Перейти к основному содержанию

ОГЭ

ОГЭ / (C5) Геометрическая задача на доказательство

Задание 2671

На высоте AH треугольника ABC взята точка M. Докажите, что AB2–AC2=MB2–MC2.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$AB^{2}-AC^{2}=MB^{2}-MC^{2}$$

1) из $$\bigtriangleup BMH$$ и $$\bigtriangleup CMH$$: $$MH^{2}=BM^{2}-BH^{2}=CM^{2}-CH^{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$BM^{2}-CM^{2}=BH^{2}-CH^{2}$$

2)  из $$\bigtriangleup ABH$$ и $$\bigtriangleup AHC$$: $$AH^{2}=AB^{2}-BH^{2}=AC^{2}-CH^{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$AB^{2}-AC^{2}=BH^{2}-CH^{2}$$

3) из 1 и 2 $$BM^{2}-CM^{2}=BH^{2}-CH^{2}=AB^{2}-AC^{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$AB^{2}-AC^{2}=BM^{2}-CM^{2}$$

ч.т.д.

Задание 2775

В равнобедренном треугольнике АВС из концов основания АС проведены прямые, которые составляют с основанием равные углы и пересекаются в точке М. Докажите равенство треугольников АВМ и ВСМ.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) $$\angle \alpha=\angle \beta$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ACM$$ - равнобедренный $$\Rightarrow$$ $$AM=MC$$

2) $$\angle A=\angle C$$; $$AB=BC$$; $$AM=MC$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ABM=\bigtriangleup BMC$$

 

ч.т.д.

Задание 2929

Докажите, что если в треугольнике две высоты равны, то он равнобедренный.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Решение временно отсутствует, можете найти его в моем видео-разборе ( вначале варианта )

Задание 3019

Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

AH - медиана и биссектриса $$\Rightarrow$$ $$\angle HAC=\angle HAB$$; BH=HC и АН - общая.

По теореме косинусов:

$$\left.\begin{matrix}\frac{AH}{\sin C}=\frac{HC}{\sin HAC}\\\frac{AH}{\sin B}=\frac{HB}{\sin BAH}\end{matrix}\right\}$$

$$\Rightarrow \sin C=\sin B\Rightarrow \angle C=\angle B$$

ч.т.д.

 

 

Задание 3143

Докажите, что периметр параллелограмма больше суммы длин его диагоналей

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Текстовое решение временно недоступно, вы можете найти его в видео в начале варианта

Задание 2972

Докажите, что если у треугольника равны две высоты, то этот треугольник равнобедренный.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$CH=AM$$ $$\bigtriangleup BCH=\bigtriangleup AMB$$ ($$\angle B$$ - общий катеты равны) $$\Rightarrow$$ $$AB=BC$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ABC$$ - равнобедренный.

ч. т. д.

 

Задание 3190

Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей, делит пополам общую касательную к ним

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

По свойству касательной и секущей: $$AM^{2}=MC\cdot MN$$

$$MB^{2}=MC\cdot MN$$

$$\Rightarrow$$ $$AM^{2}=MB^{2}$$

$$\Rightarrow$$ $$AM=MB$$

ч.т.д.

Задание 3314

Биссектрисы углов A и D трапеции ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Докажите, что точка M равноудалена от прямых AB, AD и CD.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 3361

Докажите, что середины оснований трапеции, точка пересечения ее диагоналей и точка пересечения боковых сторон трапеции лежат на одной прямой.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 3409

Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен половине разности суммы катетов и гипотенузы.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 3568

В выпуклом четырехугольнике АВСD точки К, М, Р, Е – середины сторон АВ, ВС, СD и DA соответственно. Докажите, что площадь четырехугольника КМРЕ равна половине площади четырехугольника АВСD.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) из $$\bigtriangleup ABC$$: $$KM\parallel AC$$ (км - средняя линия)

аналогично: $$KE\parallel DB\parallel MP$$; $$KM\parallel AC\parallel EP$$ и $$EP=KM$$; $$EK=PC$$

2) $$S_{ABD}+S_{DBC}=S_{ABC}+S_{ADC}=S_{ABCD}=S$$

$$\left.\begin{matrix}S_{AKE}=\frac{1}{4}S_{ABD}\\S_{KCP}=\frac{1}{4}S_{DBC}\\S_{KBM}=\frac{1}{4}S_{ACB}\\S_{EDP}=\frac{1}{4}S_{ADC}\end{matrix}\right\}$$ $$\Rightarrow$$

$$\frac{1}{4}(S_{ABD}+S_{DBC})+\frac{1}{4}(S_{ACB}+S_{ADC})=\frac{1}{4}S+\frac{1}{4}S=\frac{1}{2}S$$ $$\Rightarrow$$

$$S_{EKMP}=S-\frac{1}{2}S=\frac{1}{2}S$$

Задание 3845

В треугольнике АВС с тупым углом АСВ проведены высоты АА1 и ВВ1. Докажите, что треугольники А1СВ1 и АСВ подобны.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\bigtriangleup A_{1}CB_{1}\sim \bigtriangleup ACB$$

$$\angle A_{1}CA=\angle B_{1}CB$$ вертикальные

т.к. $$\bigtriangleup A_{1}AC$$ И $$\bigtriangleup BB_{1}C$$ прямоугольные, то из равенства их острых угловони подобные 

$$\Rightarrow$$ $$\frac{A_{1}C}{CB_{1}}=\frac{AC}{CB}$$

$$\Rightarrow$$ $$\frac{A_{1}C}{AC}=\frac{CB_{1}}{CB}$$; $$\angle A_{1}CB_{1}=\angle ACB$$

$$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup A_{1}CB_{1}$$ по первому признаку

Задание 3996

На стороне BC квадрата ABCD взята точка М. Докажите, что площадь треугольника AМD равна половине площади квадрата.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Пусть МН - высота AMD $$\Rightarrow$$

$$MH\perp AD$$ $$\Rightarrow$$

$$MH\parallel AB$$ $$\Rightarrow$$

$$MH=AB$$

2) $$S_{ABCD}=\frac{1}{2}AD\cdot MH=\frac{1}{2}AB\cdot AD$$

$$S_{ABCD}=AB\cdot AD$$ $$\Rightarrow$$

$$S_{AMD}=\frac{1}{2}S_{ABCD}$$

Ч.Т.Д.

Задание 4060

В четырехугольнике две стороны параллельны друг другу, а две другие перпендикулярны диагоналям. Докажите, что перпендикулярные диагоналям стороны равны между собой.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) $$BC\parallel AD\Rightarrow ABCD$$ - трапеция

2) Пусть М - середина AD $$\Rightarrow$$

$$AM=MD=BM$$ ($$\bigtriangleup ABD$$ - прямоуг.)

$$AM=MD=MC$$ (аналогично) $$\Rightarrow$$

$$BM=MC\Rightarrow$$ $$\angle MBC=\angle MCB$$

3)  $$\angle CMD=\angle BCM$$ (накрестлежащие)

$$\angle AMB=\angle MBC$$ (накрестлежащие) $$\Rightarrow$$

$$\angle AMB=\angle DCM$$ $$\Rightarrow$$

$$\bigtriangleup AMB=\bigtriangleup CMD$$ (по двум сторонам и углу)

$$\Rightarrow$$ $$AB=CD$$

ч.т.д.

Задание 4330

В равностороннем треугольнике ABC точки Е, F, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник ЕFK — равносторонний.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 4536

На стороне ВС квадрата АВСD взята точка К. Докажите, что площадь треугольника АКD равна половине площади квадрата.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Пусть х - сторона квадрата, S - его площадь: $$S=x^{2}$$

2) Пусть $$KH\perp AD$$ $$\Rightarrow$$ $$KH=AB=x$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{AKD}=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot KH=\frac{1}{2}\cdot x\cdot x=\frac{x^{2}}{2}=\frac{S}{2}$$

ч.т.д. 

Задание 4653

На медиане KF треугольника MKP отмечена точка E. Докажите, что если EM=EP, то KM=KP.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Построим чертеж:

1) ME=EP (по условию); MF=FP (KF - медиана) ; EF - общая. Тогда треугольники MEF и EFP равны по трем сторонам
2) Из равенства треугольников получаем, что смежные угла MFE и EFP равна между собой, а значит по 90 градусов.
3) Из равенства углов получаем, что EF и KF - высоты, но по условию они еще и медианы, значит треугольник KMP - равнобедренный, значит KM=KP

Задание 4803

Докажите, что сумма длин медиан треугольника меньше его периметра

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

На каждой стороне треугольника достроим параллелограмм, как показано на рисунке и введем обозначения: BC=a;AB=c;AC=b;CC1=mc;BB1=mb;AA1=ma

1) Рассмотрим параллелограм ACFB: AF - его диагональ (так как А1 - середина BC), тогда 2AA1=AF; по свойству длин сторон треугольника AF<AC+CF, но СF=AB, и тогда получаем 2ma<b+c или ma<0,5(b+c)(1)
2) Аналогично рассматривая два других параллелограма и треугольники CBE и BCD, получаем mс<0,5(a+b)(2) и mb<0,5(a+c)(3) соответственно.
3) Сложим неравенства 1,2 и 3 и получим : ma+mb+mc<0,5b+0,5c+0,5a+0,5b+0,5a+0,5c или ma+mb+mc<a+b+c
ч.т.д.

Задание 4871

На высоте AD треугольника ABC взята точка N. Докажите, что AB2 - AC2 = NB2 - NC2 .

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1)По теореме Пифагора из $$\bigtriangleup ABD ; \bigtriangleup ADC$$:
$$\left\{\begin{matrix}AB^{2}=DB^{2}+DA^{2}\\AC^{2}=DC^{2}+DA^{2}\end{matrix}\right.$$
Вычтем из первого второе и получим: $$AB^{2}-AC^{2}=DB^{2}-DC^{2}$$
2)По теореме Пифагора из $$\bigtriangleup BND ; \bigtriangleup CND$$:
$$\left\{\begin{matrix}NB^{2}=DB^{2}+DN^{2}\\NC^{2}=DC^{2}+DN^{2}\end{matrix}\right.$$
Вычтем из первого второе и получим: $$NB^{2}-NC^{2}=DB^{2}-DC^{2}$$
3)Из равенств пунктов 1 и 2 получаем: $$AB^{2}-AC^{2}=NB^{2}-NC^{2}$$

Задание 4898

Докажите, что биссектрисы углов прямоугольника с неравными сторонами при пересечении образуют квадрат. 

