ОГЭ
Задание 2671
На высоте AH треугольника ABC взята точка M. Докажите, что AB2–AC2=MB2–MC2.
$$AB^{2}-AC^{2}=MB^{2}-MC^{2}$$
|
1) из $$\bigtriangleup BMH$$ и $$\bigtriangleup CMH$$: $$MH^{2}=BM^{2}-BH^{2}=CM^{2}-CH^{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$BM^{2}-CM^{2}=BH^{2}-CH^{2}$$ 2) из $$\bigtriangleup ABH$$ и $$\bigtriangleup AHC$$: $$AH^{2}=AB^{2}-BH^{2}=AC^{2}-CH^{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$AB^{2}-AC^{2}=BH^{2}-CH^{2}$$ 3) из 1 и 2 $$BM^{2}-CM^{2}=BH^{2}-CH^{2}=AB^{2}-AC^{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$AB^{2}-AC^{2}=BM^{2}-CM^{2}$$ |
 |
ч.т.д.
Задание 2775
В равнобедренном треугольнике АВС из концов основания АС проведены прямые, которые составляют с основанием равные углы и пересекаются в точке М. Докажите равенство треугольников АВМ и ВСМ.
|
1) $$\angle \alpha=\angle \beta$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ACM$$ - равнобедренный $$\Rightarrow$$ $$AM=MC$$ 2) $$\angle A=\angle C$$; $$AB=BC$$; $$AM=MC$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ABM=\bigtriangleup BMC$$ |
ч.т.д.
Задание 2929
Докажите, что если в треугольнике две высоты равны, то он равнобедренный.
Решение временно отсутствует, можете найти его в моем видео-разборе ( вначале варианта )
Задание 3019
Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.
|
AH - медиана и биссектриса $$\Rightarrow$$ $$\angle HAC=\angle HAB$$; BH=HC и АН - общая. По теореме косинусов: $$\left.\begin{matrix}\frac{AH}{\sin C}=\frac{HC}{\sin HAC}\\\frac{AH}{\sin B}=\frac{HB}{\sin BAH}\end{matrix}\right\}$$ $$\Rightarrow \sin C=\sin B\Rightarrow \angle C=\angle B$$ ч.т.д. |
Задание 3143
Докажите, что периметр параллелограмма больше суммы длин его диагоналей
Текстовое решение временно недоступно, вы можете найти его в видео в начале варианта
Задание 2972
Докажите, что если у треугольника равны две высоты, то этот треугольник равнобедренный.
|
$$CH=AM$$ $$\bigtriangleup BCH=\bigtriangleup AMB$$ ($$\angle B$$ - общий катеты равны) $$\Rightarrow$$ $$AB=BC$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ABC$$ - равнобедренный. ч. т. д. |
Задание 3190
Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей, делит пополам общую касательную к ним
По свойству касательной и секущей: $$AM^{2}=MC\cdot MN$$
$$MB^{2}=MC\cdot MN$$
$$\Rightarrow$$ $$AM^{2}=MB^{2}$$
$$\Rightarrow$$ $$AM=MB$$
ч.т.д.
Задание 3568
В выпуклом четырехугольнике АВСD точки К, М, Р, Е – середины сторон АВ, ВС, СD и DA соответственно. Докажите, что площадь четырехугольника КМРЕ равна половине площади четырехугольника АВСD.
1) из $$\bigtriangleup ABC$$: $$KM\parallel AC$$ (км - средняя линия)
аналогично: $$KE\parallel DB\parallel MP$$; $$KM\parallel AC\parallel EP$$ и $$EP=KM$$; $$EK=PC$$
2) $$S_{ABD}+S_{DBC}=S_{ABC}+S_{ADC}=S_{ABCD}=S$$
$$\left.\begin{matrix}S_{AKE}=\frac{1}{4}S_{ABD}\\S_{KCP}=\frac{1}{4}S_{DBC}\\S_{KBM}=\frac{1}{4}S_{ACB}\\S_{EDP}=\frac{1}{4}S_{ADC}\end{matrix}\right\}$$ $$\Rightarrow$$
$$\frac{1}{4}(S_{ABD}+S_{DBC})+\frac{1}{4}(S_{ACB}+S_{ADC})=\frac{1}{4}S+\frac{1}{4}S=\frac{1}{2}S$$ $$\Rightarrow$$
$$S_{EKMP}=S-\frac{1}{2}S=\frac{1}{2}S$$
Задание 3845
В треугольнике АВС с тупым углом АСВ проведены высоты АА1 и ВВ1. Докажите, что треугольники А1СВ1 и АСВ подобны.
$$\bigtriangleup A_{1}CB_{1}\sim \bigtriangleup ACB$$
$$\angle A_{1}CA=\angle B_{1}CB$$ вертикальные
т.к. $$\bigtriangleup A_{1}AC$$ И $$\bigtriangleup BB_{1}C$$ прямоугольные, то из равенства их острых угловони подобные
$$\Rightarrow$$ $$\frac{A_{1}C}{CB_{1}}=\frac{AC}{CB}$$
$$\Rightarrow$$ $$\frac{A_{1}C}{AC}=\frac{CB_{1}}{CB}$$; $$\angle A_{1}CB_{1}=\angle ACB$$
$$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup A_{1}CB_{1}$$ по первому признаку
Задание 3996
На стороне BC квадрата ABCD взята точка М. Докажите, что площадь треугольника AМD равна половине площади квадрата.
1) Пусть МН - высота AMD $$\Rightarrow$$
$$MH\perp AD$$ $$\Rightarrow$$
$$MH\parallel AB$$ $$\Rightarrow$$
$$MH=AB$$
2) $$S_{ABCD}=\frac{1}{2}AD\cdot MH=\frac{1}{2}AB\cdot AD$$
$$S_{ABCD}=AB\cdot AD$$ $$\Rightarrow$$
$$S_{AMD}=\frac{1}{2}S_{ABCD}$$
Ч.Т.Д.
Задание 4060
В четырехугольнике две стороны параллельны друг другу, а две другие перпендикулярны диагоналям. Докажите, что перпендикулярные диагоналям стороны равны между собой.
1) $$BC\parallel AD\Rightarrow ABCD$$ - трапеция
2) Пусть М - середина AD $$\Rightarrow$$
$$AM=MD=BM$$ ($$\bigtriangleup ABD$$ - прямоуг.)
$$AM=MD=MC$$ (аналогично) $$\Rightarrow$$
$$BM=MC\Rightarrow$$ $$\angle MBC=\angle MCB$$
3) $$\angle CMD=\angle BCM$$ (накрестлежащие)
$$\angle AMB=\angle MBC$$ (накрестлежащие) $$\Rightarrow$$
$$\angle AMB=\angle DCM$$ $$\Rightarrow$$
$$\bigtriangleup AMB=\bigtriangleup CMD$$ (по двум сторонам и углу)
$$\Rightarrow$$ $$AB=CD$$
ч.т.д.
