Перейти к основному содержанию

ОГЭ

ОГЭ / (C4) Геометрическая задача на вычисление

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11171

Прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АBС в точках К и N соответственно. Известно, что АВ = СN = 16, ВС = 20, АС = 28, АК = 11. Найдите длину отрезка КN.

Ответ: 7
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
В треугольнике ΔBNK найдём стороны BK и BN: BK = BA – AK = 16 – 11 = 5 BN = BC – CN = 20 – 16 = 4
Рассмотрим треугольники ΔBNK и ΔBAC, в них угол ∠В общий. Мысленно перевернём ΔBNK и поменяем местами стороны BK и BN.
Сторона BK относится к стороне BC как: $$\frac{BK}{BC}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$$
Сторона BN относится к стороне BA как: $$\frac{BN}{BA}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$$
Коэффициент подобия один, значит треугольники подобны, тогда подобны и третьи стороны: $$\frac{KN}{AC}=\frac{1}{4}$$. Тогда $$KN=\frac{28}{4}=7$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10983

Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как $$6:13:17$$. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 18.
Ответ: 18
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть Пусть дуги $$6x;13x;17x$$. Тогда $$6x+13x+17x=360\to x=10$$ т.е. дуги $$60^{\circ}; 130^{\circ}; 170^{\circ}$$. Пусть $$\angle C$$ опирается на дугу в $$60^{\circ}\to \angle C=30^{\circ}$$ (вписанный) $$\to AB=18, R=\frac{AB}{2\sin{C}}=\frac{18}{2\cdot \frac{1}{2}}=18$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10466

В равнобедренной трапеции ABCD с большим основанием AD биссектриса угла А пересекается с биссектрисой угла С в точке F, а также пересекает сторону CD в точке К. Известно, что прямые АВ и CF параллельны. Найдите CF, если FK=$$4\sqrt{3}$$.

Ответ:
Скрыть
  1. Пусть $$AF \cap BC=E$$. Так как ABCD – равнобедренная трапеция,$$\angle BAC+\angle BCD=180^{\circ}$$. Пусть $$\angle BAC=2\alpha\Rightarrow$$$$\angle BCD=180^{\circ}-2\alpha$$. Тогда $$\angle ECK=2\alpha$$, $$\angle CEK=\alpha$$ ($$\frac{\angle A}{2}$$ - как накрест лежащие)
  2. $$\angle AFC=\angle BAF=\alpha=\angle CFK$$ (накрест лежащие и вертикальные)
  3. $$\angle FCK=\frac{180^{\circ}-2\alpha}{2}=90^{\circ}-\alpha$$. Из треугольника CFK $$\angle CKF=180^{\circ}-(\alpha+90^{\circ}+\alpha)=90^{\circ}$$
  4. Из треугольника CKE: $$90^{\circ}+3\alpha=180^{\circ}\Rightarrow$$$$\alpha=30^{\circ}$$
  5. $$CF=\frac{FK}{\cos CFK}=$$$$\frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=8$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10425

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB=16, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 15 и 8.

Ответ: 30
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10374

Окружность, вписанная в треугольник ABC , касается сторон в точках M, N, P. Найдите углы треугольника ABC , если углы треугольника MNP равны 49o, 69o и 62o

Ответ: 82;42;56
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10362

В треугольнике ABC угол B равен 72o , угол равен C=63o , $$BC=2\sqrt{2}$$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Ответ: 2
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10329

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K . Найдите площадь параллелограмма, если BC=19 , а расстояние от точки K до стороны AB равно 7.

Ответ: 266
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10307

Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF=20 , BF=15 .

Ответ: 25
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10244

Стороны AC , AB и треугольника BC ABC равны $$2\sqrt{2}$$,$$\sqrt{5}$$ и 1 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен треугольнику ABC. Найдите косинус угла AKC, если угол KAC является тупым

Ответ: $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10005

Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите АС, если диаметр окружности равен 15, а АВ = 4.
Ответ: 16
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9978

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 20 и 52. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Ответ: 240/13
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9924

Каждое основание AD и BC трапеции ABCD продолжено в обе стороны. Биссектрисы внешних углов A и B трапеции пересекаются в точке M. Биссектрисы внешних углов C и D трапеции пересекаются в точке N. Найдите периметр трапеции ABCD, если длина отрезка MN равна 24.