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1)$$\angle JAD = \angle JDA = 45^{\circ}$$ (AJ и DJ - биссектрисы пярмых углов), тогда $$\angle AJD = 90^{\circ}$$. Тогда $$\angle FJI =90^{\circ}$$ как смежный. Аналогично $$\angle FGI =90^{\circ}$$ и тогда FGIJ - прямоугольник

2)$$\bigtriangleup AJD = \bigtriangleup BGC$$ (прямоугольные, равнобедренные, одинаковые гипотенуза), тогда DJ=GC(1). $$\bigtriangleup DFC$$ прямоугольный и равнобедренный, тогда DF=FG(2). Из равенств 1 и 2 получаем FJ=FG. Тогда FGIJ - квадрат

Задание 4945

 Диагонали четырёхугольника АВСD взаимно перпендикулярны. Углы при вершинах В и С равны между собой. Докажите, что стороны АВ и СD параллельны. 

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 4992

В четырехугольнике две стороны параллельны, а диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что если в данный четырехугольник можно вписать окружность, то две другие стороны четырёхугольника равны между собой.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
1) Так как $$AC \perp BD$$ и $$BC \parallel AD$$ получаем, что $$\angle CBE = \angle EDA ; \angle BCE = \angle EAD$$. Тогда $$\bigtriangleup BEC \sim \bigtriangleup AED$$ и мы можем записать отношение соответственных сторон: $$\frac{BE}{ED}=\frac{EC}{EA}\Leftrightarrow$$$$BE*EA=CE*ED(1)$$
2) Так как чертырехугольник можно вписать в окружность, то BD и AC - хорды и по свойству хорд: $$BE*ED=CE*EA(2)$$
3)Поделим (1) на (2) и получим: $$\frac{EA}{ED}=\frac{ED}{EA}$$. В таком случае $$EA=ED$$, но из подобия $$BE=EC$$ и тогда треугольники AEB и CED равны по двум катетам, откуда следует, что $$AB=CD$$

Задание 5041

 В треугольнике АВС угол АСВ тупой, $$BO\perp AC$$, $$OF\perp AB$$, $$OD\perp BC$$. Докажите, что $$\angle ACB=\angle DFB$$. 

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть $$\angle A=\alpha$$; $$\angle B=\beta$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle ACB=180-\angle\alpha-\angle\beta$$

1) $$\angle BCO=180-\angle C=\alpha+\beta$$ $$\Rightarrow$$ из $$\bigtriangleup OCB$$: $$\angle CBO=90^{\circ}-\angle BCO=90^{\circ}-\alpha-\beta$$

2) $$\bigtriangleup ODN\sim\bigtriangleup FNB$$ (прямоугольные); $$\angle DNO=\angle FNB$$ (как вертикал.); $$\Rightarrow$$ $$\frac{ON}{NB}=\frac{DN}{FN}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{ON}{DN}=\frac{NB}{NF}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle DFN=\angle NBO=90^{\circ}-\alpha-\beta$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle DFB=90^{\circ}+90^{\circ}-\alpha-\beta=180^{\circ}-\alpha-\beta=\angle ACB$$ 

ч.т.д.

Задание 5088

Докажите, что если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.  

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть $$BH\perp AC$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ABH\sim\bigtriangleup BHC$$ по 2 углам, но т.к. $$BH$$ - общая ,то $$\bigtriangleup ABH=\bigtriangleup BHC$$ $$\Rightarrow$$ $$AB=BC$$

ч.т.д.

Задание 5175

Докажите, что в прямоугольном треугольнике сумма катетов равна сумме диаметров вписанной и описанной окружностей.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 5225

Докажите, что в трапеции, диагонали которой являются биссектрисами углов при одном из оснований, длины трёх сторон равны. 

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1)$$\angle BDA=\angle DBC$$(накрестлежащие при параллельных BC и AD) ; $$\angle BDA=\angle BDC$$ (BD - биссеткриса) , тогда $$\angle BDC=\angle DBC$$, тогда треугольник BDC - равнобедренный и BC=BD(1)

2)аналогично рассматривается равенство углов BAC и BCA, тогда треугольник ABC - равнобедренный, и AB=BC, но с учетом равенства (1) получаем AB=BC=CD.

ч.т.д.

Задание 5273

В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы DAC и DBC равны. Докажите, что углы CDB и САВ также равны. 

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) $$\angle CBD=\angle CAD$$ они опираются на $$CD$$ $$\Rightarrow$$ $$ABCD$$ можно вписать в окружность

2) $$\angle CDB$$ и $$\angle CAB$$ опираются на $$BC$$  и из пункта 1 получаем, что они вписанные $$\Rightarrow$$ т.к. на одну хорду опираются, то $$\angle CDB=\angle CAB$$

ч.т.д.

Задание 5321

На стороне BC квадрата ABCD взята точка М. Докажите, что площадь треугольника AМD равна половине площади квадрата.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1)Пусть $$MH \perp AD$$ , тогда ABMH - прямоугольник и MH=AB

2)$$S_{AMD}=\frac{1}{2}AD*MH$$, или $$S_{AMD}=\frac{1}{2}AD*AB=\frac{1}{2}S_{ABCD}$$

Задание 5368

Докажите, что если в равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, то высота трапеции равна средней линии.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
1) Треугольники ABE и CDE прямоугольные (по условию), $$AB \parallel DC$$ (свойство трапеции), тогда треугольник $$ABE\sim CDE$$. Следовательно, $$\frac{EC}{AE}=\frac{ED}{BE}=k$$. Пусть AE=x, тогда EC=kx, пусть BE=y, тогда ED=ky
2) Треугольники ABD и ABC равны (AD=BC и $$\angle DAB=\angle ABC$$ т.к. трапеция равнобедренная, AB - общая), тогда AC=BD и x+kx=y=ky, следовательно x=y, тогда треугольники ABE и CDE - равнобедерненные
3)HE - высота и медиана, тогда, по свойству медианы в прямоугольном треугольнике: $$HE=\frac{1}{2}AB$$, аналогично $$EM=\frac{1}{2}CD$$, тогда $$HE+EM=\frac{1}{2}(AB+CD)=KL$$
ч.т.д.

Задание 5416

В параллелограмме MNPK точка A — середина стороны MN. Известно, что AP=AK. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) По свойству параллелограмма: MN=NP. По условию AN=AM и AP=AK. Тогда треугольники ANP и AMK равны по трем сторонам, следовательно $$\angle ANP=\angle AMK=x$$

2) По свойству параллелограмма: $$\angle ANP+\angle AMK=180$$, следовательно $$\angle ANP=\angle AMK=90$$, тогда MNPK - прямоугольник

Задание 5552

В окружности с центром О проведены две хорды АВ и CD так, что центральные углы АОВ и СОD равны. На эти хорды опущены перпендикуляры ОК и OL. Докажите, что ОК и OL равны.

Ответ: $$OL=OK$$
Скрыть

1) $$OA=OB=OD=OC$$ - радиусы $$\angle AOB=\angle COD$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup OAB=\bigtriangleup COD$$

2) из п.1: $$\angle OAK=\angle ODL$$, $$OD=OA$$; $$\angle OLD=\angle OKA=90^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup OLD=\bigtriangleup OAK$$ (по гипотенузе и острому углу) $$\Rightarrow$$ $$OL=OK$$

Задание 5553

Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что отрезки AB и IJ перпендикулярны

Ответ: $$IJ\perp AB$$
Скрыть

1) Пусть $$AB\cap IJ=H$$  

2) $$IA=IB$$ - радиусы; $$JA=JB$$ - радиусы; $$IJ$$ - общая $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup IAJ=\bigtriangleup IJB$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle AIJ=\angle BIJ$$ $$\Rightarrow$$ $$IJ$$ - биссектриса

3) $$IA=IB$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup IAB$$ - равнобедренный $$\Rightarrow$$ $$IJ$$ - высота $$\Rightarrow$$ $$IJ\perp AB$$

Задание 5554

В окружности с центром O проведены две равные хорды KL и MN. На эти хорды опущены перпендикуляры OH и OS. Докажите, что OH и OS равны.

Ответ:

Задание 5555

В окружности через середину O хорды AC проведена хорда BD так, что дуги AB и CD равны. Докажите, что O — середина хорды BD.

Ответ: $$OB=OD$$
Скрыть

1) $$\angle BAC=\angle BDC$$ (вписанные и опираются на одну дугу)

2) $$AB=CD$$ (т.к. $$\smile AB=\smile CD$$); $$OA=OC$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup OAB=\bigtriangleup COD$$ (по двум сторонам и углу между ними) $$\Rightarrow$$ $$OB=OD$$

Задание 5556

Окружности с центрами в точках O1 и O2 не имеют общих точек. Внутренняя общая касатель‐ ная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

1) Пусть касательная $$a$$ касается окружностей с центрами $$O_{1}$$ и $$O_{2}$$ в $$A$$ и $$B$$ соответственно, тогда : $$O_{1}A\perp a$$ и $$O_{2}B\perp a$$ (радиусы в точку касания)

2) $$AB\cap O_{1}O_{2}=C$$; $$\angle ACO_{1}=\angle O_{2}CB$$ (вертикальные) $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ACO_{1}\sim\bigtriangleup O_{2}CB$$ (по двум углам) $$\Rightarrow$$ $$\frac{O_{1}C}{CO_{2}}=\frac{AC}{CB}=\frac{O_{1}A}{O_{2}B}=\frac{m}{n}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{d_{1}}{d_{2}}=\frac{m}{n}$$, где $$d_{1}$$, $$d_{2}$$ - диаметры

Задание 5557

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1и BB1. Докажите, что углы AA1B1 и ABB1 равны

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

1) Пусть $$AA_{1}\cap BB_{1}=M$$, тогда $$\angle B_{1}MA=\angle A_{1}MB$$ (вертикальные)