Задание 4536
На стороне ВС квадрата АВСD взята точка К. Докажите, что площадь треугольника АКD равна половине площади квадрата.
1) Пусть х - сторона квадрата, S - его площадь: $$S=x^{2}$$
2) Пусть $$KH\perp AD$$ $$\Rightarrow$$ $$KH=AB=x$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{AKD}=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot KH=\frac{1}{2}\cdot x\cdot x=\frac{x^{2}}{2}=\frac{S}{2}$$
ч.т.д.
Задание 4653
На медиане KF треугольника MKP отмечена точка E. Докажите, что если EM=EP, то KM=KP.
Построим чертеж:
Задание 4803
Докажите, что сумма длин медиан треугольника меньше его периметра
На каждой стороне треугольника достроим параллелограмм, как показано на рисунке и введем обозначения: BC=a;AB=c;AC=b;CC1=mc;BB1=mb;AA1=ma
Задание 4871
На высоте AD треугольника ABC взята точка N. Докажите, что AB2 - AC2 = NB2 - NC2 .
Задание 4898
Докажите, что биссектрисы углов прямоугольника с неравными сторонами при пересечении образуют квадрат.
1)$$\angle JAD = \angle JDA = 45^{\circ}$$ (AJ и DJ - биссектрисы пярмых углов), тогда $$\angle AJD = 90^{\circ}$$. Тогда $$\angle FJI =90^{\circ}$$ как смежный. Аналогично $$\angle FGI =90^{\circ}$$ и тогда FGIJ - прямоугольник
2)$$\bigtriangleup AJD = \bigtriangleup BGC$$ (прямоугольные, равнобедренные, одинаковые гипотенуза), тогда DJ=GC(1). $$\bigtriangleup DFC$$ прямоугольный и равнобедренный, тогда DF=FG(2). Из равенств 1 и 2 получаем FJ=FG. Тогда FGIJ - квадрат
Задание 4992
В четырехугольнике две стороны параллельны, а диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что если в данный четырехугольник можно вписать окружность, то две другие стороны четырёхугольника равны между собой.
Задание 5041
В треугольнике АВС угол АСВ тупой, $$BO\perp AC$$, $$OF\perp AB$$, $$OD\perp BC$$. Докажите, что $$\angle ACB=\angle DFB$$.
Пусть $$\angle A=\alpha$$; $$\angle B=\beta$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle ACB=180-\angle\alpha-\angle\beta$$
1) $$\angle BCO=180-\angle C=\alpha+\beta$$ $$\Rightarrow$$ из $$\bigtriangleup OCB$$: $$\angle CBO=90^{\circ}-\angle BCO=90^{\circ}-\alpha-\beta$$
2) $$\bigtriangleup ODN\sim\bigtriangleup FNB$$ (прямоугольные); $$\angle DNO=\angle FNB$$ (как вертикал.); $$\Rightarrow$$ $$\frac{ON}{NB}=\frac{DN}{FN}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{ON}{DN}=\frac{NB}{NF}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle DFN=\angle NBO=90^{\circ}-\alpha-\beta$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle DFB=90^{\circ}+90^{\circ}-\alpha-\beta=180^{\circ}-\alpha-\beta=\angle ACB$$
ч.т.д.
Задание 5088
Докажите, что если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
Пусть $$BH\perp AC$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ABH\sim\bigtriangleup BHC$$ по 2 углам, но т.к. $$BH$$ - общая ,то $$\bigtriangleup ABH=\bigtriangleup BHC$$ $$\Rightarrow$$ $$AB=BC$$
ч.т.д.
Задание 5225
Докажите, что в трапеции, диагонали которой являются биссектрисами углов при одном из оснований, длины трёх сторон равны.
1)$$\angle BDA=\angle DBC$$(накрестлежащие при параллельных BC и AD) ; $$\angle BDA=\angle BDC$$ (BD - биссеткриса) , тогда $$\angle BDC=\angle DBC$$, тогда треугольник BDC - равнобедренный и BC=BD(1)
2)аналогично рассматривается равенство углов BAC и BCA, тогда треугольник ABC - равнобедренный, и AB=BC, но с учетом равенства (1) получаем AB=BC=CD.
ч.т.д.
Задание 5273
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы DAC и DBC равны. Докажите, что углы CDB и САВ также равны.
1) $$\angle CBD=\angle CAD$$ они опираются на $$CD$$ $$\Rightarrow$$ $$ABCD$$ можно вписать в окружность
2) $$\angle CDB$$ и $$\angle CAB$$ опираются на $$BC$$ и из пункта 1 получаем, что они вписанные $$\Rightarrow$$ т.к. на одну хорду опираются, то $$\angle CDB=\angle CAB$$
ч.т.д.
Задание 5321
На стороне BC квадрата ABCD взята точка М. Докажите, что площадь треугольника AМD равна половине площади квадрата.
1)Пусть $$MH \perp AD$$ , тогда ABMH - прямоугольник и MH=AB
2)$$S_{AMD}=\frac{1}{2}AD*MH$$, или $$S_{AMD}=\frac{1}{2}AD*AB=\frac{1}{2}S_{ABCD}$$
Задание 5368
Докажите, что если в равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, то высота трапеции равна средней линии.
Задание 5416
В параллелограмме MNPK точка A — середина стороны MN. Известно, что AP=AK. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
1) По свойству параллелограмма: MN=NP. По условию AN=AM и AP=AK. Тогда треугольники ANP и AMK равны по трем сторонам, следовательно $$\angle ANP=\angle AMK=x$$
2) По свойству параллелограмма: $$\angle ANP+\angle AMK=180$$, следовательно $$\angle ANP=\angle AMK=90$$, тогда MNPK - прямоугольник
Задание 5552
В окружности с центром О проведены две хорды АВ и CD так, что центральные углы АОВ и СОD равны. На эти хорды опущены перпендикуляры ОК и OL. Докажите, что ОК и OL равны.
