ОГЭ
Задание 2412
Из пунктов А и В, расстояние между которыми 19 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода и встретились в 9 км от А. Найдите скорость пешехода, шедшего из А, если известно, что он шёл со скоростью, на 1 км/ч большей, чем пешеход, шедший из В, и сделал в пути получасовую остановку.
Пусть х км/ч - скорость пешехода, шедшего из А, х-1 км/ч - скорость пешехода, шедшего из В. Так как они встретились в 9 км от А, то из В прошел 10 км. То есть время из А $$t_{1}=\frac{9}{x}$$ часов, время из В $$t_{2}=\frac{10}{x-1}$$ часов. Так как из А делал остановку на полчаса и вышли они одновременно, то время движения из В на полчаса больше, то есть:
$$\frac{10}{x-1}-\frac{9}{x}=\frac{1}{2}|*2x(x-1)\Leftrightarrow$$$$20x-18x+18=x^{2}-x\Leftrightarrow$$$$x^{2}-3x-18=0\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=3\\x_{1}*x_{2}=-18 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left[\begin{matrix}x_{1}=6\\x_{2}=-3\end{matrix}\right.$$. Скорость не может быть отрицательной, следовательно, она составляла 6 км/ч
Задание 2413
Расстояние между городами А и В равно 375 км. Город С находится между городами А и В. Из города А в город В выехал автомобиль, а через 1 час 30 минут следом за ним со скоростью 75 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он вернулся в А, автомобиль прибыл в В. Найдите расстояние от А до С.
Пусть х км/ч - скорость автомобиля, у км - расстояние до пункта С, следовательно, расстояние от С до В 375-у км. Так как объекты двигаются друг за другом и встречаются в пункте С, то $$\frac{y}{x}-\frac{y}{75}=1,5$$ часа (разница во времени составляет те самые 1,5 часа). Так как от С в В автомобиль и из С в А мотоцикл прибыли одновременно, то $$\frac{y}{75}=\frac{375-y}{x}$$.
Выразим в первом уравнении у через х: $$\frac{y}{x}-\frac{y}{75}=1,5\Leftrightarrow$$$$y(\frac{1}{x}-\frac{1}{75})=\frac{3}{2}\Leftrightarrow$$$$y*\frac{75-x}{75x}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow$$$$y=\frac{225x}{150-2x}$$
Подставим во второе: $$\frac{\frac{225x}{150-2x}}{75}=\frac{375-\frac{225x}{150-2x}}{x}\Leftrightarrow$$$$\frac{225x}{(150-2x)75}=\frac{375(150-2x)-225}{x(150-2x)}|*\frac{150-2x}{75}\Leftrightarrow$$$$\frac{3x}{75}=\frac{5(150-2x)-3x}{x}\Leftrightarrow$$$$3x^{2}=(750-13x)75|:3\Leftrightarrow$$$$x^{2}+325x-18750=0\Leftrightarrow$$$$D=105625+75000=180625=425^{2}\Rightarrow$$$$x_{1}=\frac{-325+425}{2}=50 ,x_{2}<0$$, следовательно, скорость автомобиля составляла 50 км/ч, тогда $$y=\frac{225*50}{150-2*50}=225$$км
Задание 2415
Расстояние между городами А и В равно 750 км. Из города А в город В со скоростью 50 км/ч выехал первый автомобиль, а через три часа после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 70 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся?
За три часа первый пройдет $$3*50=150$$км, следовательно, между автомобилями останется $$750-150=600$$км. Тогда, встретятся они через $$\frac{600}{70+50}=5$$ часов. То есть автомобиль из А в дороге будет $$3+5=8$$ часов, и пройдет $$8*50=400$$ км
Задание 2416
Железнодорожный состав длиной в 1 км прошёл бы мимо столба за 1 мин., а через туннель (от входа локомотива до выхода последнего вагона) при той же скорости — за 3 мин. Какова длина туннеля (в км)?
Так как состав прошел мимо столба за одну минуту (по факту он проходит свою же длину), то его скорость можно вычислить как $$1*60=60$$ км/ч (умножили длину на количество минут в часе). Проходя же через туннель поезд проезжает сначала длину туннеля, затем свою собственную. Пусть длина туннеля х км, тогда выразим время, как отношения расстояния к скорости: $$\frac{x+1}{60}=\frac{3}{60}|*60\Leftrightarrow$$$$x+1=3\Leftrightarrow$$$$x=2$$км.
Задание 2417
Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 13 км, вышел пешеход. Одновременно с ним из В в А выехал велосипедист. Велосипедист ехал со скоростью, на 11 км/ч большей скорости пешехода, и сделал в пути получасовую остановку. Найдите скорость пешехода, если известно, что они встретились в 8 км от пункта В.
Пусть х км/ч - скорость пешехода, тогда х+11 км/ч - скорость велосипедиста. Так как встретились в 8 км от В, то расстояние от А составляло $$13-8=5$$км, тогда время движения пешехода $$t_{1}=\frac{5}{x}$$ часов, время движения велосипедиста $$t_{2}=\frac{8}{x+11}$$. Так как выехал одновременно, но сделал получасовую остановку велосипедист, то время его движения будет на эти полчаса меньше, то есть:
$$\frac{5}{x}-\frac{8}{x+11}=\frac{1}{2}|*2x(x+11)\Leftrightarrow$$$$10(x+11)-16x=x^{2}+11x\Leftrightarrow$$$$x^{2}+17x-110=0\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-17\\x_{1}*x_{2}=-110 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x_{1}=-22\\x_{2}=5\end{matrix}\right.$$. Скорость не может быть отрицательной, следовательно, скорость пешехода составляла 5 км/ч
Задание 2418
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 63 км/ч, проезжает мимо идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 3 км/ч пешехода за 57 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
Когда два объекта двигаются друг за другом, то можно рассмотреть ситуацию, когда тот, которого догоняют, стоит на месте, а тот, который догоняет, двигается относительно первого со скоростью, равной разности их первоначальных скоростей, то есть человек стоит, а поезд двигается относительно него со скоростью $$63-3=60$$ км/ч. Представим время в часах 57 секунд составляют $$\frac{57}{3600}$$ часа. Тогда длина состава и есть пройденное им расстояние $$S=60*\frac{57}{3600}=0,95$$ км, что в метрах составляет $$0,95*1000=950$$ метров
Задание 2419
Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 30 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 144 км, скорость первого велосипедиста равна 24 км/ч, скорость второго — 28 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.
