ОГЭ
Задание 2412
Из пунктов А и В, расстояние между которыми 19 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода и встретились в 9 км от А. Найдите скорость пешехода, шедшего из А, если известно, что он шёл со скоростью, на 1 км/ч большей, чем пешеход, шедший из В, и сделал в пути получасовую остановку.
Пусть х км/ч - скорость пешехода, шедшего из А, х-1 км/ч - скорость пешехода, шедшего из В. Так как они встретились в 9 км от А, то из В прошел 10 км. То есть время из А $$t_{1}=\frac{9}{x}$$ часов, время из В $$t_{2}=\frac{10}{x-1}$$ часов. Так как из А делал остановку на полчаса и вышли они одновременно, то время движения из В на полчаса больше, то есть:
$$\frac{10}{x-1}-\frac{9}{x}=\frac{1}{2}|*2x(x-1)\Leftrightarrow$$$$20x-18x+18=x^{2}-x\Leftrightarrow$$$$x^{2}-3x-18=0\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=3\\x_{1}*x_{2}=-18 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left[\begin{matrix}x_{1}=6\\x_{2}=-3\end{matrix}\right.$$. Скорость не может быть отрицательной, следовательно, она составляла 6 км/ч
Задание 2413
Расстояние между городами А и В равно 375 км. Город С находится между городами А и В. Из города А в город В выехал автомобиль, а через 1 час 30 минут следом за ним со скоростью 75 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он вернулся в А, автомобиль прибыл в В. Найдите расстояние от А до С.
Пусть х км/ч - скорость автомобиля, у км - расстояние до пункта С, следовательно, расстояние от С до В 375-у км. Так как объекты двигаются друг за другом и встречаются в пункте С, то $$\frac{y}{x}-\frac{y}{75}=1,5$$ часа (разница во времени составляет те самые 1,5 часа). Так как от С в В автомобиль и из С в А мотоцикл прибыли одновременно, то $$\frac{y}{75}=\frac{375-y}{x}$$.
Выразим в первом уравнении у через х: $$\frac{y}{x}-\frac{y}{75}=1,5\Leftrightarrow$$$$y(\frac{1}{x}-\frac{1}{75})=\frac{3}{2}\Leftrightarrow$$$$y*\frac{75-x}{75x}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow$$$$y=\frac{225x}{150-2x}$$
Подставим во второе: $$\frac{\frac{225x}{150-2x}}{75}=\frac{375-\frac{225x}{150-2x}}{x}\Leftrightarrow$$$$\frac{225x}{(150-2x)75}=\frac{375(150-2x)-225}{x(150-2x)}|*\frac{150-2x}{75}\Leftrightarrow$$$$\frac{3x}{75}=\frac{5(150-2x)-3x}{x}\Leftrightarrow$$$$3x^{2}=(750-13x)75|:3\Leftrightarrow$$$$x^{2}+325x-18750=0\Leftrightarrow$$$$D=105625+75000=180625=425^{2}\Rightarrow$$$$x_{1}=\frac{-325+425}{2}=50 ,x_{2}<0$$, следовательно, скорость автомобиля составляла 50 км/ч, тогда $$y=\frac{225*50}{150-2*50}=225$$км
Задание 2415
Расстояние между городами А и В равно 750 км. Из города А в город В со скоростью 50 км/ч выехал первый автомобиль, а через три часа после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 70 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся?
За три часа первый пройдет $$3*50=150$$км, следовательно, между автомобилями останется $$750-150=600$$км. Тогда, встретятся они через $$\frac{600}{70+50}=5$$ часов. То есть автомобиль из А в дороге будет $$3+5=8$$ часов, и пройдет $$8*50=400$$ км
Задание 2416
Железнодорожный состав длиной в 1 км прошёл бы мимо столба за 1 мин., а через туннель (от входа локомотива до выхода последнего вагона) при той же скорости — за 3 мин. Какова длина туннеля (в км)?
Так как состав прошел мимо столба за одну минуту (по факту он проходит свою же длину), то его скорость можно вычислить как $$1*60=60$$ км/ч (умножили длину на количество минут в часе). Проходя же через туннель поезд проезжает сначала длину туннеля, затем свою собственную. Пусть длина туннеля х км, тогда выразим время, как отношения расстояния к скорости: $$\frac{x+1}{60}=\frac{3}{60}|*60\Leftrightarrow$$$$x+1=3\Leftrightarrow$$$$x=2$$км.
Задание 2417
Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 13 км, вышел пешеход. Одновременно с ним из В в А выехал велосипедист. Велосипедист ехал со скоростью, на 11 км/ч большей скорости пешехода, и сделал в пути получасовую остановку. Найдите скорость пешехода, если известно, что они встретились в 8 км от пункта В.