2) $$\angle AB_{1}M=\angle MA_{1}B=90^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup AMB_{1}\sim\bigtriangleup A_{1}MB$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{B_{1}M}{A_{1}M}=\frac{AM}{MB}$$ ($$\ast$$)

3) $$\angle B_{1}MA_{1}=\angle AMB$$ (вертикальные), с учетом ($$\ast$$) $$\bigtriangleup B_{1}MA_{1}\sim\bigtriangleup AMB$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle B_{1}A_{1}M=\angle MBA$$

Задание 5559

Докажите, что медиана треугольника делит его на два треугольника, площади которых равны между собой.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

1) Пусть дан $$\bigtriangleup ABC$$, $$CM$$ - медиана $$\Rightarrow$$ $$AM=MB$$ ($$\star$$)

2) Пусть $$CH\perp AB$$, тогда $$S_{AMC}=\frac{1}{2}AM\cdot CH$$; $$S_{CMB}=\frac{1}{2}MB\cdot CH$$ с учетом ($$\star$$): $$S_{AMC}=S_{CMB}$$

Задание 5560

В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60° . Докажите, что точки A, C, центр описанной окружности треугольника ABC и центр вписанной окружности треугольника ABC лежат на одной окружности.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

1) $$O$$ - центр описанной окружности $$\Rightarrow$$ $$\angle AOC=2\angle ABC=120^{\circ}$$ (вписанный и центральный углы)

2) $$\angle A+\angle C=180^{\circ}-\angle B=120^{\circ}$$; $$\angle IAC=\frac{\angle A}{2}$$; $$\angle ICA=\frac{\angle C}{2}$$ ($$I$$ - центр вписанной $$\Rightarrow$$ $$AI$$ и $$CI$$ - биссектрисы) $$\Rightarrow$$ $$\angle IAC+\angle ICA=\frac{\angle A+\angle C}{2}=60^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle AIC=120^{\circ}$$

3) из п.1 и п.2: $$\angle AOC=\angle AIC$$ (они опираются на одну сторону $$AC$$) $$\Rightarrow$$ $$AOIC$$ - вписанный четырехугольник.

Задание 5561

В остроугольном треугольнике ABC точки A, C, центр описанной окружности O и центр вписанной окружности I лежат на одной окружности. Докажите, что угол ABC равен 60°.

Ответ:

Задание 5562

На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что углы АDB и BEC тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.

Ответ:

Задание 5563

Окружность касается стороны AB треугольника ABC, у которого ∠ C = 90°, и продолжений его сторон AC и BC за точки A и B соответственно. Докажите, что периметр треугольника ABC равен диаметру этой окружности.

Ответ:

Задание 5564

В треугольнике ABC угол B равен 36°,AB=BC, AD — биссектриса. Докажите, что треугольник ABD — равнобедренный.

Ответ:

Задание 5565

Докажите, что у равных треугольников ABC и A1B1C1 биссектрисы, проведённые из вершины A и A1, равны.

Ответ:

Задание 5566

Два равных прямоугольника имеют общую вершину O(см. рис.). Докажите, что площади треугольников AOK и COM равны.

Ответ:

Задание 5567

Два равносторонних треугольника имеют общую вершину. Докажите, что отмеченные на рисунке отрезки AB и CD равны.

Ответ:

Задание 5568

Докажите, что биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника равны

Ответ:

Задание 5569

На медиане KF треугольника MPK отмечена точка E. Докажите, что если EM=EP, то KM=KP .

Ответ:

Задание 5570

На стороне AC треугольника ABC отмечены точки D и E так, что AD=CE . Докажите, что если BD=BE, то AB=BC.

Ответ:

Задание 5571

В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK — равносторонний.

Ответ:

Задание 5572

Высоты AA1 и BB1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы AA1B1 и ABB1 равны.

Ответ:

Задание 5573

В параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС (см. рисунок). Докажите, что ВFDЕ — параллелограмм

Ответ:

Задание 5574

Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка L — середина сторо‐ ны BC. Докажите, что DL — биссектриса угла CDA.

Ответ:

Задание 5575

Биссектрисы углов C и D трапеции ABCD пересекаются в точке P, лежащей на стороне AB. Докажите, что точка P равноудалена от прямых BC, CD и AD.

Ответ:

Задание 5576

Точка K — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции.

Ответ:

Задание 5577

Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, делит её на две равные по площади части.

Ответ:

Задание 5578

В параллелограмме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём АЕ = CK, BF = DM. Докажите, что EFKM — параллелограмм.

Ответ:

Задание 5579

Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.

Ответ:

Задание 5580

Дан правильный шестиугольник. Докажите, что если последовательно соединить отрезками середины его сторон, то получится правильный шестиугольник.

Ответ:

Задание 5581

В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Известно, что EC=ED. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

Ответ:

Задание 5582

В параллелограмме ABCD проведены высоты BE и BF. Докажите, что треугольник ABE подобен треугольнику CBF .

Ответ:

Задание 5583

Два квадрата имеют общую вершину. Докажите, что отмеченные на рисунке отрезки AB и CE равны.

Ответ:

Задание 5584

В параллелограмме проведены биссектрисы противоположных углов. Докажите, что отрезки биссектрис, заключенные внутри параллелограмма, равны.

Ответ:

Задание 5585

Середины сторон параллелограмма являются вершинами ромба. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

Ответ:

Задание 5586

Дана равнобедренная трапеция ABCD . Точка M лежит на основании AD и равноудалена от концов другого основания. Докажите, что M — середина основания AD.

Ответ:

Задание 5587

Три стороны параллелограмма равны. Докажите, что отрезок с концами в серединах противоположных сторон параллелограмма равен четверти его периметра.

Ответ:

Задание 5588

В параллелограмме ABCD проведены высоты BH и BE к сторонам AD и CD соответственно, при этом BH = BE. Докажите, что ABCD — ромб.

Ответ:

Задание 5589

В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AKD.

Ответ:

Задание 5590

Точка E — середина боковой стороны AB трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции.

Ответ:

Задание 5591

Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.

Ответ:

Задание 5592

Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.

Ответ:

Задание 5593

Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и ADB подобны.

Ответ:

Задание 5594

В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы BCA и BDA авны. Докажите, что углы ABD и ACD также равны.

Ответ:

Задание 5595

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны.

Ответ:

Задание 5596

Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках P и T соответственно. Докажите, что BP = DT.

Ответ:

Задание 5597

На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади трапеции.

Ответ:

Задание 6072

Докажите, что если у треугольника равны две медианы, то этот треугольник равнобедренный.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Пусть АМ=СН-медианы . $$\frac{LN}{LM}=\frac{2}{1}$$ и $$\frac{CL}{CH}=\frac{2}{1}$$(свойство медиан), но т.к. AM=CH, то AL=LC ,LH=LM.

2) $$\angle HLA=\angle MLC$$ (вертикальные) $$\Delta HLA=\Delta MLC$$ (по 2-м сторонам и углу между ними) $$\Rightarrow$$ AH=MC, но AH=HB и CM=MB $$\Rightarrow$$ AB=BC.

Задание 6119

Середины сторон параллелограмма являются вершинами ромба. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

  1. $$AB=CD, BC=AD$$ так как дан параллелограмм. Следовательно, $$AM=MB=DL=LC$$, и $$AK=KD=BN=NC$$. 
  2. $$\angle A+\angle D=180$$. Но $$MK=NK$$, следовательно, треугольники AMK и KLD равны по трем сторонам и $$\angle A=\angle D$$. Так как они в сумме дают 180, то какждый из них по 90, тогда ABCD - прямоугольник.

Задание 6166

В квадрат, площадью 24 см2 вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата лежит одна вершина прямоугольника. Длины сторон прямоугольника относятся как 1:3. Найдите площадь прямоугольника.

Ответ: 9
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Пусть $$\angle B_{1}C_{1}B=\alpha$$ , тогда $$\angle D_{1}C_{1}C=90-\alpha$$ , тогда $$\angle C_{1}D_{1}C=\alpha$$ .

Рассуждая аналогично получим :

$$\angle B_{1}C_{1}B=\angle C_{1}D_{1}C =\angle DA_{1}D_{1}=\angle A_{1}B_{1}A=\alpha$$ , следовательно , $$\angle B_{1}C_{1}B\sim \angle C_{1}D_{1}C \sim \angle DA_{1}D_{1}\sim \angle A_{1}B_{1}A$$

2)т.к. $$B_{1}C_{1}:C_{1}D_{1}=1:3$$,то пусть $$B_{1}B=x\Rightarrow CC_{1}=3x, BC_{1}=y$$, тогда $$CD_{1}=3y.$$

3) т.к. $$A_{1}B_{1}=C_{1}D_{1}$$ и $$B_{1}C_{1}=A_{1}D_{1}$$ и все треугольники подобны , то $$\Delta A_{1}B_{1}A=\Delta C_{1}D_{1}C$$ и $$\Delta B_{1}C_{1}B=\Delta DA_{1}D_{1}$$ следовательно $$DD_{1}=x$$

4) из п. 3 получили, что $$BC=y+3x$$ и $$CD=x+3y$$, тогда

$$y+3x=x+3y\Rightarrow x=y$$

5)$$AC=\sqrt{S_{ABCD}}=\sqrt{24}$$

$$\frac{BC_{1}}{CC_{1}}=\frac{1}{3}\Rightarrow$$$$ BC_{1}=\frac{\sqrt{24}}{4}\Rightarrow$$$$CC_{1}=\frac{3\sqrt{24}}{4}$$

6) $$\Delta B_{1}BC_{1}$$: $$B_{1}C_{1}=\sqrt{(\frac{\sqrt{24}}{4})^{2}+(\frac{\sqrt{24}}{4})^{2}}=\sqrt{3}.$$Тогда $$C_{1}D_{1}=3\sqrt{3}.$$

7)$$S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=3\sqrt{3}*\sqrt{3}=9$$

Задание 6167

В выпуклом четырёхугольнике АВСD углы ACB и ADB равны. Докажите, что углы ABD и ACD также равны.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) $$\angle AMD=\angle BMC$$(вертикальные) $$\angle ADB=\angle ACB$$(по условию) $$\Rightarrow \Delta AMB \sim \Delta BMC$$ и $$\frac{AM}{MB}=\frac{MD}{MC}(1)$$

