ОГЭ
Задание 1755
В геометрической прогрессии $$(b_{n})$$ известно, что $$b_{1}=2$$, $$q=-2$$. Найти пятый член этой прогрессии.
Воспользуемся формулой нахождения n-го члена геометрической прогрессии: $$b_{n}=b_{1}*q^{n-1}$$, тогда $$b_{5}=2*(-2)^{5-1}=32$$
Задание 1756
Геометрическая прогрессия $$(b_{n})$$ задана формулой n- го члена $$b_{n}=2*(-3)^{n-1}$$. Укажите четвертый член этой прогрессии.
Подставим $$n=4$$ в данную по условию формулу: $$b_{4}=2*(-3)^{4-1}=-54$$
Задание 1757
Дана геометрическая прогрессия (bn), знаменатель которой равен 2, а $$b_{1}=-\frac{3}{4}$$. Найдите сумму первых шести её членов.
Сумма n-ых первых членов геометрической прогрессии можно найти по формуле: $$S_{n}=\frac{b_{1}(q^{n}-1)}{q-1}$$, тогда $$S_{6}=\frac{-\frac{3}{4}(2^{6}-1)}{2-1}=-47,25$$
Задание 1758
В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 75, а сумма второго и третьего членов равна 150. Найдите первые три члена этой прогрессии.
В ответе перечислите через точку с запятой первый, второй и третий члены прогрессии.
Второй член можно записать как : $$b_{2}=b_{1}*q$$. Третий можно записать как: $$b_{3}=b_{1}*q^{2}$$, тогда: $$\left\{\begin{matrix}b_{1}+b_{1}*q=75\\ b_{1}*q+b_{1}*q^{2}=150\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}b_{1}(1+q)=75\\ b_{1}*q(1+q)=150\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\frac{b_{1}*q(1+q)}{b_{1}(1+q)} =\frac{150}{75}=2$$. Тогда $$b_{1}=\frac{75}{q+1}=\frac{75}{2+1}=25$$, $$b_{2}=b_{1}*q=25*2=50 ; b_{3}=b_{2}*q=50*2=100$$
Задание 1759
Геометрическая прогрессия задана условием $$b_{n}=160*3^{n}$$. Найдите сумму первых её 4 членов.
Найдем знаменатель геометрической прогрессии: $$q=\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=\frac{160*3^{n+1}}{160*3^{n}}=3$$. Найдем первый член: $$b_{1}=160*3^{1}=480$$. Найдем сумму первый четырех ее членов: $$S_{n}=\frac{b_{1}(q^{n}-1)}{q-1}=\frac{480*(3^{4}-1)}{3-1}=19200$$
Задание 1760
Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: 17, 68, 272, ... Найдите её четвёртый член.
Найдем знаменатель геометрической прогрессии: $$q=\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=\frac{272}{68}=4$$, найдем четвертый член: $$b_{4}=b_{3}*q=272*4=1088$$
Задание 1761
Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии: … ; 150 ; x ; 6 ; 1,2 ; … Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x.
1 вариант: найдем знаменатель геометрической прогрессии: $$q=\frac{1,2}{6}=0,5$$. Найдем $$x=150*0,5=30$$
2 вариант: $$b_{n}=\sqrt{b_{n-1}*b_{n+1}}$$, тогда $$x=\sqrt{150*6}=30$$
Задание 1762
Дана геометрическая прогрессия (bn), для которой b5 = −14, b8 = 112. Найдите знаменатель прогрессии.
Знаменатель геометрической прогрессии можно найти по формуле : $$q=\sqrt[m-n]{\frac{b_{m}}{b_{n}}}=\sqrt[8-5]{\frac{112}{-14}}=\sqrt[3]{8}=-2$$
Задание 1763
Геометрическая прогрессия задана условием b1 = −7, bn + 1 = 3bn. Найдите сумму первых 5 её членов.
1 вариант решения: знаменатель геометрической прогрессии можно найти по формуле: $$\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=\frac{3b_{n}}{b_{n}}=3$$. Сумму n-первых членов геометрической прогрессии можно найти по формуле: $$S_{n}=\frac{b_{1}*(1-q^{n})}{1-q}$$. Тогда $$S_{5}=\frac{-7*(1-3^{5})}{1-3}=-847$$
2 вариант решения: найдем первые пять членов геометрической прогрессии: $$b_{2}=3*b_{1}=3*(-7)=-21$$ ; $$b_{3}=3*b_{2}=3*(-21)=-63$$ ; $$b_{4}=3*b_{3}=3*(-63)=-189$$ ; $$b_{5}=3*b_{4}=3*(-189)=-567$$. Сложим их: $$-7+(-21)+(-63)+(-189)+(-567)=-847$$
Задание 1764
Дана геометрическая прогрессия (bn), знаменатель которой равен 2, а b1 = 16. Найдите b4.