Ответ: 48
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 8828

Прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках К и N соответственно. Известно, что АВ=12, ВС=15, АС=24, AK=7, CN=11. Найдите длину отрезка КN.

Ответ: 8
Скрыть
  1. ВК=АВ-АК=12-7=5
  2. ВN=ВС-ВN=15-11=4
  3. Рассмотрим треугольники АВС и КВN. Угол В общий АВ/ВN=BC/BK, т.к.12/4 =15/5 =3 Следовательно данные треугольники подобны по двум сторонам и углу между ними, причем коэффициент подобия равен 3.
  4. Поэтому и АС/КN =3, т.е. 24/КN =3, т.е. КN=8
Аналоги к этому заданию:

Задание 6647

Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH=12.

Ответ: 12
Скрыть

Рассмотрим $$\Delta PBK$$: $$\angle B=90\Rightarrow$$ PK-диаметр описанной окружности $$\Rightarrow PK=BH=12$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5551

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны катеты: AC=6,  BC=8. Найдите медиану CK этого треугольника

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5550

Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M. Найдите длину медианы, проведённой к стороне BC, если угол BAC равен 47°, угол BMC равен 133°, $$BC=4\sqrt{3}$$.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5549

Прямая AD, перпендикулярная медиане ВМ треугольника АВС, делит её пополам. Найдите сторону АС, если сторона АВ равна 4.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5548

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 18 и 30. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5547

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 13, AC = 65, NC = 28.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5546

Найдите отношение двух сторон треугольника, если его медиана, выходящая из их общей вершины, образует с этими сторонами углы в 30° и 90°.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5545

Высота треугольника разбивает его основание на два отрезка с длинами 8 и 9. Найдите длину этой высоты, если известно, что другая высота треугольника делит ее пополам.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5544

В треугольнике ABC угол С равен 90°, радиус вписанной окружности равен 2. Найдите площадь треугольника ABC, если AB = 12.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5543

Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC относится к длине стороны AB как 7:10. Найдите отношение площади треугольника AKM к площади треугольника ABC.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5542

Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямо‐ угольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH = 11.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5541

Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 15 и 7, а средняя линия равна 10.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5540

Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 24, BF = 10.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5539

Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает его сторону BC в точке E. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если BE=7, EC=3 , a $$\angle ABC=150^{\circ}$$

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5538

Основания трапеции равны 16 и 34. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5537

В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CNM равна 57. Найдите площадь четырёхугольника ABMN.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5536

В трапеции АВСD боковые стороны AB и CD равны, CH — высота, проведённая к большему основанию AD. Найдите длину отрезка HD, если средняя линия KM трапеции равна 16, а меньшее основание BC равно 4.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5535

Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне BC. Найдите BC, если AB = 34.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5534

Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями 8 и 5, если отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, равны.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5533

Каждое основание AD и BC трапеции ABCD продолжено в обе стороны. Биссектрисы внешних углов A и B этой трапеции пересекаются в точке K, биссектрисы внешних углов C и D пересекаются в точке E. Найдите периметр трапеции ABCD, если длина отрезка KE равна 28

Ответ: 48
Скрыть

1) Сумма внешних углов $$A$$ и $$B$$ равна $$180^{\circ}$$ (т.к. $$BC\parallel AD$$), а т.к. $$AK$$ и $$BK$$ - биссектрисы, то $$\angle KAB+\angle KBA=90^{\circ}$$. Кроме того $$K$$ равноудалена от $$BC$$ и $$AB$$ и от $$AD$$ и $$AB$$, т.к. лежит на биссектрисах.

