ОГЭ
Задание 2671
На высоте AH треугольника ABC взята точка M. Докажите, что AB2–AC2=MB2–MC2.
$$AB^{2}-AC^{2}=MB^{2}-MC^{2}$$
|
1) из $$\bigtriangleup BMH$$ и $$\bigtriangleup CMH$$: $$MH^{2}=BM^{2}-BH^{2}=CM^{2}-CH^{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$BM^{2}-CM^{2}=BH^{2}-CH^{2}$$ 2) из $$\bigtriangleup ABH$$ и $$\bigtriangleup AHC$$: $$AH^{2}=AB^{2}-BH^{2}=AC^{2}-CH^{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$AB^{2}-AC^{2}=BH^{2}-CH^{2}$$ 3) из 1 и 2 $$BM^{2}-CM^{2}=BH^{2}-CH^{2}=AB^{2}-AC^{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$AB^{2}-AC^{2}=BM^{2}-CM^{2}$$ |
 |
ч.т.д.
Задание 2775
В равнобедренном треугольнике АВС из концов основания АС проведены прямые, которые составляют с основанием равные углы и пересекаются в точке М. Докажите равенство треугольников АВМ и ВСМ.
|
1) $$\angle \alpha=\angle \beta$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ACM$$ - равнобедренный $$\Rightarrow$$ $$AM=MC$$ 2) $$\angle A=\angle C$$; $$AB=BC$$; $$AM=MC$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ABM=\bigtriangleup BMC$$ |
ч.т.д.
Задание 2929
Докажите, что если в треугольнике две высоты равны, то он равнобедренный.
Решение временно отсутствует, можете найти его в моем видео-разборе ( вначале варианта )
Задание 3019
Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.
|
AH - медиана и биссектриса $$\Rightarrow$$ $$\angle HAC=\angle HAB$$; BH=HC и АН - общая. По теореме косинусов: $$\left.\begin{matrix}\frac{AH}{\sin C}=\frac{HC}{\sin HAC}\\\frac{AH}{\sin B}=\frac{HB}{\sin BAH}\end{matrix}\right\}$$ $$\Rightarrow \sin C=\sin B\Rightarrow \angle C=\angle B$$ ч.т.д. |
Задание 3143
Докажите, что периметр параллелограмма больше суммы длин его диагоналей
Текстовое решение временно недоступно, вы можете найти его в видео в начале варианта
Задание 2972
Докажите, что если у треугольника равны две высоты, то этот треугольник равнобедренный.
|
$$CH=AM$$ $$\bigtriangleup BCH=\bigtriangleup AMB$$ ($$\angle B$$ - общий катеты равны) $$\Rightarrow$$ $$AB=BC$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ABC$$ - равнобедренный. ч. т. д. |
Задание 3190
Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей, делит пополам общую касательную к ним
По свойству касательной и секущей: $$AM^{2}=MC\cdot MN$$
$$MB^{2}=MC\cdot MN$$
$$\Rightarrow$$ $$AM^{2}=MB^{2}$$
$$\Rightarrow$$ $$AM=MB$$
ч.т.д.
Задание 3568
В выпуклом четырехугольнике АВСD точки К, М, Р, Е – середины сторон АВ, ВС, СD и DA соответственно. Докажите, что площадь четырехугольника КМРЕ равна половине площади четырехугольника АВСD.
1) из $$\bigtriangleup ABC$$: $$KM\parallel AC$$ (км - средняя линия)
аналогично: $$KE\parallel DB\parallel MP$$; $$KM\parallel AC\parallel EP$$ и $$EP=KM$$; $$EK=PC$$
2) $$S_{ABD}+S_{DBC}=S_{ABC}+S_{ADC}=S_{ABCD}=S$$
$$\left.\begin{matrix}S_{AKE}=\frac{1}{4}S_{ABD}\\S_{KCP}=\frac{1}{4}S_{DBC}\\S_{KBM}=\frac{1}{4}S_{ACB}\\S_{EDP}=\frac{1}{4}S_{ADC}\end{matrix}\right\}$$ $$\Rightarrow$$
$$\frac{1}{4}(S_{ABD}+S_{DBC})+\frac{1}{4}(S_{ACB}+S_{ADC})=\frac{1}{4}S+\frac{1}{4}S=\frac{1}{2}S$$ $$\Rightarrow$$
$$S_{EKMP}=S-\frac{1}{2}S=\frac{1}{2}S$$
Задание 3845
В треугольнике АВС с тупым углом АСВ проведены высоты АА1 и ВВ1. Докажите, что треугольники А1СВ1 и АСВ подобны.
$$\bigtriangleup A_{1}CB_{1}\sim \bigtriangleup ACB$$
$$\angle A_{1}CA=\angle B_{1}CB$$ вертикальные
т.к. $$\bigtriangleup A_{1}AC$$ И $$\bigtriangleup BB_{1}C$$ прямоугольные, то из равенства их острых угловони подобные
$$\Rightarrow$$ $$\frac{A_{1}C}{CB_{1}}=\frac{AC}{CB}$$
$$\Rightarrow$$ $$\frac{A_{1}C}{AC}=\frac{CB_{1}}{CB}$$; $$\angle A_{1}CB_{1}=\angle ACB$$
$$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup A_{1}CB_{1}$$ по первому признаку
Задание 3996
На стороне BC квадрата ABCD взята точка М. Докажите, что площадь треугольника AМD равна половине площади квадрата.
1) Пусть МН - высота AMD $$\Rightarrow$$
$$MH\perp AD$$ $$\Rightarrow$$
$$MH\parallel AB$$ $$\Rightarrow$$
$$MH=AB$$
2) $$S_{ABCD}=\frac{1}{2}AD\cdot MH=\frac{1}{2}AB\cdot AD$$
$$S_{ABCD}=AB\cdot AD$$ $$\Rightarrow$$
$$S_{AMD}=\frac{1}{2}S_{ABCD}$$
Ч.Т.Д.
Задание 4060
В четырехугольнике две стороны параллельны друг другу, а две другие перпендикулярны диагоналям. Докажите, что перпендикулярные диагоналям стороны равны между собой.
1) $$BC\parallel AD\Rightarrow ABCD$$ - трапеция
2) Пусть М - середина AD $$\Rightarrow$$
$$AM=MD=BM$$ ($$\bigtriangleup ABD$$ - прямоуг.)
$$AM=MD=MC$$ (аналогично) $$\Rightarrow$$
$$BM=MC\Rightarrow$$ $$\angle MBC=\angle MCB$$
3) $$\angle CMD=\angle BCM$$ (накрестлежащие)
$$\angle AMB=\angle MBC$$ (накрестлежащие) $$\Rightarrow$$
$$\angle AMB=\angle DCM$$ $$\Rightarrow$$
$$\bigtriangleup AMB=\bigtriangleup CMD$$ (по двум сторонам и углу)
$$\Rightarrow$$ $$AB=CD$$
ч.т.д.
