Перейти к основному содержанию

ОГЭ

(C6) Геометрическая задача повышенной сложности

Четырёхугольники

Задание 2672

Через середину M стороны BC параллелограмма ABCD, площадь которого равна 1, и вершину A проведена прямая, пересекающая диагональ BD в точке O. Найдите площадь четырёхугольника OMCD.

Ответ: $$\frac{5}{12}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) $$\bigtriangleup BOM\sim \bigtriangleup AOD$$; $$\frac{BM}{AD}=\frac{1}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{S_{BOM}}{S_{AOD}}=\frac{1}{4}$$

2) Пусть $$S_{BOM}=S_{1}$$; $$S_{AOD}=S_{2}$$; $$S_{ABO}=S_{3}$$ $$\Rightarrow S_{AOD}=4S_{BOM}=4S_{2}$$; $$S_{ABD}=\frac{1}{2}S_{ABCD}=\frac{1}{2}$$; $$S_{ABM}=\frac{1}{2}\cdot AH\cdot BM=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot BC\cdot BM=\frac{1}{4}S_{ABCD}=\frac{1}{4}$$

3) $$\left\{\begin{matrix}S_{1}+S_{3}=\frac{1}{4}\\S_{3}+S_{2}=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}S_{1}+S_{3}=\frac{1}{4}\\S_{3}+4S_{1}=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$$ (вычтем из второго первое) $$3S_{1}=\frac{1}{4}\Rightarrow S_{1}=\frac{1}{12}$$ $$S_{2}=4\frac{1}{12}=\frac{1}{3}$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{3}=\frac{1}{4}-S_{1}=\frac{1}{4}-\frac{1}{12}=\frac{1}{6}$$ $$S_{1}+S_{2}+S_{3}=\frac{1}{12}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1+4+2}{12}=\frac{7}{12}=S_{ABMD}$$ $$S_{MOCD}=1-S_{ABMD}=1-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}$$

Задание 2776

На боковой стороне трапеции выбрана точка, делящая эту сторону в отношении 3:1, считая от вершины меньшего основания. Прямая, проходящая через эту точку параллельно основаниям, делит площадь трапеции в отношении 2:1, считая о меньшего основания. В каком отношении делит площадь трапеции её средняя линия?

Ответ: $$\frac{7}{11}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\frac{S_{BMLC}}{S_{AMLD}}=\frac{2}{1}$$

1) Пусть $$BC=x$$; $$AD=y$$; $$BZ=h$$ $$\Rightarrow$$ $$BR=\frac{3h}{4}$$; $$RZ=\frac{h}{4}$$; $$AZ+ND=y-x$$ $$\Rightarrow$$ $$MR+IL=\frac{3}{4}(y-x)$$ $$\Rightarrow$$ $$ML=x+\frac{3}{4}(y-x)=\frac{x+3y}{4}$$

2) $$\left.\begin{matrix}S_{BMLC}=\frac{x+\frac{x+3y}{4}}{2}\cdot \frac{3h}{4}=\frac{(5x+3y)\cdot 3h}{32}\\S_{AMLD}=\frac{\frac{x+3y}{4}+y}{2}\cdot \frac{h}{4}=\frac{(x+7y)\cdot h}{32}\end{matrix}\right\}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{S_{BMLC}}{S_{AMLD}}=\frac{15x+9y}{x+7y}=\frac{2}{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$15x+9y=2x+14y$$ $$\Rightarrow$$ $$y=\frac{13x}{5}=2,6x$$

3) $$\left.\begin{matrix}S_{BCKH}=\frac{x+\frac{x+y}{2}}{2}\cdot \frac{h}{2}=\frac{(3x+y)\cdot h}{8}\\S_{MCDA}=\frac{\frac{x+y}{2}+y}{2}\cdot \frac{h}{2}=\frac{(x+3y)\cdot h}{8}\end{matrix}\right\}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{S_{BCKH}}{S_{MCDA}}=\frac{3x+y}{x+3y}=\frac{3x+2,6x}{x+7,8x}=\frac{5,6x}{8,8x}=\frac{7}{11}$$

 

 

Задание 2930

В трапеции АВСD на продолжении основания ВС взята точка М таким образом, что прямая АМ отсекает от трапеции АВСD треугольник, площадь которого в 4 раза меньше площади трапеции АВСD. Найдите длину отрезка СМ, если АD=8, ВС=4.

Ответ: 40/3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Решение временно отсутствует, можете найти его в моем видео-разборе ( вначале варианта )

Задание 3410

В выпуклом равностороннем шестиугольнике ABCDЕF углы при вершинах А, С и Е – прямые. Найдите площадь шестиугольника, если его сторона равна $$3\sqrt{3-\sqrt{3}}$$

Ответ: 27
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 3846

В трапеции ABCD основания AD и ВС равны 6см и 10см соответственно. На продолжении ВС выбрана такая точка М, что прямая АМ отсекает от площади трапеции 1/4 её часть. Найдите длину отрезка СМ.

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Пусть $$AH=h$$ - высота

$$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot AH=\frac{6+10}{2}\cdot h=h$$

тогда $$S_{AKD}=\frac{1}{2}AD\cdot x$$, х - высота

$$S_{AKD}=KM$$

$$S_{AKD}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot x=3x=\frac{1}{4}S_{ABCD}=2h$$

$$x=\frac{2h}{3}$$

2) $$LK+KM=h$$ $$\Rightarrow$$ $$LK=\frac{h}{3}$$ - высота $$\bigtriangleup CMK$$

3) $$\bigtriangleup AKD\sim\bigtriangleup CMK$$ по трем углам $$\Rightarrow$$

$$\frac{AD}{CM}=\frac{KM}{KL}=\frac{2h}{3}\div\frac{h}{3}=\frac{2}{1}$$ 

$$CM=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}\cdot6=3$$

Задание 3997

Продолжение сторон KN и LM выпуклого четырехугольника KLMN пересекаются в точке P, а продолжения сторон KL и LM – в точке Q. Отрезок PQ перпендикулярен биссектрисе угла KQN. Найти длину стороны KL, если KQ=12, NQ=8, а площадь четырехугольника KLMN равна площади треугольника LQM.

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Постороим через К прямую $$m\parallel QP$$

Пусть $$ON\cap m=A$$; $$QB\cap m=B$$ (QB - биссектриса);

$$QL\cap m=K$$; $$PL\cap m=C$$

2) $$\bigtriangleup KAN\sim\bigtriangleup QNP$$; $$QA=QK=12$$ $$\Rightarrow$$

$$AN=AQ-QN=12-8=4$$; $$\frac{AN}{QN}=\frac{AK}{QP}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$$

3) Пусть $$QK=xQL$$ $$\Rightarrow$$

$$KL=QK-QL=(x-1)QL$$

$$\bigtriangleup CKL\sim\bigtriangleup QLP$$ $$\Rightarrow$$

$$\frac{CK}{QP}=\frac{KL}{LQ}=\frac{(x-1)LQ}{LQ}$$ $$\Rightarrow$$

$$CK=QP(x-1)$$

4) Пусть $$AQ=yQM$$ $$\Rightarrow$$

$$AM=AQ-QM=yQM-QM=QM(y-1)$$

$$\bigtriangleup CAM\sim\bigtriangleup QMP$$ $$\Rightarrow$$

$$\frac{AC}{PQ}=\frac{AM}{MQ}=\frac{QM(y-1)}{QM}$$ $$\Rightarrow$$

$$AC=PQ(y-1)$$

$$AK=\frac{1}{2}PQ$$

$$AK=AC-CK$$ $$\Rightarrow$$

$$\frac{1}{2}PQ=(y-1)PQ-(x-1)PQ$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\frac{1}{2}=y-1-x+1$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\frac{1}{2}=y-x$$

5) $$S_{\bigtriangleup LQM}=S=\frac{1}{2}QL\cdot QM\cdot\sin Q=\frac{1}{2}\frac{QK}{x}\cdot\frac{AQ}{y}\sin Q$$

$$S_{\bigtriangleup QKN}=2S=\frac{1}{2}QK\cdot QN\cdot\sin Q$$

$$\frac{1}{2}QK\cdot QN\cdot\sin Q=2\cdot\frac{1}{2}\frac{QK}{x}\cdot\frac{AQ}{y}\sin Q$$

$$12\cdot8=2\cdot\frac{12}{x}\cdot\frac{12}{y}\Leftrightarrow$$

$$8=\frac{24}{xy}$$ $$\Leftrightarrow$$

$$xy=3$$

$$\left\{\begin{matrix}y=x+\frac{1}{2}\\xy=3\end{matrix}\right.$$

$$x(x+\frac{1}{2})=3$$

$$x^{2}+\frac{x}{2}-3=0$$

$$2x^{2}+x-6=0$$

$$D=1+48=49$$

$$x_{1}=\frac{-1+7}{4}=\frac{3}{2}$$

$$x_{2}<0$$

6) $$\Rightarrow$$: $$QL=\frac{QK}{\frac{3}{2}}=\frac{12\cdot2}{3}=8$$ $$\Rightarrow$$

$$KL=QK-QL=12-8=4$$

Задание 4537

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, его диагонали АС и BD пересекаются в точке F, причем AF : FС = 3 : 1, ВF : FD = 4 : 3, $$\cos\angle ADB=0,25$$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ВАС, если АС = 4

