=0,5AC=36, тогда по теореме Пифагора из треугольника AOB: $$AO=\sqrt{36^{2}+27^{2}}=45$$, следовательно, диаметр составит $$2*45=90$$

Задание 1914

Вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка делят опи­сан­ную около него окруж­ность на три дуги, длины ко­то­рых от­но­сят­ся как 3:4:11. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, если мень­шая из сто­рон равна 14.

Ответ: 14
Скрыть

Пусть меньший угол K, тогда по свойству треугольника меньшая сторона AM. Углы треугольника для окружности являются вписанными, следовательно, равны половинам дуг, на которые опираются, а значит и относятся так же , как и дуги.
Пусть угол К равен 3х, тогда M=4x и A=11x. По свойству углов треугольника: $$3x+4x+11x=180\Leftrightarrow$$$$x=10$$, тогда угол К составляет 30 градусов, а меньшая дуга MA составляет 60 градусов. 
Угол MOA является центральным, следовательно $$\angle MOA=\smile MA=60^{\circ}$$, тогда треугольник MOA не только равнобедренный (OM=OA - радиусы), но и равносторонний, следовательно, MA=14

Задание 1915

Пря­мая ка­са­ет­ся окруж­но­сти в точке K. Точка O — центр окруж­но­сти. Хорда KM об­ра­зу­ет с ка­са­тель­ной угол, рав­ный 83°. Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла OMK. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 7
Скрыть

Треугольник OMK - равнобедренный (OM=OK - радиусы), тогда $$\angle OMK=\angle OKM$$

По свойству касательной и радиуса OK и касательная - перпендикулярны, тогда $$\angle OKM=90-83=7^{\circ}$$, тогда и угол OMK те же 7 градусов

Задание 1917

От­рез­ки AB и CD яв­ля­ют­ся хор­да­ми окруж­но­сти. Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до хорды CD, если AB = 18, CD = 24, а рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до хорды AB равно 12.

Ответ: 9
Скрыть

OE перпендикулряно AB, следовательно, треугольники AOE и OEB равны (так как OA=OB-радиусы) по катету и гипотенузе. Тогда AE=EB=0,5AB=9.
По теореме Пифагора из треугольника OEB: $$OB=\sqrt{12^{2}+9^{2}}=15$$, следовательно, OD=15
Из треугольника OFD по теореме Пифагора: $$OF=\sqrt{OD^{2}-FD^{2}}$$, FD=0,5CD=12. Тогда: $$OF=\sqrt{15^{2}-12^{2}}=9$$

Задание 1918

На окруж­но­сти с цен­тром O от­ме­че­ны точки A и B так, что ∠AOB = 66°. Длина мень­шей дуги AB равна 99. Най­ди­те длину боль­шей дуги.

Ответ: 441
Скрыть

Если острый угол AOB составляет 66 градуов, то развернутый составляет $$360-66=294^{\circ}$$

Пусть длина большей дуги равна х, тогда:

$$66^{\circ}- 99$$

$$294^{\circ}- x$$

$$x=\frac{294*99}{66}=441$$

Задание 2481

Радиус окружности с центром в точке O равен 85, длина хорды AB равна 80 (см. рисунок). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.   

 

Ответ: 160
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
$$OA=OM=85$$ $$AB=80$$ $$\Rightarrow AL=BL=40$$ $$OL=\sqrt{OA^{2}-AC^{2}}=\sqrt{85^{2}-40^{2}}=75$$ $$ML=MO+OL=85+75=160$$  

 

Задание 2662

Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 18°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

Ответ: $$72^{\circ}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) ОМ - радиус $$\Rightarrow$$ МК - диаметр $$\Rightarrow$$ $$\smile LM=180^{\circ}$$

2) $$\angle DKM=18^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\smile KM=18\cdot 2=36^{\circ}$$

3) $$\smile LK=\smile LM-\smile KM=180^{\circ}-36^{\circ}=144^{\circ}$$

4) $$\angle OMK=\frac{\smile LM}{2}=72^{\circ}$$

 

Задание 2886

Длина хорды окружности равна 130, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 72. Найдите диаметр окружности.

Ответ: 194
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Введем следующие обозначения:

AH=HB=0.5AB=65 (так как AOB - равнобедренный и OH - высота)

$$OB=\sqrt{OH^2+HB^2}=97$$

OB - радиус, значит диаметр будет 97*2=194

Задание 3010

Длина хорды окружности равна 24, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 5. Найдите диаметр окружности.

 

Ответ: 26
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$r=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13$$ $$d=2r=2\cdot13=26$$

Задание 3058

Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 6.

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Проведем радиусы в точки касания и получим два равных прямоугольных треугольника. Значит ОА - биссектриса угла А. Значит она делит угол пополам, и получаем в треугольнике угол в 30 градусов. А катет (в нашем случае это радиус окружности), лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, то есть половине ОА или 3

Задание 3181

Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 50. Найдите величину угла MOK. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 100
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, значит ∠OKM = 90 - 50 = 40. Треугольник OMK равнобедренный ( так как OK ; OM - радиусы ). Значит ∠OMK = ∠OKM = 40 ∠MOK = 180 - ∠OMK - ∠OKM = 180 - 80 = 100