ОГЭ
Задание 9924
Каждое основание AD и BC трапеции ABCD продолжено в обе стороны. Биссектрисы внешних углов A и B трапеции пересекаются в точке M. Биссектрисы внешних углов C и D трапеции пересекаются в точке N. Найдите периметр трапеции ABCD, если длина отрезка MN равна 24.
Задание 6647
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH=12.
Рассмотрим $$\Delta PBK$$: $$\angle B=90\Rightarrow$$ PK-диаметр описанной окружности $$\Rightarrow PK=BH=12$$
Задание 5533
Каждое основание AD и BC трапеции ABCD продолжено в обе стороны. Биссектрисы внешних углов A и B этой трапеции пересекаются в точке K, биссектрисы внешних углов C и D пересекаются в точке E. Найдите периметр трапеции ABCD, если длина отрезка KE равна 28
1) Сумма внешних углов $$A$$ и $$B$$ равна $$180^{\circ}$$ (т.к. $$BC\parallel AD$$), а т.к. $$AK$$ и $$BK$$ - биссектрисы, то $$\angle KAB+\angle KBA=90^{\circ}$$. Кроме того $$K$$ равноудалена от $$BC$$ и $$AB$$ и от $$AD$$ и $$AB$$, т.к. лежит на биссектрисах.
2) Аналогично $$\bigtriangleup CED$$ - прямоугольный и $$E$$ равноудалена от $$BC$$ и $$AD$$
3) Пусть $$KE\cap AB=M$$; $$KE\cap CD=N$$, тогда из п.1 и п.2 $$MN$$ - средняя линия $$\Rightarrow$$ $$MN=\frac{BC+AD}{2}$$
4) $$KM$$ - медиана $$\bigtriangleup KBA$$, а он прямоугольный $$\Rightarrow$$ $$KM=AM=MB=\frac{AB}{2}$$, аналогично $$EN=\frac{CD}{2}$$
5) $$KE=KM+MN+NE=\frac{AB+BC+CD+AD}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$P_{ABCD}=2KE=48$$
Задание 5532
В выпуклом четырёхугольнике ABCD длина отрезка, соединяющего середины сторон AB и , CD равна одному метру. Прямые BC и AD перпендикулярны. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей AC и BD.
1) Пусть $$L$$ - середина $$AC$$; $$K$$ - середина $$BD$$ $$\Rightarrow$$ $$ML$$ - средняя линия $$\bigtriangleup ABC$$, а $$KN$$ - $$\bigtriangleup DBC$$ $$\Rightarrow$$ $$LM=\frac{BC}{2}=NK$$ и $$LM\parallel BC\parallel NK$$ $$\Rightarrow$$ $$LMNK$$ - параллелограм
2) Аналогично, $$LN$$ - средняя линия $$\bigtriangleup CDA$$; $$MK$$ - $$\bigtriangleup ABD$$ $$\Rightarrow$$ $$LN=\frac{AD}{2}=MK$$, $$LN\parallel AD\parallel MK$$ $$\Rightarrow$$ $$LMNK$$ - прямоугольник $$\Rightarrow$$ $$MN=LK=1$$
Задание 5531
В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания ВС и вдвое больше боковой стороны CD. Угол ADC равен 60°, сторона AB равна 2. Найдите площадь трапеции.
1) Пусть $$CH\perp AD$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle HCD=90^{\circ}-\angle CDH=30^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$HD=CD\cdot\sin30^{\circ}=\frac{x}{2}$$;
2) Пусть $$BM\perp AM$$ $$\Rightarrow$$ $$MH=BC=x$$ $$\Rightarrow$$ $$AM=2x-x-\frac{x}{2}=\frac{x}{2}=HD$$ $$\Rightarrow$$ $$AM=HD$$; $$BM=CH$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup AMB=\bigtriangleup CAD$$ (по двум катетам) $$\Rightarrow$$ $$CD=AB=2=x$$ $$\Rightarrow$$ $$AM=1$$ $$\Rightarrow$$ по т. Пифагора из $$\bigtriangleup ABM$$: $$BM=\sqrt{AB^{2}-AM^{2}}=\sqrt{3}$$
3) $$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot BM=\frac{2+4}{2}\cdot\sqrt{3}=3\sqrt{3}$$
Задание 5530
Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке O. Площади треугольников AOD и BOC равны соответственно 16 см2 и 9 см2. Найдите площадь трапеции.