Ответ: $$\frac{8\sqrt{15}}{15}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) $$AF\div FC=3\div1$$; $$AC=4$$ $$\Rightarrow$$ $$AF=3$$; $$FC=1$$

2) $$\angle CAD=\angle CBF$$; $$\angle BCA=\angle BDA$$ (опираются на одни дуги); $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup BFC\sim\bigtriangleup AFD$$: пусть $$BF=4x$$; $$FD=3x$$, тогда $$k=\frac{BF}{AF}=\frac{CF}{FD}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{4x}{3}=\frac{1}{3x}$$ $$\Rightarrow$$ $$4x^{2}=1$$ $$\Rightarrow$$ $$x=\frac{1}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$BF=2$$; $$FD=1,5$$

3) $$\frac{BC}{AD}=k=\frac{2}{3}$$ $$\Rightarrow$$ пусть $$BC=a$$ $$\Rightarrow$$ $$AD=1,5a$$. По теореме косинусов для $$\bigtriangleup ABC$$ и $$\bigtriangleup ABD$$: $$\left\{\begin{matrix}AB^{2}=BC^{2}+AC^{2}-2BC\cdot AC\cdot\cos\angle BCA\\AB^{2}=BD^{2}+AD^{2}-2BD\cdot AD\cdot\cos\angle BDA\end{matrix}\right.$$ Приравниваем их: $$a^{2}+16-2\cdot4\cdot a\cdot\frac{1}{4}=2,25a^{2}+12,25-2\cdot\frac{2}{3}a\cdot3,5\cdot\frac{1}{4}$$; $$1,25a^{2}+3,75a-0,625a=0$$; $$2a^{2}-a+6=0$$; $$a=2$$ $$\Rightarrow$$ $$b=\sqrt{4+16-2\cdot2\cdot4\cdot\frac{1}{4}}=4=AB$$

4) Из $$\bigtriangleup ABC$$: $$\frac{AB}{2\sin\angle BCA}=R$$, где R - радиус описанной окружности; $$\sin\angle BCA=\sqrt{1-\cos^{2}\angle BCA}=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$$; $$R=\frac{4}{2\cdot\frac{\sqrt{15}}{4}}=\frac{8}{\sqrt{15}}=\frac{8\sqrt{15}}{15}$$

Задание 4899

Стороны ромба EFGH являются гипотенузами прямоугольных равнобедренных треугольников EAF, FDG, GCH и HBE, причем все эти треугольники имеют общие внутренние точки с ромбом EFGH. Сумма площадей четырехугольника ABCD и ромба EFGH равна 12. Найдите CH. 

Ответ: $$\sqrt{6}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
1) Пусть сторона ромба равна a ($$FG=a$$), острый угол $$F=\alpha$$. Тогда: из $$\bigtriangleup FAE ; \bigtriangleup FDG$$ получаем, что $$FA=\frac{FE}{\sin 45^{\circ}}=FD=\frac{a}{\sqrt{2}}$$ (оба равнобедренные и прямоугольные)
2)$$\angle EFD = \alpha - \angle DFG = \alpha - 45^{\circ}$$
$$\angle GFA = \alpha - \angle EFA = \alpha - 45^{\circ}$$
$$\angle DFA = \alpha - \angle EFD - \angle GFA =90^{\circ} - \alpha$$
Тогда по теореме косинусов из $$\bigtriangleup DFA$$: $$DA=\sqrt{DF^{2}+FA^{2}-2*DF*FA*\cos DFA}=$$$$\sqrt{\frac{a^{2}}{2}+\frac{a^{2}}{2}-2*\frac{a^{2}}{2}*\cos (90^{\circ}-\alpha)}=$$$$\sqrt{a^{2}-a^{2}\sin \alpha}$$
3)$$\angle FEH =180^{\circ} - \alpha$$
$$\angle AEB =\angle FEH - \angle FEA - \angle BEH =90^{\circ} - \alpha$$
Тогда по теореме косинусов из $$\bigtriangleup AEB$$: $$DA=\sqrt{AE^{2}+EB^{2}-2*AE*EB*\cos AEB}=$$$$\sqrt{\frac{a^{2}}{2}+\frac{a^{2}}{2}-2*\frac{a^{2}}{2}*\cos (90^{\circ}-\alpha)}=$$$$\sqrt{a^{2}-a^{2}\sin \alpha}$$
4)Если взять диагонали ромба как оси симметрии, то получаем, что стороны ромба симметричны относительно этих осей, а с учетом того, что треугольники построены прямоугольные и равнобедренные на равных сторонах, то треугольники равны и семметричны так же относительно этих осей. Тогда ABCD - прямоугольник
5)$$S_{ABCD}+S_{EFGH}=AB*AD+EF*FG*\sin F=$$$$\sqrt{a^{2}-a^{2}\sin \alpha}*\sqrt{a^{2}-a^{2}\sin \alpha}+a*a*\sin \alpha=$$$$a^{2}-a^{2}\sin \alpha+a^{2}\sin \alpha=$$$$a^{2}=12=GH$$.
Тогда $$CH=\frac{\sqrt{GH}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{2}}=\sqrt{6}$$

Задание 5042

В выпуклом четырёхугольнике ABCD точка Е – точка пересечения диагоналей. Известно, что площадь каждого из треугольников АВЕ и DСЕ равна 1, площадь четырёхугольника АВСD не превосходит 4, АD = 3. Найдите длину стороны ВС. 

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) $$S_{ABC}=S_{CED}=1$$ $$\Rightarrow$$ $$BE\cdot AE=CE\cdot ED$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{BE}{ED}=\frac{CE}{EA}$$; $$\angle BEC=\angle AED$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup BEC\sim\bigtriangleup AED$$ $$\Rightarrow$$ дана трапеция.

2) Пусть НМ - высота $$\Rightarrow$$ $$S_{BEC}=\frac{1}{2}BC\cdot HE$$; $$S_{AED}=\frac{1}{2}EM\cdot AD$$. Пусть $$EM=x$$ $$\Rightarrow$$ $$HE=kx$$, где $$k$$ - коэфф. подобия $$\Rightarrow$$ $$BC=k\cdot3$$ $$\Rightarrow$$

$$S_{BEC}+S_{AED}=\frac{1}{2}\cdot3k\cdot kx+\frac{1}{2}\cdot3x=\frac{1}{2}\cdot3x(k^{2}+1)\leq2$$ $$\Rightarrow$$ $$x(k^{2}+1)\leq\frac{4}{3}$$ $$(1)$$

$$S_{ABCD}=\frac{3k+3}{2}\cdot(kx+x)<4$$ $$\Rightarrow$$ $$x(k+1)^{2}\leq\frac{8}{3}$$ $$(2)$$

Поделим первое на второе: $$\frac{k^{2}+1}{(k+1)^{2}}\leq\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{8}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{k^{2}+1}{(k+1)^{2}}\leq\frac{1}{2}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$2k^{2}+2\leq k^{2}+2k+1$$ $$\Leftrightarrow$$ $$k^{2}-2k+1\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$(k-1)^{2}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$k=1$$ $$\Rightarrow$$ $$BC=1\cdot3=3$$

Задание 5369

На боковой стороне АВ трапеции АВСD взята точка М таким образом, что АМ : МВ = 2 : 3. На противоположной стороне СD взята такая точка N, что отрезок MN делит трапецию на части, одна из которых по площади втрое больше другой. Найдите отношение CN : ND, если известно, что BC : AD = 1 : 2

Ответ: $$\frac{3}{29}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
 
1)Продолжим боковые стороны до пересечения в точке P: $$\frac{BC}{AD}=\frac{1}{2}$$, тогда BC - средняя линия в треугольнике APD
2)Пусть $$S_{MBCN}=S$$, тогда $$S_{AMND}=3S$$, тогда $$S_{ABCD}=4S$$
3)Из подобия треугольников PBC и APD и свойства средней линии треугольника : $$\frac{S_{BPC}}{S_{ABCD}}=\frac{1}{3}$$, следовательно, $$S_{BPC}=\frac{4S}{3}$$
4)Пусть AM=2x, тогда MB=3x ; AB=5x=BP. Пусть CN=q, CD=PC=z. Тогда $$\frac{S_{BMN}}{S_{PAD}}=$$$$\frac{\frac{4s}{3}+S}{\frac{4s}{3}+4S}=$$$$\frac{PM*PN}{PA*PD}=$$$$\frac{8x*(z+q)}{10x*2x}$$. Получаем, что $$\frac{35z}{32}=z+q \Leftrightarrow$$$$q=\frac{3}{32}z=CN\Leftrightarrow$$$$z-q=\frac{29}{32}z=ND\Leftrightarrow$$$$\frac{CN}{ND}=\frac{3}{29}$$
Примечание: возможен вариант построения точки N ближе к D, чтобы распределение площадей получилось противоположным $$S_{MBCN}=3S$$, тогда $$S_{AMND}=S$$, но при подобном приведенному решению мы получим невозможность существования подобного разбиения площадей (точка N будет лежать вне стороны CD) - попробуйте решить самостоятельно.