Пусть t часов - время, через которые встретились велосипедисты с момента выезда, тогда время движения второго и есть t, а время движения первого $$t-\frac{1}{2}$$ часа. Тогда первый пройдет расстояние $$s_{1}=24*(t-\frac{1}{2})$$ км, а второй пройдет $$s_{2}=28t$$ км, что в сумме даст общее расстояние в 144 км:
$$24t-12+28t=144\Leftrightarrow$$$$52t=156\Leftrightarrow$$$$t=3$$ часа двигался второй. Тогда расстояние, им пройденное, составит $$3*28=84$$ км
Задание 2420
Два велосипедиста одновременно отправляются в 60-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.
Путь х км/ч - скорость второго, тогда х+10 км/ч - скорость первого, тогда, время первого $$t_{1}=\frac{60}{x+10}$$ часов, $$t_{2}=\frac{60}{x}$$ часов - время второго. При этом второй ехал на 3 часа дольше, то есть :
$$\frac{60}{x}-\frac{60}{x+10}=3|*\frac{x(x+10)}{3}\Leftrightarrow$$$$20x+200-20x=x^{2}+10x\Leftrightarrow$$$$x^{2}+10x-200=0\Rightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-10\\x_{1}*x_{2}=-200 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x_{1}=-20\\x_{2}=10\end{matrix}\right.$$. Скорость не может быть отрицательной, следовательно, скорость второго составляла 10 км/ч.
Задание 2421
Первый велосипедист выехал из посёлка по шоссе со скоростью 18 км/ч. Через час после него со скоростью 16 км/ч из того же посёлка в том же направлении выехал второй велосипедист, а ещё через час — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 4 часа после этого догнал первого.
Пусть х км/ч - скорость третьего. К моменту выезда третьего первый проехал $$18*2=36$$ км, следовательно, третий его догонит через $$t_{1}=\frac{36}{x-18}$$ часов. Второй проехал $$16*1=16$$ км, тогда третий его догонит через $$t_{2}=\frac{16}{x-16}$$ часов. При этом разница во времени составляет 4 часа, то есть:
$$\frac{36}{x-18}-\frac{16}{x-16}=4|*\frac{(x-18)(x-16)}{4}\Leftrightarrow$$$$9(x-16)-4(x-18)=(x-16)(x-18)\Leftrightarrow$$$$9x-144-4x+72=x^{2}-34x+288\Leftrightarrow$$$$x^{2}-39x+360=0\Rightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=39\\x_{1}*x_{2}=360\end{matrix}\right.\Rightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x_{1}=24\\x_{2}=15\end{matrix}\right.$$Скорость не может быть 15 км/ч, так как он не смог бы догонять первых двух велосипедистов, следовательно, она составляла 24 км/ч
Задание 2422
Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого автомобилиста на 11 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 66 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 40 км/ч.
Пусть х км/ч - скорость первого, тогда х-11 км/ч - скорость второго на первой половине пути. Примем все расстояние за S км. Тогда, $$t_{1}=\frac{S}{x}$$ часов - время первого, $$t_{2}=\frac{0,5S}{x-11}+\frac{0,5S}{66}$$ часов - время второго. Велосипедисты прибыли одновременно, следовательно:
$$\frac{S}{x}=\frac{0,5S}{x-11}+\frac{0,5S}{66}|:S\Leftrightarrow$$$$\frac{1}{x}=\frac{0,5}{x-11}+\frac{0,5}{66}|*66x(x-11)\Leftrightarrow$$$$66(x-11)=33x+0,5x(x-11)|*2\Leftrightarrow$$$$132x-132*11=66x+x^{2}-11x\Leftrightarrow$$$$x^{2}-77x+1452=0\Rightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=77\\x_{1}*x_{2}=1452\end{matrix}\right.\Rightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x_{1}=33\\x_{2}=44\end{matrix}\right.$$, скорость должна быть более 40 км/ч, то есть 44 км/ч
Задание 2423
Из городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в В на 40 минут раньше, чем велосипедист приехал в А, а встретились они через 15 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из В в А велосипедист?
Пусть х частей расстояния/час - скорость велосипедиста, y - мотоциклиста, все расстояние примем за 1. Так как они встретились через 15 минут ($$\frac{15}{60}=\frac{1}{4}$$ часа), то $$\frac{1}{x+y}=\frac{1}{4}(*1)$$. Время, которое тратит мотоциклист на весь путь из А в В равно $$t_{1}=\frac{1}{y}$$ часов, велосипедист $$t_{2}=\frac{1}{x}$$ часов, и они различаются на 40 минут ($$\frac{2}{3}$$ часа), тогда: $$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{2}{3}(*2)$$.
Выразим в первом уравнении у через х:
$$\frac{1}{x+y}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow$$$$x+y=4\Leftrightarrow$$$$y=4-x$$. Подставим во второе:
$$\frac{1}{x}-\frac{1}{4-x}=\frac{2}{3}|*3x(4-x)\Leftrightarrow$$$$12-3x-3x=8x-2x^{2}\Leftrightarrow$$$$2x^{2}-14x+12=0|:2\Leftrightarrow$$$$x^{2}-7x+6=0\Rightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=7\\x_{1}*x_{2}=6\end{matrix}\right.\Rightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x_{1}=6\\x_{2}=1\end{matrix}\right.$$
При х=6 $$y=4-6=-2$$ - число отрицательное, не подходит
При х=1 $$y=4-1=3$$ - подходит, следовательно, скорость велосипедиста составляла 1 часть расстояния в час, то есть за час он преодолел все расстояние
Задание 2424
Первые 5 часов автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 3 часа — со скоростью 100 км/ч, а последние 4 часа — со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
За первые 5 часов прошел: $$5*60=300$$ км
За следующие 3 часа прошел: $$3*100=300$$ км
За оставшиеся 4 часа прошел: $$4*75=300$$ км
Тогда общий путь составил 900 км, а общее время 12 часов, следовательно, средняя скорость составила: $$\frac{900}{12}=75$$ км/ч
Задание 2425
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 1 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун прошёл первый круг 20 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 8 км/ч меньше скорости второго.