1) $$OA=OB=OD=OC$$ - радиусы $$\angle AOB=\angle COD$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup OAB=\bigtriangleup COD$$
2) из п.1: $$\angle OAK=\angle ODL$$, $$OD=OA$$; $$\angle OLD=\angle OKA=90^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup OLD=\bigtriangleup OAK$$ (по гипотенузе и острому углу) $$\Rightarrow$$ $$OL=OK$$
Задание 5553
Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что отрезки AB и IJ перпендикулярны
1) Пусть $$AB\cap IJ=H$$
2) $$IA=IB$$ - радиусы; $$JA=JB$$ - радиусы; $$IJ$$ - общая $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup IAJ=\bigtriangleup IJB$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle AIJ=\angle BIJ$$ $$\Rightarrow$$ $$IJ$$ - биссектриса
3) $$IA=IB$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup IAB$$ - равнобедренный $$\Rightarrow$$ $$IJ$$ - высота $$\Rightarrow$$ $$IJ\perp AB$$
Задание 5555
В окружности через середину O хорды AC проведена хорда BD так, что дуги AB и CD равны. Докажите, что O — середина хорды BD.
1) $$\angle BAC=\angle BDC$$ (вписанные и опираются на одну дугу)
2) $$AB=CD$$ (т.к. $$\smile AB=\smile CD$$); $$OA=OC$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup OAB=\bigtriangleup COD$$ (по двум сторонам и углу между ними) $$\Rightarrow$$ $$OB=OD$$
Задание 5556
Окружности с центрами в точках O1 и O2 не имеют общих точек. Внутренняя общая касатель‐ ная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n
1) Пусть касательная $$a$$ касается окружностей с центрами $$O_{1}$$ и $$O_{2}$$ в $$A$$ и $$B$$ соответственно, тогда : $$O_{1}A\perp a$$ и $$O_{2}B\perp a$$ (радиусы в точку касания)
2) $$AB\cap O_{1}O_{2}=C$$; $$\angle ACO_{1}=\angle O_{2}CB$$ (вертикальные) $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ACO_{1}\sim\bigtriangleup O_{2}CB$$ (по двум углам) $$\Rightarrow$$ $$\frac{O_{1}C}{CO_{2}}=\frac{AC}{CB}=\frac{O_{1}A}{O_{2}B}=\frac{m}{n}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{d_{1}}{d_{2}}=\frac{m}{n}$$, где $$d_{1}$$, $$d_{2}$$ - диаметры
Задание 5557
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1и BB1. Докажите, что углы AA1B1 и ABB1 равны
1) Пусть $$AA_{1}\cap BB_{1}=M$$, тогда $$\angle B_{1}MA=\angle A_{1}MB$$ (вертикальные)
2) $$\angle AB_{1}M=\angle MA_{1}B=90^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup AMB_{1}\sim\bigtriangleup A_{1}MB$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{B_{1}M}{A_{1}M}=\frac{AM}{MB}$$ ($$\ast$$)
3) $$\angle B_{1}MA_{1}=\angle AMB$$ (вертикальные), с учетом ($$\ast$$) $$\bigtriangleup B_{1}MA_{1}\sim\bigtriangleup AMB$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle B_{1}A_{1}M=\angle MBA$$
Задание 5559
Докажите, что медиана треугольника делит его на два треугольника, площади которых равны между собой.
1) Пусть дан $$\bigtriangleup ABC$$, $$CM$$ - медиана $$\Rightarrow$$ $$AM=MB$$ ($$\star$$)
2) Пусть $$CH\perp AB$$, тогда $$S_{AMC}=\frac{1}{2}AM\cdot CH$$; $$S_{CMB}=\frac{1}{2}MB\cdot CH$$ с учетом ($$\star$$): $$S_{AMC}=S_{CMB}$$
Задание 5560
В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60° . Докажите, что точки A, C, центр описанной окружности треугольника ABC и центр вписанной окружности треугольника ABC лежат на одной окружности.
1) $$O$$ - центр описанной окружности $$\Rightarrow$$ $$\angle AOC=2\angle ABC=120^{\circ}$$ (вписанный и центральный углы)
2) $$\angle A+\angle C=180^{\circ}-\angle B=120^{\circ}$$; $$\angle IAC=\frac{\angle A}{2}$$; $$\angle ICA=\frac{\angle C}{2}$$ ($$I$$ - центр вписанной $$\Rightarrow$$ $$AI$$ и $$CI$$ - биссектрисы) $$\Rightarrow$$ $$\angle IAC+\angle ICA=\frac{\angle A+\angle C}{2}=60^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle AIC=120^{\circ}$$
3) из п.1 и п.2: $$\angle AOC=\angle AIC$$ (они опираются на одну сторону $$AC$$) $$\Rightarrow$$ $$AOIC$$ - вписанный четырехугольник.
Задание 6072
Докажите, что если у треугольника равны две медианы, то этот треугольник равнобедренный.
1) Пусть АМ=СН-медианы . $$\frac{LN}{LM}=\frac{2}{1}$$ и $$\frac{CL}{CH}=\frac{2}{1}$$(свойство медиан), но т.к. AM=CH, то AL=LC ,LH=LM.
2) $$\angle HLA=\angle MLC$$ (вертикальные) $$\Delta HLA=\Delta MLC$$ (по 2-м сторонам и углу между ними) $$\Rightarrow$$ AH=MC, но AH=HB и CM=MB $$\Rightarrow$$ AB=BC.
Задание 6119
Середины сторон параллелограмма являются вершинами ромба. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
- $$AB=CD, BC=AD$$ так как дан параллелограмм. Следовательно, $$AM=MB=DL=LC$$, и $$AK=KD=BN=NC$$.
- $$\angle A+\angle D=180$$. Но $$MK=NK$$, следовательно, треугольники AMK и KLD равны по трем сторонам и $$\angle A=\angle D$$. Так как они в сумме дают 180, то какждый из них по 90, тогда ABCD - прямоугольник.
Задание 6166
В квадрат, площадью 24 см2 вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата лежит одна вершина прямоугольника. Длины сторон прямоугольника относятся как 1:3. Найдите площадь прямоугольника.
1) Пусть $$\angle B_{1}C_{1}B=\alpha$$ , тогда $$\angle D_{1}C_{1}C=90-\alpha$$ , тогда $$\angle C_{1}D_{1}C=\alpha$$ .