Задание 5606

Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если от‐ ношение диагоналей параллелограмма равно 28.

Ответ:

Задание 5607

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 20 и 25, а основание BC равно 5. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

Ответ:

Задание 5608

Основания трапеции относятся как 1:3. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции?

Ответ:

Задание 5609

Углы при одном из оснований трапеции равны 85° и 5°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 11 и 1. Найдите основания трапеции.

Ответ:

Задание 5610

В равнобедренной трапеции ABCD боковые стороны равны меньшему основанию BC. К диагоналям трапеции провели перпендикуляры BH и CE. Найдите площадь четырёхугольника BCEH, если площадь трапеции ABCD равна 36 .

Ответ:

Задание 5611

В трапеции проведен отрезок, параллельный основаниям и делящий ее на две трапеции одинаковой площади. Найдите длину этого отрезка, если основания трапеции равны $$24\sqrt{2}$$ см и $$7\sqrt{2}$$ см.

Ответ:

Задание 5612

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Ответ:

Задание 6120

На диагонали BD прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом ADС и основаниями ВС и АD, взята точка К так, что ВК : КD = 1 : 3. Окружность с центром в точке К касается прямой АD и пересекает прямую ВС в точках Р и М. Найдите длину стороны АВ, если ВС = 9, АD = 8, РМ = 4.

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

  1. Пусть Е - точка касания, проведем перпендикуляр через E и K (свойство радиуса в точку касания). Пусть EK пересекает CB в точке F
  2. Так как $$EF\perp PM$$, то $$FP=FM$$ (из равенства треугольников KFP и KFM). Так же $$KE=KP=K=R$$ (радиусы)
  3. Треугольники KED и KFB подобный (так как дана трапеция), тогда $$\frac{KF}{KE}=\frac{KB}{KD}=\frac{1}{3}$$, тогда $$KF=\frac{1}{3}KE=\frac{R}{3}$$
  4. из треугольника PKF: $$KP^{2}=PF^{2}+KF^{2}$$ или $$R^{2}=\frac{1}{9}R^{2}+4$$. Отсюда $$R=\frac{3}{\sqrt{2}}$$
  5. Опустим $$AH\perp BC$$ (AH пересекает BC в точке H). Тогда $$AH=EK+KF=\frac{4}{3}R=2\sqrt{2}$$, $$HB=BC-AD=1$$
  6. Из треугольника AHB: $$AB=\sqrt{1^{2}+(2\sqrt{2})^{2}}=3$$

Задание 6215

Внутри параллелограмма ABCD взята точка K так, что треугольник CKD равносторонний. Известно, что расстояния от точки K до прямых AD, AB и BC равны соответственно 3, 6 и 5. Найдите периметр параллелограмма.

Ответ: $$\frac{49\sqrt{3}}{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   1) Пусть KN=3, KP=5, KM=6,$$KQ\perp DC$$

KD=KC=DC=Q, тогда:

$$\Delta KDC ND=\sqrt{a^{2}-3^{2}}$$

$$\Delta KPC PC=\sqrt{a^{2}-5^{2}}$$

   2) Опустим $$DH\perp BC$$, тогда DH=NP=8,

$$CH=ND-PC=\sqrt{a^{2}-3^{2}}-\sqrt{a^{2}-5^{2}}$$

Тогда из $$\Delta DHC:$$

$$a^{2}=8^{2}+(\sqrt{a^{2}-3^{2}}-\sqrt{a^{2}-5^{2}})^{2}$$

$$a^{2}-8^{2}=a^{2}-9+a^{2}-25-2\sqrt{a^{4}-34a^{2}+225}$$

$$2\sqrt{a^{4}-34a^{2}+225}=a^{2}+30$$

$$4a^{4}-136a^{2}+900=a^{4}+60a^{2}+900$$

$$3a^{4}-196a^{2}=0$$

$$3a^{2}(a^{2}-\frac{96}{3})=0$$

a=0-не может быть

$$a=\pm \sqrt{\frac{196}{3}}=\pm \frac{14}{\sqrt{3}}$$ отрицательным не может быть

   3) Из $$\Delta KDC KQ=KC*\sin C=\frac{14}{\sqrt{3}}*\frac{\sqrt{3}}{2}=7\Rightarrow MQ=13$$

   4) $$S_{ABCD}=MP*BC=MQ*DC$$

$$BC=\frac{MQ*DC}{NP}=\frac{13*14}{\sqrt{3}}{8}=\frac{91}{4\sqrt{3}}$$

   5) $$P_{ABCD}=2(\frac{14}{\sqrt{3}}+\frac{91}{4\sqrt{3}})=\frac{147}{2\sqrt{3}}=\frac{49\sqrt{3}}{2}$$

Задание 6263

В равнобедренной трапеции АВСD углы при основании АD равны 30, диагональ АС является биссектрисой угла ВАD. Биссектриса угла ВСD пересекает основание АD в точке М, а отрезок ВМ пересекает диагональ АС в точке К. Найдите площадь треугольника АКМ, если площадь трапеции АВСD равна $$2+\sqrt{3}$$ см2 .

Ответ: $$\frac{3}{\sqrt{3}+1}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) Пусть $$AB=CD=a$$, $$\angle BAC=\angle CAD$$(AC-биссектриса ), $$\angle CAD=\angle ACB$$(накрест лежащие),тогда $$\angle BAC=\angle BCA\Rightarrow$$ $$AB=BC=a$$

     2) Аналогично для $$\Delta CMD$$ : $$\angle BCM=\angle CMD$$, $$\angle BCM=\angle MCD$$, тогда $$\angle CMD=\angle MCD$$ и $$CD=MD=a$$

     3) из п.2 и параллельности BC и MD получим, что BCDM-параллелограмм; $$BM=CD=a$$, $$\Delta A_{1}BM$$ -равнобедренный; $$\angle ABM=180-2*30=120$$

По теореме косинусов : $$AM=\sqrt{AB^{2}+BM^{2}-2AB*BM*\cos ABM}=$$$$\sqrt{a^{2}+a^{2}-2*a*a*\cos 120}=a\sqrt{3}$$

     4) AK-биссектриса , тогда $$\frac{AB}{AM}=\frac{AK}{KM}=$$$$\frac{a}{\sqrt{30}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$, тогда $$\frac{KM}{BM}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$$ и $$S_{\Delta AKM}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}S_{ABM}$$

     5) Пусть $$CN\perp AD$$,тогда из $$\Delta CND$$: $$CH=CD*\sin D=\frac{a}{2}$$

     6) $$S_{ABD}=\frac{a+a+a\sqrt{3}}{2}*\frac{a}{2}=$$$$\frac{a^{2}}{4}(2+\sqrt{3})=2+\sqrt{3}\Rightarrow$$ $$a^{2}=4\Rightarrow a=2$$

     7)$$S_{ABM}=\frac{1}{2}*a*a* \sin 120=$$$$\frac{\sqrt{3}a^{2}}{4}=\sqrt{3}$$

$$S_{AKM}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}*\sqrt{3}=$$$$\frac{3}{\sqrt{3}+1}$$

Задание 6311

В равнобедренной трапеции ABCD длина боковой стороны АВ равна 2 и длина меньшего основания ВС равна 2. Найдите площадь трапеции, если $$BD\perp AB$$.

Ответ: $$3\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) Пусть $$\angle DBC=\alpha$$ , тогда т.к. BC=CD, $$\angle BCD=\alpha$$, $$\angle C=180-2\alpha$$

     2) По свойству углов трапеции $$\angle C+\angle D=180\Rightarrow$$ $$\angle D=180-(180-2\alpha )=2\alpha$$ $$\Rightarrow \angle BDA=\alpha$$

      3) Пусть BD=y. Тогда из $$\Delta BCD$$:

$$CD^{2}=BC^{2}+AD^{2}-2BC*AD*\cos CBD$$

$$2^{2}=2^{2}+y^{2}-2*2*y*\cos \alpha \Leftrightarrow$$ $$y^{2}-4y*\cos \alpha =0$$

$$y(y-4\cos\alpha )=0$$, т.к. y-длина, то $$y\neq 0$$, тогда $$y-4\cos \alpha =0\Rightarrow y=4\cos\alpha$$

     4) Из $$\Delta ABD$$:

$$\frac{AB}{BD}=tgBDA\Rightarrow$$ $$\frac{2}{4\cos\alpha }=tg\alpha =\frac{\sin\alpha }{\cos\alpha }\Leftrightarrow$$ $$\sin\alpha =\frac{1}{2}\Rightarrow$$ $$\alpha =30\Rightarrow$$ $$y=4*\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$$

     5) $$S_{ABCD}=S_{BCD}+S_{ABD}=$$$$\frac{1}{2}*BC*BD*\sin CBD+\frac{1}{2}*AB*BD=$$$$\frac{1}{2}*2*2\sqrt{3}*\frac{1}{2}+\frac{1}{2}*2*2\sqrt{3}=$$$$\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}$$

Задание 6358

В выпуклом четырехугольнике KLMN отрезок MS, соединяющий вершину М с точкой S, расположенной на стороне КN, пересекает диагональ LN в точке О. Известно, что KL : MN = 6 : 7, KM : ON = 2 : 1 и $$\angle KLN + \angle KMN=180$$. Найдите отношение отрезков MO и OS.