Пусть х км/ч - скорость первого, тогда х+8 км/ч - скорость второго. Пусть у км - один круг, тогда:
за час первый не дошел до конца круга 1 км, следовательно, $$1*x=y-1$$
второй прошел круг за 20 минут до часа, то есть за 40 минут ($$\frac{2}{3}$$ часа), следовательно, $$\frac{2}{3}*(x+8)=y$$. Подставим из второго уравнения в первое выражение вместо у:
$$x=\frac{2}{3}(x+8)-1|*3\Leftrightarrow$$$$3x=2x+16-3\Leftrightarrow$$$$x=13$$ км/ч - скорость первого
Задание 2426
Первые 300 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 300 км — со скоростью 100 км/ч, а последние 300 км — со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Время, потраченное на первые 300 км: $$\frac{300}{60}=5$$ часов
На следующие 300: $$\frac{300}{100}=3$$ часа
На последние 300: $$\frac{300}{75}=4$$ часа
Итого пройдено 900 км, а потрачено 12 часов, следовательно, средняя скорость составляет: $$\frac{900}{12}=75$$ км/ч
Задание 2427
Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 55 км/ч, а вторую — со скоростью 70 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Пусть 2у км - длина всей трассы, тогда время на первую половину $$t_{1}=\frac{y}{55}$$ часов, а время на вторую $$t_{2}=\frac{y}{70}$$ часов, тогда общее время $$t=\frac{y}{55}+\frac{y}{70}=\frac{14y+11y}{5*11*14}=\frac{5y}{11*14}$$ часов. Следовательно, средняя скорость составит: $$\frac{2y}{\frac{5y}{11*14}}=61,6$$ км/ч
Задание 2429
Дорога между пунктами A и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 14 км. Турист прошёл путь из А в В за 4 часа, из которых спуск занял 2 часа. С какой скоростью турист шёл на спуске, если его скорость на подъёме меньше его скорости на спуске на 3 км/ч?
Пусть x км/ч - скорость на спуске, тогда х-3 км/ч - скорость на подъеме. Пусть у км - длина подъема, тогда 14-у км - длина спуска. Получаем время на подъеме: $$\frac{y}{x-3}=2$$ часов, время на спуске: $$\frac{14-y}{x}=2$$ часов. Выразим из первого у через х:
$$\frac{y}{x-3}=2\Leftrightarrow$$$$y=2x-6$$. Подставим во второе уравнение:
$$\frac{14-2x+6}{x}=2\Leftrightarrow$$$$20-2x=2x\Leftrightarrow$$$$x=5$$ км/ч - скорость на спуске.
Задание 2430
Два человека одновременно отправляются из одного и того же места по одной дороге на прогулку до опушки леса, находящейся в 4 км от места отправления. Один идёт со скоростью 2,7 км/ч, а другой — со скоростью 4,5 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления произойдёт их встреча?
Пусть х км - расстояние от конечного пункта, на котором встретятся люди. Тогда первый пройдет 4-х км и затратит на это $$\frac{4-x}{2,7}$$ час, а второй пройдет 4+х км и затратит на это $$\frac{4+x}{4,5}$$ часа. Вышли они одновременно, остановок не делали, следовательно, их время равно:
$$\frac{4-x}{2,7}=\frac{4+x}{4,5}|*0,9\Leftrightarrow$$$$5(4-x)=3(4+x)\Leftrightarrow$$$$20-5x=12+3x\Leftrightarrow$$$$8=8x\Leftrightarrow$$$$x=1$$ км. Тогда от точки отправление будет $$4-1=3$$ км.
Задание 2432
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 100 км. Отдохнув, он отправился обратно в А, увеличив скорость на 15 км/ч. По пути он сделал остановку на 6 часов, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.
Пусть х км/ч - скорость велосипедиста в одну сторону, тогда х+15 км/ч - его скорость в обратную сторону. Время из А в В выражается как $$\frac{100}{x}$$ часов, время на обратный путь $$\frac{100}{x+15}$$ часов. Время движения в обратную сторону меньше времени движения из А в В на 6 часов (время остановки), тогда:
$$\frac{100}{x}-\frac{100}{x+15}=6|*\frac{x(x+15)}{2}\Leftrightarrow$$$$50(x+15)-50x=3x^{2}+45x\Leftrightarrow$$$$3x^{2}+15x-750=0|:3\Leftrightarrow$$$$x^{2}+5x-150=0\Rightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-5\\x_{1}*x_{2}=-150\end{matrix}\right.\Rightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x_{1}=-15\\x_{2}=10\end{matrix}\right.$$ - скорость не может быть отрицательной, следовательно, скорость из А в В составляла 10 км/ч
Задание 2668
Мимо наблюдателя поезд проходит за 10 секунд, а мимо моста длиной 400 метров - за 30 секунд. Считается, что поезд проходит мимо моста начиная с того момента, когда локомотив въезжает на мост, и кончая моментом, когда последний вагон покидает мост. Определите длину и скорость поезда.
Пусть х - длина поезда в км; у - скорость поезда в км/ч.
1) $$\frac{x}{y}=\frac{10}{3600}$$ | час - 3600 секунд $$\Rightarrow$$ 10 секунд=$$\frac{10}{3600}$$ часа |
2) $$\frac{0,4+x}{y}=\frac{30}{3600}$$ | передний вагон поезда проходит длину моста и длину поезда |
из (1) у=360х подставим во (2):
$$\frac{0,4+x}{360x}=\frac{1}{120}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$48+120x=360x$$ $$\Leftrightarrow$$ $$240x=48$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=0,2$$ $$\Rightarrow$$ $$y=360\cdot 0,2=72$$
Задание 3016
Расстояние между двумя городами скорый поезд проходит на 4 часа быстрее товарного и на 1 час быстрее пассажирского. Скорость товарного поезда составляет 5/8 скорости пассажирского и на 50 км/ч меньше скорости скорого. Найдите скорость скорого поезда.
