Перейти к основному содержанию

ОГЭ

Площади фигур

Трапеция

Аналоги к этому заданию:

Задание 1974

В тра­пе­ции ABCD AD = 3, BC = 1, а её пло­щадь равна 12. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

Ответ: 3
Скрыть

  1. Из площади трапеции $$AE=\frac{2S_{ABCD}}{BC+AD}=\frac{2*12}{3+1}=6$$
  2. Из формулы площади треугольника: $$S_{ABC}=\frac{1}{2}BC*AE=\frac{1}{2}*6*1=3$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 1973

В тра­пе­ции ABCD AD = 5, BC = 2, а её пло­щадь равна 28. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции BCNM, где MN – сред­няя линия тра­пе­ции ABCD.

Ответ: 11
Скрыть

  1. Из формулы площади трапеции $$BE=\frac{2S_{ABCD}}{AD+BC}=\frac{2*28}{5+2}=8$$
  2. $$BF=FE=\frac{1}{2}BE=4$$ так как MN - средняя линия трапеции, $$MN=\frac{BC+AD}{2}=\frac{2+5}{2}=3,5$$
  3. Площадь трапеции BCNM: $$S=\frac{BC+MN}{2}*BF=\frac{2+3,5}{2}*4=11$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 1972

Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 1 и 13, одна из бо­ко­вых сто­рон равна $$15\sqrt{2}$$, а угол между ней и одним из ос­но­ва­ний равен 135°. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Ответ: 105
Скрыть

  1. Пусть $$\angle C=135^{\circ}, CD=15\sqrt{2}$$. Опустим высоту CE , тогда $$\angle ECD=135-90=45^{\circ}$$, следовательно, треугольник CDE - прямоугольный и равнобедренный
  2. Из треугольника CDE -$$CE=CD*\sin ECD=15\sqrt{2}*\frac{\sqrt{2}}{2}=15$$
  3. Площадь трапеции $$S_{ABCD}=\frac{1+13}{2}*15=105$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 1971

Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 5 и 17, а ее бо­ко­вые сто­ро­ны равны 10. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Ответ: 88
Скрыть

  1. Опустим высоты BF и CE, тогда треугольники ABF и CED равны по гипотенузе и катету, следовательно,  FE=BC=5, $$AF=ED=\frac{AD-BC}{2}=6$$
  2. Из прямоугольного треугольника ABF по теореме Пифагора $$BF=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$$
  3. Площадь трапеции ABCD: $$S=\frac{5+17}{2}*8=88$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 1970

Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

Ответ: 168
Скрыть
  1. $$AD=AE+ED=21$$
  2. Площадь трапеции ABCD: $$S=\frac{7+21}{2}*12=168$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 1969

В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ос­но­ва­ния равны 3 и 9, а один из углов между бо­ко­вой сто­ро­ной и ос­но­ва­ни­ем равен 45°. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Ответ: 18
Скрыть

  1. Опустим высоты CE и BF. Тогда FE=BC=3, $$AF=ED=\frac{AD-FE}{2}=3$$ (из равенства прямоугольных треугольников ABF и CED)
  2. Пусть $$\angle D=45^{\circ}$$, тогда треугольник CED - равнобедренный ($$\angle ECD=90-45=45=\angle D$$), тогда CE=ED=3
  3. Из формулы площади трапеции: $$S_{ABCD}=\frac{3+9}{2}*3=18$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 1968

Бо­ко­вая сто­ро­на тра­пе­ции равна 5, а один из при­ле­га­ю­щих к ней углов равен 30°. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, если её ос­но­ва­ния равны 3 и 9.

Ответ: 15
Скрыть

  1. Пусть $$\angle D=30^{\circ}$$. Опустим высоту CE, тогда из прямоугольного треугольника CED: $$CE=CD*\sin D=2,5$$
  2. По формуле площади трапеции $$S_{ABCD}=\frac{3+9}{2}*2,5=15$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 1967

Сред­няя линия тра­пе­ции равна 11, а мень­ше ос­но­ва­ние равно 5. Най­ди­те боль­шее ос­но­ва­ние тра­пе­ции.

Ответ: 17
Скрыть

Пусть a - большее основание, тогда из формулы длины средней линии трапеции : $$a=2*11-5=17$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 1966

Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 18 и 12, одна из бо­ко­вых сто­рон равна 6, а ко­си­нус угла между ней и одним из ос­но­ва­ний равен $$\frac{2\sqrt{2}}{3}$$. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Ответ: 30
Скрыть

  1. Пусть $$\cos D =\frac{2\sqrt{2}}{3}$$, опустим высоту CE. Тогда из треугольника  CED: $$ED=CD*\cos D=6*\frac{2\sqrt{2}}{3}=4\sqrt{2}$$
  2. По теореме Пифагора из треугольника CED: $$CE=\sqrt{6^{2}-(4\sqrt{2})^{2}}=2$$
  3. Из формулы площади трапеции $$S_{ABCD}=\frac{18+12}{2}*2=30$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 1965

Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 18 и 12, одна из бо­ко­вых сто­рон равна 6, а синус угла между ней и одним из ос­но­ва­ний равен $$\frac{1}{3}$$. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Ответ: 30
Скрыть

  1. Опустим высоту CE. Пусть $$\sin D=\frac{1}{3}$$, тогда из прямоугольного треугольника CED: $$CE=CD*\sin D=2$$
  2. Из формулы площади трапеции: $$S_{ABCD}=\frac{18+12}{2}*2=30$$