ОГЭ / Арифметические и геометрические прогрессии

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Дана арифметическая прогрессия, найдем ее разность:

$$d=a_{n+1}-a_{n}=a_{n}-3-a_{n}=-3$$

Найдем 10 член прогрессии:

$$a_{10}=a_{1}+d(n-1)=5-3\cdot (10-1)=-22$$

Так как каждое следующее больше предыдущего в два раза, то дана геометрическая прогрессия, первый член которой равен 3, знаменатель геометрической прогрессии равен 2.

Необходимо найти пятый член прогрессии, воспользуемся формулой: $$b_{n}=b_{1}\cdot q^{n-1}\Rightarrow$$$$b_{6}=3\cdot 2^{5-1}=48$$

Воспользуемся формулой : $$d=\frac{a_{m}-a_{n}}{m-n}$$

Нахождение разности в арифметической прогрессии: $$d=\frac{150-(-30)}{16-6}=\frac{180}{10}=18$$

Найдем разность арифметической прогрессии: $$d=a_{n+1}-a_{n}=a_{n}+2-a_{n}=2$$. Найдем пятый член прогрессии, воспользовавшись формулой n-го члена арифметической прогрессии: $$a_{5}=3+2(5-1)=11$$

Найдем разность арифметической прогрессии: $$d=-8,4-(-8,6)=0,2$$. То есть n-ый член прогрессии можно задать формулой: $$a_{n}=-8,6+0,2(n-1)$$.

Найдем номер первого неотрицательного члена: $$-8,6+0,2(n-1)<0\Leftrightarrow$$$$-8,8+0,2n<0\Leftrightarrow$$$$0,2n<8,8|:0,2\Leftrightarrow$$$$n<44$$.

В силу строгости неравенства, получаем, что первые 43 член прогрессии являются отрицательными. Найдем сумму первых 43ёх членов прогрессии: $$S_{43}=\frac{2*(-8,6)+0,2(43-1)}{2}*43=-189,2$$

Найдем разность арифметической прогрессии: $$d=a_{n+1}-a_{n}=a_{n}+6-a_{n}=6$$. Следовательно, прогрессию можно задать формулой: $$a_{n}=6+6(n-1)$$. Для того, чтобы число являлось членом данной арифметической прогрессии, при подстановке числа вместо $$a_{n}$$ должно решаться уравнение $$a_{n}=6+6(n-1)$$ в натуральных $$n$$:
$$80=6+6(n-1)\Leftrightarrow$$$$80=6+6n-6\Leftrightarrow$$$$80=6n|:6\Leftrightarrow$$$$n=\frac{80}{6}$$ - число ненатуральное, следовательно, 80 не является членом данной прогрессии
$$56=6+6(n-1)\Leftrightarrow$$$$56=6+6n-6\Leftrightarrow$$$$56=6n|:6\Leftrightarrow$$$$n=\frac{56}{6}$$ - число ненатуральное, следовательно, 56 не является членом данной прогрессии
$$48=6+6(n-1)\Leftrightarrow$$$$48=6+6n-6\Leftrightarrow$$$$48=6n|:6\Leftrightarrow$$$$n=8$$ - число натуральное, следовательно, 48 не является членом данной прогрессии
$$32=6+6(n-1)\Leftrightarrow$$$$32=6+6n-6\Leftrightarrow$$$$32=6n|:6\Leftrightarrow$$$$n=\frac{32}{6}$$ - число ненатуральное, следовательно, 32 не является членом данной прогрессии

Найдем разность арифметической прогрессии: $$d=25-33=-8$$. Найдем следующие члены прогрессии:
$$a_{4}=17-8=9;$$$$a_{5}=9-8=1;$$$$a_{6}=1-8=-7$$

Первый член прогрессии в данном случае: $$a_{1}=30$$, так как прибавляется каждый раз 2 места, то разность арифметической прогрессии в данном случае: $$d=2$$, тогда n-ый член последовательности можно задать, как : $$a_{n}=30+2(n-1)=28+2n$$, что соответствует 1 варианту ответа.

Найдем разность арифметической прогрессии для каждой из данных:
$$x_{n+1}=2(n+1)+4=2n+6$$, тогда $$d=x_{n+1}-x_{n}=2n+6-(2n+4)=2$$
$$y_{n+1}=4(n+1)=4n+4$$, тогда $$d=y_{n+1}-y_{n}=4n+4-4n=4$$
$$z_{n+1}=4(n+1)+2=4n+6$$, тогда $$d=z_{n+1}-z_{n}=4n+6-(4n+2)=4$$
Как видим, подошли вторая и третья, следовательно, правильный ответ под номером 2.