1) $$BC\parallel AD$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle BCO=\angle OAD$$; $$\angle CBO=\angle ODA$$ (накрестлежащие) $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup BOC\sim\bigtriangleup AOD$$
2) $$\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}}=\frac{9}{16}$$ см2 $$\Rightarrow$$ $$\frac{BC}{AD}=\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}$$ (отношение площадей подобных фигур) $$\Rightarrow$$ $$BO=3x$$ $$\Rightarrow$$ $$DO=4x$$; $$CO=3y$$ $$\Rightarrow$$ $$AO=4y$$
3) $$\angle BOC=\alpha$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle BOA=180^{\circ}-\alpha$$ $$\Rightarrow$$ $$\sin\angle BOC=\sin\angle BOA$$ (смежные), $$\angle BOA=\angle COD$$; $$\angle BOC=\angle AOD$$ (вертикальные)
4) $$S_{BOA}=\frac{1}{2}\cdot BO\cdot OA\cdot\sin\angle BOA=\frac{1}{2}\cdot3x\cdot4y\cdot\sin\alpha=6xy\sin\alpha$$; $$S_{COD}=\frac{1}{2}\cdot CO\cdot OD\cdot\sin\angle COD=\frac{1}{2}\cdot3y\cdot4x\cdot\sin\alpha=6xy\sin\alpha=S_{BOA}$$; $$S_{BOC}=\frac{1}{2}\cdot BO\cdot OC\cdot\sin\angle BOC=\frac{1}{2}\cdot3x\cdot3y\cdot\sin\alpha=9$$ $$\Rightarrow$$ $$xy\sin\alpha=2$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{BOA}=S_{COD}=12$$
5) $$S_{ABCD}=9+2\cdot12+16=49$$
Задание 5529
Прямая, параллельная основаниям MP и NK трапеции MNKP, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны MN и KP в точках A и B соответственно. Найдите длину отрезка AB, если MP=40 см, NK=24 см.
1) Пусть $$NP\cap MK=H$$; $$NK\parallel MP$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup NHK\sim\bigtriangleup MHP$$; $$\frac{NK}{MP}=\frac{24}{40}=\frac{3}{5}=\frac{NH}{HP}=\frac{HK}{HM}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{MK}{MN}=\frac{8}{5}=\frac{NP}{HP}$$
2) $$AB\parallel NK$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup AHM\sim\bigtriangleup MNK$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{NK}{AH}=\frac{MK}{MH}=\frac{8}{5}$$ $$\Rightarrow$$ $$AH=\frac{24\cdot5}{8}=15$$. Аналогично $$\bigtriangleup HBP\sim\bigtriangleup NKP$$ и $$\frac{NK}{HB}=\frac{NP}{HP}=\frac{8}{5}$$ $$\Rightarrow$$ $$HB=15$$ $$\Rightarrow$$ $$AB=30$$
Задание 5528
Периметр прямоугольника равен 56, а диагональ равна 27. Найдите площадь этого прямоугольника.
1) Пусть $$AD=x$$, $$DC=y$$, тогда $$2(x+y)=56$$ $$\star$$
2) $$\bigtriangleup ADC$$ - прямоугольный $$\Rightarrow$$ $$AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}$$. С учетом $$\star$$: $$\left\{\begin{matrix}x+y=28&\\x^{2}+y^{2}=27^{2}&\end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=784&\\x^{2}+y^{2}=729^{2}&\end{matrix}\right.$$ Подставим из второго в первое: $$729+2xy=784$$ $$\Rightarrow$$ $$2xy=55$$ $$\Rightarrow$$ $$xy=27,5$$
Задание 5527
Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 12 и CH = 3. Найдите высоту ромба.
1) $$ABCD$$ - ромб $$\Rightarrow$$ $$AD=CD=12+3=15$$
2) $$\bigtriangleup AHD$$ - прямоугольный $$\Rightarrow$$ $$AH=\sqrt{AD^{2}-DH^{2}}=\sqrt{15^{2}-12^{2}}=9$$
Задание 5526
В параллелограмм вписана окружность. Найдите периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна 8.