2) $$\angle AMB=\angle DMC$$ (вертикальные) с учетом равенства (1) получим $$\Delta AMB \sim \Delta DMC\Rightarrow \angle ABD=\angle ACD$$

Задание 6214

Точка М лежит на окружности радиуса R, описанной около прямоугольника ABCD. Докажите, что МА2 + МВ2 + МС2 + МD2 = 8R2

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

  1. $$\angle CMA=90$$, AC-диаметр окружности . Тогда из $$\Delta ACM$$
  2. $$AC^{2}=MC^{2}+MA^{2}\Leftrightarrow (2R)^{2}=MC^{2}+MA^{2}(1)$$
  3. Аналогично , из $$\Delta BMD: (2R)^{2}=MB^{2}+MD^{2}(2)$$
  4. Сложим (1)и(2): $$MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}+MD^{2}=8R^{2}$$

Задание 6262

Из вершины В треугольника АВС опущены перпендикуляры ВК и ВМ на биссектрисы внешних углов треугольника, не смежных с углом В. Докажите, что длина отрезка КМ равна полупериметру треугольника АВС.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) $$BK\cap AC=H; BM\cap AC=N$$

Из $$\Delta HAB$$: AK-высота и биссектриса $$\Rightarrow$$ и медиана и $$AH=AB$$ ($$\Delta AHB$$-равнобедренный)

Из $$\Delta BCH$$: аналогично CM-медиана и BC=CN

     2) из п. 1 $$HN=HA+AC+CN=$$$$AB+AC+DC=P_{ABC}$$

K и M-середины , тогда KM-средняя линия и $$KM=\frac{1}{2}HN=\frac{P_{ABC}}{2}$$

Задание 6310

На основаниях АВ и СD вне трапеции построены квадраты. Докажите, что прямая, соединяющая их центры, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть $$K\in B_{1}C$$, $$O=BD\cap AC$$, $$M=KO\cap AD$$

     1) $$\angle LCK=\angle MAN=45$$; $$\angle LCO=\angle OAN$$(накрест лежащие) $$\Rightarrow \angle KCA=\angle OAD_{1}\Rightarrow$$ $$CB_{1}\left | \right |AD_{1}$$

     2) $$\angle LKC=\angle NMA$$(накрест лежащие) $$\Rightarrow \Delta KLC\sim \Delta ANM\Rightarrow$$ $$\frac{KC}{AM}=\frac{CL}{AN}=k$$

     3) $$LC\left | \right |AN\Rightarrow$$ $$\Delta LCO\sim \Delta ONA\Rightarrow$$ $$\frac{LC}{AN}=\frac{LO}{ON}=k$$

     4) $$LC\left | \right |AN \Rightarrow$$ $$\Delta BLO\sim \Delta OND\Rightarrow$$ $$\frac{LO}{ON}=\frac{BL}{ND}=k$$

     5)т.к. $$\frac{LC}{AN}=k$$, $$\frac{BL}{ND}=k$$ $$\Rightarrow \frac{BC}{AD}=k$$,но $$\frac{KC}{AM}=k$$ и $$\angle KCL=\angle MAN\Rightarrow$$ $$\Delta KCB\sim \Delta ADC$$ и если K-центр , то и М-центр

Задание 6357

Докажите, что в прямоугольном треугольнике произведение длин отрезков, на которые делит гипотенузу точка касания с вписанной окружностью, равна площади треугольника.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) Пусть AH=x; HB=y; NO=OM=OH=r. По свойству касательных: AN=AH=x, MB=HB=y

     2) $$S_{ABC}=\frac{1}{2}AC*CB=$$$$\frac{1}{2}(x+r)(y+r)=$$$$\frac{1}{2}xy+\frac{1}{2}xr+\frac{1}{2}yr+\frac{1}{2}r^{2}(1)$$

С другой стороны : $$S_{ABC}=2S_{AOH}+2S_{HOB}+S_{CNOM}=$$$$2S_{AOB}+S_{CNOM}=2*\frac{1}{2}(x+y)r+r^{2}=xr+yr+r^{2}(2)$$

Приравняем (1) и (2):

$$\frac{1}{2}xy+\frac{1}{2}xr+\frac{1}{2}yr+\frac{1}{2}r^{2}=xr+yx+r^{2}$$

$$\frac{1}{2}xy=\frac{1}{2}xr+\frac{1}{2}yr+\frac{1}{2}r^{2}|*2$$

$$xy=xr+y^{2}+r^{2}=S_{ABC}$$

Задание 6404

На одной из параллельных сторон трапеции взята точка А, на другой – точка В. Докажите, что отрезок АВ делится средней линией трапеции пополам.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) Достроим $$BA\cap KL=R$$. $$\Delta ARL\sim \Delta RHH\sim \Delta BRK$$ ( т.к. $$AL\left | \right |HP\left | \right | BK$$)

     2) По т. Фелеса : $$RL:LP:PK=AR: AH: HB \Rightarrow$$ $$LP :PK =1:1\Rightarrow AH: HB= 1 :1$$

Задание 6451

В выпуклом четырёхугольнике ABCD противоположные углы А и С прямые. На диагональ АС опущены перпендикуляры ВМ и DN. Докажите, что СМ = NA.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) Пусть $$\angle ABM=\alpha$$, тогда из $$\Delta ABM: \angle BAM=90-\alpha$$ , тогда $$\angle MAD=\alpha$$ и из $$\Delta ADH:$$$$\angle ADN =90-\alpha \Rightarrow$$ $$\Delta ABM\sim \Delta AND$$, тогда : $$\frac{DH}{AM}=\frac{AN}{BM}\Rightarrow$$ $$DN*BM=AM*AN(1)$$

     2) Аналогично $$\Delta BMC\sim \Delta CHD$$ и $$\frac{DH}{CM}=\frac{NC}{BM}\Rightarrow$$ $$DN*BM=CM*NC(2)$$

     3) С учетом (1) и (2): $$AM *AN=CM*NC$$ или $$AM(AM+MN)=CN(CN+MN)\Leftrightarrow$$ $$AM^{2}+AM*MN=CN^{2}+CN*MN\Leftrightarrow$$ $$AM^{2}-CN^{2}+AM*MN-CN*MN=0\Leftrightarrow$$ $$(AM-CN)(AM+CN)+MN(AM-CN)=0\Leftrightarrow$$ $$(AM-CN)(AM+CN+MN)=0$$. $$AM+CN+MN>0$$ всегда, следовательно, $$AM-CN=0$$ или $$AM=CN$$

Задание 6506

В равнобедренном треугольнике АВС из концов основания АС проведены прямые, которые составляют с основанием равные углы и пересекаются в точке М. Докажите равенство треугольников АВМ и ВСМ

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Есть два случая расположения точки M:

     1) $$\angle CAM =ACM \Rightarrow$$ $$\Delta ACM$$ –равнобедренный , тогда AM=MC

     2) Треугольник ABC - ранвобедренный, следовательно, AB=BC. 

     3) BM - общая, следовательно, треугольники равны по трем сторонам.

Задание 6553

Биссектрисы углов А и D равнобедренной трапеции АВСD пересекаются в точке М стороны ВС. Докажите, что М – середина ВС.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) $$\angle A=\angle D\Rightarrow$$ $$\angle BAM=\angle MDC$$

     2) $$\angle BAM=\angle MAD$$(AM-биссектриса ); $$\angle MAD=\angle BMA$$(накрест лежащие) $$\Rightarrow \angle BAM=\angle BMA\Rightarrow$$ $$\Delta ABM$$ - равнобедренный

     3)Аналогично $$\Delta MCD$$ - равнобедренный $$\Rightarrow$$ $$AB=BM; MC=CD$$, но $$AB=CD\Rightarrow BM=MO$$

Задание 6600

Пусть Е – середина стороны АВ трапеции АВСD (ВС ॥ АD). Докажите, что площадь треугольника ЕСD равна половине площади трапеции АВСD.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

  1. Пусть $$EH\perp AD; EH=h$$
  2. $$\Delta EMD=\Delta EHA$$(по гипотенузе и острому углу )$$\Rightarrow$$ $$EM=h\Rightarrow$$ $$MH=2h$$
  3. Пусть $$BC=x; AD=y$$: $$S_{ABCD}=\frac{x+y}{2}*2h=xh+yh$$, $$S_{EBC}=\frac{1}{2}hx$$, $$S_{EAD}=\frac{1}{2}hy\Rightarrow$$ $$S_{CED}=h(x+y)-\frac{1}{2}h(x+y)=$$$$\frac{1}{2}h(x+y)=\frac{S_{ABCD}}{2}$$

Задание 6648

Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD=16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) $$\angle CBD=\angle BDA$$(накрест лежащие)

     2) $$\frac{BD}{AD}=\frac{BC}{BD}$$. С учетом п.1 получим, что $$\Delta BCD\sim \Delta BDA$$

Задание 6715

Докажите, что сумма квадратов медиан прямоугольного треугольника в 1,5 раза больше квадрата гипотенузы.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) $$CC_{1}=\frac{1}{2}AB$$( свойство медиан из прямого угла) пусть $$AC^{2}=x^{2}$$, $$CB^{2}=y^{2}\Rightarrow$$ $$AB^{2}=x^{2}+y^{2}$$

     2) $$CC_{1}^{2}=(\frac{AB}{2})^{2}=\frac{x^{2}+y^{2}}{4}$$

$$\Delta AA_{1}C$$: $$AA_{1}^{2}=AC^{2}+(\frac{CB}{2})^{2}=$$$$x^{2}+\frac{y^{2}}{4}$$

$$\Delta CBB_{1}$$: $$BB_{1}^{2}=CB^{2}+(\frac{AC}{2})^{2}=$$$$y^{2}+\frac{x^{2}}{4}$$

     3) $$AA_{1}^{2}+BB_{1}^{2}+CC_{1}^{2}=$$$$x^{2}+\frac{y^{2}}{4}+y^{2}+\frac{x^{2}}{4}+\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{4}=$$$$\frac{3x^{2}+3y^{2}}{2}=1,5(x^{2}+y^{2})=1,5AB^{2}$$

Задание 6742

В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Докажите, что если АВ+ВМ=АС+СМ, то треугольник АВС – равнобедренный

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) Пусть $$MK\perp AB$$; $$MH\perp AC$$, тогда $$\Delta AKM=\Delta AMH$$ ( по гипотенузе и острому углу) $$\Rightarrow$$ $$KM=MH$$$$\Rightarrow$$ $$BM^{2}-BL^{2}=CM^{2}-CH^{2}$$$$\Leftrightarrow$$ $$(BM-BK)(BM+BK)=(CM-CH)(CM+CH)(1)$$

     2) Т.к. $$AB+BM=AC+CM(2)$$ и $$AK=AH$$, то $$BK+BM=CH+CM$$$$\Rightarrow$$ с учетом (1): $$BM-BK=CM-CH|-AH$$$$\Leftrightarrow$$ $$BM-AB=CM-AC(3)$$

     3)Вычтем (2) из (3): $$2AB=2AC$$$$\Rightarrow$$ $$AB=AC$$$$\Rightarrow$$ $$\Delta ABC$$ –равнобедренный.