Пусть x - v пассажир. $$\Rightarrow$$
$$\frac{5}{8}x$$ - v товарного $$\Rightarrow$$
$$\frac{5}{8}x+50$$ - v cкорого.
$$\left\{\begin{matrix}\frac{S}{(\frac{5}{8}x+50)}=\frac{S}{\frac{5x}{8}}-4\\\frac{S}{(\frac{5}{8}x+50)}=\frac{S}{x}-1\end{matrix}\right.$$
$$\frac{S}{\frac{5x}{8}}-4-(\frac{S}{x}-1=0$$
$$\frac{8S}{5x}-4-\frac{1S}{x}+1=0$$
$$\frac{S(8-5)}{5x}-3=0$$
$$\frac{3S}{5x}=3$$ $$\Rightarrow$$ $$3S=3\cdot5x$$
$$\Rightarrow$$ $$x=\frac{3S}{3\cdot 5}=\frac{S}{5}\Rightarrow$$
vпассажир - $$\frac{1}{5}$$ расстояния в час $$\Rightarrow$$ за 5 часов $$\Rightarrow$$ товарный за 8, скорого - за 4.
$$\frac{5}{8}x\cdot 8=(\frac{5}{8}x+50)\cdot 4$$
$$5x\cdot 8=\frac{5}{2}x+200$$
$$x=80$$
$$\frac{5}{8}\cdot 8+50=100$$ км/ч
Задание 3100
Первые 150 км автомобиль проехал с некоторой скоростью, а затем оставшееся расстояние в 1,6 раз больше того, что проехал, преодолел со скоростью на 4% меньшей. С какой скоростью он ехал сначала, если средняя скорость автомобиля на всем пути составила 48,75 км/час?
150 - 1ая часть пути
$$150\cdot1,6=240$$ - 2ая часть
$$\frac{150}{a}-t_{2}$$
$$\frac{240}{0,96a}-t_{2}$$
$$v_{cp}=\frac{150+240}{\frac{150}{a}+\frac{250}{a}}=48,75$$
$$\frac{390\cdot a}{400}=48,75$$ $$\Leftrightarrow$$ $$a=50$$
Задание 3406
Два поезда отправились одновременно из пунктов А и В навстречу друг другу. Скорость первого поезда на 10 км/ч больше скорости второго. Поезда встретились в 28 км от середины расстояния АВ. Если бы поезд отправился из А на 45 мин позже второго, то они встретились бы на середине расстояния АВ. Найдите расстояние АВ и скорости поездов.
Задание 3842
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя 1час, когда одному из них оставалось 3 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун прошёл первый круг 6 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 5 км/ч меньше скорости второго.
Пусть х - скорость второго, тогда $$x-5$$ - скорость первого. Длина круга тогда $$\frac{54}{60}x$$, т.к. второй прошел его за 54 минуты или $$\frac{54}{60}$$ часа.
Тогда $$\frac{54}{60}x-3$$ - расстояние, которое прошел первый за час, т.е.
$$\frac{54}{60}x-3=(x-5)\cdot1$$
$$\frac{54}{60}x-3=x-5$$
$$-3+5=x-\frac{54}{60}x$$
$$2=\frac{1}{10}x$$
$$x=20$$ $$\Rightarrow$$ $$x-5=20-5=15$$
Задание 4057
Два пешехода выходят навстречу друг другу и встречаются через 7 часов, причем скорость второго пешехода в два раза больше скорости первого. Через какое время произошла бы встреча, если бы первый пешеход увеличил свою скорость в 1,5 раза?
Пусть х - скорость первого, тогда 2х -скорость второго, пусть расстояние $$S=1$$, тогда время 7 часов равно:
$$\frac{1}{x+2x}=7\Leftrightarrow$$
$$\frac{1}{3x}=7\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{1}{21}$$
Если бы первый увеличил в 1,5 раза, то его скорость:
$$v_{1}=\frac{1}{21}\cdot1,5=\frac{1}{14}$$ и время встречи
$$\frac{1}{\frac{1}{14}+2\cdot\frac{1}{21}}=\frac{1}{\frac{3+4}{2\cdot3\cdot7}}=\frac{2\cdot3\cdot7}{7}=6$$
$$7-6=1$$ - разница во времени
Задание 5038
Первый велосипедист выехал из посёлка по шоссе со скоростью 21 км/ч. Через час после него со скоростьюи15 км/ч из того же посёлка в том же направлении выехал второй велосипедист, а ещё через час — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 9 часов после этого догнал первого.
Пусть х - скорость третьего. Время, за которое догонит второго: $$t_{2}=\frac{15\cdot1}{x-15}$$. Первого: $$t_{1}=\frac{21\cdot2}{x-21}$$
$$\frac{42}{x-21}-\frac{15}{x-15}=9$$; $$42x-42\cdot15-15x+21\cdot15=9(x^{2}-15x-21x+21\cdot15)$$; $$27x-315=9(x^{2}-36x+315)$$; $$3x-35=x^{2}-36x+315$$; $$x^{2}-39x+350=0$$
$$D=1521-1400=121$$; $$x_{1}=\frac{39+11}{2}=25$$; $$x_{2}=\frac{39-11}{2}=14$$ - не подходит.
Задание 5172
Дорога между пунктами А и В, длиной 36км, состоит из подъёма и спуска. Велосипедист, двигаясь на спуске со скоростью на 6км/ч большей, чем на подъёме, затрачивает на путь из А в В 2 ч 40 мин, а на обратный путь на 20 мин меньше. Найдите скорость велосипедиста на подъёме и на спуске.
Пусть расстояние первого подъема : y, тогда первый спуск 36-y. Пусть x - скорость на подъеме, тогда x + 6 - скорость на спуске. Получаем, что время в одну сторону: $$\frac{y}{x}+\frac{36-y}{x+6}=2\frac{2}{3}$$.Время в обратную сторону меньше на 20 минут, так же спуск и подъем меняются местами, тогда: $$\frac{y}{x+6}+\frac{36-y}{x}=2\frac{1}{3}$$. Вычтем из первого уравнения второе: $$\frac{y}{x}-\frac{y}{x+6}+\frac{36-y}{x+6}-\frac{36-y}{x}=\frac{1}{3}$$ $$y(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+6})+(36-y)(\frac{1}{x+6}-\frac{1}{x})=\frac{1}{3}$$ $$y(\frac{6}{x^{2}+6x})+(36-y)(\frac{-6}{x^{2}+6x})=\frac{1}{3}$$ $$(36+2y)(\frac{6}{x^{2}+6x})=\frac{1}{3}$$ $$36+2y=\frac{x^{2}+6x}{18}$$ $$y=\frac{x^{2}+6x+648}{36}$$ Выразим в первом уравнении также y через x: $$\frac{y(x+6)}{x^{2}+6x}+\frac{(36-y)x}{x^{2}+6x}=\frac{8}{3}$$ $$\frac{xy+6y+36x-xy}{x^{2}+6x}=\frac{8}{3}$$ $$3(6y+36x)=8(x^{2}+6x)$$ $$y=\frac{4x^{2}-30x}{9}$$ Уравняем полученные y: $$\frac{x^{2}+6x+648}{36}=\frac{4x^{2}-30x}{9} |*36$$ $$x^{2}+6x+648=16x^{2}-120x$$ $$5x^{2}-42x-216=0$$ $$x=12$$ В таком случае скорость на спуске: $$12+6=18$$
Задание 5222
Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью 15 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же поселка в том же направлении выехал второй велосипедист, а еще через час после этого — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 2 часа 20 минут после этого догнал первого.