2) Аналогично $$\bigtriangleup CED$$ - прямоугольный и $$E$$ равноудалена от $$BC$$ и $$AD$$

3) Пусть $$KE\cap AB=M$$; $$KE\cap CD=N$$, тогда из п.1 и п.2 $$MN$$ - средняя линия $$\Rightarrow$$ $$MN=\frac{BC+AD}{2}$$

4) $$KM$$ - медиана $$\bigtriangleup KBA$$, а он прямоугольный $$\Rightarrow$$ $$KM=AM=MB=\frac{AB}{2}$$, аналогично $$EN=\frac{CD}{2}$$

5) $$KE=KM+MN+NE=\frac{AB+BC+CD+AD}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$P_{ABCD}=2KE=48$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5532

В выпуклом четырёхугольнике ABCD длина отрезка, соединяющего середины сторон AB и , CD равна одному метру. Прямые BC и AD перпендикулярны. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей AC и BD.

Ответ: 1
Скрыть

1) Пусть $$L$$ - середина $$AC$$; $$K$$ - середина $$BD$$ $$\Rightarrow$$ $$ML$$ - средняя линия $$\bigtriangleup ABC$$, а $$KN$$ - $$\bigtriangleup DBC$$ $$\Rightarrow$$ $$LM=\frac{BC}{2}=NK$$ и $$LM\parallel BC\parallel NK$$ $$\Rightarrow$$ $$LMNK$$ - параллелограм

2) Аналогично, $$LN$$ - средняя линия $$\bigtriangleup CDA$$; $$MK$$ - $$\bigtriangleup ABD$$ $$\Rightarrow$$ $$LN=\frac{AD}{2}=MK$$, $$LN\parallel AD\parallel MK$$ $$\Rightarrow$$ $$LMNK$$ - прямоугольник $$\Rightarrow$$ $$MN=LK=1$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5531

В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания ВС и вдвое больше боковой стороны CD. Угол ADC равен 60°, сторона AB равна 2. Найдите площадь трапеции.

Ответ: $$3\sqrt{3}$$
Скрыть

1) Пусть $$CH\perp AD$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle HCD=90^{\circ}-\angle CDH=30^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$HD=CD\cdot\sin30^{\circ}=\frac{x}{2}$$;

2) Пусть $$BM\perp AM$$ $$\Rightarrow$$ $$MH=BC=x$$ $$\Rightarrow$$ $$AM=2x-x-\frac{x}{2}=\frac{x}{2}=HD$$ $$\Rightarrow$$ $$AM=HD$$; $$BM=CH$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup AMB=\bigtriangleup CAD$$ (по двум катетам) $$\Rightarrow$$ $$CD=AB=2=x$$ $$\Rightarrow$$ $$AM=1$$ $$\Rightarrow$$ по т. Пифагора из $$\bigtriangleup ABM$$: $$BM=\sqrt{AB^{2}-AM^{2}}=\sqrt{3}$$

3) $$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot BM=\frac{2+4}{2}\cdot\sqrt{3}=3\sqrt{3}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5530

Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке O. Площади треугольников AOD и BOC равны соответственно 16 см2 и 9 см2. Найдите площадь трапеции.

Ответ: 49
Скрыть

1) $$BC\parallel AD$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle BCO=\angle OAD$$; $$\angle CBO=\angle ODA$$ (накрестлежащие) $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup BOC\sim\bigtriangleup AOD$$

2) $$\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}}=\frac{9}{16}$$ см2 $$\Rightarrow$$ $$\frac{BC}{AD}=\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}$$ (отношение площадей подобных фигур) $$\Rightarrow$$ $$BO=3x$$ $$\Rightarrow$$ $$DO=4x$$; $$CO=3y$$ $$\Rightarrow$$ $$AO=4y$$

3) $$\angle BOC=\alpha$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle BOA=180^{\circ}-\alpha$$ $$\Rightarrow$$ $$\sin\angle BOC=\sin\angle BOA$$ (смежные), $$\angle BOA=\angle COD$$; $$\angle BOC=\angle AOD$$ (вертикальные)