Пусть х км/ч - скорость пешехода, тогда х+11 км/ч - скорость велосипедиста. Так как встретились в 8 км от В, то расстояние от А составляло $$13-8=5$$км, тогда время движения пешехода $$t_{1}=\frac{5}{x}$$ часов, время движения велосипедиста $$t_{2}=\frac{8}{x+11}$$. Так как выехал одновременно, но сделал получасовую остановку велосипедист, то время его движения будет на эти полчаса меньше, то есть:
$$\frac{5}{x}-\frac{8}{x+11}=\frac{1}{2}|*2x(x+11)\Leftrightarrow$$$$10(x+11)-16x=x^{2}+11x\Leftrightarrow$$$$x^{2}+17x-110=0\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-17\\x_{1}*x_{2}=-110 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x_{1}=-22\\x_{2}=5\end{matrix}\right.$$. Скорость не может быть отрицательной, следовательно, скорость пешехода составляла 5 км/ч
Задание 2418
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 63 км/ч, проезжает мимо идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 3 км/ч пешехода за 57 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
Когда два объекта двигаются друг за другом, то можно рассмотреть ситуацию, когда тот, которого догоняют, стоит на месте, а тот, который догоняет, двигается относительно первого со скоростью, равной разности их первоначальных скоростей, то есть человек стоит, а поезд двигается относительно него со скоростью $$63-3=60$$ км/ч. Представим время в часах 57 секунд составляют $$\frac{57}{3600}$$ часа. Тогда длина состава и есть пройденное им расстояние $$S=60*\frac{57}{3600}=0,95$$ км, что в метрах составляет $$0,95*1000=950$$ метров
Задание 2419
Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 30 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 144 км, скорость первого велосипедиста равна 24 км/ч, скорость второго — 28 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.
Пусть t часов - время, через которые встретились велосипедисты с момента выезда, тогда время движения второго и есть t, а время движения первого $$t-\frac{1}{2}$$ часа. Тогда первый пройдет расстояние $$s_{1}=24*(t-\frac{1}{2})$$ км, а второй пройдет $$s_{2}=28t$$ км, что в сумме даст общее расстояние в 144 км:
$$24t-12+28t=144\Leftrightarrow$$$$52t=156\Leftrightarrow$$$$t=3$$ часа двигался второй. Тогда расстояние, им пройденное, составит $$3*28=84$$ км
Задание 2420
Два велосипедиста одновременно отправляются в 60-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.
Путь х км/ч - скорость второго, тогда х+10 км/ч - скорость первого, тогда, время первого $$t_{1}=\frac{60}{x+10}$$ часов, $$t_{2}=\frac{60}{x}$$ часов - время второго. При этом второй ехал на 3 часа дольше, то есть :
$$\frac{60}{x}-\frac{60}{x+10}=3|*\frac{x(x+10)}{3}\Leftrightarrow$$$$20x+200-20x=x^{2}+10x\Leftrightarrow$$$$x^{2}+10x-200=0\Rightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-10\\x_{1}*x_{2}=-200 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x_{1}=-20\\x_{2}=10\end{matrix}\right.$$. Скорость не может быть отрицательной, следовательно, скорость второго составляла 10 км/ч.
Задание 2421
Первый велосипедист выехал из посёлка по шоссе со скоростью 18 км/ч. Через час после него со скоростью 16 км/ч из того же посёлка в том же направлении выехал второй велосипедист, а ещё через час — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 4 часа после этого догнал первого.
Пусть х км/ч - скорость третьего. К моменту выезда третьего первый проехал $$18*2=36$$ км, следовательно, третий его догонит через $$t_{1}=\frac{36}{x-18}$$ часов. Второй проехал $$16*1=16$$ км, тогда третий его догонит через $$t_{2}=\frac{16}{x-16}$$ часов. При этом разница во времени составляет 4 часа, то есть:
$$\frac{36}{x-18}-\frac{16}{x-16}=4|*\frac{(x-18)(x-16)}{4}\Leftrightarrow$$$$9(x-16)-4(x-18)=(x-16)(x-18)\Leftrightarrow$$$$9x-144-4x+72=x^{2}-34x+288\Leftrightarrow$$$$x^{2}-39x+360=0\Rightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=39\\x_{1}*x_{2}=360\end{matrix}\right.\Rightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x_{1}=24\\x_{2}=15\end{matrix}\right.$$Скорость не может быть 15 км/ч, так как он не смог бы догонять первых двух велосипедистов, следовательно, она составляла 24 км/ч
Задание 2422
Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого автомобилиста на 11 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 66 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 40 км/ч.