Чтобы найти время, за которое догоняет первый объект второго, при учете различного времени выезда, необходимо воспользоваться формулой: $$t=\frac{v_{2}t_{1}}{v_{1}-v_{2}}$$, где $$v_{1}$$-скорость того, кто догоняет, $$v_{2}$$ - скорость того, которого догоняют, $$t_{1}$$-разница во времени выезда. Пусть x км/ч - скорость третьего. Тогда, время, за которое третий догонит второго: $$t_{1}=\frac{10*1}{x-10}$$,- время, за которое третий догонит первого: $$t_{2}=\frac{15*2}{x-15}$$. При этом $$t_{2}-t_{1}=2\frac{20}{60}$$ часов. $$\frac{15*2}{x-15}-\frac{10*1}{x-10}=2\frac{20}{60} \Leftrightarrow$$$$\frac{30}{x-15}-\frac{10}{x-10}=\frac{7}{3} |*3(x-15)(x-10) \Leftrightarrow$$$$3(30x-300-10x+150)=7(x^{2}-25x+150)\Leftrightarrow$$$$60x-450-7x^{2}+175x-1050=0|*(-1)\Leftrightarrow$$$$7x^{2}-235x+1500=0$$ Найдем корни уравнения через дискриминант: $$D=55225-42000=13225=115^{2}$$ $$x_{1}=\frac{235+115}{14}=25$$ $$x_{2}=\frac{235-115}{14}=\frac{60}{7}$$ - не подходит, так как скорость третьего должна быть больше, чем скорости первого и второго (иначе он их не сможет догонять)
Задание 5270
Из города А в город В с интервалом в 10 мин отправились три рейсовых автобуса. Первый автобус шел со скоростью на 5 км/ч меньше положенной, второй сохранял положенную скорость, а третий превышал ее на 6 км/ч. В результате все три автобуса пришли в Б одновременно. Определите расстояние между городами A и B.
Пусть скорость второго равна x км/ч, тогда скорость первого х-5 км/ч, скорость третьего х+6 км/ч. Пусть S - расстояние от А до В в км. Тогда: $$t_{1}=\frac{S}{x-5}$$ - время первого $$t_{2}=\frac{S}{x}$$ - время второго $$t_{3}=\frac{S}{x+6}$$ - время третьего Разница во времени у них составляет 10 минут, то есть $$\frac{1}{6}$$ часа. Получаем систему: $$\left\{\begin{matrix}t_{1}-t_{2}=\frac{1}{6}\\t_{2}-t_{3}= \frac{1}{6}\end{matrix}\right.$$ Подставим имеющиеся выражения: $$\left\{\begin{matrix}\frac{S}{x-5}-\frac{S}{x}=\frac{1}{6}\\\frac{S}{x}-\frac{S}{x+6}= \frac{1}{6}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{S(x-(x-5))}{(x(x-5)}=\frac{1}{6}\\\frac{S((x+6)-x)}{x(x+6)}= \frac{1}{6}\end{matrix}\right.$$ Поделим первое на второе: $$\frac{5}{x(x-5)} : \frac{6}{x(x+6)}= 1 \Leftrightarrow $$$$\frac{5(x+6)}{6(x-5)}=1 \Leftrightarrow $$$$5x+30=6x-30 \Leftrightarrow $$$$x=60$$ Подставим полученное значение в первое уравнение: $$\frac{S*5}{60*55}=\frac{1}{6} \Leftrightarrow $$$$30S=60*55 |:30 \Leftrightarrow$$$$S=110$$
Задание 5413
Из пункта А в пункт В с определённой скоростью выехал автомобилист. Если бы он ехал со скоростью на 12 км/ч меньше, то затратил бы на весь путь на один час больше, а если бы ехал со скоростью на 20 км/ч больше, то затратил бы на весь путь на один час меньше. С какой скоростью планировал проехать весь путь автомобилист?
Пусть х км\ч –скорость; у-расстояние, тогда время первого: $$\frac{y}{x }=t_{1}$$, время второго:$$\frac{y}{x -12}=t_{2}$$, время третьего: $$\frac{y}{x +70}=t_{3}$$. Составим систему уравнений в соответствии с условием задания: $$\left\{\begin{matrix}t_{2}-t_{1}=1 & & \\t_{1}-t_{3}=1 & &\end{matrix}\right. \Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}\frac{4}{x -12}-\frac{y}{x }=1 & & \\\frac{y}{x }-\frac{y}{x +20}=1 & &\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}y\left ( \frac{x -\left ( x -12 \right )}{\left ( x -12 \right )*x } \right )=1 & & \\y\left ( \frac{x +20-x }{x *\left ( x +20 \right )} \right )=1 & &\end{matrix}\right.;$$ Поделим первое уравнение на второе: $$\frac{12}{-x \left ( x -12 \right )}:\frac{20}{-x *\left ( x +20 \right )}=1;$$ $$\frac{3*\left ( x +20 \right )}{5*\left ( x -12 \right )}=1;$$ $$5x -60=3x +60;$$ $$2x =120\Rightarrow x =60;$$ км/ч скорость автобуса.
Задание 6164
Одновременно из пунктов А и С в пункт В отправляются два туриста. Через 4 часа они прибыли в пункт В. Второй турист каждый километр проходил на 3 минуты быстрее первого, так как путь от С до В на 4 км длиннее пути от А до В. Найдите скорость первого туриста.