4) $$S_{BOA}=\frac{1}{2}\cdot BO\cdot OA\cdot\sin\angle BOA=\frac{1}{2}\cdot3x\cdot4y\cdot\sin\alpha=6xy\sin\alpha$$; $$S_{COD}=\frac{1}{2}\cdot CO\cdot OD\cdot\sin\angle COD=\frac{1}{2}\cdot3y\cdot4x\cdot\sin\alpha=6xy\sin\alpha=S_{BOA}$$; $$S_{BOC}=\frac{1}{2}\cdot BO\cdot OC\cdot\sin\angle BOC=\frac{1}{2}\cdot3x\cdot3y\cdot\sin\alpha=9$$ $$\Rightarrow$$ $$xy\sin\alpha=2$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{BOA}=S_{COD}=12$$

5) $$S_{ABCD}=9+2\cdot12+16=49$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5529

Прямая, параллельная основаниям MP и NK трапеции MNKP, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны MN и KP в точках A и B соответственно. Найдите длину отрезка AB, если MP=40 см, NK=24 см.

Ответ: 30
Скрыть

1) Пусть $$NP\cap MK=H$$; $$NK\parallel MP$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup NHK\sim\bigtriangleup MHP$$; $$\frac{NK}{MP}=\frac{24}{40}=\frac{3}{5}=\frac{NH}{HP}=\frac{HK}{HM}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{MK}{MN}=\frac{8}{5}=\frac{NP}{HP}$$

2) $$AB\parallel NK$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup AHM\sim\bigtriangleup MNK$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{NK}{AH}=\frac{MK}{MH}=\frac{8}{5}$$ $$\Rightarrow$$ $$AH=\frac{24\cdot5}{8}=15$$. Аналогично $$\bigtriangleup HBP\sim\bigtriangleup NKP$$ и $$\frac{NK}{HB}=\frac{NP}{HP}=\frac{8}{5}$$ $$\Rightarrow$$ $$HB=15$$ $$\Rightarrow$$ $$AB=30$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5528

Периметр прямоугольника равен 56, а диагональ равна 27. Найдите площадь этого прямоугольника.

Ответ: 27,5
Скрыть

1) Пусть $$AD=x$$, $$DC=y$$, тогда $$2(x+y)=56$$ $$\star$$

2) $$\bigtriangleup ADC$$ - прямоугольный $$\Rightarrow$$ $$AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}$$. С учетом $$\star$$: $$\left\{\begin{matrix}x+y=28&\\x^{2}+y^{2}=27^{2}&\end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=784&\\x^{2}+y^{2}=729^{2}&\end{matrix}\right.$$ Подставим из второго в первое: $$729+2xy=784$$ $$\Rightarrow$$ $$2xy=55$$ $$\Rightarrow$$ $$xy=27,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5527

Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 12 и CH = 3. Найдите высоту ромба.

Ответ: 9
Скрыть

1) $$ABCD$$ - ромб $$\Rightarrow$$ $$AD=CD=12+3=15$$

2) $$\bigtriangleup AHD$$ - прямоугольный $$\Rightarrow$$ $$AH=\sqrt{AD^{2}-DH^{2}}=\sqrt{15^{2}-12^{2}}=9$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5526

В параллелограмм вписана окружность. Найдите периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна 8.

Ответ: 32
Скрыть

1) т.к. окружность вписана, то $$AB+CD=BC+AD$$, но $$ABCD$$ - параллелограм $$\Rightarrow$$ $$AB+CD$$; $$AD=BC$$ $$\Rightarrow$$ $$2AB=2BC$$ $$\Rightarrow$$ $$AB=BC$$ $$\Rightarrow$$ $$ABCD$$ - ромб

2) $$P_{ABCD}=4\cdot AB=4\cdot8=32$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5525

Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а периметр равен 56. Найдите площадь трапеции.