Задание 6789

Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна произведению длин её оснований.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) т.к. можно вписать окружность , то $$AB+CD=BC+AD$$

     2) $$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}*MN$$

   Пусть $$OK\perp CD$$(OK-радиусы) . По свойству касательных : $$MC=CK$$, $$OM\perp CD\Rightarrow$$ $$\Delta MCO=\Delta CKO$$(по катету и гипотенузе) , аналогично, $$\Delta OKD=\Delta ODN$$. Тогда: $$\angle KDO=\angle ODN=\frac{\angle D}{2}=\frac{\alpha }{2}$$ и $$\angle MCO=\angle OCK=\frac{\angle C}{2}=\frac{180-\alpha }{2}=90-\frac{\alpha }{2}$$

   Тогда: $$\angle COD=180-\frac{\alpha }{2}-(90-\frac{\alpha }{2})=90\Rightarrow$$ $$OK=\sqrt{CK*KD}$$.

   Пусть CK=a, KD=b, OK=r, тогда: OL=OM=r; BM=BL; $$\angle B=90\Rightarrow$$ $$BM=BL=r$$; $$r^{2}=ab$$, $$BC=BM+MC=r+a$$, $$AD=AN+ND=r+b$$, $$AB=2r$$

     3) $$S=\frac{r+a+r+b}{2}*2r=$$$$(2r+a+b)*2=2r^{2}+ar+br=$$$$r^{2}+r^{2}+ar+br=$$$$r^{2}+ab+ar+br=$$$$r(r+b)+a(r+b)=(r+b)(r+a)=AD*BC$$

Задание 6860

Дан параллелограмм ABCD. Прямая, параллельная AB, пересекает биссектрисы углов A и C в точках M и N соответственно. Докажите, что углы ADM и ABN равны

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

         Биссектрисы $$AA_{1}$$ и $$CC_{1}$$; $$AA_{1}\cap CD=H$$; $$CC_{1}\cap AB=R$$

         1) Пусть $$\angle A=2\alpha$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle BAA_{1}=\angle A_{1}AD=$$$$\angle BCC_{1}=\angle C_{1}CD=\alpha $$($$AA_{1}; CC_{1}$$ - биссектрисы)

         2) $$\angle AHC=\angle BAA_{1}=\alpha$$ ; $$\angle ARC=\angle C_{1}CR=\alpha$$ (накрест лежащие ) $$\Rightarrow$$ $$BC=AD$$, то равнобедренные $$\Delta RBC=\Delta AHD$$$$\Rightarrow$$ $$RB=AD(1)$$

         3) $$\angle BAM=\angle BRN=\alpha$$ $$\Rightarrow$$ $$AM\left | \right |RN, AR\left | \right |NM$$ (по построению ) $$\Rightarrow$$ AMNR - параллелограмм $$\Rightarrow$$ $$RN=AM(2)$$

         4)С учетом (1) и (2) , и, что $$\angle BRN =\angle MAD=\alpha$$ $$\Rightarrow$$ $$\Delta BRN=\Delta MAD$$$$\Rightarrow$$ $$\angle ABN=\angle ADM$$

Задание 6908

Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. Вписанная в него окружность с центром О касается боковой стороны ВС в точке Р и пересекает биссектрису угла В в точке М. Докажите, что отрезки МР и ОС параллельны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

      1) Пусть $$\angle PCO=x$$, тогда $$\angle POC=90-x$$ ($$OP\perp BC$$ как радиус в точку касания )

      2) $$\Delta OHC=\Delta OPC$$$$\Rightarrow$$ $$\angle OCH=x$$$$\Rightarrow$$ $$\angle HBC=90-2x$$$$\Rightarrow$$ из $$\Delta OBP$$: $$\angle BOP=2x$$

      3) из $$\Delta MOP$$ ($$MO=OP$$ - радиусы): $$\angle OMP=\angle MPO=\frac{180-2x}{2}=90-x=\angle POC$$$$\Rightarrow$$ накрест лежащие углы равны и $$MP\left | \right |OC$$

Задание 6956

На стороне BC квадрата ABCD взята точка Р. Докажите, что площадь квадрата вдвое больше площади треугольника AРD.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

        1) Пусть $$PH\mid AD\Rightarrow$$ $$PHDC$$ - прямоугольник $$\Rightarrow$$ $$PH=CD$$

        2) $$S_{ABCD}=AB*BC$$; $$S_{ABCD}=\frac{1}{2}*AD*PH$$; $$PH=CD=AB$$; $$AD=BC\Rightarrow$$ $$S_{ABCD}=\frac{1}{2} *AB*BC=\frac{1}{2} S_{ABCD}$$

Задание 7004

Четырехугольник ABCD таков, что около него можно описать окружность и в него можно вписать окружность. Разность длин сторон AD и BC равна разности сторон АВ и СD. Докажите, что диагональ АС – диаметр описанной окружности.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) Т.к. можно вписать в него окружность , то $$AB+CD=BC+AD (1)$$. По условию $$AD-BC=AB-CD (2)$$

Сложим (1) и (2): $$2AB=2AD \Rightarrow AB=AD$$
Вычтем (2) из (1): $$2BC=2CD\rightarrow BC=CD$$

     2) Пусть $$\angle A=\alpha$$ , тогда $$\angle C=180-\alpha$$ (т.к. можно выслать окружность)

Из $$\Delta ABD: \angle ABD=$$$$\frac{180-\angle A}{2}=90-\frac{\alpha }{2}$$
Из $$\Delta BCD: \angle DBC =$$$$\frac{180-\angle C}{2}=\frac{\alpha }{2}$$

Тогда $$\angle B=90-\frac{\alpha }{2}+\frac{\alpha }{2}=90\Rightarrow$$ AC-диаметр

Задание 7090

В равностороннем треугольнике ABC точки Е, F, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник ЕFK — равносторонний.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) т.к. AE=EB и BF=FC, то EF-средняя линия и EF=0,5 AC

      2) аналогично , FK=0,5 AB и EK=0,5 BC, но AB=BC=AC$$\Rightarrow$$ EF=FK=EK

Задание 7136

В треугольнике АВС проведена медиана ВК и средняя линия КЕ, параллельная стороне АВ. Площадь треугольника ВКЕ равна 1. Найдите площадь треугольника АВС.

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) $$S_{BKE}=S_{EKC}$$ (BE=EC,общая вершина ) $$\Rightarrow$$ $$S_{ERC}=1$$

     2) $$\frac{S_{EKC}}{S_{ABC}}=(\frac{EK}{AB})^{2}=$$$$\frac{1}{4}\Rightarrow$$ $$S_{ABC} =4$$ (средняя линия равна половине стороны)

Задание 7137

В треугольнике АВС прямая, проходящая через вершину А, делит медиану ВМ пополам. Докажите, что эта прямая делит сторону ВС в отношении 1 : 2.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) Построим $$MK\left | \right |AM$$. По т. Фалеса : $$\frac{CM}{MA}=\frac{CK}{KM}\Rightarrow$$ $$\frac{CK}{KM}=\frac{1}{1}\Rightarrow$$ $$CK=KM$$

     2) Аналогично : $$\frac{BH}{HM}=\frac{BM}{MK}=\frac{1}{1}\Rightarrow$$ $$CK=KM=MB\Rightarrow$$ $$CM:MB=2:1$$

Задание 7164

Докажите, что расстояние от всякой точки окружности, описанной около равностороннего треугольника, до одной из его вершин равно сумме расстояний от этой точки до двух других вершин.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) Докажем , что $$AC*BD=CD*AB+AD*BC$$ (теорема Птолемея). Выберем на AC точку С так , чтобы $$\angle ABD=\angle CBE$$

     2) $$\Delta ABD\sim \Delta BCE$$ ($$\angle ECB=\angle ADB$$ (вписанные на одну дугу) и $$\angle ABD=\angle CBE$$ )$$\Rightarrow$$$$\frac{BC}{EC}=\frac{BD}{AD}\Rightarrow$$ $$BC*AD=EC*BD(1)$$

      3) $$\Delta ABE\sim \Delta BCD$$ ($$\angle CDB=\angle EAB$$; $$\angle ABD=\angle CBE$$ и $$\angle DBE$$ - общий $$\Rightarrow$$ $$\angle EBA=\angle DBC$$)$$\Rightarrow$$ $$\frac{AB}{AE}=\frac{BD}{CD}\Rightarrow$$ $$AB*CD=AE*BD(2)$$. Сложим (1) и (2): $$AB*CD+BC*AD=$$$$AE*BD+EC*BD=$$$$(AE+EC)BD=AC*BD$$

      4) Пусть $$AB=BC=AC=x$$ , с учетом , что $$AC*BD=CD*AB+AD*BC$$ получим , что $$BD*a=CD*a+BC*a|: a\Rightarrow$$ $$BD=CD+BC$$