Пусть x км –путь , тогда x+4 км-CB. Пусть y км\ч –скорость первого, z км\ч – скорость второго: $$\left\{\begin{matrix}\frac{x+4}{z}=4 & & \\\frac{x}{y}=4& & \\\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=\frac{3}{60} & &\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}z=\frac{x+4}{4} & & \\y=\frac{x}{4} & & \\\frac{4}{x}-\frac{4}{x+4}=\frac{1}{20} & &\end{matrix}\right.$$ $$\frac{4x+16-4x}{x^{2}+4x}=\frac{1}{20}\Leftrightarrow$$ $$\frac{16}{x^{2}+4x}=\frac{1}{20}\Leftrightarrow$$ $$x^{2}+4x-320=0$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-4 & & \\x_{1}x_{2}=-320& &\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x_{1}=-20 & & \\x_{2}=16& &\end{matrix}\right.$$ $$y=\frac{16}{4}=4$$
Задание 6258
Из пункта А в пункт В выехал грузовик. Через час из пункта А выехал легковой автомобиль. Через 2 часа после выезда он догнал грузовик и прибыл в пункт В на 3 часа раньше грузовика. Сколько времени грузовик ехал от А до В?
Пусть x-скорость авто,y-скорость грузовика, 1-расстояние от A до B. Тогда : Раз выехал через час, и догнал через 2, то грузовик ехал 3 часа и автомобиль 2 часа. Тогда пройденное расстояние у них одинаково: $$3y=2x(1)$$ Раз приехал на 3 часа раньше , то в пути был на 3+1=4 часа меньше и время автомобиля на 4 часа меньше, чем времени грузовика: $$\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=4(2)$$ Из (1): $$x=\frac{3y}{2}$$ подставим в (2): $$\frac{1}{y}-\frac{2}{3y}=4\Leftrightarrow$$ $$\frac{3-2}{3y}-4\Leftrightarrow 3y=\frac{1}{4}\Leftrightarrow$$ $$y=\frac{1}{12}$$ Тогда время грузовика: $$\frac{1}{\frac{1}{12}}=12$$ часов
Задание 6307
Велосипедист проехал 25 км. При этом один час он ехал по ровной дороге, а один час – в гору. Какова скорость (в км/ч) велосипедиста по ровной дороге, если каждый километр по ровной дороге он проезжал на 2 минуты быстрее, чем в гору?
Пусть t-время 1 км по дороге , тогда $$t+\frac{2}{60}$$-время 1 км. в гору. Тогда $$v_{1}=\frac{1}{t}$$-скорость по дороге, $$v_{2}=\frac{1}{t+\frac{1}{30}}$$-скорость в гору. Тогда $$1*\frac{1}{t}+1*\frac{1}{t+\frac{1}{30}}=25$$
$$\frac{1}{t}+\frac{30}{30t+1}=25\Leftrightarrow$$ $$30t+1+30t=25(30t^{2}+t)$$
$$750t^{2}+25t-60t-1=0$$
$$750t^{2}-35t-1=0$$
$$D=1225+3000=65^{2}$$
$$t_{1}=\frac{35+65}{1500}=\frac{1}{15}$$
$$t_{2}<0$$
Тогда $$v_{1}=\frac{1}{\frac{1}{5}}=15$$
Задание 6503
Два велосипедиста выезжают одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми 27 км. Через час велосипедисты встречаются и, не останавливаясь, продолжают ехать с той же скоростью. Первый прибывает в пункт В на 27 мин позже, чем второй в пункт А. Найдите скорость каждого велосипедиста.
Пусть y - скорость первого велосипедиста (в км\ч) , x - скорость второго. Раз через час встретились , то : $$\frac{27}{x+y}=1$$. Так как время певого на 27 минут меньше, то : $$\frac{27}{y}-\frac{27}{x}=\frac{27}{60}$$. Получим систему:
$$\left\{\begin{matrix}\frac{27}{x+y}=1\\\frac{27}{y}-\frac{27}{x}=\frac{27}{60}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x+y=27\\\frac{x-y}{xy}=\frac{1}{60}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=27-y\\\frac{27-y-y}{(27-y)y}=\frac{1}{60}\end{matrix}\right.$$
$$(27-2y)*60=y(27-y)\Leftrightarrow$$$$1620-120y-27y+y^{2}=0\Leftrightarrow$$$$y^{2}-147y+1620=0$$
$$D=21609-6480=15129=123^{2}$$
$$y_{1}=\frac{147-123}{2}=12\Rightarrow$$ $$x=27-12=15$$
$$y_{2}=\frac{147+123}{2}=135\Rightarrow$$ $$x<0$$ – не подходит
Задание 6597
Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 48 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 168 км, скорость первого велосипедиста равна 15 км/ч, скорость второго — 30 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи
Пусть t часов –время движения второго, тогда $$t-\frac{48}{60}$$ часов –первого . Тогда : $$15(t-\frac{4}{5})+30t=168|:3\Leftrightarrow$$ $$5t-4+10t=56\Leftrightarrow$$$$15t=60\Leftrightarrow t=4$$ часа, тогда расстояние, пройденное вторым: $$S=4*30=120$$(км)
Задание 6645
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 141 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 6 км/ч, за 8 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
Пусть пешеход стоит, тогда скорость поезда относительно него : $$141-6=135$$ км\ч. Переведем секунды в часы: 6 c =$$\frac{8}{3600}$$ часа =$$\frac{1}{450}$$ часа Найдем длину по формуле расстояния: $$S=v*t=135*\frac{1}{450}=0,3$$ км = 300 метров
Задание 6786
Из пункта А круговой трассы выехал велосипедист. Через 20 минут он ещё не вернулся в пункт А, откуда следом за ним отправился мотоциклист. Через 15 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а ещё через 40 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 40 км.
Пусть x-км\ч - скорость велосипедиста, y км\ч - мотоциклиста. Тогда: $$\frac{35}{60}x=\frac{15}{60}y$$ (догнал через 15 минут, выехал на 20 минут позже) и $$\frac{40}{60}y-\frac{40}{60}x=40$$ (через 40 минут опережал на круг)
$$\left\{\begin{matrix}\frac{7}{12}x=\frac{1}{4}y\\\frac{y}{60}-\frac{x}{60}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}7x=3y\\y-x=60\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y=60+x\\7x=180+3x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y=105\\x=45\end{matrix}\right.$$
Задание 6857
Иван шёл от дома до автобусной остановки пешком со скоростью 4 км/ч, затем ехал на автобусе до школы со скоростью 30 км/ч и затратил на весь путь 1 час. Обратно из школы он ехал на автобусе со скоростью 36 км/ч и шёл пешком от остановки до дома со скоростью 3 км/ч. На обратную дорогу он потратил 1 час 5 мин. Найти путь, который Иван проехал на автобусе, и расстояние от дома до остановки.