Рассуждая аналогично получим :
$$\angle B_{1}C_{1}B=\angle C_{1}D_{1}C =\angle DA_{1}D_{1}=\angle A_{1}B_{1}A=\alpha$$ , следовательно , $$\angle B_{1}C_{1}B\sim \angle C_{1}D_{1}C \sim \angle DA_{1}D_{1}\sim \angle A_{1}B_{1}A$$
2)т.к. $$B_{1}C_{1}:C_{1}D_{1}=1:3$$,то пусть $$B_{1}B=x\Rightarrow CC_{1}=3x, BC_{1}=y$$, тогда $$CD_{1}=3y.$$
3) т.к. $$A_{1}B_{1}=C_{1}D_{1}$$ и $$B_{1}C_{1}=A_{1}D_{1}$$ и все треугольники подобны , то $$\Delta A_{1}B_{1}A=\Delta C_{1}D_{1}C$$ и $$\Delta B_{1}C_{1}B=\Delta DA_{1}D_{1}$$ следовательно $$DD_{1}=x$$
4) из п. 3 получили, что $$BC=y+3x$$ и $$CD=x+3y$$, тогда
$$y+3x=x+3y\Rightarrow x=y$$
5)$$AC=\sqrt{S_{ABCD}}=\sqrt{24}$$
$$\frac{BC_{1}}{CC_{1}}=\frac{1}{3}\Rightarrow$$$$ BC_{1}=\frac{\sqrt{24}}{4}\Rightarrow$$$$CC_{1}=\frac{3\sqrt{24}}{4}$$
6) $$\Delta B_{1}BC_{1}$$: $$B_{1}C_{1}=\sqrt{(\frac{\sqrt{24}}{4})^{2}+(\frac{\sqrt{24}}{4})^{2}}=\sqrt{3}.$$Тогда $$C_{1}D_{1}=3\sqrt{3}.$$
7)$$S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=3\sqrt{3}*\sqrt{3}=9$$
Задание 6167
В выпуклом четырёхугольнике АВСD углы ACB и ADB равны. Докажите, что углы ABD и ACD также равны.
1) $$\angle AMD=\angle BMC$$(вертикальные) $$\angle ADB=\angle ACB$$(по условию) $$\Rightarrow \Delta AMB \sim \Delta BMC$$ и $$\frac{AM}{MB}=\frac{MD}{MC}(1)$$
2) $$\angle AMB=\angle DMC$$ (вертикальные) с учетом равенства (1) получим $$\Delta AMB \sim \Delta DMC\Rightarrow \angle ABD=\angle ACD$$
Задание 6214
Точка М лежит на окружности радиуса R, описанной около прямоугольника ABCD. Докажите, что МА2 + МВ2 + МС2 + МD2 = 8R2
- $$\angle CMA=90$$, AC-диаметр окружности . Тогда из $$\Delta ACM$$
- $$AC^{2}=MC^{2}+MA^{2}\Leftrightarrow (2R)^{2}=MC^{2}+MA^{2}(1)$$
- Аналогично , из $$\Delta BMD: (2R)^{2}=MB^{2}+MD^{2}(2)$$
- Сложим (1)и(2): $$MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}+MD^{2}=8R^{2}$$
Задание 6262
Из вершины В треугольника АВС опущены перпендикуляры ВК и ВМ на биссектрисы внешних углов треугольника, не смежных с углом В. Докажите, что длина отрезка КМ равна полупериметру треугольника АВС.
1) $$BK\cap AC=H; BM\cap AC=N$$
Из $$\Delta HAB$$: AK-высота и биссектриса $$\Rightarrow$$ и медиана и $$AH=AB$$ ($$\Delta AHB$$-равнобедренный)
Из $$\Delta BCH$$: аналогично CM-медиана и BC=CN
2) из п. 1 $$HN=HA+AC+CN=$$$$AB+AC+DC=P_{ABC}$$
K и M-середины , тогда KM-средняя линия и $$KM=\frac{1}{2}HN=\frac{P_{ABC}}{2}$$
Задание 6310
На основаниях АВ и СD вне трапеции построены квадраты. Докажите, что прямая, соединяющая их центры, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции.
Пусть $$K\in B_{1}C$$, $$O=BD\cap AC$$, $$M=KO\cap AD$$
1) $$\angle LCK=\angle MAN=45$$; $$\angle LCO=\angle OAN$$(накрест лежащие) $$\Rightarrow \angle KCA=\angle OAD_{1}\Rightarrow$$ $$CB_{1}\left | \right |AD_{1}$$
2) $$\angle LKC=\angle NMA$$(накрест лежащие) $$\Rightarrow \Delta KLC\sim \Delta ANM\Rightarrow$$ $$\frac{KC}{AM}=\frac{CL}{AN}=k$$
3) $$LC\left | \right |AN\Rightarrow$$ $$\Delta LCO\sim \Delta ONA\Rightarrow$$ $$\frac{LC}{AN}=\frac{LO}{ON}=k$$
4) $$LC\left | \right |AN \Rightarrow$$ $$\Delta BLO\sim \Delta OND\Rightarrow$$ $$\frac{LO}{ON}=\frac{BL}{ND}=k$$
5)т.к. $$\frac{LC}{AN}=k$$, $$\frac{BL}{ND}=k$$ $$\Rightarrow \frac{BC}{AD}=k$$,но $$\frac{KC}{AM}=k$$ и $$\angle KCL=\angle MAN\Rightarrow$$ $$\Delta KCB\sim \Delta ADC$$ и если K-центр , то и М-центр
Задание 6357
Докажите, что в прямоугольном треугольнике произведение длин отрезков, на которые делит гипотенузу точка касания с вписанной окружностью, равна площади треугольника.
1) Пусть AH=x; HB=y; NO=OM=OH=r. По свойству касательных: AN=AH=x, MB=HB=y
2) $$S_{ABC}=\frac{1}{2}AC*CB=$$$$\frac{1}{2}(x+r)(y+r)=$$$$\frac{1}{2}xy+\frac{1}{2}xr+\frac{1}{2}yr+\frac{1}{2}r^{2}(1)$$
С другой стороны : $$S_{ABC}=2S_{AOH}+2S_{HOB}+S_{CNOM}=$$$$2S_{AOB}+S_{CNOM}=2*\frac{1}{2}(x+y)r+r^{2}=xr+yr+r^{2}(2)$$
Приравняем (1) и (2):
$$\frac{1}{2}xy+\frac{1}{2}xr+\frac{1}{2}yr+\frac{1}{2}r^{2}=xr+yx+r^{2}$$
$$\frac{1}{2}xy=\frac{1}{2}xr+\frac{1}{2}yr+\frac{1}{2}r^{2}|*2$$
$$xy=xr+y^{2}+r^{2}=S_{ABC}$$
Задание 6404
На одной из параллельных сторон трапеции взята точка А, на другой – точка В. Докажите, что отрезок АВ делится средней линией трапеции пополам.
1) Достроим $$BA\cap KL=R$$. $$\Delta ARL\sim \Delta RHH\sim \Delta BRK$$ ( т.к. $$AL\left | \right |HP\left | \right | BK$$)
2) По т. Фелеса : $$RL:LP:PK=AR: AH: HB \Rightarrow$$ $$LP :PK =1:1\Rightarrow AH: HB= 1 :1$$
Задание 6451
В выпуклом четырёхугольнике ABCD противоположные углы А и С прямые. На диагональ АС опущены перпендикуляры ВМ и DN. Докажите, что СМ = NA.