Ответ: $$\frac{4}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) Пусть $$KM\cap LN=P$$, $$\angle KLN=\alpha$$ , тогда $$\angle KMN=180-\alpha$$ ,$$\angle LPK=\angle MPN=\beta$$ (вертикальные)

     2) из $$\Delta LPK$$ по теореме синусов: $$\frac{KP}{\sin \alpha }=\frac{LK}{\sin \beta }(1)$$

Из $$\Delta PMN : \frac{PN}{\sin (180-\alpha )}=\frac{MN}{\sin \beta }$$

С учетом , что $$\sin \alpha =\sin (180-\alpha )$$, получаем: $$\frac{PN}{\sin \alpha }=\frac{MN}{\sin \beta }(2)$$

Поделим (1) и (2): $$\frac{KP}{PN}=\frac{LK}{MN}=\frac{6}{7}$$

     3) Пусть KM=2y; ON=y, тогда KP=6x, PN=7x, PM=2y-6x, PO=7x-y; 

     4)По т. Менелая из $$\Delta KPN$$ и секущей MS : $$\frac{MO}{OS}*\frac{SN}{NK}*\frac{KP}{PM}=1$$

Пусть $$\frac{SO}{OS}=m$$, тогда $$m*\frac{SN}{SN+SK}*\frac{6x}{2y-6x}=1(3)$$

По т. Менелая из $$\Delta KMS$$ и секущей NP: $$\frac{NO}{OP}*\frac{PM}{MK}*\frac{MS}{SN}=1$$

Пусть $$\frac{SK}{SN}=n$$, тогда $$\frac{SN}{SN+SK}=\frac{\frac{SN}{SN}}{\frac{SN}{SN}+\frac{SK}{SN}}=\frac{1}{1+n}$$

Получаем: $$\frac{y}{7x-y}*\frac{2y-6x}{2y}*n=1(4)$$

Выразим в (3) m: $$m=\frac{2y-6x}{6x}*(1+n)=\frac{(y-3x)(1+n)}{3x}(5)$$

Выразим в (4) n: $$n=\frac{y}{y-3x}*\frac{7x-y}{y}=\frac{7x-y}{y-3x}$$

Выразим в (5): $$m=\frac{(y-3x)(1+\frac{7x-y}{y-3x})}{3x}=$$$$\frac{y-3x+7x-y}{3x}=\frac{4x}{3x}=\frac{4}{3}$$

Задание 6452

На диагонали BD прямоугольной трапеции ABCD ($$\angle D=90^{\circ}$$, ВС ॥ AD) взята точка Q так, что BQ : QD = 1 : 3. Окружность с центром в точке Q касается прямой AD и пересекает прямую ВС в точках Р и К. Найдите длину стороны АВ, если ВС = 9, AD = 8, РК = 4

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) Пусть F точка касания и $$CD=x$$. Опустим перпендикуляры FH(через Q) и $$AC_{1}$$. Тогда $$CD=FH=AC_{1}=x$$

     2) $$\Delta QHB\sim \Delta DCB$$: $$\frac{CD}{QH}=\frac{BD}{BQ}\Rightarrow$$ $$QH=\frac{1}{4}EB=\frac{1}{4}x\Rightarrow$$$$FQ=x-\frac{1}{4}x=\frac{3}{4}x$$. Но QP=QF (радиус)

     3) из $$\Delta QHP:$$ $$PH=\frac{1}{2}PK=2$$. Тогда по т. Пифагора : $$PQ^{2}=QH^{2}+PH^{2}\Leftrightarrow$$ $$(\frac{3}{4}x)^{2}=(\frac{1}{4}x)^{2}+2^{2}\Leftrightarrow$$ $$\frac{x^{2}}{2}=4\Rightarrow$$ $$x^{2}=8$$

     4)из $$\Delta AC_{1}B$$ : $$AB=\sqrt{AC_{1}^{2}+C_{1}B^{2}}$$.  $$C_{1}B=CB-AD=9-8=1$$, $$AC_{1}^{2}=x^{2}=8$$, тогда $$AB=\sqrt{8+1}=3$$

Задание 6507

В выпуклом четырехугольнике ABCD отрезок СМ, соединяющий вершину С с точкой М, расположенной на стороне AD, пересекает диагональ BD в точке К. Известно, что СК : КМ = 2 : 1, CD : DК = 5 : 3 и $$\angle ABD+\angle ACD=180^{\circ}$$. Найдите отношение стороны АВ и диагонали АС.

Ответ: $$\frac{5}{9}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) Пусть $$\angle ADB =\alpha$$ , $$\angle ADC=\beta$$

по т. Синусов : $$\Delta ABD$$: $$\frac{AB}{\sin \alpha }=\frac{AD}{\sin \angle ABD}(1)$$

$$\sin \angle BAD=$$$$\sin(180-\angle ACD)=$$$$\sin \angle ACD(2)$$

$$\Delta ACD$$ : $$\frac{AD}{\sin \angle ACD}=$$$$\frac{AC}{\sin \beta }(3)$$

Учитывая (1) и (2) и (3) : $$\frac{AB}{\sin \alpha }=\frac{AC}{\sin \beta }\Leftrightarrow$$ $$\frac{AB}{AC}=\frac{\sin\alpha }{\sin \beta }$$

     2) Пусть MK=x $$\Rightarrow$$ CK=2x CM=3x, CD=5y $$\Rightarrow$$ DK=3y, $$\angle CMD=\delta$$

Из $$\Delta MDK$$ : $$\frac{x}{\sin \alpha }=\frac{3y}{\sin \delta }\Rightarrow$$ $$\sin \alpha =\frac{x\sin \delta }{3y}$$

Из $$\Delta MDC$$ : $$\frac{3x}{\sin \beta }=\frac{5y}{\sin \delta }\Rightarrow$$ $$\sin \beta =\frac{3x \sin \delta }{5y}$$

Тогда $$\frac{AB}{AC}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=$$$$\frac{x \sin \delta }{3y}*\frac{5y}{3x \sin \delta }=$$$$\frac{5}{9}$$

Задание 6649

В трапеции ABCD с боковыми сторонами АВ = 9 и CD = 5 биссектриса угла D пересекает биссектрисы углов А и С в точках М и Nсоответственно, а биссектриса угла В пересекает те же две биссектрисы в точках L и K, причём точка K лежит на основании AD. Найдите отношение МN : KL, если LM : KN = 3 : 7

Ответ: $$\frac{5}{21}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) $$\angle ABK=\angle CBK$$ (BL-биссектриса ), $$\angle CBK=\angle AKB$$ (накрест лежащие) $$\Rightarrow AB=AK=9$$; AL-биссектриса , медиана и высота равнобедренного $$\Delta ABK$$: $$AL\perp BK$$ и $$BL\perp LK(1)$$

     2) Аналогично из $$\Delta CDK$$ : $$CD=DK=5$$; $$DN\perp CK$$; $$CN=NK$$. С учетом (1) - LN-средняя линия $$\Delta BKC$$ и AD=14

     3) $$MK\cap LN=Q$$; $$KM\cap BC=P$$. Тогда : $$LN\left | \right |BC$$, $$BC\left | \right |AD\Rightarrow$$ $$LN\left | \right |AD$$ и : $$\Delta LMN\sim \Delta AMD\Rightarrow$$ $$QN:QL=KD:KA=5:9\Rightarrow$$ $$QL=\frac{9 QN}{5}(2)$$

     4) $$\angle MLN=\angle MNK=90\Rightarrow$$ около $$MNKL$$ можно описать окружность ($$\angle MLK+\angle MNK=180$$) $$\Rightarrow \Delta LMQ\sim \Delta QNM$$: $$\frac{LM}{NK}=\frac{MQ}{QN}=\frac{3}{7}(3)$$

     5) $$\Delta LQK\sim \Delta MQN\Rightarrow$$ $$\frac{MN}{LK}=\frac{MQ}{QL}$$. С учетом (2) : $$\frac{NQ}{QL}=\frac{MQ}{\frac{9QN}{5}}=$$$$\frac{5MQ}{9 QN}(3)$$. С учетом (3): $$\frac{5 MQ}{9 QN}=\frac{5}{9}*\frac{3}{7}=$$$$\frac{5}{21}=\frac{MN}{LK}$$

Задание 6716

Диагонали с длинами $$\sqrt{7}$$ и 4 делят четырёхугольник на части, площади которых образуют арифметическую прогрессию. Найдите площадь четырёхугольника, зная, что угол между большей диагональю и меньшей из сторон равен 30 .