Ответ: $$130\sqrt{2}$$
Скрыть

1) Пусть $$AB=18$$; $$DC=8$$ $$\Rightarrow$$ $$AD=CB=\frac{56-(18+8)}{2}=15$$

2) Пусть $$CH$$ и $$DM\perp AB$$ $$\Rightarrow$$ $$MN=DC=8$$; $$AD=CB$$; $$DM=CH$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup AMD=\bigtriangleup CHB$$ (по гипотенузе и катету) $$\Rightarrow$$ $$AM=HB=\frac{18-8}{2}=5$$

3) $$CH=\sqrt{CB^{2}-HB^{2}}=\sqrt{15^{2}-5^{2}}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}$$

4) $$S_{ABCD}=\frac{AB+CD}{2}\cdot CH=\frac{18+8}{2}\cdot10\sqrt{2}=130\sqrt{2}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5524

В треугольнике АВС углы А и С равны 20° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5523

Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны $$2\sqrt{5},\sqrt{7}$$ и 2 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K , A и C подобен исходному. Найдите косинус угла AKC, если ∠KAC>90° .

Ответ: $$\frac{17}{8\sqrt{5}}$$
Скрыть

1) $$\cos\angle B=\frac{BC^{2}+AB^{2}-AC^{2}}{2BC\cdot AB}<0$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle B>90^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle B=\angle CAK$$ (из подобия)

2) $$\angle ACK\neq\angle BCA$$ (иначе $$K\in CB$$) $$\Rightarrow$$ $$\angle ACK=\angle BAC$$ и $$\angle AKC=\angle BCA$$ $$\Rightarrow$$ $$\cos\angle AKC=\cos\angle BCA=\frac{BC^{2}+AB^{2}-AC^{2}}{2BC\cdot AB}=\frac{4+20-7}{2\cdot2\cdot2\sqrt{5}}=\frac{17}{8\sqrt{5}}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5522

В треугольнике АВС углы А и С равны 40° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.

Ответ: $$10^{\circ}$$
Скрыть

1) из $$\bigtriangleup CHB$$: $$\angle HBC=90^{\circ}-\angle C=30^{\circ}$$

2) из $$\bigtriangleup ABC$$: $$\angle B=180^{\circ}-(\angle A+\angle C)=80^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle CBD=\frac{\angle B}{2}=40^{\circ}$$ ($$BD$$ - биссектриса)

3) $$\angle CBH=\angle CBD-\angle CBH=10^{\circ}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5521

На сторонах угла BAC и на его биссектрисе отложены равные отрезки AB, AC и AD. Величина угла BDC равна 160°. Определите величину угла BAC.

Ответ: $$40^{\circ}$$
Скрыть

1) $$AB=AD=AC$$ (по условию); $$\angle BAD=\angle DAC$$ ($$AD$$ - биссектриса), тогда $$\bigtriangleup BAD=\bigtriangleup ADC$$

2) $$\angle BDA=\angle ADC=\frac{\angle BDC}{2}=80^{\circ}$$

3) $$\angle ABD=\angle BDA$$ ($$AB=AD$$) $$\Rightarrow$$ $$\angle BAD=180^{\circ}-2\cdot80^{\circ}=20^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle BAC=20^{\circ}\cdot2=40^{\circ}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5520

Найдите величину угла AOE, если OE — биссектриса угла AOC , OD— биссектриса угла COB.

Ответ: 65
Скрыть

1) т.к. $$OD$$ - биссектриса, то $$\angle COD=\angle DOB=25^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle COB=50^{\circ}$$

2) $$\angle AOC=180^{\circ}-\angle COB=130^{\circ}$$ (смежный)

3) $$\angle AOE=\frac{\angle AOC}{2}=65^{\circ}$$ ($$OE$$ - биссектриса)

Аналоги к этому заданию:

Задание 5519

Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 16, DC = 24 , AC = 25.

Ответ: 15
Скрыть

1) $$\angle BAM=\angle MCD$$ (накрестлежащие)

2) $$\angle AMB=\angle DMC$$ (вертикальные) $$\Rightarrow$$ из п.1 и п.2 $$\bigtriangleup ABM\sim\bigtriangleup DMC$$

3) Из подобия: $$\frac{AB}{DC}=\frac{AM}{MC}$$ Пусть $$AM=x$$, тогда $$MC=25-x$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{16}{24}=\frac{x}{25-x}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{2}{3}=\frac{x}{25-x}$$ $$\Rightarrow$$ $$50-2x=3x$$ $$\Rightarrow$$ $$x=10$$ $$\Rightarrow$$ $$MC=15$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5518

Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О — центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 100°.