1) Пусть $$\angle ABM=\alpha$$, тогда из $$\Delta ABM: \angle BAM=90-\alpha$$ , тогда $$\angle MAD=\alpha$$ и из $$\Delta ADH:$$$$\angle ADN =90-\alpha \Rightarrow$$ $$\Delta ABM\sim \Delta AND$$, тогда : $$\frac{DH}{AM}=\frac{AN}{BM}\Rightarrow$$ $$DN*BM=AM*AN(1)$$
2) Аналогично $$\Delta BMC\sim \Delta CHD$$ и $$\frac{DH}{CM}=\frac{NC}{BM}\Rightarrow$$ $$DN*BM=CM*NC(2)$$
3) С учетом (1) и (2): $$AM *AN=CM*NC$$ или $$AM(AM+MN)=CN(CN+MN)\Leftrightarrow$$ $$AM^{2}+AM*MN=CN^{2}+CN*MN\Leftrightarrow$$ $$AM^{2}-CN^{2}+AM*MN-CN*MN=0\Leftrightarrow$$ $$(AM-CN)(AM+CN)+MN(AM-CN)=0\Leftrightarrow$$ $$(AM-CN)(AM+CN+MN)=0$$. $$AM+CN+MN>0$$ всегда, следовательно, $$AM-CN=0$$ или $$AM=CN$$
Задание 6506
В равнобедренном треугольнике АВС из концов основания АС проведены прямые, которые составляют с основанием равные углы и пересекаются в точке М. Докажите равенство треугольников АВМ и ВСМ
Есть два случая расположения точки M:
1) $$\angle CAM =ACM \Rightarrow$$ $$\Delta ACM$$ –равнобедренный , тогда AM=MC
2) Треугольник ABC - ранвобедренный, следовательно, AB=BC.
3) BM - общая, следовательно, треугольники равны по трем сторонам.
Задание 6553
Биссектрисы углов А и D равнобедренной трапеции АВСD пересекаются в точке М стороны ВС. Докажите, что М – середина ВС.
1) $$\angle A=\angle D\Rightarrow$$ $$\angle BAM=\angle MDC$$
2) $$\angle BAM=\angle MAD$$(AM-биссектриса ); $$\angle MAD=\angle BMA$$(накрест лежащие) $$\Rightarrow \angle BAM=\angle BMA\Rightarrow$$ $$\Delta ABM$$ - равнобедренный
3)Аналогично $$\Delta MCD$$ - равнобедренный $$\Rightarrow$$ $$AB=BM; MC=CD$$, но $$AB=CD\Rightarrow BM=MO$$
Задание 6600
Пусть Е – середина стороны АВ трапеции АВСD (ВС ॥ АD). Докажите, что площадь треугольника ЕСD равна половине площади трапеции АВСD.
- Пусть $$EH\perp AD; EH=h$$
- $$\Delta EMD=\Delta EHA$$(по гипотенузе и острому углу )$$\Rightarrow$$ $$EM=h\Rightarrow$$ $$MH=2h$$
- Пусть $$BC=x; AD=y$$: $$S_{ABCD}=\frac{x+y}{2}*2h=xh+yh$$, $$S_{EBC}=\frac{1}{2}hx$$, $$S_{EAD}=\frac{1}{2}hy\Rightarrow$$ $$S_{CED}=h(x+y)-\frac{1}{2}h(x+y)=$$$$\frac{1}{2}h(x+y)=\frac{S_{ABCD}}{2}$$
Задание 6648
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD=16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
1) $$\angle CBD=\angle BDA$$(накрест лежащие)
2) $$\frac{BD}{AD}=\frac{BC}{BD}$$. С учетом п.1 получим, что $$\Delta BCD\sim \Delta BDA$$
Задание 6715
Докажите, что сумма квадратов медиан прямоугольного треугольника в 1,5 раза больше квадрата гипотенузы.
1) $$CC_{1}=\frac{1}{2}AB$$( свойство медиан из прямого угла) пусть $$AC^{2}=x^{2}$$, $$CB^{2}=y^{2}\Rightarrow$$ $$AB^{2}=x^{2}+y^{2}$$
2) $$CC_{1}^{2}=(\frac{AB}{2})^{2}=\frac{x^{2}+y^{2}}{4}$$
$$\Delta AA_{1}C$$: $$AA_{1}^{2}=AC^{2}+(\frac{CB}{2})^{2}=$$$$x^{2}+\frac{y^{2}}{4}$$
$$\Delta CBB_{1}$$: $$BB_{1}^{2}=CB^{2}+(\frac{AC}{2})^{2}=$$$$y^{2}+\frac{x^{2}}{4}$$
3) $$AA_{1}^{2}+BB_{1}^{2}+CC_{1}^{2}=$$$$x^{2}+\frac{y^{2}}{4}+y^{2}+\frac{x^{2}}{4}+\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{4}=$$$$\frac{3x^{2}+3y^{2}}{2}=1,5(x^{2}+y^{2})=1,5AB^{2}$$
Задание 6742
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Докажите, что если АВ+ВМ=АС+СМ, то треугольник АВС – равнобедренный
1) Пусть $$MK\perp AB$$; $$MH\perp AC$$, тогда $$\Delta AKM=\Delta AMH$$ ( по гипотенузе и острому углу) $$\Rightarrow$$ $$KM=MH$$$$\Rightarrow$$ $$BM^{2}-BL^{2}=CM^{2}-CH^{2}$$$$\Leftrightarrow$$ $$(BM-BK)(BM+BK)=(CM-CH)(CM+CH)(1)$$
2) Т.к. $$AB+BM=AC+CM(2)$$ и $$AK=AH$$, то $$BK+BM=CH+CM$$$$\Rightarrow$$ с учетом (1): $$BM-BK=CM-CH|-AH$$$$\Leftrightarrow$$ $$BM-AB=CM-AC(3)$$
3)Вычтем (2) из (3): $$2AB=2AC$$$$\Rightarrow$$ $$AB=AC$$$$\Rightarrow$$ $$\Delta ABC$$ –равнобедренный.
Задание 6789
Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна произведению длин её оснований.