Найдем разность арифметической прогрессии: $$d=-3-(-6)=3$$, найдем сумму первых десяти ее членов: $$S_{10}=\frac{2*(-6)+3(10-1)}{2}*10=75$$

Найдем разность арифметической прогрессии: $$d=-5-(-7)=2$$, найдем 16-ый член данной прогрессии: $$a_{16}=-7+2(16-1)=23$$

Решим данное неравенство: $$\frac{40}{n+1}>2\Leftrightarrow$$$$\frac{40-2(n+1)}{n+1}>0\Leftrightarrow$$$$\frac{38-2n}{n+1}>0$$. Начертим координатную прямую и отметим значения Х, когда числитель и знаменатель равны нулю (неравенство строгое, потому обе точки будут пустые) и знаки значений ,которые принимает выражение : $$\frac{38-2n}{n+1}$$ на полученных промежутках:

Нам необходим промежуток тот, где получается положительные значения, то есть $$(-1;19)$$. Так же необходимо учитывать, что $$n\in N$$, так как это порядковый номер. Тогда натуральных чисел на полученном промежутке 18. 

Необходимо найти все значения $$n\in N$$, при которых $$a_{n}>6$$: решим неравенство $$\frac{34}{n+1}>6\Leftrightarrow$$$$\frac{34-6(n+1)}{n+1}>0\Leftrightarrow$$$$\frac{28-6n}{n+1}>0$$. Начертим координатную прямую и отметим значения Х, когда числитель и знаменатель равны нулю (неравенство строгое, потому обе точки будут пустые) и знаки значений ,которые принимает выражение : $$\frac{28-6n}{n+1}$$ на полученных промежутках:

Нам необходим промежуток тот, где получается положительные значения, то есть $$(-1;\frac{28}{6})$$. Так же необходимо учитывать, что $$n\in N$$, так как это порядковый номер. Тогда натуральных чисел на полученном промежутке 4 (1;2;3;4). 

В данном случае дана арифметическая прогрессия, найдем ее разность: $$d=c_{n+1}-c_{n}=c_{n}-1-c_{n}=-1$$. Найдем 7ой член прогрессии, воспользовавшись формулой n-го члена арифметической прогрессии: $$c_{7}=-3+(-1)(7-1)=-9$$

Чтобы числовая последовательность была геометрической прогрессией необходимо выполнение условия для всех членов последовательности: $$q=\frac{b_{n+1}}{b_{n}}$$

Для того, чтобы числовая последовательность была арифметической прогрессией, необходимо выполнение условия $$d=a_{n+1}-a_{n}$$ для всех членов последовательности:
1) 1; 2; 3; 5; ... $$d_{1}=2-1=1 ; d_{2}=3-2=1 ; d_{3}=5-3=2$$, как видим $$d_{3}\neq d_{2}$$, следовательно, это не арифметическая прогрессия
2) 1; 2; 4; 8; ... $$d_{1}=2-1=1 ; d_{2}=4-2=2$$, как видим $$d_{2}\neq d_{1}$$, следовательно, это не арифметическая прогрессия
3) 1; 3; 5; 7; ... $$d_{1}=3-1=2 ; d_{2}=5-3=2 ; d_{3}=7-5=2$$, как видим $$d_{3}=d_{2}=d_{1}$$, следовательно, это арифметическая прогрессия
4) 1; $$\frac{1}{2}; \frac{2}{3}; \frac{3}{4}$$; ... $$d_{1}=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6} ; d_{2}=\frac{3}{4}-\frac{2}{3}=\frac{1}{12} $$, как видим $$d_{2}\neq d_{1}$$, следовательно, это не арифметическая прогрессия

Найдем второй, третий, шестнадцатый и семнадцатый члена последовательности:
$$a_{2}=\frac{(-1)^{2}}{2}=\frac{1}{2}$$
$$a_{3}=\frac{(-1)^{3}}{3}=-\frac{1}{3}$$
$$a_{16}=\frac{(-1)^{16}}{16}=\frac{1}{16}$$
$$a_{17}=\frac{(-1)^{17}}{17}=-\frac{1}{17}\neq \frac{1}{17}$$, следовательно, четвертый вариант ответа не является членом последовательности.