Задание 7252

Две окружности с радиусами R и r касаются друг друга внешним образом в точке А. Общие касательные AD и BC к окружностям пересекаются в точке D. Докажите, что AD2=Rr.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) По свойству касательных : CD=DA и DA=DB $$\Rightarrow$$ $$CD=DB\Rightarrow$$ AD-медиана $$\Rightarrow$$$$\angle CAB=90$$

     2) Пусть $$\angle ACD=\alpha \Rightarrow$$ из $$\Delta ABC$$: $$\angle ABC=90-\alpha$$. Из $$\Delta O_{1}CD$$: $$\angle CO_{1}D=\angle ACD=\alpha$$ и $$\angle AO_{1}D=\angle CO_{1}D=\alpha$$. Аналогично , $$\angle ABC=\angle DO_{2}B=\angle DO_{2}A=90-\alpha$$. Тогда $$\angle O_{1}DO_{2}$$( из $$\Delta O_{1}D0_{2}$$) равен 90 ($$180-(\alpha +90-\alpha)$$)

     3) из $$\Delta O_{1}CD$$: $$O_{1}D^{2}=O_{1}C^{2}+CD^{2}=R^{2}+AD^{2}$$. Из $$\Delta O_{2}DB$$: $$O_{2}D=DB^{2}+O_{2}B^{2}=r^{2}+AD^{2}$$. При этом $$O_{1}D^{2}+O_{2}D^{2}=O_{1}O_{2}^{2}=(R+r)^{2}$$. Тогда: $$R^{2}+r^{2}+2AD^{2}=$$$$R^{2}+2Rr+r^{2}\Rightarrow$$ $$AD^{2}=Rr$$

Задание 7280

Докажите, что длина высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, равна отношению произведения катетов к гипотенузе этого треугольника.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Площадь данного треугольника:$$S=\frac{1}{2}ab$$ или $$S=\frac{1}{2} h*c$$, тогда: $$\frac{1}{2} ab=\frac{1}{2}hc\Rightarrow$$ $$h=\frac{ab}{c}$$, где a,b-катеты ,c-гипотенуза, h-высота

Задание 7312

Докажите что прямая, которая делит пополам гипотенузу и катет прямоугольного треугольника, параллельна другому катету.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7396

Пусть Н – точка пересечения высот треугольника АВС. Докажите, что точка Н1, симметричная точке Н относительно любой стороны треугольника АВС, лежит на окружности, описанной около этого треугольника.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7472

Биссектрисы углов B и C трапеции ABCD пересекаются в точке О, лежащей на стороне AD. Докажите, что точка О равноудалена от прямых АВ, ВС и CD

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) Пусть OH, OM и OK - расстояния до AB, BC и CD соответственно. 

     2) Для угла ABC: OH=OM по свойству биссектрисы. Аналогично для угла DCB: OK=OM. Следовательно, OH=OK=OM

Задание 7473

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник АВС касается катетов АС и ВС в точках L и K соответственно. АL = 12 см, ВК = 8 см. Найдите площадь треугольника ВОМ, где О – центр вписанной в треугольник окружности, М – точка пересечения медиан треугольника АВС.

Ответ: $$\frac{16}{3}$$
Скрыть

   1) Пусть окружжность окружность касается AB в точке H. По свойству касательных: CL=CK=x, KB=BH=8, AL=AH=12. Тогда AC=12+x, BC=8+x, AB=20. Тогда по теореме Пифагора: $$(12+x)^{2}+(8+x)^{2}=20^{2}\Leftrightarrow$$$$x=4$$

   2) Так как $$OK\perp BC, OL\perp AC$$ (радиус проведенный в точку касания) и $$OK=OL$$, то CLOK - квадрат, следовательно, OK=4

   3) Пусть OB пересекает AC в точке R, тогда треугольники RCB и OKB подобны (прямоугольные с общим острым углом) и $$\frac{RC}{OK}=\frac{CB}{KB}=\frac{3}{2}$$. Тогда RC=6

   4) $$S_{RCB}=\frac{1}{2}RC*CB=36$$, $$S_{DCB}=\frac{1}{2}DC*CB=48$$, тогда $$S_{DRB}=48-36=12$$

   5) $$\frac{DM}{MB}=\frac{1}{2}$$ (по свойству медианы), но из подобия RCB и OKB: $$\frac{RO}{OB}=\frac{1}{2}$$, а так как угол DBR - общий, то треугольники MOB и DRB - подобны, и $$S_{MOB}=(\frac{MB}{DB})^{2}S_{DRB}=(\frac{2}{3})^{2}*12=\frac{16}{3}$$

Задание 7498

В треугольнике АВС угол В равен 60, биссектрисы AD и СЕ пересекаются в точке О. Докажите, что OD = ОЕ.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7545

Докажите, что если три медианы треугольника равны, то он равносторонний.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7592

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке О. Докажите, что площади треугольников АОВ и СОD равны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7619

Докажите, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7668

Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4,5 и 18, BD=9. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7715

Докажите, что в выпуклый четырехугольник ABCD можно вписать окружность тогда и только тогда, когда АВ + СD = AD + BC.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7762

В выпуклом четырехугольнике ABCD угол ABD равен углу ACD. Докажите, что угол АСВ равен углу ADB.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7812

Четыре точки окружности следуют в порядке А, В, С и D. Продолжения хорды АВ за точку В и хорды CD за точку С пересекаются в точке Е, причем угол АЕD равен 60. Угол АВD в три раза больше угла ВАС. Докажите, что AD – диаметр окружности.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7858

Через точку A, лежащую на окружности с центром O, проведены диаметр AB и хорда AC. Докажите, что угол BAC вдвое меньше угла BOC.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7908

В треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1, CC1. Точки B2 и C2 – середины высот BB1 и CC1 соответственно. Докажите, что треугольник A1B2C2 подобен треугольнику ABC .

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 8400

Дан треугольник ABC . На сторонах AB и BC построены внешним образом квадраты ABMN и BCPQ . Докажите, что центры этих квадратов и середины отрезков MQ и AC образуют квадрат.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) $$FD=DQ$$; $$MF=FA$$ $$\Rightarrow$$ $$FD$$ - средняя линия $$\bigtriangleup AQM$$ $$FD=\frac{1}{2}AQ$$ и $$FD\parallel AQ$$; $$EC_{1}=FD$$ (из $$\bigtriangleup AQC$$)

2) Аналогично п.1: $$FE=\frac{1}{2}MC=DG$$ и $$EG\parallel FD$$; $$FE\parallel MC\parallel DG$$ из $$\bigtriangleup MAC$$ и $$\bigtriangleup MQC$$

3) $$MB=BA$$; $$BC=BQ$$ (стороны квадратов); $$\angle MBC=90^{\circ}+\angle ABC$$; $$\angle QBA=90^{\circ}+ABC$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle MBC=\angle QBA$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup MBC=\bigtriangleup ABQ$$ $$\Rightarrow$$ $$MC=AQ$$ $$\Rightarrow$$ $$FD=DG=GE=FE$$ $$\Rightarrow$$ $$FDGE$$ - ромб

4) $$\angle MLB=\angle ALK$$ - вертикальные; $$\angle MBL=90^{\circ}$$; из $$\bigtriangleup MBC=\bigtriangleup ABQ$$: $$\angle MBL=\angle LAK$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup MBL\sim\bigtriangleup ALK$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle LKA=90^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$MC\perp AQ$$ $$\Rightarrow$$ $$FD\perp FE$$ $$\Rightarrow$$ $$FDGE$$ - квадрат

Задание 8401

Известно, что $$\angle A=24^{\circ}$$ , $$\angle B=81^{\circ}$$ – внутренние углы треугольника ABC . O – такая точка внутри треугольника, что $$\angle OAB=15^{\circ}$$, $$\angle OBA=69^{\circ}$$. Найдите градусную меру угла OCA .

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) $$\angle OBA=69^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle OBC=81-69=12^{\circ}$$

2) Пусть $$AO\cup BC=P$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle APB=180-(81+15)=84$$

3) Пусть $$a\perp AB$$; $$a\cup AB=B$$; $$a\cup AP=D$$

4) $$\angle DBC=90-81=9^{\circ}$$; $$\angle DAC=424-15=9^{\circ}=\angle DBC$$ $$\Rightarrow$$ $$ABDC$$ можно вписать в окружность $$\Rightarrow$$ $$AD$$ - диаметр

5) Пусть $$O_{2}$$ - ее центр, $$T$$ - центр $$BC$$. Пусть $$TQ=TP$$, $$T$$ - центр $$PQ$$, тогда $$\bigtriangleup O_{2}BC$$ - равнобедренный; $$O_{2}T$$ - высота и медиана $$\Rightarrow$$ $$\angle O_{2}QP=\angle O_{2}PQ=84^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle PO_{2}Q=180-2\cdot84=12^{\circ}=\angle OBQ$$ $$\Rightarrow$$ $$O_{2}OQB$$ - вписан $$\Rightarrow$$ $$PO\cdot PO_{2}=PQ\cdot PB$$

6) из $$\bigtriangleup O_{2}PB$$: $$\frac{BP}{\sin30^{\circ}}=\frac{O_{2}B}{\sin84^{\circ}}$$; из $$\bigtriangleup O_{2}PC$$: $$\frac{PC}{\sin18^{\circ}}=\frac{O_{2}C}{\sin96^{\circ}}$$ $$\Rightarrow$$ $$\sin18^{\circ}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$$; $$O_{2}B=O_{2}C$$; $$\sin84^{\circ}=\sin96^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{BP}{PC}=\frac{\sin30^{\circ}}{\sin18^{\circ}}$$

7) $$\frac{PQ}{PC}=\frac{PB-QB}{QB}=\frac{PB}{PQ}-1=\frac{PB}{PC}-1=\frac{2}{\sqrt{5}-1}-1=$$ $$=\frac{2-\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}=\frac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{PC}{PB}$$

8) $$\frac{PC}{PB}=\frac{PQ}{PC}$$ $$\Rightarrow$$ $$PC^{2}=PQ\cdot PB=PO\cdot PO_{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{PO}{PC}=\frac{PC}{PO_{2}}$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup PCO\sim\bigtriangleup PO_{2}C$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle PCO=\angle PO_{2}C=18^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle O_{2}CA=75-18=57^{\circ}$$

Задание 8426

Окружности с центрами в точках Е и E пересекаются в точках С и D. Докажите, что $$CD\perp EF$$ .

