ОГЭ
Задание 3143
Докажите, что периметр параллелограмма больше суммы длин его диагоналей
Текстовое решение временно недоступно, вы можете найти его в видео в начале варианта
Задание 3568
В выпуклом четырехугольнике $$ABCD$$ точки $$K$$, $$M$$, $$P$$, $$E$$ – середины сторон $$AB$$, $$BC$$, $$CD$$ и $$DA$$ соответственно. Докажите, что площадь четырехугольника $$KMPE$$ равна половине площади четырехугольника $$ABCD$$.
1) из $$\bigtriangleup ABC$$: $$KM\parallel AC$$ (км - средняя линия)
аналогично: $$KE\parallel DB\parallel MP$$; $$KM\parallel AC\parallel EP$$ и $$EP=KM$$; $$EK=PC$$
2) $$S_{ABD}+S_{DBC}=S_{ABC}+S_{ADC}=S_{ABCD}=S$$
$$\left.\begin{matrix}S_{AKE}=\frac{1}{4}S_{ABD}\\S_{KCP}=\frac{1}{4}S_{DBC}\\S_{KBM}=\frac{1}{4}S_{ACB}\\S_{EDP}=\frac{1}{4}S_{ADC}\end{matrix}\right\}$$ $$\Rightarrow$$
$$\frac{1}{4}(S_{ABD}+S_{DBC})+\frac{1}{4}(S_{ACB}+S_{ADC})=\frac{1}{4}S+\frac{1}{4}S=\frac{1}{2}S$$ $$\Rightarrow$$
$$S_{EKMP}=S-\frac{1}{2}S=\frac{1}{2}S$$
Задание 4060
В четырехугольнике две стороны параллельны друг другу, а две другие перпендикулярны диагоналям. Докажите, что перпендикулярные диагоналям стороны равны между собой.
1) $$BC\parallel AD\Rightarrow ABCD$$ - трапеция
2) Пусть М - середина AD $$\Rightarrow$$
$$AM=MD=BM$$ ($$\bigtriangleup ABD$$ - прямоуг.)
$$AM=MD=MC$$ (аналогично) $$\Rightarrow$$
$$BM=MC\Rightarrow$$ $$\angle MBC=\angle MCB$$
3) $$\angle CMD=\angle BCM$$ (накрестлежащие)
$$\angle AMB=\angle MBC$$ (накрестлежащие) $$\Rightarrow$$
$$\angle AMB=\angle DCM$$ $$\Rightarrow$$
$$\bigtriangleup AMB=\bigtriangleup CMD$$ (по двум сторонам и углу)
$$\Rightarrow$$ $$AB=CD$$
ч.т.д.
Задание 4898
Докажите, что биссектрисы углов прямоугольника с неравными сторонами при пересечении образуют квадрат.
1)$$\angle JAD = \angle JDA = 45^{\circ}$$ (AJ и DJ - биссектрисы пярмых углов), тогда $$\angle AJD = 90^{\circ}$$. Тогда $$\angle FJI =90^{\circ}$$ как смежный. Аналогично $$\angle FGI =90^{\circ}$$ и тогда FGIJ - прямоугольник
2)$$\bigtriangleup AJD = \bigtriangleup BGC$$ (прямоугольные, равнобедренные, одинаковые гипотенуза), тогда DJ=GC(1). $$\bigtriangleup DFC$$ прямоугольный и равнобедренный, тогда DF=FG(2). Из равенств 1 и 2 получаем FJ=FG. Тогда FGIJ - квадрат
Задание 4992
В четырехугольнике две стороны параллельны, а диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что если в данный четырехугольник можно вписать окружность, то две другие стороны четырёхугольника равны между собой.
Задание 5225
Докажите, что в трапеции, диагонали которой являются биссектрисами углов при одном из оснований, длины трёх сторон равны.
1)$$\angle BDA=\angle DBC$$(накрестлежащие при параллельных BC и AD) ; $$\angle BDA=\angle BDC$$ (BD - биссеткриса) , тогда $$\angle BDC=\angle DBC$$, тогда треугольник BDC - равнобедренный и BC=BD(1)
2)аналогично рассматривается равенство углов BAC и BCA, тогда треугольник ABC - равнобедренный, и AB=BC, но с учетом равенства (1) получаем AB=BC=CD.
ч.т.д.
Задание 5321
На стороне $$BC$$ квадрата $$ABCD$$ взята точка $$M$$. Докажите, что площадь треугольника $$AMD$$ равна половине площади квадрата.
1)Пусть $$MH \perp AD$$ , тогда ABMH - прямоугольник и MH=AB
2)$$S_{AMD}=\frac{1}{2}AD*MH$$, или $$S_{AMD}=\frac{1}{2}AD*AB=\frac{1}{2}S_{ABCD}$$
Задание 5368
Докажите, что если в равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, то высота трапеции равна средней линии.
Задание 5579
Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.
Последовательно соединенные через одну вершины восьмиугольника образуют треугольники, стороны которых образованы сторонами восьмиугольника и проведенными отрезками. В правильном восьмиугольнике все стороны и углы равны. Получается, что все получившиеся треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, все стороны у получившейся фигуры равны.
Углы у этих треугольников равны $$135;22,5; 22,5.$$
Тогда угол фигуры можно рассчитать как: $$\frac{360 - 135 - 22,5 - 22,5}{2}=90.$$
Итак, у нас получилась фигура с углами в $$90$$ градусов и равными сторонами. То есть квадрат.