1) т.к. можно вписать окружность , то $$AB+CD=BC+AD$$
2) $$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}*MN$$
Пусть $$OK\perp CD$$(OK-радиусы) . По свойству касательных : $$MC=CK$$, $$OM\perp CD\Rightarrow$$ $$\Delta MCO=\Delta CKO$$(по катету и гипотенузе) , аналогично, $$\Delta OKD=\Delta ODN$$. Тогда: $$\angle KDO=\angle ODN=\frac{\angle D}{2}=\frac{\alpha }{2}$$ и $$\angle MCO=\angle OCK=\frac{\angle C}{2}=\frac{180-\alpha }{2}=90-\frac{\alpha }{2}$$
Тогда: $$\angle COD=180-\frac{\alpha }{2}-(90-\frac{\alpha }{2})=90\Rightarrow$$ $$OK=\sqrt{CK*KD}$$.
Пусть CK=a, KD=b, OK=r, тогда: OL=OM=r; BM=BL; $$\angle B=90\Rightarrow$$ $$BM=BL=r$$; $$r^{2}=ab$$, $$BC=BM+MC=r+a$$, $$AD=AN+ND=r+b$$, $$AB=2r$$
3) $$S=\frac{r+a+r+b}{2}*2r=$$$$(2r+a+b)*2=2r^{2}+ar+br=$$$$r^{2}+r^{2}+ar+br=$$$$r^{2}+ab+ar+br=$$$$r(r+b)+a(r+b)=(r+b)(r+a)=AD*BC$$
Задание 6860
Дан параллелограмм ABCD. Прямая, параллельная AB, пересекает биссектрисы углов A и C в точках M и N соответственно. Докажите, что углы ADM и ABN равны
Биссектрисы $$AA_{1}$$ и $$CC_{1}$$; $$AA_{1}\cap CD=H$$; $$CC_{1}\cap AB=R$$
1) Пусть $$\angle A=2\alpha$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle BAA_{1}=\angle A_{1}AD=$$$$\angle BCC_{1}=\angle C_{1}CD=\alpha $$($$AA_{1}; CC_{1}$$ - биссектрисы)
2) $$\angle AHC=\angle BAA_{1}=\alpha$$ ; $$\angle ARC=\angle C_{1}CR=\alpha$$ (накрест лежащие ) $$\Rightarrow$$ $$BC=AD$$, то равнобедренные $$\Delta RBC=\Delta AHD$$$$\Rightarrow$$ $$RB=AD(1)$$
3) $$\angle BAM=\angle BRN=\alpha$$ $$\Rightarrow$$ $$AM\left | \right |RN, AR\left | \right |NM$$ (по построению ) $$\Rightarrow$$ AMNR - параллелограмм $$\Rightarrow$$ $$RN=AM(2)$$
4)С учетом (1) и (2) , и, что $$\angle BRN =\angle MAD=\alpha$$ $$\Rightarrow$$ $$\Delta BRN=\Delta MAD$$$$\Rightarrow$$ $$\angle ABN=\angle ADM$$
Задание 6908
Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. Вписанная в него окружность с центром О касается боковой стороны ВС в точке Р и пересекает биссектрису угла В в точке М. Докажите, что отрезки МР и ОС параллельны.
1) Пусть $$\angle PCO=x$$, тогда $$\angle POC=90-x$$ ($$OP\perp BC$$ как радиус в точку касания )
2) $$\Delta OHC=\Delta OPC$$$$\Rightarrow$$ $$\angle OCH=x$$$$\Rightarrow$$ $$\angle HBC=90-2x$$$$\Rightarrow$$ из $$\Delta OBP$$: $$\angle BOP=2x$$
3) из $$\Delta MOP$$ ($$MO=OP$$ - радиусы): $$\angle OMP=\angle MPO=\frac{180-2x}{2}=90-x=\angle POC$$$$\Rightarrow$$ накрест лежащие углы равны и $$MP\left | \right |OC$$
Задание 6956
На стороне BC квадрата ABCD взята точка Р. Докажите, что площадь квадрата вдвое больше площади треугольника AРD.
1) Пусть $$PH\mid AD\Rightarrow$$ $$PHDC$$ - прямоугольник $$\Rightarrow$$ $$PH=CD$$
2) $$S_{ABCD}=AB*BC$$; $$S_{ABCD}=\frac{1}{2}*AD*PH$$; $$PH=CD=AB$$; $$AD=BC\Rightarrow$$ $$S_{ABCD}=\frac{1}{2} *AB*BC=\frac{1}{2} S_{ABCD}$$
Задание 7004
Четырехугольник ABCD таков, что около него можно описать окружность и в него можно вписать окружность. Разность длин сторон AD и BC равна разности сторон АВ и СD. Докажите, что диагональ АС – диаметр описанной окружности.
1) Т.к. можно вписать в него окружность , то $$AB+CD=BC+AD (1)$$. По условию $$AD-BC=AB-CD (2)$$
2) Пусть $$\angle A=\alpha$$ , тогда $$\angle C=180-\alpha$$ (т.к. можно выслать окружность)
Тогда $$\angle B=90-\frac{\alpha }{2}+\frac{\alpha }{2}=90\Rightarrow$$ AC-диаметр
Задание 7090
В равностороннем треугольнике ABC точки Е, F, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник ЕFK — равносторонний.
1) т.к. AE=EB и BF=FC, то EF-средняя линия и EF=0,5 AC
2) аналогично , FK=0,5 AB и EK=0,5 BC, но AB=BC=AC$$\Rightarrow$$ EF=FK=EK
Задание 7136
В треугольнике АВС проведена медиана ВК и средняя линия КЕ, параллельная стороне АВ. Площадь треугольника ВКЕ равна 1. Найдите площадь треугольника АВС.
1) $$S_{BKE}=S_{EKC}$$ (BE=EC,общая вершина ) $$\Rightarrow$$ $$S_{ERC}=1$$
2) $$\frac{S_{EKC}}{S_{ABC}}=(\frac{EK}{AB})^{2}=$$$$\frac{1}{4}\Rightarrow$$ $$S_{ABC} =4$$ (средняя линия равна половине стороны)
Задание 7137
В треугольнике АВС прямая, проходящая через вершину А, делит медиану ВМ пополам. Докажите, что эта прямая делит сторону ВС в отношении 1 : 2.
1) Построим $$MK\left | \right |AM$$. По т. Фалеса : $$\frac{CM}{MA}=\frac{CK}{KM}\Rightarrow$$ $$\frac{CK}{KM}=\frac{1}{1}\Rightarrow$$ $$CK=KM$$
2) Аналогично : $$\frac{BH}{HM}=\frac{BM}{MK}=\frac{1}{1}\Rightarrow$$ $$CK=KM=MB\Rightarrow$$ $$CM:MB=2:1$$
Задание 7164
Докажите, что расстояние от всякой точки окружности, описанной около равностороннего треугольника, до одной из его вершин равно сумме расстояний от этой точки до двух других вершин.
