ОГЭ
Задание 1867
Около трапеции, один из углов которой равен $$44^{\circ}$$, описана окружность. Найдите остальные углы трапеции.
По свойству вписанного четырехугольник $$\angle A+\angle C=180^{\circ}$$, пусть $$\angle A=49^{\circ}\Rightarrow$$$$\angle C=180-49=131^{\circ}$$. По свойству углов трапеции $$\angle B=180-\angle C=180-131=49^{\circ}$$, аналогично $$\angle D=180-\angle A=131^{\circ}$$
Задание 2670
$$ABC$$ – равнобедренный треугольник с основанием $$AC$$, $$CD$$ – биссектриса угла $$C$$, $$\angle ADC=150^{\circ}$$. Найдите $$\angle B$$.
|
1) Пусть $$\angle A=\angle C=x$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle ACD=\frac{x}{2}$$ (CD-биссектриса) 2) $$x+\frac{x}{2}+150=180^{\circ}$$ (из $$\bigtriangleup ADC$$) $$1,5x=30$$ $$\Rightarrow$$ $$x=20^{\circ}$$ 3) $$\angle B=180^{\circ}-2x=180^{\circ}-40^{\circ}=140^{\circ}$$ |
 |
Задание 2774
Точка $$M$$ лежит внутри равнобедренного треугольника $$ABC$$ с основанием $$AC$$ на расстоянии $$6$$ см от боковых сторон и на расстоянии $$\sqrt{3}$$ см от основания. Найдите основание треугольника, если $$\angle B=120^{\circ}$$.
|
1) $$\bigtriangleup BMC$$ - прямоугольный: $$\frac{CM}{BM}=\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$; $$\frac{6}{BM}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$BM=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}$$ 2) $$BK=BM+MK=4\sqrt{3}+\sqrt{3}=5\sqrt{3}$$ 3) $$\tan 60^{\circ}=\frac{AK}{BK}$$ (из $$\bigtriangleup ABK$$) $$\sqrt{3}=\frac{x}{5\sqrt{3}}$$ $$\Rightarrow$$ $$x=15$$ $$\Rightarrow$$ $$AC=15\cdot2=30$$ |
Задание 2816
Сторона $$AB$$ треугольника $$ABC$$ разделена на три равные части и через точки деления проведены прямые, параллельные стороне $$AC$$. Найдите площадь трапеции, заключенной между ними, если площадь треугольника равна $$93$$.
|
$$\bigtriangleup BKP\sim \bigtriangleup BML\sim \bigtriangleup ABC$$ $$BK=\frac{1}{3}AB$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{KBP}=\frac{1}{9}S_{ABC}=\frac{1}{9}\cdot93=10\frac{1}{3}$$ |
Задание 2928
Окружность с центром $$O$$ вписана в прямоугольный треугольник $$ABC$$. Она касается гипотенузы $$AB$$ в точке $$M$$, причем $$AM=12$$ и $$BM=8$$. Найдите площадь треугольника $$AOB$$.
Решение временно отсутствует, можете найти его в моем видео-разборе ( вначале варианта )
Задание 2977
В треугольнике $$ABC$$ высота $$BD=11,2$$ см, а высота $$AE=12$$ см. Точка $$E$$ делит сторону $$BC$$ в отношении $$5:9$$, считая от вершины $$B$$. Найти длину стороны $$AC$$.
Текстовое решение временно отсутствует. Вы можете найти разбор в видео перед вариантом
Задание 3018
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если длина гипотенузы равна $$2\sqrt{13}$$ см, а длина медианы, проведенной из вершины большего острого угла равна $$5$$ см.
|
Пусть $$AC=x$$; $$CB=2y$$ Из $$\bigtriangleup ACH$$ и $$\bigtriangleup ACB$$: $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=5^{2}\\x^{2}-(2y)^{2}=(2\sqrt{13})^{2}\end{matrix}\right.$$ $$4y^{2}-y^{2}=4\cdot13-25$$ $$3y^{2}=27\Rightarrow y^{2}=9\Rightarrow y=3$$ $$x^{2}+9=25\Rightarrow x=4$$ $$S=\frac{1}{2}AC\cdot CB=\frac{1}{2}\cdot x\cdot 2y=xy=3\cdot 4=12$$ |
Задание 3102
Длина средней линии трапеции равна $$5$$ см, а длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна $$3$$ см. Найдите длину большего основания, если углы при нем равны $$30^{\circ}$$ и $$60^{\circ}$$.