1) т.к. окружность вписана, то $$AB+CD=BC+AD$$, но $$ABCD$$ - параллелограм $$\Rightarrow$$ $$AB+CD$$; $$AD=BC$$ $$\Rightarrow$$ $$2AB=2BC$$ $$\Rightarrow$$ $$AB=BC$$ $$\Rightarrow$$ $$ABCD$$ - ромб
2) $$P_{ABCD}=4\cdot AB=4\cdot8=32$$
Задание 5525
Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а периметр равен 56. Найдите площадь трапеции.
1) Пусть $$AB=18$$; $$DC=8$$ $$\Rightarrow$$ $$AD=CB=\frac{56-(18+8)}{2}=15$$
2) Пусть $$CH$$ и $$DM\perp AB$$ $$\Rightarrow$$ $$MN=DC=8$$; $$AD=CB$$; $$DM=CH$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup AMD=\bigtriangleup CHB$$ (по гипотенузе и катету) $$\Rightarrow$$ $$AM=HB=\frac{18-8}{2}=5$$
3) $$CH=\sqrt{CB^{2}-HB^{2}}=\sqrt{15^{2}-5^{2}}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}$$
4) $$S_{ABCD}=\frac{AB+CD}{2}\cdot CH=\frac{18+8}{2}\cdot10\sqrt{2}=130\sqrt{2}$$
Задание 5523
Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны $$2\sqrt{5},\sqrt{7}$$ и 2 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K , A и C подобен исходному. Найдите косинус угла AKC, если ∠KAC>90° .
1) $$\cos\angle B=\frac{BC^{2}+AB^{2}-AC^{2}}{2BC\cdot AB}<0$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle B>90^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle B=\angle CAK$$ (из подобия)
2) $$\angle ACK\neq\angle BCA$$ (иначе $$K\in CB$$) $$\Rightarrow$$ $$\angle ACK=\angle BAC$$ и $$\angle AKC=\angle BCA$$ $$\Rightarrow$$ $$\cos\angle AKC=\cos\angle BCA=\frac{BC^{2}+AB^{2}-AC^{2}}{2BC\cdot AB}=\frac{4+20-7}{2\cdot2\cdot2\sqrt{5}}=\frac{17}{8\sqrt{5}}$$
Задание 5522
В треугольнике АВС углы А и С равны 40° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.
1) из $$\bigtriangleup CHB$$: $$\angle HBC=90^{\circ}-\angle C=30^{\circ}$$
2) из $$\bigtriangleup ABC$$: $$\angle B=180^{\circ}-(\angle A+\angle C)=80^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle CBD=\frac{\angle B}{2}=40^{\circ}$$ ($$BD$$ - биссектриса)
3) $$\angle CBH=\angle CBD-\angle CBH=10^{\circ}$$
Задание 5521
На сторонах угла BAC и на его биссектрисе отложены равные отрезки AB, AC и AD. Величина угла BDC равна 160°. Определите величину угла BAC.
1) $$AB=AD=AC$$ (по условию); $$\angle BAD=\angle DAC$$ ($$AD$$ - биссектриса), тогда $$\bigtriangleup BAD=\bigtriangleup ADC$$
2) $$\angle BDA=\angle ADC=\frac{\angle BDC}{2}=80^{\circ}$$
3) $$\angle ABD=\angle BDA$$ ($$AB=AD$$) $$\Rightarrow$$ $$\angle BAD=180^{\circ}-2\cdot80^{\circ}=20^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle BAC=20^{\circ}\cdot2=40^{\circ}$$
Задание 5520
Найдите величину угла AOE, если OE — биссектриса угла AOC , OD— биссектриса угла COB.
1) т.к. $$OD$$ - биссектриса, то $$\angle COD=\angle DOB=25^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle COB=50^{\circ}$$
2) $$\angle AOC=180^{\circ}-\angle COB=130^{\circ}$$ (смежный)
3) $$\angle AOE=\frac{\angle AOC}{2}=65^{\circ}$$ ($$OE$$ - биссектриса)
Задание 5519
Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 16, DC = 24 , AC = 25.