1) Докажем , что $$AC*BD=CD*AB+AD*BC$$ (теорема Птолемея). Выберем на AC точку С так , чтобы $$\angle ABD=\angle CBE$$
2) $$\Delta ABD\sim \Delta BCE$$ ($$\angle ECB=\angle ADB$$ (вписанные на одну дугу) и $$\angle ABD=\angle CBE$$ )$$\Rightarrow$$$$\frac{BC}{EC}=\frac{BD}{AD}\Rightarrow$$ $$BC*AD=EC*BD(1)$$
3) $$\Delta ABE\sim \Delta BCD$$ ($$\angle CDB=\angle EAB$$; $$\angle ABD=\angle CBE$$ и $$\angle DBE$$ - общий $$\Rightarrow$$ $$\angle EBA=\angle DBC$$)$$\Rightarrow$$ $$\frac{AB}{AE}=\frac{BD}{CD}\Rightarrow$$ $$AB*CD=AE*BD(2)$$. Сложим (1) и (2): $$AB*CD+BC*AD=$$$$AE*BD+EC*BD=$$$$(AE+EC)BD=AC*BD$$
4) Пусть $$AB=BC=AC=x$$ , с учетом , что $$AC*BD=CD*AB+AD*BC$$ получим , что $$BD*a=CD*a+BC*a|: a\Rightarrow$$ $$BD=CD+BC$$
Задание 7252
Две окружности с радиусами R и r касаются друг друга внешним образом в точке А. Общие касательные AD и BC к окружностям пересекаются в точке D. Докажите, что AD2=Rr.
1) По свойству касательных : CD=DA и DA=DB $$\Rightarrow$$ $$CD=DB\Rightarrow$$ AD-медиана $$\Rightarrow$$$$\angle CAB=90$$
2) Пусть $$\angle ACD=\alpha \Rightarrow$$ из $$\Delta ABC$$: $$\angle ABC=90-\alpha$$. Из $$\Delta O_{1}CD$$: $$\angle CO_{1}D=\angle ACD=\alpha$$ и $$\angle AO_{1}D=\angle CO_{1}D=\alpha$$. Аналогично , $$\angle ABC=\angle DO_{2}B=\angle DO_{2}A=90-\alpha$$. Тогда $$\angle O_{1}DO_{2}$$( из $$\Delta O_{1}D0_{2}$$) равен 90 ($$180-(\alpha +90-\alpha)$$)
3) из $$\Delta O_{1}CD$$: $$O_{1}D^{2}=O_{1}C^{2}+CD^{2}=R^{2}+AD^{2}$$. Из $$\Delta O_{2}DB$$: $$O_{2}D=DB^{2}+O_{2}B^{2}=r^{2}+AD^{2}$$. При этом $$O_{1}D^{2}+O_{2}D^{2}=O_{1}O_{2}^{2}=(R+r)^{2}$$. Тогда: $$R^{2}+r^{2}+2AD^{2}=$$$$R^{2}+2Rr+r^{2}\Rightarrow$$ $$AD^{2}=Rr$$
Задание 7280
Докажите, что длина высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, равна отношению произведения катетов к гипотенузе этого треугольника.
Площадь данного треугольника:$$S=\frac{1}{2}ab$$ или $$S=\frac{1}{2} h*c$$, тогда: $$\frac{1}{2} ab=\frac{1}{2}hc\Rightarrow$$ $$h=\frac{ab}{c}$$, где a,b-катеты ,c-гипотенуза, h-высота
Задание 7472
Биссектрисы углов B и C трапеции ABCD пересекаются в точке О, лежащей на стороне AD. Докажите, что точка О равноудалена от прямых АВ, ВС и CD
1) Пусть OH, OM и OK - расстояния до AB, BC и CD соответственно.
2) Для угла ABC: OH=OM по свойству биссектрисы. Аналогично для угла DCB: OK=OM. Следовательно, OH=OK=OM
Задание 7473
Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник АВС касается катетов АС и ВС в точках L и K соответственно. АL = 12 см, ВК = 8 см. Найдите площадь треугольника ВОМ, где О – центр вписанной в треугольник окружности, М – точка пересечения медиан треугольника АВС.
1) Пусть окружжность окружность касается AB в точке H. По свойству касательных: CL=CK=x, KB=BH=8, AL=AH=12. Тогда AC=12+x, BC=8+x, AB=20. Тогда по теореме Пифагора: $$(12+x)^{2}+(8+x)^{2}=20^{2}\Leftrightarrow$$$$x=4$$
2) Так как $$OK\perp BC, OL\perp AC$$ (радиус проведенный в точку касания) и $$OK=OL$$, то CLOK - квадрат, следовательно, OK=4
3) Пусть OB пересекает AC в точке R, тогда треугольники RCB и OKB подобны (прямоугольные с общим острым углом) и $$\frac{RC}{OK}=\frac{CB}{KB}=\frac{3}{2}$$. Тогда RC=6
4) $$S_{RCB}=\frac{1}{2}RC*CB=36$$, $$S_{DCB}=\frac{1}{2}DC*CB=48$$, тогда $$S_{DRB}=48-36=12$$
5) $$\frac{DM}{MB}=\frac{1}{2}$$ (по свойству медианы), но из подобия RCB и OKB: $$\frac{RO}{OB}=\frac{1}{2}$$, а так как угол DBR - общий, то треугольники MOB и DRB - подобны, и $$S_{MOB}=(\frac{MB}{DB})^{2}S_{DRB}=(\frac{2}{3})^{2}*12=\frac{16}{3}$$
Задание 8400
Дан треугольник ABC . На сторонах AB и BC построены внешним образом квадраты ABMN и BCPQ . Докажите, что центры этих квадратов и середины отрезков MQ и AC образуют квадрат.