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Пусть $$CD\cup EF=M$$; $$EC=ED$$ (радиусы) $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ECD$$ - равнобедренный. $$CF=FD$$ (радиусы) $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup CFD$$ - равнобедренный

2) из 1 и общий $$EF$$ $$\bigtriangleup ECF=\bigtriangleup EDF$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle CFE=\angle DFE$$ $$\Rightarrow$$ $$FM$$ - бисекрисса, но тогда она и высота $$\Rightarrow$$ $$CD\perp EF$$

Задание 8478

В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы DAC и DBC равны. Докажите, что углы CDB и CAB также равны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 8530

В остроугольном треугольнике ABC точки A, C, центр описанной окружности O и центр вписанной окружности I лежат на одной окружности. Докажите, что угол ABC равен 60 .

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 8582

В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке M . Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AMD .

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 8633

В треугольнике ABC углы A и C равны 20 и 50 соответственно. Найдите градусную меру угла между высотой BH и биссектрисой BD.

Ответ: 15
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 8634

Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 3 и 12, BD=6. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8829

Сторона AB параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AD. Точка К — середина стороны AB. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.
Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Проведём FK параллельно AD (см. рисунок). Тогда AD = AK = KB. Следовательно, параллелограмм AKFD является ромбом. Диагональ DK ромба AKFD делит угол ADC пополам.

 

Задание 8856

Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Точка G — середина стороны AD. Докажите, что BG — биссектриса угла ABC.

Ответ: ч.т.д.
 

Задание 8948

Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8974

Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка M – середина AD. Докажите, что CM – биссектриса угла BCD.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9001

Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9028

Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы CC1B1 и CBB1 равны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9067

Биссектрисы углов А и В трапеции ABCD пересекаются в точке К, лежащей на стороне CD. Докажите, что точка К равноудалена от прямых АВ, ВС и AD.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9089

Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы BB1C1 и BCC1 равны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9196

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке P. Докажите, что площади треугольников APB и CPD равны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9222

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9268

В параллелограмме ABCD проведены высоты BH и BE к сторонам AD и CD соответственно. При этом BH=BE. Докажите, что ABCD – ромб.

Ответ: -
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9289

В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA1 и BB1 . Докажите, что треугольники A1CB и ACB подобны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9316

Окружности с центрами в точках Е и F пересекаются в точках С и D, причём точки Е и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что $$EF\perp CD$$.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9416

Окружности с центрами в точках P и Q пересекаются в точках K и L, причём точки P и Q лежат по одну сторону от прямой KL. Докажите, что $$PQ\perp KL$$.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9426

Основания ВС и АВ трапеции ABCD равны соответственно 4,5 и 18, BD=9. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Ответ: ч.т.д.
 

Задание 9446

Биссектрисы углов А и В трапеции ABCD пересекаются в точке К, лежащей на стороне CD. Докажите, что точка К равноудалена от прямых AB, BC и AD.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9447

В треугольнике ABC известны длины сторон AB=28, AC=56 , точка O - центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

Ответ: 42
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9472

Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если последовательно соединить отрезками середины его сторон, то получится правильный восьмиугольник.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9560

Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4,5 и 18, BD=9. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9587

В параллелограмме ABCD точка M – середина стороны CD. Известно, что MA=MB. Докажите, что данный параллелограмм – прямоугольник.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9588

Три окружности с центрами O1, O2, O3 и радиусами 6, 1, 7 соответственно попарно касаются внешним образом. Найдите градусную меру угла O1O2O3

Ответ: 120
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9616

Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9712

В окружности через середину O хорды BD проведена хорда AC так, что дуги AB и CD равны. Докажите, что O – середина хорды AC .

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9738

В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K – середины сторон AB , BC, CA соответственно. Докажите, что BMKN – ромб.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9765

Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку Е. Докажите, что сумма площадей треугольников AEB и CED равна половине площади параллелограмма.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9833

Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M . Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9860

Окружности с центрами в точках I и J не имеют общих точек, и окружности не лежат одна внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9925

Окружности с центрами E и F пересекаются в точках C и D, причём точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что CD перпендикулярна EF .

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9979

Окружности с центрами в точках О и Q не имеют общих точек, и окружности не лежат одна внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении а:b. Докажите, что радиусы этих окружностей относятся как а:b.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10245

В окружности с центром проведены две равные хорды O KL и MN . На эти хорды опущены перпендикуляры OH и OS . Докажите, что OH и равны.

Ответ:
 

Задание 10330

Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.

Ответ: ч.т.д.
 

Задание 10363

Дан правильный шестиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится равносторонний треугольник.

Ответ: ч.т.д.
 

Задание 10426

Биссектрисы углов A и B трапеции ABCD пересекаются в точке K , лежащей на стороне CD. Докажите, что точка K равноудалена от прямых AB, BC и AD.

Ответ: ч.т.д.
 

Задание 10467

Точка Е — середина боковой стороны АВ трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Рассмотрим треугольники ECB и DEA. Пусть BC=b, AB=a, h - высота трапеции, проведенная через Е. Тогда точка Е делит высоту на два равных отрезка $$\frac{h}{2}$$. Следовательно:

$$S_{ABCD}=\frac{a+b}{2}h$$
$$S_{ECB}=\frac{1}{2}b\cdot \frac{h}{2}$$
$$S_{DEA}=\frac{1}{2}a\cdot \frac{h}{2}$$

Тогда $$S_{ECD}=\frac{a+b}{2}h-\frac{1}{2}h(\frac{a}{2}+\frac{b}{2})=$$$$\frac{a+b}{4}h=\frac{S_{ABCD}}{2}$$

 

Задание 10961

Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1)$$\ \angle A=\frac{8-2}{8}\cdot 180=135{}^\circ $$. Тогда из $$\triangle ABH:\ \angle AHB=\frac{180{}^\circ -135{}^\circ }{2}=22,5$$.

2) Аналогично, $$\angle C_1HF=22,5$$. Тогда $$\angle BHF=135{}^\circ -2\cdot 22,5=90$$. При этом $$\triangle ABH=\triangle BCD=\triangle EDF=\triangle HC_1F$$ (по двум сторонам и углу м/у ними) $$\to HBDF$$ - квадрат.

Задание 10984

Основания ВС и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 45, $$BD=15$$. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1)$$\angle CBD=\angle BDA$$ (накрест лежащие при $$BC\parallel AD$$)

2) Рассмотрим $$\triangle BCD$$ и $$\triangle BDA$$ (в числителе сторона $$\triangle BCD$$, в знаменателе $$\triangle BDA$$): $$\frac{BC}{BD}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}; \frac{BD}{AD}=\frac{15}{45}=\frac{1}{3}\to \frac{BC}{BD}=\frac{BD}{AD}$$. С учетом 1 пункта: $$\triangle BCD\approx \triangle BDA$$

 

Задание 11046

Основание BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 12 и 75, $$AC=30$$. Докажите, что треугольники CBA и ACD подобны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть Найдем отношение сторон в $$\triangle ABC$$ к $$\triangle CAD$$: $$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{AD}.$$ При этом $$\angle BCA=\angle CAD$$ (накрест лежащие при $$BC\parallel AD$$) $$\to$$ по отношению 2-х сторон и равенству углов м/у ними $$\triangle ABC\approx \triangle CAD.$$
 

Задание 11068

Два равных прямоугольника $$ABCO$$ и $$KLMO$$ имеют общую вершину $$O,$$ причём $$AO=OM$$ и $$OC=OK.$$ Докажите, что площади треугольников $$AOK,\ COM$$ равны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть $$\angle AOK=\alpha \to \angle COM=360-2\cdot 90-\alpha =180-\alpha \to {\sin AOK\ }={\sin COM\ }.$$ $$S_{\triangle AOK}=\frac{AO\cdot OK\cdot {\sin AOK\ }}{2};\ S_{\triangle COM}=\frac{OC\cdot OM\cdot {\sin COM\ }}{2},$$ но $$AO=OM;OC=OK\to S_{AOK}=S_{COM}$$
 

Задание 11172

Точка К – середина боковой стороны СD трапеции АВСD. Докажите, что площадь треугольника АВК равна сумме площадей треугольников ВСК и АКD.
Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
   Необходимо доказать, что SΔABK = SΔBCK + SΔAKD. Трапецию ABCD, поделили на 3 этих треугольника. Значит каждая из сторон равенства будет равна . Достаточно доказать, что: SΔABK = 0,5SABCD
   Продолжим прямую BK до пересечения с прямой AD в точке M. Рассмотрим ΔBCK и ΔKMD. Стороны СK = KD по условию, углы при вершине К равны как вертикальные. ∠BCK = ∠KDM как внутренне накрест лежащие, при двух параллельных прямых: ВС, AD и секущей СD. Значит ΔBCK = ΔKMD (по стороне и прилежащим углам).
   Если ΔBCK = ΔKMD, то SABCD = SΔABM. Так же из равенства треугольников следует BK = KM, значит AK медиана, тогда: SΔABK = SΔAKM
   Отсюда: $$S_{\Delta ABK}=\frac{1}{2}S_{\Delta ABM}=$$$$\frac{1}{2}S_{ABCD}=S_{\Delta BCK}+S_{\Delta AKS}$$
 

Задание 11194

В треугольнике АВС с тупым углом АВС проведены высоты АА1 и СС1 Докажите, что треугольники А1ВС1 и АВС подобны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11216

В треугольнике АВС с тупым углом ВАС проведены высоты ВВ1 и СС1 Докажите, что треугольники АВ1С1 и АВС подобны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11237

Точка Е — середина боковой стороны АВ трапеции ABCD. Докажите, что сумма площадей треугольников ВСЕ и ADE равна половине площади трапеции.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11260

На стороне AC треугольника ABC выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны. Точка E лежит между точками A и D. Оказалось, что углы AEB и BDC тоже равны. Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11302

Сторона АВ параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AD. Точка К — середина стороны АВ. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11323

Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны АВ. Точка G — середина стороны AD. Докажите, что BG — биссектриса угла АВС.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11359

Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и ВС четырёхугольника пересекаются в точке К. Докажите, что треугольники КАВ и KCD подобны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11402

Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон АВ и CD четырёхугольника пересекаются в точке М. Докажите, что треугольники МВС и MDA подобны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11445

Высоты ВВ1и СС1остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Е. Докажите, что углы СС1В1и СВВ1  равны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11493

Высоты ВВ1и СС1остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Е. Докажите, что углы ВВ1С1и ВСС1равны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11517

В параллелограмме KLMN точка E – середина стороны KN . Известно, что EL=EM. Докажите, что данный параллелограмм – прямоугольник.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11540

Биссектрисы углов A и D параллелограмма пересекаются в точке E стороны BC. Докажите, что BE=EC.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11561

В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали пересекаются в точке Р, Докажите, что площади треугольников АРВ и CPD равны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11583

В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали пересекаются в точке О. Докажите, что площади треугольников АОВ и COD равны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11605

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и CC1. Докажите, что углы CC1A1 и CAA1равны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11669

Окружности с центрами в точках Е и F пересекаются в точках С и D, причём точки Е и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что CD$$\perp$$EF.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11691

Окружности с центрами в точках Р и Q пересекаются в точках К и L, причём точки Р и Q лежат по одну сторону от прямой KL. Докажите, что PQ$$\perp$$KL .