Ответ: $$10^{\circ}$$
Скрыть

1) $$OA\perp AC$$ по свойству радиуса, проведенного в точку касания;

2) $$\smile KA=100^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle KOA=100^{\circ}$$ (центральный) $$\Rightarrow$$ $$\angle DOA=80^{\circ}$$ (смежный) ($$\smile DA\neq100^{\circ}$$ т.к. $$\angle DOA<90^{\circ}$$)

3) $$\angle ACO=90^{\circ}-\angle COA=10^{\circ}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5517

В треугольнике ABC угол B равен 72°, угол C равен 63°, $$BC=2\sqrt{2}$$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Ответ: 2
Скрыть

1) $$\angle A=180^{\circ}-(\angle B-\angle C)=45^{\circ}$$

2) Пусть $$R$$ - радиус описанной окружности, тогда : $$\frac{BC}{\sin A}=2R$$ $$\Rightarrow$$ $$R=\frac{BC}{\sin A}=\frac{2\sqrt{2}}{2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}=2$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5516

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 15, AC = 25.

Ответ: 16
Скрыть

1) Пусть О - центр окружности. М - точка пересечения $$AC$$ и окружности.

2) По свойству касательной и секущей: $$AM\cdot AC=AB^{2}$$

Пусть $$M=x$$, тогда $$AM=25-x$$.

Получим: $$(25-x)\cdot25=15^{2}$$ $$\div25$$ $$\Rightarrow$$

$$25-x=9$$ $$\Rightarrow$$ $$x=16=CM$$ - диаметр

Аналоги к этому заданию:

Задание 5515

Окружность, вписанная в треугольник ABC , касается его сторон в точках M, K и P. Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP равны 49°, 69° и 62°.

Ответ: $$42^{\circ}$$
Скрыть

1) $$\angle PKM$$ - вписанный и опирается на $$\smile PM$$. Но и $$\angle PMB$$ опирается на эту же хорду (угол между хордой и касательной равен половине дуги, на которую опирается) $$\Rightarrow$$ $$\angle PMB=\angle PKM=62^{\circ}$$ аналогично $$\angle MPB=62^{\circ}$$, тогда $$\angle B=180^{\circ}-2\cdot 62^{\circ}=56^{\circ}$$

2) Аналогично п.1 : $$\angle A=180^{\circ}-2\cdot 49^{\circ}=82^{\circ}$$; $$\angle C=180^{\circ}-2\cdot 69^{\circ}=42^{\circ}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5514

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 18, а сторона AC в 1,2 раза больше стороны BC.

Ответ: 15
Скрыть

1) Пусть $$BC=x$$ $$\Rightarrow$$ $$AC=1,2x$$;

2) $$BKPC$$ - вписан $$\Rightarrow$$ $$\angle KPC+ \angle KBC=180^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle APK=\angle ABC$$. Аналогично $$\angle AKP=\angle PCB$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup APK\sim \bigtriangleup ABC$$;

3) из п. 2: $$\frac{AK}{AC}=\frac{KP}{BC}$$ $$\Rightarrow$$ $$KP=\frac{AK\cdot BC}{AC}=\frac{18\cdot x}{1.2x}=15$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5513

Отрезки АВ и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если АВ = 24, а расстояние от центра окружности до хорд АВ и CD равны соответственно 16 и 12.

Ответ: 32
Скрыть

1) Пусть О - центр окружности, $$OH\perp AB$$ и $$OM\perp CD$$;

2) $$OB=OA$$ - радиусы, $$OH$$ - общий катет $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup OHB=\bigtriangleup OHA$$ $$\Rightarrow$$ $$AH=HB=\frac{1}{2}AB=12$$;

3) $$OB=\sqrt{OH^{2}+HB^{2}}=20$$ (по т. Пифагора); $$OD=OB$$ - радиусы.

4) $$DM=\sqrt{OD^{2}-OM^{20}}=16$$ (по т. Пифагора);

5) $$DM=MC$$ (аналогично п. 2) $$\Rightarrow$$ $$CD=32$$