По формуле n-го члена геометрической прогрессии : $$b_{4}=b_{1}*q^{4-1}=16*2^{3}=128$$
Задание 1765
Последовательность задана формулой $$c_{n}=n^{2}-1$$. Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?
| 1) 1 |
| 2) 2 |
| 3) 3 |
| 4) 4 |
Данная последовательность возрастающая (в силу монотонности функции $$f_{x}=x^{2}-1$$, при $$x-in N$$. Найдем первые три члена последовательности:
$$c_{1}=1^{2}-1=0$$
$$c_{2}=2^{2}-1=3$$, как видим, третий вариант ответа является членом последовательности
$$c_{3}=3^{2}-1=8$$. Далее нет смысла рассматривать
Задание 1766
Последовательность задана формулой $$c_{n}=n+\frac{(-1)^{n}}{n}$$. Какое из следующих чисел не является членом этой последовательности?
| 1) $$2\frac{1}{2}$$ |
| 2) $$4\frac{1}{4}$$ |
| 3) $$5\frac{1}{5}$$ |
| 4) $$6\frac{1}{6}$$ |
Найдем второй, четвертый, пятый и шестой члены последовательности:
$$c_{2}=2+\frac{(-1)^{2}}{2}=2+\frac{1}{2}=2\frac{1}{2}$$
$$c_{4}=4+\frac{(-1)^{4}}{4}=4+\frac{1}{4}=4\frac{1}{4}$$
$$c_{5}=5+\frac{(-1)^{5}}{5}=5-\frac{1}{5}=4\frac{4}{5}\neq 5\frac{1}{5}$$, следовательно, третий вариант не является членом последовательности
$$c_{6}=6+\frac{(-1)^{6}}{6}=6+\frac{1}{6}=6\frac{1}{6}$$
Задание 1767
Какое из указанных чисел не является членом последовательности $$a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}$$?
| 1) $$\frac{1}{2}$$ |
| 2) $$-\frac{1}{3}$$ |
| 3) $$\frac{1}{16}$$ |
| 4) $$\frac{1}{17}$$ |
Найдем второй, третий, шестнадцатый и семнадцатый члена последовательности:
$$a_{2}=\frac{(-1)^{2}}{2}=\frac{1}{2}$$
$$a_{3}=\frac{(-1)^{3}}{3}=-\frac{1}{3}$$
$$a_{16}=\frac{(-1)^{16}}{16}=\frac{1}{16}$$
$$a_{17}=\frac{(-1)^{17}}{17}=-\frac{1}{17}\neq \frac{1}{17}$$, следовательно, четвертый вариант ответа не является членом последовательности.
Задание 1769
Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них — арифметическая прогрессия. Укажите ее.
Для того, чтобы числовая последовательность была арифметической прогрессией, необходимо выполнение условия $$d=a_{n+1}-a_{n}$$ для всех членов последовательности:
1) 1; 2; 3; 5; ... $$d_{1}=2-1=1 ; d_{2}=3-2=1 ; d_{3}=5-3=2$$, как видим $$d_{3}\neq d_{2}$$, следовательно, это не арифметическая прогрессия
2) 1; 2; 4; 8; ... $$d_{1}=2-1=1 ; d_{2}=4-2=2$$, как видим $$d_{2}\neq d_{1}$$, следовательно, это не арифметическая прогрессия
3) 1; 3; 5; 7; ... $$d_{1}=3-1=2 ; d_{2}=5-3=2 ; d_{3}=7-5=2$$, как видим $$d_{3}=d_{2}=d_{1}$$, следовательно, это арифметическая прогрессия
4) 1; $$\frac{1}{2}; \frac{2}{3}; \frac{3}{4}$$; ... $$d_{1}=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6} ; d_{2}=\frac{3}{4}-\frac{2}{3}=\frac{1}{12} $$, как видим $$d_{2}\neq d_{1}$$, следовательно, это не арифметическая прогрессия
Задание 1770
Чтобы числовая последовательность была геометрической прогрессией необходимо выполнение условия для всех членов последовательности: $$q=\frac{b_{n+1}}{b_{n}}$$