1) $$\angle H=180^{\circ}-\angle A-\angle D=180^{\circ}-60^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$
$$\bigtriangleup AHD$$ - прямоугольный $$\Rightarrow$$
HL - медиана; HL=AL=LP
2) $$KZ=ZL=1,5$$; $$MZ=ZN=2,5$$
Пусть $$KC=x$$; $$LD=y$$ $$\Rightarrow$$ $$KH=HL-KL=y-3$$
3) $$\bigtriangleup HZN\sim \bigtriangleup HLD$$: $$\frac{HZ}{HL}=\frac{ZN}{LD}$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\frac{y-1,5}{y}=\frac{2,5}{y}$$
$$y^{2}-1,5y=2,5y$$
$$y^{2}-4y=0$$
$$y=0$$ (не подходит) и $$y=4$$ $$\Rightarrow$$
$$AD=2\cdot4=8$$
Задание 3142
Найдите катеты прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна $$20$$, а радиус вписанной окружности равен $$4$$.
Текстовое решение временно недоступно, вы можете найти его в видео в начале варианта
Задание 3189
Из одной точки проведены к окружности две касательные, длина каждой из которых равна $$12$$ см, а расстояние между точками касания равно $$14,4$$ см. Найдите радиус окружности.
1) $$OB\perp AB$$ и $$OC\perp CA$$ (свойство радиусов в точку касания), ОА - общая, $$AC=AB$$ по условию $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup OBA=\bigtriangleup OAC$$
2) $$\bigtriangleup ABH=\bigtriangleup AHC$$ (АH - общая; $$\angle BAH=\angle HAC$$; $$AB=AC$$) $$\Rightarrow$$ $$BH=HC$$ и $$BC\perp OA$$ $$\Rightarrow$$ $$BH=HC=0,5BC=14,4\cdot0,5=7,2$$
3) По теореме Пифагора $$AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{12^{2}-7,2^{2}}=\sqrt{92,16}=9,6$$
4) из $$\bigtriangleup BHA\sim \bigtriangleup BOA$$: $$\frac{HA}{AB}=\frac{BH}{OB}$$ $$\Rightarrow$$ $$OB=\frac{AB\cdot BH}{HA}=\frac{12\cdot7,2}{9,6}=9$$
Задание 3274
Середины двух соседних сторон и не принадлежащая им вершина ромба соединены друг с другом отрезками прямых. Найдите площадь получившегося треугольника, если сторона ромба равна $$4$$ см, а острый угол равен $$60^{\circ}$$.
$$BH=DM=2$$ $$S_{\bigtriangleup ABH}=S_{\bigtriangleup ADM}=$$ $$=\frac{1}{2}\cdot2\cdot4\cdot\sin120^{\circ}=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$$ $$S_{\bigtriangleup CMH}=\frac{1}{2}\cdot2\cdot2\cdot\sin60^{\circ}=\sqrt{3}$$ $$S_{ABCD}=4\cdot4\cdot\sin120^{\circ}=\frac{16\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}$$ $$S_{AHM}=8\sqrt{3}-2\cdot2\sqrt{3}-\sqrt{3}=3\sqrt{3}$$
Задание 3567
В треугольнике $$ABC$$ $$AB=BC= 4$$ см. $$AE=3$$ см – медиана треугольника. Найдите $$AC$$.
1) из $$\bigtriangleup ABE$$:
$$\cos B=\frac{AB^{2}+BE^{2}-AE^{2}}{2AB\cdot BC}=\frac{4^{2}+2^{2}-3^{2}}{2\cdot4\cdot2}=\frac{16+4-9}{16}=\frac{11}{16}$$
2) из $$\bigtriangleup ABC$$:
$$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}-2AB\cdot BC\cdot\cos B}=\sqrt{4^{2}+4^{2}-2\cdot4\cdot4\cdot\frac{11}{16}}=\sqrt{32-22}=\sqrt{10}$$