Перейти к основному содержанию

ОГЭ

ОГЭ / (C5) Геометрическая задача на доказательство

Задание 2671

На высоте AH треугольника ABC взята точка M. Докажите, что AB2–AC2=MB2–MC2.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$AB^{2}-AC^{2}=MB^{2}-MC^{2}$$

1) из $$\bigtriangleup BMH$$ и $$\bigtriangleup CMH$$: $$MH^{2}=BM^{2}-BH^{2}=CM^{2}-CH^{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$BM^{2}-CM^{2}=BH^{2}-CH^{2}$$

2)  из $$\bigtriangleup ABH$$ и $$\bigtriangleup AHC$$: $$AH^{2}=AB^{2}-BH^{2}=AC^{2}-CH^{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$AB^{2}-AC^{2}=BH^{2}-CH^{2}$$

3) из 1 и 2 $$BM^{2}-CM^{2}=BH^{2}-CH^{2}=AB^{2}-AC^{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$AB^{2}-AC^{2}=BM^{2}-CM^{2}$$

ч.т.д.

Задание 2775

В равнобедренном треугольнике АВС из концов основания АС проведены прямые, которые составляют с основанием равные углы и пересекаются в точке М. Докажите равенство треугольников АВМ и ВСМ.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) $$\angle \alpha=\angle \beta$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ACM$$ - равнобедренный $$\Rightarrow$$ $$AM=MC$$

2) $$\angle A=\angle C$$; $$AB=BC$$; $$AM=MC$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ABM=\bigtriangleup BMC$$

 

ч.т.д.

Задание 2929

Докажите, что если в треугольнике две высоты равны, то он равнобедренный.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Решение временно отсутствует, можете найти его в моем видео-разборе ( вначале варианта )

Задание 3019

Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

AH - медиана и биссектриса $$\Rightarrow$$ $$\angle HAC=\angle HAB$$; BH=HC и АН - общая.

По теореме косинусов:

$$\left.\begin{matrix}\frac{AH}{\sin C}=\frac{HC}{\sin HAC}\\\frac{AH}{\sin B}=\frac{HB}{\sin BAH}\end{matrix}\right\}$$

$$\Rightarrow \sin C=\sin B\Rightarrow \angle C=\angle B$$

ч.т.д.

 

 

Задание 3143

Докажите, что периметр параллелограмма больше суммы длин его диагоналей

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Текстовое решение временно недоступно, вы можете найти его в видео в начале варианта

Задание 2972

Докажите, что если у треугольника равны две высоты, то этот треугольник равнобедренный.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$CH=AM$$ $$\bigtriangleup BCH=\bigtriangleup AMB$$ ($$\angle B$$ - общий катеты равны) $$\Rightarrow$$ $$AB=BC$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ABC$$ - равнобедренный.

ч. т. д.

 

Задание 3190

Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей, делит пополам общую касательную к ним

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

По свойству касательной и секущей: $$AM^{2}=MC\cdot MN$$

$$MB^{2}=MC\cdot MN$$

$$\Rightarrow$$ $$AM^{2}=MB^{2}$$

$$\Rightarrow$$ $$AM=MB$$

ч.т.д.

Задание 3314

Биссектрисы углов A и D трапеции ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Докажите, что точка M равноудалена от прямых AB, AD и CD.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 3361

Докажите, что середины оснований трапеции, точка пересечения ее диагоналей и точка пересечения боковых сторон трапеции лежат на одной прямой.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 3409

Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен половине разности суммы катетов и гипотенузы.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 3568

В выпуклом четырехугольнике АВСD точки К, М, Р, Е – середины сторон АВ, ВС, СD и DA соответственно. Докажите, что площадь четырехугольника КМРЕ равна половине площади четырехугольника АВСD.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) из $$\bigtriangleup ABC$$: $$KM\parallel AC$$ (км - средняя линия)

аналогично: $$KE\parallel DB\parallel MP$$; $$KM\parallel AC\parallel EP$$ и $$EP=KM$$; $$EK=PC$$

2) $$S_{ABD}+S_{DBC}=S_{ABC}+S_{ADC}=S_{ABCD}=S$$

$$\left.\begin{matrix}S_{AKE}=\frac{1}{4}S_{ABD}\\S_{KCP}=\frac{1}{4}S_{DBC}\\S_{KBM}=\frac{1}{4}S_{ACB}\\S_{EDP}=\frac{1}{4}S_{ADC}\end{matrix}\right\}$$ $$\Rightarrow$$

$$\frac{1}{4}(S_{ABD}+S_{DBC})+\frac{1}{4}(S_{ACB}+S_{ADC})=\frac{1}{4}S+\frac{1}{4}S=\frac{1}{2}S$$ $$\Rightarrow$$

$$S_{EKMP}=S-\frac{1}{2}S=\frac{1}{2}S$$

Задание 3845

В треугольнике АВС с тупым углом АСВ проведены высоты АА1 и ВВ1. Докажите, что треугольники А1СВ1 и АСВ подобны.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\bigtriangleup A_{1}CB_{1}\sim \bigtriangleup ACB$$

$$\angle A_{1}CA=\angle B_{1}CB$$ вертикальные

т.к. $$\bigtriangleup A_{1}AC$$ И $$\bigtriangleup BB_{1}C$$ прямоугольные, то из равенства их острых угловони подобные 

$$\Rightarrow$$ $$\frac{A_{1}C}{CB_{1}}=\frac{AC}{CB}$$

$$\Rightarrow$$ $$\frac{A_{1}C}{AC}=\frac{CB_{1}}{CB}$$; $$\angle A_{1}CB_{1}=\angle ACB$$

$$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup A_{1}CB_{1}$$ по первому признаку

Задание 3996

На стороне BC квадрата ABCD взята точка М. Докажите, что площадь треугольника AМD равна половине площади квадрата.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Пусть МН - высота AMD $$\Rightarrow$$

$$MH\perp AD$$ $$\Rightarrow$$

$$MH\parallel AB$$ $$\Rightarrow$$

$$MH=AB$$

2) $$S_{ABCD}=\frac{1}{2}AD\cdot MH=\frac{1}{2}AB\cdot AD$$

$$S_{ABCD}=AB\cdot AD$$ $$\Rightarrow$$

$$S_{AMD}=\frac{1}{2}S_{ABCD}$$

Ч.Т.Д.

Задание 4060

В четырехугольнике две стороны параллельны друг другу, а две другие перпендикулярны диагоналям. Докажите, что перпендикулярные диагоналям стороны равны между собой.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) $$BC\parallel AD\Rightarrow ABCD$$ - трапеция

2) Пусть М - середина AD $$\Rightarrow$$

$$AM=MD=BM$$ ($$\bigtriangleup ABD$$ - прямоуг.)

$$AM=MD=MC$$ (аналогично) $$\Rightarrow$$

$$BM=MC\Rightarrow$$ $$\angle MBC=\angle MCB$$

3)  $$\angle CMD=\angle BCM$$ (накрестлежащие)

$$\angle AMB=\angle MBC$$ (накрестлежащие) $$\Rightarrow$$

$$\angle AMB=\angle DCM$$ $$\Rightarrow$$

$$\bigtriangleup AMB=\bigtriangleup CMD$$ (по двум сторонам и углу)

$$\Rightarrow$$ $$AB=CD$$

ч.т.д.

Задание 4330

В равностороннем треугольнике ABC точки Е, F, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник ЕFK — равносторонний.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!