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11692

В треугольнике АВС биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 12. Найдите стороны треугольника АВС.

Ответ: $$3\sqrt{13};6\sqrt{13};9\sqrt{5}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11793

В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB . Известно, что EC=ED. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11815

Биссектрисы углов А и В трапеции ABCD пересекаются в точке К, лежащей на стороне CD. Докажите, что точка К равноудалена от прямых АВ, ВС и AD.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11837

Основания ВС и AD трапеции ABCD равны соответственно 4,5 и 18, ВВ=9. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11879

Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку Е. Докажите, что сумма площадей треугольников ВЕС и AED равна половине площади параллелограмма.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11901

Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку Е. Докажите, что сумма площадей треугольников АЕВ и CED равна половине площади параллелограмма.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11927

Окружности с центрами в точках I и J не имеют общих точек, и окружности не лежат одна внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m : n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m : n.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11948

Окружности с центрами в точках О и Q не имеют общих точек, и окружности не лежат одна внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении а : b. Докажите, что радиусы этих окружностей относятся как а : b.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11982

Точка К — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника КАВ равна половине площади трапеции.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12003

Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны ВС и AD в точках К и М соответственно. Докажите, что BK=DM.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12024

Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны АВ и CD в точках Е и F соответственно. Докажите, что АЕ=CF.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12045

Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны ВС и AD в точках L и G соответственно. Докажите, что CL=AG.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12066

Биссектрисы углов С и D трапеции ABCD пересекаются в точке Р, лежащей на стороне АВ. Докажите, что точка Р равноудалена от прямых ВС, CD и AD.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12087

Биссектрисы углов А и D трапеции ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС. Докажите, что точка М равноудалена от прямых АВ, AD и CD.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12108

В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что углы DAC и DBC также равны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12129

В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы DAC и DBC равны. Докажите, что углы CDB и САВ также равны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12150

В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и САВ равны. Докажите, что углы ВСА и BDA также равны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12171

На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и ВС выбрали произвольную точку Е. Докажите, что сумма площадей треугольников АЕВ и CED равна половине площади трапеции.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12192

На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и ВС выбрали произвольную точку К. Докажите, что сумма площадей треугольников ВКС и AKD равна половине площади трапеции.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12213

На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и ВС выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине площади трапеции.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12234

Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке Т стороны AD. Докажите, что Т — середина AD.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12255

Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке F стороны CD. Докажите, что F - середина CD.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12940

Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12987

Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны АВ и CD в точках Е и F соответственно. Докажите, что отрезки АЕ и CF равны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13008

Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны АВ и CD в точках Р и Q соответственно. Докажите, что отрезки ВР и DQ равны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13029

В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и САВ равны. Докажите, что углы ВСА и BDA также равны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13051

В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы DAC и DBC равны. Докажите, что углы CDB и САВ также равны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13072

В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА1и CC1Докажите, что углы СС1А1  и САА1равны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13095

В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА1и ВВ1. Докажите, что углы ВВ1А1  и ВАА1  равны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13116

Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если последовательно соединить отрезками середины его сторон, то получится правильный восьмиугольник.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13139

В окружности через середину O хорды проведена хорда BD и AC так, что дуги AB и CD равны. Докажите, что O  — середина хорды AC .

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13161

Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны ВС и AD в точках К и М соответственно. Докажите, что отрезки ВК и DM равны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13183

Биссектрисы углов А и D трапеции ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС. Докажите, что точка М равноудалена от прямых АВ, AD и CD.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13204

Биссектрисы углов C и D трапеции ABCD пересекаются в точке P, лежащей на стороне AB. Докажите, что точка P равноудалена от прямых BC, CD и AD.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13225

В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что углы DAC и DBC равны.

Ответ: ч.т.д.
 

Задание 13247

В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон AB, BC, CA соответственно. Докажите, что треугольник MNK — равносторонний.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13273

Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны ВС и AD в точках L и N соответственно. Докажите, что отрезки CL и AN равны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13294

В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что углы DAC и DBC также равны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13315

Основания ВС и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 45, ВР = 15. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны. 25

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13316

Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке К. Найдите площадь параллелограмма, если ВС = 6, а расстояние от точки К до стороны АВ равно 6.

Ответ: 72
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13337

Основания ВС и AD трапеции ABCD равны соответственно 12 и 75, АС = 30. Докажите, что треугольники СВА и ACD подобны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13338

Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке К. Найдите площадь параллелограмма, если ВС = 2, а расстояние от точки К до стороны АВ равно 8.

Ответ: 32
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13358

Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, делит её на две равные по площади части.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13417

Точка К — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника АВК равна сумме площадей треугольников ВСК и AKD.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13438

Окружности с центрами в точках O1 и O2 не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13461

Точка Е — середина боковой стороны АВ трапеции ABCD. Докажите, что сумма площадей треугольников ВСЕ и ADE равна половине площади трапеции.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13482

В треугольнике АВС с тупым углом АВС проведены высоты АА1и CC1Докажите, что треугольники А1ВС1и АВС подобны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13505

В треугольнике АВС с тупым углом ВАС проведены высоты ВВ1и CC1Докажите, что треугольники АВ1С1и АВС подобны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13527

На стороне AC треугольника ABC отмечены точки D и E так, что AD=CE. Докажите, что если BD=BE, то AB=BC.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13587

Сторона АВ параллелограмма ABCD вдвое больше стороны АО. Точка К — середина стороны АВ. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13609

В параллелограмме ABCD точки E, F, K и M лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём AE=CK, BF=DM. Докажите, что параллелограмм.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13631

Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны АВ. Точка G — середина  стороны АD. Докажите, что BG — биссектриса угла АВС.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13653

Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что $$AB\perp IJ$$.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13677

На медиане KF треугольника MPK отмечена точка E. Докажите, что если EM=EP, то KM=KP.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13678

В треугольнике ABC известны длины сторон AB=36, AC=48, точка O - центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

Ответ: 21
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13717

Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и ВС четырёхугольника пересекаются в точке К. Докажите, что треугольники КАВ и KCD подобны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13738

Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон АВ и CD четырёхугольника пересекаются в точке М. Докажите, что треугольники МВС и MDA подобны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13761

В параллелограмме ABCD точка M — середина стороны CD . Известно, что MA=MB. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13822

Высоты ВВ1и CC1остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Е. Докажите, что углы СС1В1 и СВВ1равны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13843

Два круга с центрами в точках P и Q не имеют общих точек. Внутренняя общая касательная к окружностям, ограничивающим эти круги, делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении $$a:b$$. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как $$a:b$$.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13864

Докажите, что биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника равны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13865

Окружности радиусов 36 и 45 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D – на второй. При этом AC и BD – общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

Ответ: 80
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13887

В параллелограмме ABCD проведены высоты BE и BF к сторонам AD и CD соответственно. Докажите, что ∙треугольник ABE подобен треугольнику CBF.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13927

Высоты BB1и СС1остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Е. Докажите, что углы ВВ1С1и ВСС1равны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13949

В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали пересекаются в точке Р. Докажите, что площади треугольников АРВ и CPD равны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13971

В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали пересекаются в точке О. Докажите, что площади треугольников АОВ и COD равны.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13993

Окружности с центрами в точках Е и F пересекаются в точках С и D, причём точки Е и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что $$CD\perp EF$$.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14014

Окружности с центрами в точках Р и Q пересекаются в точках К и L, причём точки Р и Q лежат по одну сторону от прямой KL. Докажите, что $$PQ\perp KL$$.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14047

Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку Е. Докажите, что сумма площадей треугольников ВЕС и AED равна, половине площади параллелограмма.

Ответ: ч.т.д.
 

Задание 14069

Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку Е. Докажите, что сумма площадей треугольников АЕВ и CED равна половине площади параллелограмма.

Ответ: ч.т.д.
 

Задание 14091

Окружности с центрами в точках I и J не имеют общих точек, и окружности не лежат одна внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении n:m. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как n:m.

Ответ: ч.т.д.
 

Задание 14113

Окружности с центрами в точках О и Q не имеют общих точек, и окружности не лежат одна внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении $$a:b$$. Докажите, что радиусы этих окружностей относятся как $$a:b$$.

Ответ: ч.т.д.
 

Задание 14135

Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке F стороны CD. Докажите, что F — середина CD.

Ответ: ч.т.д.
 

Задание 14157

Биссектрисы углов В и С параллелограмма ABCD пересекаются в точке T стороны AD. Докажите, что Т — середина АВ.

Ответ: ч.т.д.
 

Задание 14179

На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и ВС выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников ВЕС и AFD равна половине площади трапеции.

Ответ: ч.т.д.
 

Задание 14201

На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и ВС выбрали произвольную точку К. Докажите, что сумма площадей треугольников ВКС и AKD равна половине площади трапеции.

Ответ: ч.т.д.