1) $$\angle BAM=\angle MCD$$ (накрестлежащие)
2) $$\angle AMB=\angle DMC$$ (вертикальные) $$\Rightarrow$$ из п.1 и п.2 $$\bigtriangleup ABM\sim\bigtriangleup DMC$$
3) Из подобия: $$\frac{AB}{DC}=\frac{AM}{MC}$$ Пусть $$AM=x$$, тогда $$MC=25-x$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{16}{24}=\frac{x}{25-x}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{2}{3}=\frac{x}{25-x}$$ $$\Rightarrow$$ $$50-2x=3x$$ $$\Rightarrow$$ $$x=10$$ $$\Rightarrow$$ $$MC=15$$
Задание 5518
Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О — центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 100°.
1) $$OA\perp AC$$ по свойству радиуса, проведенного в точку касания;
2) $$\smile KA=100^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle KOA=100^{\circ}$$ (центральный) $$\Rightarrow$$ $$\angle DOA=80^{\circ}$$ (смежный) ($$\smile DA\neq100^{\circ}$$ т.к. $$\angle DOA<90^{\circ}$$)
3) $$\angle ACO=90^{\circ}-\angle COA=10^{\circ}$$
Задание 5517
В треугольнике ABC угол B равен 72°, угол C равен 63°, $$BC=2\sqrt{2}$$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
1) $$\angle A=180^{\circ}-(\angle B-\angle C)=45^{\circ}$$
2) Пусть $$R$$ - радиус описанной окружности, тогда : $$\frac{BC}{\sin A}=2R$$ $$\Rightarrow$$ $$R=\frac{BC}{\sin A}=\frac{2\sqrt{2}}{2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}=2$$
Задание 5516
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 15, AC = 25.
1) Пусть О - центр окружности. М - точка пересечения $$AC$$ и окружности.
2) По свойству касательной и секущей: $$AM\cdot AC=AB^{2}$$
Пусть $$M=x$$, тогда $$AM=25-x$$.
Получим: $$(25-x)\cdot25=15^{2}$$ $$\div25$$ $$\Rightarrow$$
$$25-x=9$$ $$\Rightarrow$$ $$x=16=CM$$ - диаметр
Задание 5515
Окружность, вписанная в треугольник ABC , касается его сторон в точках M, K и P. Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP равны 49°, 69° и 62°.
1) $$\angle PKM$$ - вписанный и опирается на $$\smile PM$$. Но и $$\angle PMB$$ опирается на эту же хорду (угол между хордой и касательной равен половине дуги, на которую опирается) $$\Rightarrow$$ $$\angle PMB=\angle PKM=62^{\circ}$$ аналогично $$\angle MPB=62^{\circ}$$, тогда $$\angle B=180^{\circ}-2\cdot 62^{\circ}=56^{\circ}$$
2) Аналогично п.1 : $$\angle A=180^{\circ}-2\cdot 49^{\circ}=82^{\circ}$$; $$\angle C=180^{\circ}-2\cdot 69^{\circ}=42^{\circ}$$
Задание 5514
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 18, а сторона AC в 1,2 раза больше стороны BC.
1) Пусть $$BC=x$$ $$\Rightarrow$$ $$AC=1,2x$$;
2) $$BKPC$$ - вписан $$\Rightarrow$$ $$\angle KPC+ \angle KBC=180^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle APK=\angle ABC$$. Аналогично $$\angle AKP=\angle PCB$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup APK\sim \bigtriangleup ABC$$;
3) из п. 2: $$\frac{AK}{AC}=\frac{KP}{BC}$$ $$\Rightarrow$$ $$KP=\frac{AK\cdot BC}{AC}=\frac{18\cdot x}{1.2x}=15$$
Задание 5513
Отрезки АВ и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если АВ = 24, а расстояние от центра окружности до хорд АВ и CD равны соответственно 16 и 12.
1) Пусть О - центр окружности, $$OH\perp AB$$ и $$OM\perp CD$$;
2) $$OB=OA$$ - радиусы, $$OH$$ - общий катет $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup OHB=\bigtriangleup OHA$$ $$\Rightarrow$$ $$AH=HB=\frac{1}{2}AB=12$$;
3) $$OB=\sqrt{OH^{2}+HB^{2}}=20$$ (по т. Пифагора); $$OD=OB$$ - радиусы.
4) $$DM=\sqrt{OD^{2}-OM^{20}}=16$$ (по т. Пифагора);
5) $$DM=MC$$ (аналогично п. 2) $$\Rightarrow$$ $$CD=32$$