Ответ: $$\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) Пусть $$S_{AOD}=a_{1}$$; $$S_{AOB}=a_{2}$$; $$S_{BOC}=a_{3}$$; $$S_{COD}=a_{4}$$; $$\angle AOB=\alpha \Rightarrow$$ $$\angle AOD=180-\alpha$$

     2) $$a_{1}=\frac{1}{2}AO*OD \sin (180-\alpha )=$$$$\frac{1}{2}AO*OD \sin \alpha$$ ; $$a_{2}=\frac{1}{2}AO*OB \sin \alpha$$ , $$a_{3}=\frac{1}{2}BO*OC \sin \alpha$$ ; $$a_{4}=\frac{1}{2}CO*OD \sin \alpha$$ . Тогда : $$a_{1}*a_{3}=\frac{1}{4}AO*OD*BO*OC* \sin^{2}\alpha=a_{2}*a_{4}(1)$$

     3) т.к. арифметическая прогрессия ( пусть ее разность d ) , то: $$a_{2}=a_{1}+d$$; $$a_{3}=a_{1}+2d$$; $$a_{4}=a_{1}+3d$$. С учетом (1): $$a_{1}(a_{1}+2d)=(a_{1}+d))(a_{1}+3d)\Leftrightarrow$$ $$a_{1}^{2}+2a_{1}d=a_{1}^{2}+4a_{1}d+3d^{2}\Leftrightarrow$$ $$2a_{1}d+3d^{2}=0\Leftrightarrow$$ $$d(2a_{1}+3)=0$$. $$2a_{1}+3>0$$ ,т.к. $$a_{1}$$ - площадь , тогда d=0, но тогда $$a_{1}=a_{2}=a_{3}=a_{4}(2)$$

     4)С учетом (2) : $$AO *OD=AO*BO$$, $$(a_{1}=a_{2})\Rightarrow$$ $$BO=OD$$; $$AO*OB=BO*OC$$$$(a_{2}=a_{3})\Rightarrow$$$$AO=OD$$. Тогда ABCD-параллелограмм

     5) $$BO=OD=\frac{\sqrt{7}}{2}$$; $$AO=OC=2$$ Из $$\Delta AOB$$ : Пусть AB=x, тогда по теореме косинусов :

$$\frac{7}{4}=x^{2}+4-2x*2\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow$$ $$x^{2}-2x\sqrt{3}+\frac{9}{4}=0\Leftrightarrow$$ $$D=12-9=3$$

$$x_{1}=\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$

$$x_{2}=\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

     6) при $$AB=\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{27}}{2}$$ из $$\Delta ABC:$$ $$BC=\sqrt{\frac{9*3}{4}+16-2*4*\frac{3\sqrt{3}}{2}*\frac{\sqrt{3}}{2}}=$$$$\sqrt{\frac{27}{4}+16-18}=$$$$\sqrt{\frac{27}{4}-2}=\frac{\sqrt{19}}{2}<AB\Rightarrow$$ не подходит по условию , что AB –меньшая.

Тогда:  $$S_{ABO}=\frac{1}{2}*AB*BO\sin BAO=$$$$\frac{1}{2}*\frac{\sqrt{3}}{2}*2*\frac{1}{2}=$$$$\frac{\sqrt{3}}{4}$$ и $$S_{ABCD}=\sqrt{3}$$

Задание 6743

Длины боковых сторон трапеции равны 6 см и 10 см. В трапецию можно вписать окружность. Средняя линия делит трапецию на части, отношения площадей которых равно $$\frac{5}{11}$$ . Найдите длины оснований трапеции.

Ответ: 2 и 14
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) Т.к в ABCD можно вписать окружность , то $$AB+CD=BC+AD=16$$. Пусть BC=x $$\Rightarrow$$ AD=16-x

     2) Пусть $$OL\perp BC$$ и $$ON\perp AD$$ (радиусы в точку касания) , и $$OL=ON=y$$; $$MK=\frac{BC+AD}{2}=8$$ - средняя линия. Тогда $$S_{MBCK}=\frac{x+8}{2}*y$$; $$S_{AMKD}=\frac{16-x+8}{2}*y=\frac{24-x}{2}*y$$

     3) $$\frac{S_{MBCK}}{S_{AMKD}}=\frac{\frac{x+8}{2}*y}{\frac{24-x}{2}*y}=$$$$\frac{5}{11}\Leftrightarrow$$ $$\frac{x+8}{24-x}=\frac{5}{11}\Leftrightarrow$$ $$11x+88=120-5x\Leftrightarrow$$$$16x=32\Leftrightarrow$$ $$x=2\Rightarrow$$ $$BC=2; AD=14$$

Задание 6790

Вершина С прямоугольника ABCD лежит на стороне КМ равнобедренной трапеции АВКМ (ВК || АМ), Р – точка пересечения отрезков АМ и СD. Найдите отношение площадей прямоугольника и трапеции, если АВ = 2ВС, АР = 3ВК.

Ответ: $$\frac{3}{1+2\sqrt{2}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) Построим через $$CH\left | \right |AM$$ ($$H=CH\cap AB$$)

Пусть $$HK\cap BC=N$$; HBKC - равнобедренная трапеция $$\Rightarrow$$ BC=HK

Пусть $$BC=x=HK$$; $$AB=2x\Rightarrow$$ $$S_{ABCD}=BC*AB=2x^{2}$$

     2) $$\Delta BKN\sim \Delta HNC$$; $$\frac{BN}{NC}=\frac{BK}{HC}(1)$$; $$HC\left | \right |AM$$ и $$AB\left | \right |CD\Rightarrow$$ HCPA - параллелограмм и HC=AP

С учетом (1): $$\frac{BN}{NC}=\frac{BK}{HC}=\frac{BK}{AP}=\frac{1}{3}\Rightarrow$$ $$BN=\frac{1}{4}*BC=\frac{x}{4}$$, $$NC=\frac{3}{4}*BC=\frac{3x}{4}=NH$$

     3) из $$\Delta BNH$$: $$BH=\sqrt{NH^{2}-BN^{2}}=\frac{x}{\sqrt{2}}$$

$$tg\angle BHC=\frac{BC}{BH}=\frac{x}{\frac{x}{\sqrt{2}}}=$$$$\sqrt{2}=tg\angle A\Rightarrow$$ $$\sin A=\sqrt{\frac{2}{3}}$$, $$\cos A=\sqrt{\frac{1}{3}}$$

$$HC=\frac{BC}{\sin HBC}=\frac{x\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\Rightarrow$$ $$BK=\frac{x\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}$$

     4)Пусть $$BL\perp AM$$, тогда из $$\Delta ABL$$: $$AL=AB*\cos A=2x*\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}=\frac{2x}{\sqrt{3}}\Rightarrow$$ $$AM=BK+2AL=\frac{x\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}+\frac{2*2x}{\sqrt{3}}=$$$$\frac{x(\sqrt{3}+4\sqrt{6})}{3\sqrt{2}}$$, $$BL=AB \sin A=\frac{2x\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$

$$S_{ABKM}=\frac{\frac{x\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}+\frac{x\sqrt{3}+x*4\sqrt{6}}{3\sqrt{2}}}{2}*\frac{2x\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=$$$$\frac{2x\sqrt{3}+4x\sqrt{6}}{6\sqrt{2}}*\frac{2x\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=$$$$\frac{2x^{2}(\sqrt{3}+2\sqrt{6})}{3\sqrt{3}}$$

     5) $$\frac{S_{ABCD}}{S_{ABKM}}=2x^{2}:\frac{2x^{2}(\sqrt{3}+2\sqrt{6})}{3\sqrt{3}}=$$$$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}+2\sqrt{6}}=$$$$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}(1+2\sqrt{2})}=\frac{3}{1+2\sqrt{2}}$$

Задание 6861

На сторонах AB, BC, CD и DA параллелограмма ABCD взяты соответственно точки M, N, K и L, причём AM : MB = CK : KD = 1/2 а BN : NC = DL : LA = 1/3. Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого – пересечения отрезков AN, BK, CL и DM, если площадь параллелограмма ABCD равна 1

Ответ: $$\frac{6}{13}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

       1) Введем обозначения, как показано на рисунке.