1) $$FD=DQ$$; $$MF=FA$$ $$\Rightarrow$$ $$FD$$ - средняя линия $$\bigtriangleup AQM$$ $$FD=\frac{1}{2}AQ$$ и $$FD\parallel AQ$$; $$EC_{1}=FD$$ (из $$\bigtriangleup AQC$$)
2) Аналогично п.1: $$FE=\frac{1}{2}MC=DG$$ и $$EG\parallel FD$$; $$FE\parallel MC\parallel DG$$ из $$\bigtriangleup MAC$$ и $$\bigtriangleup MQC$$
3) $$MB=BA$$; $$BC=BQ$$ (стороны квадратов); $$\angle MBC=90^{\circ}+\angle ABC$$; $$\angle QBA=90^{\circ}+ABC$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle MBC=\angle QBA$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup MBC=\bigtriangleup ABQ$$ $$\Rightarrow$$ $$MC=AQ$$ $$\Rightarrow$$ $$FD=DG=GE=FE$$ $$\Rightarrow$$ $$FDGE$$ - ромб
4) $$\angle MLB=\angle ALK$$ - вертикальные; $$\angle MBL=90^{\circ}$$; из $$\bigtriangleup MBC=\bigtriangleup ABQ$$: $$\angle MBL=\angle LAK$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup MBL\sim\bigtriangleup ALK$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle LKA=90^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$MC\perp AQ$$ $$\Rightarrow$$ $$FD\perp FE$$ $$\Rightarrow$$ $$FDGE$$ - квадрат
Задание 8401
Известно, что $$\angle A=24^{\circ}$$ , $$\angle B=81^{\circ}$$ – внутренние углы треугольника ABC . O – такая точка внутри треугольника, что $$\angle OAB=15^{\circ}$$, $$\angle OBA=69^{\circ}$$. Найдите градусную меру угла OCA .
1) $$\angle OBA=69^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle OBC=81-69=12^{\circ}$$
2) Пусть $$AO\cup BC=P$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle APB=180-(81+15)=84$$
3) Пусть $$a\perp AB$$; $$a\cup AB=B$$; $$a\cup AP=D$$
4) $$\angle DBC=90-81=9^{\circ}$$; $$\angle DAC=424-15=9^{\circ}=\angle DBC$$ $$\Rightarrow$$ $$ABDC$$ можно вписать в окружность $$\Rightarrow$$ $$AD$$ - диаметр
5) Пусть $$O_{2}$$ - ее центр, $$T$$ - центр $$BC$$. Пусть $$TQ=TP$$, $$T$$ - центр $$PQ$$, тогда $$\bigtriangleup O_{2}BC$$ - равнобедренный; $$O_{2}T$$ - высота и медиана $$\Rightarrow$$ $$\angle O_{2}QP=\angle O_{2}PQ=84^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle PO_{2}Q=180-2\cdot84=12^{\circ}=\angle OBQ$$ $$\Rightarrow$$ $$O_{2}OQB$$ - вписан $$\Rightarrow$$ $$PO\cdot PO_{2}=PQ\cdot PB$$
6) из $$\bigtriangleup O_{2}PB$$: $$\frac{BP}{\sin30^{\circ}}=\frac{O_{2}B}{\sin84^{\circ}}$$; из $$\bigtriangleup O_{2}PC$$: $$\frac{PC}{\sin18^{\circ}}=\frac{O_{2}C}{\sin96^{\circ}}$$ $$\Rightarrow$$ $$\sin18^{\circ}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$$; $$O_{2}B=O_{2}C$$; $$\sin84^{\circ}=\sin96^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{BP}{PC}=\frac{\sin30^{\circ}}{\sin18^{\circ}}$$
7) $$\frac{PQ}{PC}=\frac{PB-QB}{QB}=\frac{PB}{PQ}-1=\frac{PB}{PC}-1=\frac{2}{\sqrt{5}-1}-1=$$ $$=\frac{2-\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}=\frac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{PC}{PB}$$
8) $$\frac{PC}{PB}=\frac{PQ}{PC}$$ $$\Rightarrow$$ $$PC^{2}=PQ\cdot PB=PO\cdot PO_{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{PO}{PC}=\frac{PC}{PO_{2}}$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup PCO\sim\bigtriangleup PO_{2}C$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle PCO=\angle PO_{2}C=18^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle O_{2}CA=75-18=57^{\circ}$$
Задание 8426
Окружности с центрами в точках Е и E пересекаются в точках С и D. Докажите, что $$CD\perp EF$$ .
1) Пусть $$CD\cup EF=M$$; $$EC=ED$$ (радиусы) $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ECD$$ - равнобедренный. $$CF=FD$$ (радиусы) $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup CFD$$ - равнобедренный
2) из 1 и общий $$EF$$ $$\bigtriangleup ECF=\bigtriangleup EDF$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle CFE=\angle DFE$$ $$\Rightarrow$$ $$FM$$ - бисекрисса, но тогда она и высота $$\Rightarrow$$ $$CD\perp EF$$
Задание 8829
Проведём FK параллельно AD (см. рисунок). Тогда AD = AK = KB. Следовательно, параллелограмм AKFD является ромбом. Диагональ DK ромба AKFD делит угол ADC пополам.
Задание 10467
Точка Е — середина боковой стороны АВ трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции.
Рассмотрим треугольники ECB и DEA. Пусть BC=b, AB=a, h - высота трапеции, проведенная через Е. Тогда точка Е делит высоту на два равных отрезка $$\frac{h}{2}$$. Следовательно:
Тогда $$S_{ECD}=\frac{a+b}{2}h-\frac{1}{2}h(\frac{a}{2}+\frac{b}{2})=$$$$\frac{a+b}{4}h=\frac{S_{ABCD}}{2}$$
Задание 10961
Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.
1)$$\ \angle A=\frac{8-2}{8}\cdot 180=135{}^\circ $$. Тогда из $$\triangle ABH:\ \angle AHB=\frac{180{}^\circ -135{}^\circ }{2}=22,5$$.
2) Аналогично, $$\angle C_1HF=22,5$$. Тогда $$\angle BHF=135{}^\circ -2\cdot 22,5=90$$. При этом $$\triangle ABH=\triangle BCD=\triangle EDF=\triangle HC_1F$$ (по двум сторонам и углу м/у ними) $$\to HBDF$$ - квадрат.
Задание 10984
Основания ВС и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 45, $$BD=15$$. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
1)$$\angle CBD=\angle BDA$$ (накрест лежащие при $$BC\parallel AD$$)
2) Рассмотрим $$\triangle BCD$$ и $$\triangle BDA$$ (в числителе сторона $$\triangle BCD$$, в знаменателе $$\triangle BDA$$): $$\frac{BC}{BD}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}; \frac{BD}{AD}=\frac{15}{45}=\frac{1}{3}\to \frac{BC}{BD}=\frac{BD}{AD}$$. С учетом 1 пункта: $$\triangle BCD\approx \triangle BDA$$
Задание 11046
Основание BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 12 и 75, $$AC=30$$. Докажите, что треугольники CBA и ACD подобны.
Задание 11068
Два равных прямоугольника $$ABCO$$ и $$KLMO$$ имеют общую вершину $$O,$$ причём $$AO=OM$$ и $$OC=OK.$$ Докажите, что площади треугольников $$AOK,\ COM$$ равны.
