ОГЭ
Задание 1965
Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 6, а синус угла между ней и одним из оснований равен $$\frac{1}{3}$$. Найдите площадь трапеции.
- Опустим высоту CE. Пусть $$\sin D=\frac{1}{3}$$, тогда из прямоугольного треугольника CED: $$CE=CD*\sin D=2$$
- Из формулы площади трапеции: $$S_{ABCD}=\frac{18+12}{2}*2=30$$
Задание 1966
Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 6, а косинус угла между ней и одним из оснований равен $$\frac{2\sqrt{2}}{3}$$. Найдите площадь трапеции.
- Пусть $$\cos D =\frac{2\sqrt{2}}{3}$$, опустим высоту CE. Тогда из треугольника CED: $$ED=CD*\cos D=6*\frac{2\sqrt{2}}{3}=4\sqrt{2}$$
- По теореме Пифагора из треугольника CED: $$CE=\sqrt{6^{2}-(4\sqrt{2})^{2}}=2$$
- Из формулы площади трапеции $$S_{ABCD}=\frac{18+12}{2}*2=30$$
Задание 1967
Средняя линия трапеции равна 11, а меньше основание равно 5. Найдите большее основание трапеции.
Пусть a - большее основание, тогда из формулы длины средней линии трапеции : $$a=2*11-5=17$$
Задание 1968
Боковая сторона трапеции равна 5, а один из прилегающих к ней углов равен 30°. Найдите площадь трапеции, если её основания равны 3 и 9.
- Пусть $$\angle D=30^{\circ}$$. Опустим высоту CE, тогда из прямоугольного треугольника CED: $$CE=CD*\sin D=2,5$$
- По формуле площади трапеции $$S_{ABCD}=\frac{3+9}{2}*2,5=15$$
Задание 1969
В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.
- Опустим высоты CE и BF. Тогда FE=BC=3, $$AF=ED=\frac{AD-FE}{2}=3$$ (из равенства прямоугольных треугольников ABF и CED)
- Пусть $$\angle D=45^{\circ}$$, тогда треугольник CED - равнобедренный ($$\angle ECD=90-45=45=\angle D$$), тогда CE=ED=3
- Из формулы площади трапеции: $$S_{ABCD}=\frac{3+9}{2}*3=18$$
Задание 1971
Основания равнобедренной трапеции равны 5 и 17, а ее боковые стороны равны 10. Найдите площадь трапеции.
- Опустим высоты BF и CE, тогда треугольники ABF и CED равны по гипотенузе и катету, следовательно, FE=BC=5, $$AF=ED=\frac{AD-BC}{2}=6$$
- Из прямоугольного треугольника ABF по теореме Пифагора $$BF=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$$
- Площадь трапеции ABCD: $$S=\frac{5+17}{2}*8=88$$
Задание 1972
Основания трапеции равны 1 и 13, одна из боковых сторон равна $$15\sqrt{2}$$, а угол между ней и одним из оснований равен 135°. Найдите площадь трапеции.
- Пусть $$\angle C=135^{\circ}, CD=15\sqrt{2}$$. Опустим высоту CE , тогда $$\angle ECD=135-90=45^{\circ}$$, следовательно, треугольник CDE - прямоугольный и равнобедренный
- Из треугольника CDE -$$CE=CD*\sin ECD=15\sqrt{2}*\frac{\sqrt{2}}{2}=15$$
- Площадь трапеции $$S_{ABCD}=\frac{1+13}{2}*15=105$$
Задание 1973
В трапеции ABCD AD = 5, BC = 2, а её площадь равна 28. Найдите площадь трапеции BCNM, где MN – средняя линия трапеции ABCD.
- Из формулы площади трапеции $$BE=\frac{2S_{ABCD}}{AD+BC}=\frac{2*28}{5+2}=8$$
- $$BF=FE=\frac{1}{2}BE=4$$ так как MN - средняя линия трапеции, $$MN=\frac{BC+AD}{2}=\frac{2+5}{2}=3,5$$
- Площадь трапеции BCNM: $$S=\frac{BC+MN}{2}*BF=\frac{2+3,5}{2}*4=11$$
Задание 1974
В трапеции ABCD AD = 3, BC = 1, а её площадь равна 12. Найдите площадь треугольника ABC.
- Из площади трапеции $$AE=\frac{2S_{ABCD}}{BC+AD}=\frac{2*12}{3+1}=6$$
- Из формулы площади треугольника: $$S_{ABC}=\frac{1}{2}BC*AE=\frac{1}{2}*6*1=3$$
Задание 3136
Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке |
$$S=\frac{a+b}{2}*h=\frac{21+64+76}{2}*48=3864$$
Задание 5266
Площадь трапеции вычисляется как полусумму оснований на высоту: $$S = \frac{7+9+12}{2}*12=168$$
Задание 8393
Найдите площадь прямоугольной трапеции, одна из боковых сторон которой равна 7, а радиус окружности, вписанной в эту трапецию, равен 3.