       2) В силу равенства BLи AD и AB и CD, а так же, $$\frac{AM}{MB}=\frac{CK}{KD}$$ и $$\frac{BN}{NC}=\frac{DL}{AD}$$, получим равенство $$\Delta BKC$$ и $$\Delta AMD$$ ; $$\Delta ABN$$ и $$\Delta CDL$$, и что MBKD, ANCL - параллелограммы $$\Rightarrow$$ $$BK\left | \right |MD$$ и $$AN\left | \right |CL$$

       3) Тогда по т. Фалеса $$\frac{BA_{1}}{BB_{1}}=\frac{BN}{BC}=\frac{1}{4}$$$$\Rightarrow$$, если $$S_{BNA_{1}}=y$$, то $$S_{BCB_{1}}=16y$$ (площади подобных относятся как квадрат коэффициента подобия)$$\Rightarrow$$ $$S_{NCB_{1}A_{1}}=15y$$. Аналогично, $$S_{DC_{1}L}=y$$; $$S_{AD_{1}C_{1}L}=15y$$

Если $$S_{AMD_{1}}=x$$ , то $$S_{ABA_{1}}=9x$$$$\Rightarrow$$ $$S_{MBA_{1}D_{1}}=8x$$

Аналогично, $$S_{CKB_{1}}=x$$; $$S_{B_{1}KDC_{1}}=8x$$ ,пусть $$S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=Z$$

       4) $$S_{MBKD}=\frac{MB}{AB}*S_{ABCD}=\frac{2}{3}=2*8x+z$$

$$S_{ABCL}=\frac{NC}{BC}*S_{ABCD}=\frac{3}{4}=2*15y+z$$

$$S_{ABCD}=1=2*16y+2*9x+z$$

Получим :

$$\left\{\begin{matrix}16x+z=\frac{2}{3}\\30y+z=\frac{3}{4}\\32y+18x+z=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\frac{2}{3}-z}{16}\\y=\frac{\frac{3}{4}-z}{30}\\32(\frac{\frac{3}{4}-z}{30}+18(\frac{\frac{2}{3}-z}{16})+z=1|*120\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$8(12-16z)+15(6-9z)+120z=120\Leftrightarrow$$$$143z=66\Leftrightarrow$$$$z=\frac{6}{13}$$

Задание 6909

Диагонали с длинами $$\sqrt{7}$$ и 4 делят четырехугольник на части, площади которых образуют арифметическую прогрессию. Найдите площадь четырёхугольника, зная, что угол между большей диагональю и меньшей из сторон равен 30.

Ответ: $$\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) Пусть $$S_{AOD}=a_{1}$$; $$S_{AOB}=a_{2}$$; $$S_{BOC}=a_{3}$$; $$S_{COD}=a_{4}$$; $$\angle AOB=\alpha \Rightarrow$$ $$\angle AOD=180-\alpha$$

     2) $$a_{1}=\frac{1}{2}AO*OD \sin (180-\alpha )=$$$$\frac{1}{2}AO*OD \sin \alpha$$ ; $$a_{2}=\frac{1}{2}AO*OB \sin \alpha$$ , $$a_{3}=\frac{1}{2}BO*OC \sin \alpha$$ ; $$a_{4}=\frac{1}{2}CO*OD \sin \alpha$$ . Тогда : $$a_{1}*a_{3}=\frac{1}{4}AO*OD*BO*OC* \sin^{2}\alpha=a_{2}*a_{4}(1)$$

     3) т.к. арифметическая прогрессия ( пусть ее разность d ) , то: $$a_{2}=a_{1}+d$$; $$a_{3}=a_{1}+2d$$; $$a_{4}=a_{1}+3d$$. С учетом (1): $$a_{1}(a_{1}+2d)=(a_{1}+d))(a_{1}+3d)\Leftrightarrow$$ $$a_{1}^{2}+2a_{1}d=a_{1}^{2}+4a_{1}d+3d^{2}\Leftrightarrow$$ $$2a_{1}d+3d^{2}=0\Leftrightarrow$$ $$d(2a_{1}+3)=0$$. $$2a_{1}+3>0$$ ,т.к. $$a_{1}$$ - площадь , тогда d=0, но тогда $$a_{1}=a_{2}=a_{3}=a_{4}(2)$$

     4)С учетом (2) : $$AO *OD=AO*BO$$, $$(a_{1}=a_{2})\Rightarrow$$ $$BO=OD$$; $$AO*OB=BO*OC$$$$(a_{2}=a_{3})\Rightarrow$$$$AO=OD$$. Тогда ABCD-параллелограмм

     5) $$BO=OD=\frac{\sqrt{7}}{2}$$; $$AO=OC=2$$ Из $$\Delta AOB$$ : Пусть AB=x, тогда по теореме косинусов :

$$\frac{7}{4}=x^{2}+4-2x*2\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow$$ $$x^{2}-2x\sqrt{3}+\frac{9}{4}=0\Leftrightarrow$$ $$D=12-9=3$$

$$x_{1}=\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$

$$x_{2}=\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

     6) при $$AB=\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{27}}{2}$$ из $$\Delta ABC:$$ $$BC=\sqrt{\frac{9*3}{4}+16-2*4*\frac{3\sqrt{3}}{2}*\frac{\sqrt{3}}{2}}=$$$$\sqrt{\frac{27}{4}+16-18}=$$$$\sqrt{\frac{27}{4}-2}=\frac{\sqrt{19}}{2}<AB\Rightarrow$$ не подходит по условию , что AB –меньшая.

Тогда:  $$S_{ABO}=\frac{1}{2}*AB*BO\sin BAO=$$$$\frac{1}{2}*\frac{\sqrt{3}}{2}*2*\frac{1}{2}=$$$$\frac{\sqrt{3}}{4}$$ и $$S_{ABCD}=\sqrt{3}$$

Задание 6957

Продолжение сторон AD и BC выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке M, а продолжения сторон AB и CD – в точке O. Отрезок MO перпендикулярен биссектрисе угла AOD. Найдите отношение площадей треугольника AOD и четырехугольника ABCD, если АО = 12, ОD = 8, CD = 2.

Ответ: $$\frac{2}{1}$$ или $$\frac{14}{11}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     A) 1) Пусть C между O и D. Проведем через $$A n\left | \right |OM$$: $$P=CD\cap n$$; $$Q=OL\cap n$$; $$T=CB\cap n$$

        2) $$OQ\perp OM$$; $$OM\left | \right |AP\Rightarrow$$ $$OQ\perp AP\Rightarrow$$ OQ - высота и биссектриса $$\Rightarrow$$ $$\Delta AOP$$ – равнобедренны $$\Rightarrow$$ $$OP=OA=12$$; $$PD=OP-PD=12-8=4$$

        3) $$\Delta MDO\sim \Delta ADP$$: $$\frac{OM}{AP}=\frac{OD}{DP}\Rightarrow$$ $$OM=\frac{AP*OD}{DP}=2 AP$$; $$\Delta PCT\sim OCM$$: $$\frac{OM}{PT}=\frac{OC}{PC}\Rightarrow$$ $$PT=\frac{MO*PC}{OC}=MO=2 AP$$$$\Rightarrow$$ $$AT=AP$$; $$OM=2 AT$$; $$\Delta MBD\sim \Delta TBA$$: $$\frac{OB}{AB}=\frac{MO}{AT}=\frac{2}{1}$$

        4) Пусть $$S_{AOD}=S\Rightarrow$$ $$S_{BOC}=\frac{OB}{AO}*\frac{OC}{OD}S=$$$$\frac{2}{3}*\frac{6}{8}S=\frac{S}{2}$$$$\Rightarrow$$ $$S_{ABCD}=S_{AOD}-S_{BOC}=\frac{S}{2}\Rightarrow$$ $$\frac{S_{AOD}}{S_{ABCD}}=\frac{S}{\frac{S}{2}}=\frac{2}{1}$$

     Б) 1) Пусть D располагается между O и C. Проведем через $$B n\left | \right |OM$$: $$OL\cap n=Q$$; $$OC\cap n=P$$; $$OA\cap n=T$$

        2) Аналогично (A) $$\Delta OBP$$ – равнобедренный. Пусть $$AB=x\Rightarrow$$ $$OB=12+x$$ ; $$OP=PB=12+x=8+2+CP\Rightarrow$$ $$CP=x+2$$

        3) $$\Delta BCP\sim \Delta COM$$: $$\frac{PB}{OM} =\frac{CP}{OC}\Rightarrow$$ $$BP=\frac{OM(x+2)}{10}$$; $$\Delta TPC\sim \Delta ODM$$: $$\frac{TP}{OM}=\frac{DP}{OD}\Rightarrow$$ $$TP=\frac{OM(x+4)}{8}$$; $$TB=TP-BP=OM(\frac{x+12}{40})$$; $$\Delta TBA\sim \Delta AOM$$: $$\frac{TB}{OM}=\frac{AB}{AO}\Rightarrow$$ $$\frac{x+12}{40}=\frac{x}{12}\Leftrightarrow$$ $$40x=12(x+12)\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{36}{7}\Rightarrow$$ $$OB=12+\frac{36}{7}=\frac{120}{7}$$

        4) Пусть $$S_{BOC}=S\Rightarrow$$ $$S_{AOD}=\frac{AO}{OB}*\frac{OD}{OC}S=$$$$\frac{12}{120}*\frac{8}{10}S=$$$$\frac{56}{100}S\Rightarrow$$ $$S_{ABCD}=S-\frac{56}{100}S=\frac{44}{100}S$$$$\Rightarrow$$ $$\frac{S_{AOD}}{S_{ABCD}}=$$$$\frac{56}{100}S:\frac{44}{100}S=\frac{14}{11}$$

Задание 7165

Одна из боковых сторон трапеции перпендикулярна основаниям и равна 4. На этой стороне как на диаметре построена окружность, которая делит другую боковую сторону на три отрезка. Отношение длин этих отрезков равно 1 : 2 : 2 (считая от верхнего основания). Найдите площадь трапеции.