Найдем второй, четвертый, пятый и шестой члены последовательности:
$$c_{2}=2+\frac{(-1)^{2}}{2}=2+\frac{1}{2}=2\frac{1}{2}$$
$$c_{4}=4+\frac{(-1)^{4}}{4}=4+\frac{1}{4}=4\frac{1}{4}$$
$$c_{5}=5+\frac{(-1)^{5}}{5}=5-\frac{1}{5}=4\frac{4}{5}\neq 5\frac{1}{5}$$, следовательно, третий вариант не является членом последовательности
$$c_{6}=6+\frac{(-1)^{6}}{6}=6+\frac{1}{6}=6\frac{1}{6}$$

Данная последовательность возрастающая (в силу монотонности функции $$f_{x}=x^{2}-1$$, при $$x-in N$$. Найдем первые три члена последовательности:
$$c_{1}=1^{2}-1=0$$
$$c_{2}=2^{2}-1=3$$, как видим, третий вариант ответа является членом последовательности
$$c_{3}=3^{2}-1=8$$. Далее нет смысла рассматривать

По формуле n-го члена геометрической прогрессии : $$b_{4}=b_{1}*q^{4-1}=16*2^{3}=128$$

1 вариант решения: знаменатель геометрической прогрессии можно найти по формуле: $$\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=\frac{3b_{n}}{b_{n}}=3$$. Сумму n-первых членов геометрической прогрессии можно найти по формуле: $$S_{n}=\frac{b_{1}*(1-q^{n})}{1-q}$$. Тогда $$S_{5}=\frac{-7*(1-3^{5})}{1-3}=-847$$
2 вариант решения: найдем первые пять членов геометрической прогрессии: $$b_{2}=3*b_{1}=3*(-7)=-21$$ ; $$b_{3}=3*b_{2}=3*(-21)=-63$$ ; $$b_{4}=3*b_{3}=3*(-63)=-189$$ ; $$b_{5}=3*b_{4}=3*(-189)=-567$$. Сложим их: $$-7+(-21)+(-63)+(-189)+(-567)=-847$$

Знаменатель геометрической прогрессии можно найти по формуле : $$q=\sqrt[m-n]{\frac{b_{m}}{b_{n}}}=\sqrt[8-5]{\frac{112}{-14}}=\sqrt[3]{8}=-2$$

1 вариант: найдем знаменатель геометрической прогрессии: $$q=\frac{1,2}{6}=0,5$$. Найдем $$x=150*0,5=30$$
2 вариант: $$b_{n}=\sqrt{b_{n-1}*b_{n+1}}$$, тогда $$x=\sqrt{150*6}=30$$

Найдем знаменатель геометрической прогрессии: $$q=\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=\frac{272}{68}=4$$, найдем четвертый член: $$b_{4}=b_{3}*q=272*4=1088$$

Найдем знаменатель геометрической прогрессии: $$q=\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=\frac{160*3^{n+1}}{160*3^{n}}=3$$. Найдем первый член: $$b_{1}=160*3^{1}=480$$. Найдем сумму первый четырех ее членов: $$S_{n}=\frac{b_{1}(q^{n}-1)}{q-1}=\frac{480*(3^{4}-1)}{3-1}=19200$$

Второй член можно записать как : $$b_{2}=b_{1}*q$$. Третий можно записать как: $$b_{3}=b_{1}*q^{2}$$, тогда: $$\left\{\begin{matrix}b_{1}+b_{1}*q=75\\ b_{1}*q+b_{1}*q^{2}=150\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}b_{1}(1+q)=75\\ b_{1}*q(1+q)=150\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\frac{b_{1}*q(1+q)}{b_{1}(1+q)} =\frac{150}{75}=2$$. Тогда $$b_{1}=\frac{75}{q+1}=\frac{75}{2+1}=25$$, $$b_{2}=b_{1}*q=25*2=50 ; b_{3}=b_{2}*q=50*2=100$$

Сумма n-ых первых членов геометрической прогрессии можно найти по формуле: $$S_{n}=\frac{b_{1}(q^{n}-1)}{q-1}$$, тогда $$S_{6}=\frac{-\frac{3}{4}(2^{6}-1)}{2-1}=-47,25$$

Подставим $$n=4$$ в данную по условию формулу: $$b_{4}=2*(-3)^{4-1}=-54$$

Воспользуемся формулой нахождения n-го члена геометрической прогрессии: $$b_{n}=b_{1}*q^{n-1}$$, тогда $$b_{5}=2*(-2)^{5-1}=32$$

Пусть  a₁=-9, a₃=-13. Нам надо найти a₂. Для начала найдем разность арифметической прогрессии по формуле $$\frac{a_{m}-a_{n}}{m-n}$$:

$$\frac{a_{m}-a_{n}}{m-n}=\frac{-13-(-9)}{3-1}=\frac{-4}{2}=-2$$

Значит второй член будет равен: -9 - 2 = - 11