ОГЭ
Задание 1946
В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив него, равен 45°. Найдите площадь треугольника.
- Если один острый угол прямоугольного треугольника составляет 45 градусов, то и другой угол также равен $$90-45=45^{\circ}$$, тогда треугольник равнобедренный, и катеты равны
- По определению площади прямоугольного треугольника: $$S=\frac{1}{2}*10*10=50$$
Задание 1947
В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, острый угол, прилежащий к нему, равен 60°, а гипотенуза равна 20. Найдите площадь треугольника, делённую на $$\sqrt{3}$$.
- Пусть AB=10, $$\angle A=60^{\circ}$$, тогда из определения тангенса $$BC=AB*tg A=10\sqrt{3}$$
- Из определения площади прямоугольного треуольника $$S=\frac{1}{2}*10*10\sqrt{3}=50\sqrt{3}$$, ответ необходимо указать деленный на $$\sqrt{3}$$, то есть 50
Задание 1948
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 28 и 100.
- Пусть b - второй катет, тогда по теореме Пифагора: $$b=\sqrt{100^{2}-28^{2}}=96$$
- По определению площади прямоугольного треугольника : $$S=\frac{1}{2}*96*28=1344$$
Задание 1949
В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 4, а острый угол, прилежащий к нему, равен 45°. Найдите площадь треугольника.
- Пусть BC=4, тогда $$\angle C=45^{\circ}$$, тогда $$\angle A=90-45=45^{\circ}$$, следовательно, треугольника ABC - равнобедренный и AB=BC
- По определению площади прямоугольного треугольника $$S=\frac{1}{2}*4*4=8$$
Задание 1950
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 70, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника.
- $$AB=AC*\sin 45^{\circ}=$$$$70*\frac{\sqrt{2}}{2}=35\sqrt{2}$$
- $$BC=AC*\cos 45^{\circ}=$$$$70*\frac{\sqrt{2}}{2}=35\sqrt{2}$$
- Площадь треугольника в таком случае: $$S=\frac{1}{2}*35\sqrt{2}*35\sqrt{2}=1225$$
Задание 1951
Катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 15. Найдите гипотенузу этого треугольника.
По теореме Пифагора $$c=\sqrt{8^{2}+15^{2}}=17$$, где с - гипотенуза данного треугольника.
Задание 1952
Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 9. Найдите площадь этого треугольника.
По определению площади прямоугольного треугольника: $$S=\frac{1}{2}4*9=18$$
Задание 2482
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 36 и 39.
| $$BC=\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{39^{2}-36^{2}}=15$$ $$S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 36\cdot 15=270$$ |
Задание 2809
| Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке. |  |
$$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{34^{2}-30^{2}}=16$$ $$S=\frac{1}{2}BC\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot30\cdot 16=240$$
Задание 3012
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 36 и 39.
$$\sqrt{39^{2}-36^{2}}=\sqrt{(39-39)\cdot(39+36)}=$$ $$=\sqrt{3\cdot75}=\sqrt{3\cdot3\cdot5^{2}}=15$$ $$S=\frac{1}{2}\cdot36\cdot15=18\cdot15=270$$
Задание 4322
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 15 и 39.
Пусть а - второй катет по т. Пифагоора: $$a=\sqrt{39^{2}-15^{2}}=\sqrt{(39-15)(39+15)}=\sqrt{24\cdot54}=$$ $$\sqrt{8\cdot3\cdot27\cdot2}=\sqrt{2^{4}\cdot3^{4}}=4\cdot9=36$$; $$S=\frac{1}{2}\cdot36\cdot15=270$$
Задание 5121
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 24 и 26.
Второй катет найдем по теореме Пифагора: $$\sqrt{26^{2}-24^{2}}=10$$. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения длин катетов: $$S=0,5*10*24=120$$
Задание 5168
В треугольнике ABC угол C равен $$90^{\circ}$$, CH — высота, BC=15, CH=9. Найдите $$\sin A$$.
$$\sin A=\sin HCB$$; $$HB=\sqrt{CB^{2}-CH^{2}}=12$$; $$\sin A=\frac{HB}{CB}=\frac{12}{15}=0,8$$