Ответ: $$\frac{4(2+3\sqrt{6})}{5}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) Пусть $$ND=MN=2x\Rightarrow$$ $$CM=x$$; $$AB=4$$. Пусть $$CH\left | \right |AB\Rightarrow$$ $$CH=4$$, $$BC=AH=y$$. По т. Пифагора из $$\Delta CDH$$: $$HD=\sqrt{CD^{2}-CH^{2}}=\sqrt{25x^{2}-16}$$

      2) По свойству касательной и секущей : $$\left\{\begin{matrix}BC^{2}=CM*CN\\AD^{2}=DN*DM\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y^{2}=x*3x\\(y+\sqrt{25x^{2}-16})^{2}=2x*4x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y=x\sqrt{3}\\y^{2}+25x^{2}-16+2y\sqrt{25x^{2}-16}=8x^{2}(1)\end{matrix}\right.$$

   Рассмотрим (1): $$25x^{2}+3x^{2}-8x^{2}+2x\sqrt{3}*\sqrt{25x^{2}-16}=16\Leftrightarrow$$$$2 x\sqrt{3}\sqrt{25x^{2}-16}=16-20x^{2}\Leftrightarrow$$$$x\sqrt{3}\sqrt{25x^{2}-16}=8-10x^{2}\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}3x^{2}(15x^{2}-16)=(8-10x^{2})^{2}(2)\\8-10 x^{2}\geq 0(3)\end{matrix}\right.$$

   Рассмотрим (2): $$75x^{4}-8x^{2}=64-160x^{2}+100x^{4}\Leftrightarrow$$ $$25x^{2}-112x^{2}+64=0\Rightarrow$$ $$D=6144=32^{2}*6$$

   Тогда: $$\left\{\begin{matrix}x_{1}^{2}=\frac{112+32\sqrt{6}}{50} \in (3)\\x_{2}^{2}=\frac{112-32\sqrt{6}}{50}=\frac{56-16\sqrt{6}}{25}=(\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{5})^{2}\end{matrix}\right.$$

     3) Площадь $$S=\frac{BC+AD}{2}*CH=$$$$\frac{y+y+\sqrt{25x^{2}-16}}{2}*4=$$$$2(2y+\sqrt{25x^{2}-16})$$

   1) $$\sqrt{25x^{2}-16}=\sqrt{25*\frac{56-16\sqrt{6}}{25}-16}=$$$$\sqrt{40-16\sqrt{6}}=\sqrt{(2\sqrt{6}-4)^{2}}=$$$$\left | 2\sqrt{6}-4 \right |=2\sqrt{6}-4$$

   2) $$2y=2*x\sqrt{3}=2\sqrt{3}*\left | \frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{5} \right |=$$$$2\sqrt{3}*\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{5}=$$$$\frac{24-4\sqrt{6}}{5}$$

   $$S=2(\frac{24-4\sqrt{6}}{5}+2\sqrt{6}-4)=$$$$\frac{2}{5}*(24-4\sqrt{6}+10\sqrt{6}-20)=$$$$\frac{2}{5}(6\sqrt{6}+4)=\frac{4(2+3\sqrt{6})}{5}$$

Задание 7281

Через точку О пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, параллельная основанию. Найдите длину отрезка этой прямой между боковыми сторонами трапеции, если средняя линия трапеции равна 4/3 , а точка О делит диагональ трапеции на части, отношение которых равно 1 : 3.

Ответ: 1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) т.к. средняя линия равна $$\frac{4}{3}$$, то $$\frac{BC+AD}{2}=\frac{4}{3}\Rightarrow$$ $$BC+AD=\frac{8}{3}$$

     2) $$\Delta BOC\sim \Delta AOD$$ ($$\angle BCO=\angle OAD$$ - накрест лежащие , $$\angle BOC=\angle AOD$$ - вертикальные )$$\Rightarrow$$ $$\frac{BC}{AD}=\frac{CO}{OA}=\frac{1}{3}$$$$\Rightarrow$$ пусть $$BC=x\Rightarrow$$ $$AD=\frac{8}{3}-x$$ тогда $$\frac{x}{\frac{8}{3}-x}=\frac{1}{3}\Rightarrow$$ $$3x=\frac{8}{3}-x\Rightarrow$$ $$x=\frac{2}{3}$$$$\Rightarrow$$ $$AD=2$$

     3) $$\Delta BOM \sim \Delta ABD$$ ($$MO\left | \right |AD$$) $$\Rightarrow$$ $$\frac{MO}{AD}=\frac{BO}{BD}=$$$$\frac{1}{4}\Rightarrow$$ $$MO=\frac{1}{4}*2=\frac{1}{2}$$. Аналогично, $$ON=\frac{1}{4}AD=\frac{1}{2}$$$$\Rightarrow$$ $$MN=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$$

Задание 7397

Внутри параллелограмма ABCD взята точка Р так, что треугольник АРD равносторонний. Известно, что расстояние от точки Р до прямых АВ, ВС и CD равны соответственно 10, 3 и 6. Найдите периметр параллелограмма.

Ответ: $$\frac{77\sqrt{3}}{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7499

Диагонали ВD и АС выпуклого четырехугольника АВСD перпендикулярны, пересекаются в точке М, АМ = 4/3, МС = 3. Точка N лежит на стороне АВ, причем AN : NB = 1 : 3. Треугольник DNC – равносторонний. Найдите его площадь.

Ответ: $$\frac{13\sqrt{3}}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7546

Четырехугольник АВСD, описанный около некоторой окружности, делится диагональю АС на треугольники АВС и АСD с радиусами вписанных окружностей 1 и $$\frac{3}{\sqrt{15}}$$ соответственно. Найдите стороны четырехугольника и диагональ ВD, если площади треугольников АВС и АСD равны 6 и $$\sqrt{15}$$ соответственно.

Ответ: $$5;3;2;4;\sqrt{13}+3\sqrt{15}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7593

Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите АD, если BC =12, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 115o и 95o

Ответ: $$8\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7669

На диагонали BD прямоугольной трапеции ABCD ($$\angle D=90$$, BC॥ AD) взята точка Q так, что BQ : QD = 1 : 3. Окружность с центром в точке Q касается прямой AD и пересекает прямую BC в точках P и M. Найдите длину стороны AB, если BC = 9, AD = 8, PM = 4.

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7763

В четырехугольнике АВСD диагонали АС и ВD пересекаются в точке К. Точки L и M являются, соответственно серединами сторон ВС и АD. Отрезок LM содержит точку К. Четырехугольник АВСD таков, что в него можно вписать окружность. Найдите радиус этой окружности, если АВ=3, АС=$$\sqrt{13}$$ , LК : КM=1 : 3.

Ответ: 1,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7813

Длины боковых сторон AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 8 см и 10 см, а длина основания BC равна 2 см. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найти площадь трапеции.

Ответ: 40
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7909

В трапецию, у которой меньшее основание равно 5, вписана окружность. Одна из боковых сторон трапеции делится точкой касания на отрезки 9 и 4, считая от большего основания. Найдите площадь трапеции.

Ответ: 300
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 8479

В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C, D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD , если AD=6, BC=5 .

Ответ: $$\sqrt{30}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 8531

В равнобедренной трапеции ABCD боковые стороны равны меньшему основанию BC. К диагоналям трапеции провели перпендикуляры BH и CE. Найдите площадь четырёхугольника BCEH, если площадь трапеции равна 36.