Пусть x км.-расстояние от дома до остановки , y км - от остановки до школы, тогда ( с учетом , что $$t=\frac{S}{v}$$):
$$\left\{\begin{matrix}\frac{x}{4}+\frac{y}{30}=1\\\frac{y}{36}+\frac{x}{3}=1\frac{5}{60}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{x}{4}+\frac{y}{30}=1|*60\\\frac{y}{36}+\frac{x}{3}=\frac{13}{12}|*36\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}15x+2y=60\\y+12x=39\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2y+15x=60\\2y+24x=78\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$24x-15x=78-60\Leftrightarrow$$ $$x=2\Rightarrow$$ $$y+12*2=39\Leftrightarrow$$ $$y=15$$
Задание 6905
Из А в В и из В в А одновременно вышли два пешехода. Когда первый прошел половину пути, второму до конца пути осталось пройти 24 км, а когда второй прошел половину пути, первому до конца пути осталось пройти 15 км. Сколько километров остаётся пройти второму пешеходу после того, как первый закончит переход?
Пусть S –длина пути(км) , x км\ч- скорость первого , y (км\ч) –скорость второго, тогда:
$$\left\{\begin{matrix}\frac{S}{2x}=\frac{S-24}{y}\\\frac{S}{2y}=\frac{S-15}{x}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{Sy}{2x}=S-24\\\frac{Sx}{2y}=S-15\end{matrix}\right.$$
Умножим первое на второе:
$$\frac{S^{2}}{4}=(S-24)(S-15)\Leftrightarrow$$ $$S^{2}-52 S+480=0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}S_{1}+S_{2}=52\\S_{1}*S_{2}=480\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}S_{1}=40\\S_{2}=14\end{matrix}\right.$$
$$S_{2}<24\Rightarrow$$ $$S=40\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{20y}{x}=16\\\frac{20x}{y}=25\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}16x=20y\\20x=25y\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x=1,25y$$
Тогда второй пройдет :$$\frac{S}{x}*y=\frac{40}{1,25y}*y=32\Rightarrow$$ ему останется 40-32=8 км.
Задание 6953
Скорость автомобиля по ровному участку на 5 км/ч меньше, чем скорость под гору, и на 15 км/ч больше, чем скорость в гору. Дорога из A в B идет в гору и равна 100 км. Определить скорость автомобиля по ровному участку, если расстояние от A до B и обратно он проехал за 1 ч 50 мин.?
Пусть x км\ч – скорость по ровному участку , тогда x+5 км\ч –под гору; x-15 км\ч-в гору
Время в гору: $$\frac{100}{x-5}$$; под гору: $$\frac{100}{x+5}$$;
Получим: $$\frac{100}{x-15}+\frac{100}{x+15}=1\frac{50}{60}=\frac{11}{6}$$ $$100(\frac{x+5+x-15}{(x-15)(x+6)})=\frac{11}{6}$$$$\Leftrightarrow$$ $$6*100(2x-10)=11(x^{2}-10x-75)\Leftrightarrow$$$$11x^{2}-110x-825=1200x-6000\Leftrightarrow$$$$11x^{2}-1310x+5175=0$$
$$D=1716100-227700=1220^{2}$$
Тогда в ответ запишем 115
Задание 7087
Два бегуна стартовали один за другим с интервалом в 2 мин. Второй бегун догнал первого на расстоянии 1 км от точки старта, а пробежав еще 4 км, он повернул обратно и встретился снова с первым бегуном через 20 мин после старта первого бегуна. Найдите скорость второго бегуна.
Пусть x км\ч –скорость первого, у км\ч –второго. Первый пробегает 1 км за $$\frac{1}{x}$$ часов, второй $$\frac{1}{y}$$ ч. Тогда $$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{2}{60}$$
Далее первый был в пути 20 минут и пробежал $$\frac{20}{60} x=\frac{1}{3}x$$, второй - 18 минут, то есть $$\frac{18}{60}y=\frac{3y}{10}$$ км. Если взять за S км . расстояние , которое пробежал второй в обратную , то получим , что первый пробежал 5-S , второй 5+S $$\Rightarrow$$ в сумме 10км. Тогда :
$$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{30}\\\frac{1}{3}x+\frac{3y}{10}=10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{30}\\10x+9y=300\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{30}\\x=\frac{300-9y}{10}\end{matrix}\right.$$
$$\frac{10}{300-9y}-\frac{1}{y}=\frac{1}{30}\Leftrightarrow$$ $$\frac{10y-300+9y}{300y-9y^{2}}=\frac{1}{30}\Leftrightarrow$$ $$\frac{19y-300}{100y-3y^{2}}=\frac{1}{10}\Leftrightarrow$$ $$190y-3000=100y-3y^{2} \Leftrightarrow$$$$3y^{2}+90y-3000=0\Leftrightarrow$$ $$y^{2}+30y-1000=0\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}y_{1}+y_{2}=-30\\y_{1}*y_{2}=-1000\end{matrix}\right.$$$$\left[\begin{matrix}y_{1}=-50<0\\y_{2}=20\end{matrix}\right.$$
Задание 7309
Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В и, встретившись через 50 мин, без остановки продолжили движение, каждый в своём направлении. За какое время проходит путь между А и В каждый из пешеходов, если известно, что первый пришел в В на 4 часа раньше, чем второй пришел в А?
Задание 7393
Два поезда отправились одновременно из А в В навстречу друг другу. Скорость первого поезда на 10 км/ч больше скорости второго. Поезда встретились в 28 км от середины расстояния АВ. Если бы первый поезд отправился из А на 45 минут позже второго, то они встретились бы на середине расстояния АВ. Найдите расстояние АВ и скорости обоих поездов.
Задание 7665
Пешеход и велосипедист отправляются одновременно навстречу друг другу из городов А и В, расстояние между которыми 40 км, и встречаются спустя 2 ч после отправления. Затем они продолжают путь, причем велосипедист прибывает в А на 7 ч 30 мин раньше, чем пешеход в В. Найдите скорости пешехода и велосипедиста, полагая, что оба все время двигались с неизменными скоростями.