Пусть х км/ч - скорость первого, тогда х-11 км/ч - скорость второго на первой половине пути. Примем все расстояние за S км. Тогда, $$t_{1}=\frac{S}{x}$$ часов - время первого, $$t_{2}=\frac{0,5S}{x-11}+\frac{0,5S}{66}$$ часов - время второго. Велосипедисты прибыли одновременно, следовательно:
$$\frac{S}{x}=\frac{0,5S}{x-11}+\frac{0,5S}{66}|:S\Leftrightarrow$$$$\frac{1}{x}=\frac{0,5}{x-11}+\frac{0,5}{66}|*66x(x-11)\Leftrightarrow$$$$66(x-11)=33x+0,5x(x-11)|*2\Leftrightarrow$$$$132x-132*11=66x+x^{2}-11x\Leftrightarrow$$$$x^{2}-77x+1452=0\Rightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=77\\x_{1}*x_{2}=1452\end{matrix}\right.\Rightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x_{1}=33\\x_{2}=44\end{matrix}\right.$$, скорость должна быть более 40 км/ч, то есть 44 км/ч
Задание 2423
Из городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в В на 40 минут раньше, чем велосипедист приехал в А, а встретились они через 15 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из В в А велосипедист?
Пусть х частей расстояния/час - скорость велосипедиста, y - мотоциклиста, все расстояние примем за 1. Так как они встретились через 15 минут ($$\frac{15}{60}=\frac{1}{4}$$ часа), то $$\frac{1}{x+y}=\frac{1}{4}(*1)$$. Время, которое тратит мотоциклист на весь путь из А в В равно $$t_{1}=\frac{1}{y}$$ часов, велосипедист $$t_{2}=\frac{1}{x}$$ часов, и они различаются на 40 минут ($$\frac{2}{3}$$ часа), тогда: $$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{2}{3}(*2)$$.
Выразим в первом уравнении у через х:
$$\frac{1}{x+y}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow$$$$x+y=4\Leftrightarrow$$$$y=4-x$$. Подставим во второе:
$$\frac{1}{x}-\frac{1}{4-x}=\frac{2}{3}|*3x(4-x)\Leftrightarrow$$$$12-3x-3x=8x-2x^{2}\Leftrightarrow$$$$2x^{2}-14x+12=0|:2\Leftrightarrow$$$$x^{2}-7x+6=0\Rightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=7\\x_{1}*x_{2}=6\end{matrix}\right.\Rightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x_{1}=6\\x_{2}=1\end{matrix}\right.$$
При х=6 $$y=4-6=-2$$ - число отрицательное, не подходит
При х=1 $$y=4-1=3$$ - подходит, следовательно, скорость велосипедиста составляла 1 часть расстояния в час, то есть за час он преодолел все расстояние
Задание 2424
Первые 5 часов автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 3 часа — со скоростью 100 км/ч, а последние 4 часа — со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
За первые 5 часов прошел: $$5*60=300$$ км
За следующие 3 часа прошел: $$3*100=300$$ км
За оставшиеся 4 часа прошел: $$4*75=300$$ км
Тогда общий путь составил 900 км, а общее время 12 часов, следовательно, средняя скорость составила: $$\frac{900}{12}=75$$ км/ч
Задание 2425
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 1 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун прошёл первый круг 20 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 8 км/ч меньше скорости второго.
Пусть х км/ч - скорость первого, тогда х+8 км/ч - скорость второго. Пусть у км - один круг, тогда:
за час первый не дошел до конца круга 1 км, следовательно, $$1*x=y-1$$
второй прошел круг за 20 минут до часа, то есть за 40 минут ($$\frac{2}{3}$$ часа), следовательно, $$\frac{2}{3}*(x+8)=y$$. Подставим из второго уравнения в первое выражение вместо у:
$$x=\frac{2}{3}(x+8)-1|*3\Leftrightarrow$$$$3x=2x+16-3\Leftrightarrow$$$$x=13$$ км/ч - скорость первого
Задание 2426
Первые 300 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 300 км — со скоростью 100 км/ч, а последние 300 км — со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Время, потраченное на первые 300 км: $$\frac{300}{60}=5$$ часов
На следующие 300: $$\frac{300}{100}=3$$ часа
На последние 300: $$\frac{300}{75}=4$$ часа
Итого пройдено 900 км, а потрачено 12 часов, следовательно, средняя скорость составляет: $$\frac{900}{12}=75$$ км/ч
Задание 2427
Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 55 км/ч, а вторую — со скоростью 70 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Пусть 2у км - длина всей трассы, тогда время на первую половину $$t_{1}=\frac{y}{55}$$ часов, а время на вторую $$t_{2}=\frac{y}{70}$$ часов, тогда общее время $$t=\frac{y}{55}+\frac{y}{70}=\frac{14y+11y}{5*11*14}=\frac{5y}{11*14}$$ часов. Следовательно, средняя скорость составит: $$\frac{2y}{\frac{5y}{11*14}}=61,6$$ км/ч