Ответ: 9
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8830

В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 34 и 14, а сумма углов при основании AD равна 90. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=12.
Ответ: 14,4
Скрыть

  1. Продолжим стороны AB и CD до их пересечения в точке E. Угол AEC равен 90°, поскольку сумма углов EAD и EDA равна 90°. Рассмотрим треугольники AED и BEC, они прямоугольные, углы ECB и EDA равны как соответственные углы при параллельных прямых, следовательно, эти треугольники подобны, откуда: $$\frac{AE}{BE}=\frac{AB+BE}{BE}=\frac{AD}{BC}$$
  2. Найдём BE: $$\frac{24+BE}{BE}=\frac{34}{2}\Leftrightarrow$$$$BE+24=17BE\Leftrightarrow$$$$BE=1,5$$
  3. Пусть окружность касается прямой CD в точке F, причём точка F может лежать или на стороне CD или на её продолжении. Отрезок OF перпендикулярен прямой CD, как радиус, проведённый в точку касания, OA, OB и OF — радиусы.
  4. Треугольник AOB — равнобедренный, OH — высота, следовательно, OH является медианой и биссектрисой. Четырехугольник OHEF — прямоугольник, потому что все его углы прямые. Откуда:
    $$R=OF=HE=HB+BE=12+1,5=13,5$$
 

Задание 8857

В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 34 и 2, а сумма углов при основании AD равна 90. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=24.

Ответ: 13,5
 

Задание 9029

В четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O под углом $$\alpha$$. Точка F принадлежит отрезку AC. Известно, что BO=10, DO=14, AC=18. Найдите AF, если площадь треугольника FBC в четыре раза меньше площади четырёхугольника ABCD.

Ответ: 7,2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9090

В четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O под углом $$\alpha$$. Точка F принадлежит отрезку AC. Известно, что BO=19, DO=16, AC=24. Найдите AF, если площадь треугольника FCB в три раза меньше площади четырёхугольника ABCD.

Ответ: 6,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9197

Углы при одном из оснований трапеции равны 53° и 37°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 6 и 2. Найдите основания трапеции.

Ответ: 8;4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9223

Углы при одном из оснований трапеции равны 80° и 10°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 20 и 17. Найдите основания трапеции

Ответ: 37;3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9473

Углы при одном из оснований трапеции равны 18 и 72 , а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 15 и 4. Найдите основания трапеции.

Ответ: 9;11
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9617

Середина М стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC=3, а углы В и С четырёхугольника равны соответственно 94° и 131°

Ответ: $$3\sqrt{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9766

Середина М стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если ВС=19, а углы В и С четырёхугольника равны соответственно 95° и 115°.

Ответ: $$\frac{38\sqrt{3}}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9834

Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD , если BC=$$10\sqrt{2}$$, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 112 и 113.

Ответ: 20
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10331

Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD , пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF , если AD=35 , BC=21, CF:DF=5:2.

Ответ: 31
 

Задание 10468

Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 16 и 12, а средняя линия равна 10.

Ответ: 96
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

  1. Проведем из С прямую, параллельную BD до пересечения с AD в F
  2. Средняя линия равна полусумме оснований, тогда: $$AD+BC=20$$
  3. BC параллельна DF, BD параллельна CF, тогда BCFD - параллелограмм, DF=BC, AF=20. При это площадь треугольников ABC и CDF равны (одинаковая высота и основания)
  4. Тогда площадь искомой трапеции равна площади треугольника ACF. Найдем ее по формуле Герона: $$p=\frac{16+12+20}{2}=24$$; $$S=\sqrt{24\cdot 8\cdot 12\cdot 4}=96$$
 

Задание 11069

Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение для диагоналей параллелограмма равно 54.

Ответ: $$\frac{108}{3025}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11195

В параллелограмме ABCD проведена диагональ АС. Точка О является центром окружности, вписанной в треугольник АВС. Расстояния от точки О до точки А и прямых AD и АС соответственно равны 25, 15 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Ответ: 924
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11217

В параллелограмме ABCD проведена диагональ АС. Точка О является центром окружности, вписанной в треугольник АВС. Расстояния от точки О до точки А и прямых AD и АС соответственно равны 25, 13 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Ответ: 1120
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11261

В трапеции проведён отрезок, параллельный основаниям и делящий её на две трапеции одинаковой площади. Найдите длину этого отрезка, если основания трапеции равны $$24\sqrt{2}$$ и $$7\sqrt{2}$$.

Ответ: 25
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11446

В четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О под углом $$\alpha$$. Точка F принадлежит отрезку АС. Известно, что ВО=10, DO=14, АС=18. Найдите AF, если площадь треугольника FBC в четыре раза меньше площади четырёхугольника ABCD.

Ответ: 7,2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11494

В четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О под углом $$\alpha$$. Точка F принадлежит отрезку АС. Известно, что ВО=19, DO=16, АС=24. Найдите AF, если площадь треугольника FCD в три раза меньше площади четырёхугольника ABCD.

Ответ: 6,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11562

Углы при одном из оснований трапеции равны 53° и 37°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 6 и 2. Найдите основания трапеции.

Ответ: 8;4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11584

Углы при одном из оснований трапеции равны 80° и 10°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 20 и 17. Найдите основания трапеции.

Ответ: 37; 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11649

В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания BC и вдвое больше боковой стороны CD. Угол ADC равен 60o, сторона AB равна 6. Найдите площадь трапеции.

Ответ: $$27\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11880

Середина М стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если ВС=3, а углы В и С четырёхугольника равны соответственно 94° и 131°.

Ответ: $$3\sqrt{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11902

Середина М стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если ВС=19, а углы В и С четырёхугольника равны соответственно 95° и 115°.

Ответ: $$\frac{38\sqrt{3}}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11928

В трапеции ABCD боковая сторона АВ перпендикулярна основанию ВС. Окружность проходит через точки С и D и касается прямой АВ в точке Е. Найдите расстояние от точки Е до прямой CD, если AD=6, ВС=5.

Ответ: $$\sqrt{30}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11949

В трапеции ABCD боковая сторона АВ перпендикулярна основанию ВС. Окружность проходит через точки С и D и касается прямой АВ в точке Е. Найдите расстояние от точки Е до прямой CD, если AD=4, ВС=2.

Ответ: $$2\sqrt{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12004

Точки М и N лежат на стороне АС треугольника АВС на расстояниях соответственно 12 и 45 от вершины А. Найдите радиус окружности, проходящей через точки М и N и касающейся луча АВ, если $$cos\angle BAC=\frac{\sqrt{15}}{4}$$

Ответ: 24
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12025

Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке К. Найдите площадь параллелограмма, если ВС=7, а расстояние от точки К до стороны АВ равно 4.

Ответ: 56
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12046

Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке К. Найдите площадь параллелограмма, если ВС=2, а расстояние от точки К до стороны АВ равно 8.

Ответ: 32
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12109

Боковые стороны АВ и CD трапеции ABCD равны соответственно 24 и 25, а основание ВС равно 9. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны АВ. Найдите площадь трапеции.

Ответ: 300
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12130

Боковые стороны АВ и CD трапеции ABCD равны соответственно 12 и 13, а основание ВС равно 4. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны АВ. Найдите площадь трапеции.

Ответ: 78
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13030

Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 10 и 8, а средняя линия равна 3.

Ответ: 24
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13052

Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 17 и 15, а средняя линия равна 4.

Ответ: 60
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13073

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 160, а площадь равна 1280, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Ответ: 6,4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13096

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 20, а площадь равна 20, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Ответ: 0,8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13162

Четырёхугольник ABCD со сторонами АВ = 40 и CD = 10 вписан в окружность. Диагонали АС и BD пересекаются в точке К, причём $$\angle AKB=60^{\circ}$$. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Ответ: $$10\sqrt{7}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13226

В трапеции проведен отрезок, параллельный основаниям и делящий ее на две трапеции одинаковой площади. Найдите длину этого отрезка, если основания трапеции равны $$24\sqrt{2}$$ и $$7\sqrt{2}$$

Ответ: 25
 

Задание 13248

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 160, а площадь равна 1280, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Ответ: 6,4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13483

Углы при одном из оснований трапеции равны 53° и 37°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 6 и 2. Найдите основания трапеции.

Ответ: 8;4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13506

Углы при одном из оснований трапеции равны 80° и 10°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 20 и 17. Найдите основания трапеции.

Ответ: 37;3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13610

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=40 и CD=10 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём $$\angle AKB=60^{\circ}$$. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Ответ: $$10\sqrt{7}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13823

В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Точка F принадлежит отрезку АС. Известно, что ВО=10, DO=14, АС=18. Найдите АВ, если площадь треугольника FBC в четыре раза меньше площади четырёхугольника ABCD.

Ответ: 7,2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13844

Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD=48, BC=16, CF:DF=5:3.

Ответ: 36
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13928

В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Точка F принадлежит отрезку АС. Известно, что ВО=19, DO=16, АС=24. Найдите AF, если площадь треугольника FCD в три раза меньше площади четырёхугольника ABCD.

Ответ: 6,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13950

В параллелограмме ABCD проведена диагональ АС. Точка О является центром окружности, вписанной в треугольник АВС. Расстояния от точки О до точки А и прямых AD и АС соответственно равны 25, 15 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Ответ: 924
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13972

В параллелограмме ABCD проведена диагональ АС. Точка О является центром окружности, вписанной в треугольник АВС. Расстояния от точки О до точки А и прямых AD и АС соответственно равны 25, 13 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Ответ: 1120
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!