Задание 7809
Автомобиль, идущий со скоростью 100 км/ч, выехал из пункта А в пункт В и в пункте С встретился с велосипедистом , выехавшим на полтора часа раньше из пункта В в пункт А со скоростью 10 км/ч. Если бы скорость автомобиля была на 20 км/ч больше, а скорость велосипедиста на 5 км/ч больше, то встреча произошла бы на 10км ближе к пункту А. Найдите расстояние от В до С.
Задание 8475
Расстояние между городами A и B равно 120 км. Город C находится между городами A и B. Из города A в город выехал автомобиль, а через 36 минут следом за ним со скоростью 75 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе C и повернул обратно. Когда он проехал половину пути из C в B, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние (в км) от A до C .
Задание 8527
Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 51 минуту, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 251 км, скорость первого велосипедиста равна 10 км/ч, скорость второго – 20 км/ч. Определите расстояние (в км) от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.
Задание 8579
Из пунктов A и B, расстояние между которыми равно 27 км, вышли одновременно навстречу друг другу два туриста и встретились в 12 км от пункта. Турист, шедший из A в B, сделал в пути получасовую остановку. Найдите скорость (в км/ч) туриста, шедшего из B, если известно, что он шёл со скоростью, на 2 км/ч меньшей, чем первый турист.
Задание 9193
По двум параллельным железнодорожным путям навстречу друг другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 40 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 350 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошёл мимо пассажирского, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах.
Задание 9265
Два человека одновременно отправляются из одного и того же места по одной дороге на прогулку до опушки леса, находящейся в 3,7 км от места отправления. Один идёт со скоростью 3,3 км/ч, а другой – со скоростью 4,1 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии (в км) от точки отправления произойдёт их встреча?
Задание 9735
По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 60 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 900 метрам. Найдите длину пассажирского поезда (в метрах), если время, за которое он проходит мимо товарного поезда, равно трём минутам
Задание 10372
Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми равно 34 км, выехал велосипедист. Одновременно с ним из B в A вышел пешеход. Велосипедист ехал со скоростью на 8 км/ч большей скорости пешехода и сделал по пути получасовую остановку. Найдите скорость (в км/ч) велосипедиста, если известно, что они встретились в 10 км от пункта B .
Задание 10958
Два велосипедиста одновременно отправляются в 60-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает на финиш на 3 часа раньше второго. Найдите скорость (в км/ч) велосипедиста, приехавшего к финишу вторым.
Задание 10981
Два велосипедиста одновременно отправляются в 208-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 3 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым.
Пусть $$x$$ км/ч - скорость быстрого, тогда $$x-3$$ - скорость медленного. Тогда $$\frac{208}{x-3}-\frac{208}{x}=3\leftrightarrow 208x-208x+208\cdot 3=3x(x-3)\to$$ $$\to x^2-3x-208=0\leftrightarrow D=29^2$$
Получим два корня: $$x_1=\frac{3+2}{2}=16; x_2<0$$. Значит ответ: 16.
Задание 11042
Пусть x км/ч - скорость второго, тогда $$x+2$$ км/ч - скорость первого. Получим: $$\frac{224}{x}-\frac{222}{x+2}=2\leftrightarrow 112(x+2)-112x=1(x^2+2x)\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow 112x+224-112x=x^2+2x\leftrightarrow x^2+2x-224=0$$
Решаем по теореме Виета:
1) $$x_1+x_2=-2\to x_1=-16<0$$
2) $$x_1x_2=-224\to x_2=14$$ - ответ.
Задание 11191
Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 51 минуту, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 251 км, скорость первого велосипедиста равна 10 км/ч, скорость второго — 20 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.
Задание 11213
Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 28 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 286 км, скорость первого велосипедиста равна 10 км/ч, скорость второго — 30 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.
Задание 11558
По двум параллельным железнодорожным путям навстречу друг другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 40 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 350 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошёл мимо пассажирского, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах.
Задание 11645
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 1 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун прошёл первый круг 20 минут назад. Найдите скорость (в км/ч) первого бегуна, если известно, что она на 8 км/ч меньше скорости второго.
Задание 12021
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 1 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 3 минуты назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 2 км/ч меньше скорости второго.
Задание 12042
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 4 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 6 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 6 км/ч меньше скорости второго.
Задание 12105
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 180 км. Отдохнув, он отправился обратно в А, увеличив скорость на 5 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.
Задание 12126
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 224 км. Отдохнув, он отправился обратно в А, увеличив скорость на 2 км/ч. По пути он сделал остановку на 2 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.
Задание 13026
Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 30 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью, большей скорости первого на 9 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста.
Задание 13048
Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 55 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью, большей скорости первого на 6 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста.
Задание 13244
Из пункта A в пункт , расстояние между которыми 34 км, вышел пешеход. Через полчаса навстречу ему из B в А выехал велосипедист. Велосипедист ехал со скоростью, на 8 км/ч большей скорости пешехода. Найдите скорость (в км/ч) велосипедиста, если известно, что они встретились в 10 км от пункта A .
Задание 13270
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 209 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 8 км/ч. По пути он сделал остановку на 8 часов, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А.
Задание 13291
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 112 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 9 км/ч. По пути он сделал остановку на 4 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А.
Задание 13479
Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 51 минуту, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 251 км, скорость первого велосипедиста равна 10 км/ч, скорость второго — 20 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.
Задание 13502
Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 28 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 286 км, скорость первого велосипедиста равна 10 км/ч, скорость второго — 30 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.
Задание 13606
По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 60 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 900 метрам. Найдите длину (в метрах) пассажирского поезда, если время, за которое он прошёл мимо товарного поезда, равно 3 минутам.
Задание 13819
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя 20 минут, когда одному из них оставалось 400 м до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 1 минуту назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 2 км/ч меньше скорости второго.
Задание 13884
Из A в B одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого автомобилиста на 11 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 66 км/ч, в результате чего прибыл в B одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость (в км/ч) первого автомобилиста, если известно, что она больше 40 км/ч.
Задание 13924
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя 20 минут, когда одному из них оставалось 400 м до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 2 минуты назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 3 км/ч меньше скорости второго.
Задание 13946
По двум параллельным железнодорожным путям навстречу друг другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 40 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 350 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошёл мимо пассажирского, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах.