Перейти к основному содержанию

ОГЭ

ОГЭ / (C4) Геометрическая задача на вычисление

Задание 2670

ABC – равнобедренный треугольник с основанием AC, CD – биссектриса угла C, ∠ADC = 150°. Найдите ∠B.

Ответ: 140
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Пусть $$\angle A=\angle C=x$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle ACD=\frac{x}{2}$$ (CD-биссектриса)

2) $$x+\frac{x}{2}+150=180^{\circ}$$ (из $$\bigtriangleup ADC$$) $$1,5x=30$$ $$\Rightarrow$$ $$x=20^{\circ}$$

3) $$\angle B=180^{\circ}-2x=180^{\circ}-40^{\circ}=140^{\circ}$$

 

Задание 2774

Точка М лежит внутри равнобедренного треугольника АВС с основанием АС на расстоянии 6 см от боковых сторон и на расстоянии $$\sqrt{3}$$ см от основания. Найдите основание треугольника, если $$\angle B=120^{\circ}$$.

Ответ: 30
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) $$\bigtriangleup BMC$$ - прямоугольный: $$\frac{CM}{BM}=\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$; $$\frac{6}{BM}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$BM=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}$$

2) $$BK=BM+MK=4\sqrt{3}+\sqrt{3}=5\sqrt{3}$$

3) $$\tan 60^{\circ}=\frac{AK}{BK}$$ (из $$\bigtriangleup ABK$$) $$\sqrt{3}=\frac{x}{5\sqrt{3}}$$ $$\Rightarrow$$ $$x=15$$ $$\Rightarrow$$ $$AC=15\cdot2=30$$

 

 

Задание 2816

Сторона АВ треугольника АВС разделена на три равные части и через точки деления проведены прямые, параллельные стороне АС. Найдите площадь трапеции, заключенной между ними, если площадь треугольника равна 93.

Ответ: 31
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\bigtriangleup BKP\sim \bigtriangleup BML\sim \bigtriangleup ABC$$

$$BK=\frac{1}{3}AB$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{KBP}=\frac{1}{9}S_{ABC}=\frac{1}{9}\cdot93=10\frac{1}{3}$$

 

 

Задание 2928

Окружность с центром О вписана в прямоугольный треугольник АВС. Она касается гипотенузы АВ в точке М, причем АМ = 12 и ВМ = 8. Найдите площадь треугольника АОВ.

Ответ: 40
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Решение временно отсутствует, можете найти его в моем видео-разборе ( вначале варианта )

Задание 2977

В треугольнике ABC высота BD = 11,2 см, а высота AE = 12см. Точка E делит сторону BC в отношении 5:9, считая от вершины B. Найти длину стороны AC.

Ответ: 15
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Текстовое решение временно отсутствует. Вы можете найти разбор в видео перед вариантом

Задание 3018

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если длина гипотенузы равна $$2\sqrt{13}$$ см, а длина медианы, проведенной из вершины большего острого угла равна 5 см.

Ответ: 12
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть $$AC=x$$; $$CB=2y$$

Из $$\bigtriangleup ACH$$ и $$\bigtriangleup ACB$$:

$$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=5^{2}\\x^{2}-(2y)^{2}=(2\sqrt{13})^{2}\end{matrix}\right.$$

$$4y^{2}-y^{2}=4\cdot13-25$$

$$3y^{2}=27\Rightarrow y^{2}=9\Rightarrow y=3$$

$$x^{2}+9=25\Rightarrow x=4$$

$$S=\frac{1}{2}AC\cdot CB=\frac{1}{2}\cdot x\cdot 2y=xy=3\cdot 4=12$$

 

 

Задание 3102

Длина средней линии трапеции равна 5 см, а длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна 3 см. Найдите длину большего основания, если углы при нем равны 30º и 60º.

Ответ: 8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) $$\angle H=180^{\circ}-\angle A-\angle D=180^{\circ}-60^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$

$$\bigtriangleup AHD$$ - прямоугольный $$\Rightarrow$$

HL - медиана; HL=AL=LP

2) $$KZ=ZL=1,5$$; $$MZ=ZN=2,5$$

Пусть $$KC=x$$; $$LD=y$$ $$\Rightarrow$$ $$KH=HL-KL=y-3$$

3) $$\bigtriangleup HZN\sim \bigtriangleup HLD$$: $$\frac{HZ}{HL}=\frac{ZN}{LD}$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\frac{y-1,5}{y}=\frac{2,5}{y}$$ 

$$y^{2}-1,5y=2,5y$$

$$y^{2}-4y=0$$

$$y=0$$ (не подходит) и $$y=4$$ $$\Rightarrow$$

$$AD=2\cdot4=8$$

Задание 3142

Найдите катеты прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 20, а радиус вписанной окружности равен 4.

Ответ: 12 и 16
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Текстовое решение временно недоступно, вы можете найти его в видео в начале варианта

Задание 3189

Из одной точки проведены к окружности две касательные, длина каждой из которых равна 12 см, а расстояние между точками касания равно 14,4 см. Найдите радиус окружности.

Ответ: 9
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) $$OB\perp AB$$ и $$OC\perp CA$$ (свойство радиусов в точку касания), ОА - общая, $$AC=AB$$ по условию $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup OBA=\bigtriangleup OAC$$

2) $$\bigtriangleup ABH=\bigtriangleup AHC$$ (АH - общая; $$\angle BAH=\angle HAC$$; $$AB=AC$$) $$\Rightarrow$$ $$BH=HC$$ и $$BC\perp OA$$ $$\Rightarrow$$ $$BH=HC=0,5BC=14,4\cdot0,5=7,2$$

3) По теореме Пифагора $$AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{12^{2}-7,2^{2}}=\sqrt{92,16}=9,6$$

4) из $$\bigtriangleup BHA\sim \bigtriangleup BOA$$: $$\frac{HA}{AB}=\frac{BH}{OB}$$ $$\Rightarrow$$ $$OB=\frac{AB\cdot BH}{HA}=\frac{12\cdot7,2}{9,6}=9$$

Задание 3274

Середины двух соседних сторон и не принадлежащая им вершина ромба соединены друг с другом отрезками прямых. Найдите площадь получившегося треугольника, если сторона ромба равна 4 см, а острый угол равен 60°. 

Ответ: $$3\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$BH=DM=2$$ $$S_{\bigtriangleup ABH}=S_{\bigtriangleup ADM}=$$ $$=\frac{1}{2}\cdot2\cdot4\cdot\sin120^{\circ}=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$$ $$S_{\bigtriangleup CMH}=\frac{1}{2}\cdot2\cdot2\cdot\sin60^{\circ}=\sqrt{3}$$ $$S_{ABCD}=4\cdot4\cdot\sin120^{\circ}=\frac{16\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}$$ $$S_{AHM}=8\sqrt{3}-2\cdot2\sqrt{3}-\sqrt{3}=3\sqrt{3}$$

Задание 3313

В равнобедренном треугольнике с основанием АС и боковой стороной АВ проведена высота АD делящая боковую сторону ВС в отношении ВD : DC = 7 : 1. Найдите АВ если АС = 4 см.

Ответ: 8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 3360

Один из углов параллелограмма в 5 раз больше другого, а одна из его диагоналей является высотой. Найдите отношение диагоналей параллелограмма

Ответ: $$\sqrt{13}:1$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 3408

В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла В проведены медиана ВЕ и высота ВК. Найдите длину гипотенузы АС, если КЕ = 1, $$\angle BAK=60^{\circ}$$.

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 3567

В треугольнике АВС АВ = ВС = 4см. АЕ = 3 см – медиана треугольника. Найдите АС.

Ответ: $$\sqrt{10}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) из $$\bigtriangleup ABE$$:

$$\cos B=\frac{AB^{2}+BE^{2}-AE^{2}}{2AB\cdot BC}=\frac{4^{2}+2^{2}-3^{2}}{2\cdot4\cdot2}=\frac{16+4-9}{16}=\frac{11}{16}$$

2) из $$\bigtriangleup ABC$$:

$$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}-2AB\cdot BC\cdot\cos B}=\sqrt{4^{2}+4^{2}-2\cdot4\cdot4\cdot\frac{11}{16}}=\sqrt{32-22}=\sqrt{10}$$

Задание 3844

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 18 и 30, а основание BC равно 3. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

Ответ: 270
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Достроим $$DL$$ до пересечения с $$BC$$

$$DL\cap BC=M$$

2) $$\bigtriangleup MCD$$ - равнобедренный, т.к. $$\angle LDA=\angle LDC$$ ($$DL - (бисектрисса)

($$\angle BML=\angle ALD$$ - накрестлежащие)

3) $$CM=CD=30$$ $$\Rightarrow$$ $$BM=30-BC=27$$

4) $$\bigtriangleup MBL=\bigtriangleup LDA$$ ($$LB=LA$$; $$\angle MBL=\angle LAD$$; $$\angle MLB=\angle ALD$$) 

$$\Rightarrow$$ $$AD=MB=27$$

5) опустим $$BH\perp CAD$$; $$CK\perp AD$$

$$BH=CK=y$$, тогда $$HK=KB=3$$

Пусть $$AH=x$$, тогда $$KD=27-x-3=24-x$$

Распишем т. Пифагора для $$\bigtriangleup ABH$$ и $$\bigtriangleup CKD$$

$$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=18^{2}\\(24-x)^{2}+y^{2}=30^{2}\end{matrix}\right.$$

$$(24-x)^{2}-x^{2}=30^{2}-18^{2}$$

$$576-48x+x^{2}-x^{2}=576$$

$$-48x=0$$

$$x=0$$ $$\Rightarrow$$

$$AB\perp AD$$

$$S_{ABCD}=\frac{3+27}{2}\cdot18=30\cdot9=270$$

 

Задание 3995

В прямоугольную трапецию вписана окружность. Найдите её радиус, если основания трапеции 2 см и 3 см.

Ответ: 1,2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Пусть К - точка каасния АВ и окружности

2) Пусть r - радиус окружности $$BK=KA=r$$ $$\Rightarrow$$ $$BA=2r$$

3) По свойству описанного четырехугольника: $$AB+CD=BC+AD$$ $$\Rightarrow$$

$$2r+CD=2+3=5$$ $$\Rightarrow$$

$$CD=5-2R$$

4) Опустим $$CC_{1}\perp AD$$ $$\Rightarrow$$

$$CC_{1}=AB=2r$$

По теореме Пифагора: $$CC_{1}^{2}+C_{1}D^{2}=CD^{2}$$

$$C_{1}D=AD-BC=3-2=1$$

$$(2r)^{2}+1^{2}=(5-2r)^{2}$$

$$4r^{2}+1=25-20r+4r^{2}$$

$$20r=24$$ $$\Rightarrow$$ $$r=1,2$$

Задание 4059

В равнобедренной трапеции диагональ длиной 3 см образует угол $$45^{\circ}$$ с основанием. Найдите площадь трапеции.

Ответ: 4,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Построим BH и CM $$\perp AD\Rightarrow$$ 

$$\bigtriangleup BHD$$ - прямоугольный

$$\angle HDB=45^{\circ}\Rightarrow$$ ; $$\angle HBD=45^{\circ}\Rightarrow$$ 

$$BH=HD=x$$

$$BH^{2}+HD^{2}=BD^{2}$$

$$2x^{2}=9\Rightarrow x^{2}=\frac{9}{2}$$ $$\Rightarrow$$

$$x=\frac{3\sqrt{2}}{2}$$

2) $$BH=CM;AB=CD\Rightarrow$$

$$\bigtriangleup AHB=\bigtriangleup CMD$$ $$\Rightarrow$$

$$AH=MD=y$$ $$\Rightarrow$$

$$HM=\frac{3\sqrt{2}}{2}-y=BC$$

3) $$S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot BH=$$

$$=\frac{y+\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}-y}{2}\cdot\frac{3\sqrt{2}}{2}=$$

$$=\frac{3\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{9}{2}=4,5$$

Задание 4329

В треугольнике АВС АС=АВ, медианы АМ и ВF пересекаются в точке О, АМ:ВF=8:5.Найдите BF, если площадь треугольника AOF равна 24.

Ответ: 15
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Пусть $$S_{ABC}=S$$, тогда $$S=2\cdot\frac{1}{2}\cdot AC\cdot AM\sin\alpha=AC\cdot AM\sin\alpha$$; $$S_{AFO}=\frac{1}{2}\cdot AF\cdot AO\sin\alpha=$$ $$\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}AC\cdot\frac{2}{3}AM\sin\alpha=\frac{1}{6}AC\cdot AM\sin\alpha=24$$ $$\Rightarrow$$ $$AC\cdot AM\sin\alpha=144=S$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{1}{2}AM\cdot CB=144$$

2) Пусть $$AM=8x$$ $$\Rightarrow$$ $$BF=5x$$, по свойству медиан: $$OB=\frac{2}{3}BF=\frac{10x}{3}$$; $$OM=\frac{1}{3}AM=\frac{8x}{3}$$; $$MB=\sqrt{OB^{2}-OM^{2}}=\sqrt{(\frac{10x}{3})^{2}-(\frac{8x}{3})^{2}}=\frac{6x}{3}=2x$$ $$\Rightarrow$$ $$CB=4x$$

3) $$\frac{1}{2}AM\cdot CB=144$$; $$\frac{1}{2}\cdot8x\cdot4x=144$$; $$32x^{2}=288$$; $$x^{2}=9$$ $$x=3$$

4) $$BF=5x=5\cdot3=15$$

 

Задание 4535

Основание равнобедренного треугольника равно 12 см, а высота, проведенная к боковой стороне, равна 9,6 см. Найдите периметр треугольника

Ответ: 32
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Проведем $$BM\perp AC$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup BMC\sim\bigtriangleup AHC$$  (прямоугольные; $$\angle C$$ - общий)

2) $$MC=\frac{1}{2}AC=6$$; $$HC=\sqrt{12^{2}-9,6^{2}}=7,2$$;

3) $$\frac{BM}{AH}=\frac{MC}{HC}$$ $$\Rightarrow$$ $$BM=\frac{AH\cdot MC}{HC}=\frac{9,6\cdot6}{7,2}=8$$

4)$$BC=\sqrt{MC^{2}+BM^{2}}=10=AB$$

$$P_{ABC}=10+10+12=32$$

Задание 4652

Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади четырёхугольника KPCM.

Ответ: 2,4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Выполним построение:

1)Точка K - середина BM, значит $$\frac{BK}{KM}=\frac{1}{1}$$
Точка M -середина AC, значит $$\frac{MA}{AC}=\frac{1}{2}$$
По теореме Менелая:
$$\frac{BK}{KM}*\frac{MA}{AC}*\frac{BK}{KM}=1$$
$$\frac{1}{1}*\frac{1}{2}*\frac{BK}{KM}=1$$
Тогда  $$\frac{BK}{KM}=\frac{2}{1}$$
2)Из пункта 1: $$BP=\frac{1}{3}BC$$
$$\frac{S_{BKP}}{S_{BMC}}=\frac{BK*BP}{BM*BC}$$
$$\frac{S_{BKP}}{S_{BMC}}=\frac{0,5BM*\frac{1}{3}BC}{BM*BC}=$$$$\frac{1}{6}$$
Тогда $$S_{KPCM}=\frac{5}{6}*S_{BMC}=$$$$\frac{5}{6}*\frac{1}{2}*S_{ABC}=\frac{5}{12}*S_{ABC}$$
Тогда $$\frac{S_{ABC}}{S_{KPCM}}=\frac{12}{5}$$

Задание 4802

Площадь равнобедренной трапеции равна 96. Диагональ трапеции делит её тупой угол пополам. Длина меньшего основания равна 3. Найдите периметр трапеции.

Ответ: 42
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Построим рисунок согласно условию задачи.

1)$$\angle ACD =\angle BAC$$ (накрестлежащие), при этом $$\angle DAC =\angle BAC$$ (AC-биссектрисса), следовательно $$\angle DAC = \angle ACB$$ и треугольник DAC - равнобедренный
2) Так как трапеция равнобедренная, то, если мы опустим две высоты AE и BF, то отрезки DE и FC, AB и EF равны. Пусть DE=FC=x. Тогда ВС = 2x+3=AD.
3) По т.Пифагора из треугольника ADE: $$AE=\sqrt{(2x+3)^{2}-x^{2}}$$$$=\sqrt{(x+3)(3x+3)}$$
4)Тогда площадь трапеции мы можем расписаться как: $$96=\frac{3+2x+3}{2}*\sqrt{(x+3)(3x+3)}$$
$$96=(x+3)*\sqrt{(x+3)(3x+3)}\Leftrightarrow $$$$96^{2}=(x+3)^2*(x+3)*3*(x+1)\Leftrightarrow $$$$3072=(x+3)^3(x+1)$$
Пусть $$x+3=y$$, тогда $$x+1=y-2$$
$$y^{3}(y-2)=3072\Leftrightarrow $$$$y^{4}-2y^{3}-3072=0$$
Выбираем целочисленные делители свободного члена (3072) и путем подстановки ищем корень уравнения. Получаем, что один из корней y=8. Если поделить столбиком наше уравнение на y-8, то получим $$y^{3}+6y^{2}+48y-384$$, данное выражение не обнуляется ни при одном из положительных у, а отрицательное y нас не устраивает, так как длина не может быть отрицательной. Тогда
$$y=8\Leftrightarrow $$$$x+3=8\Leftrightarrow $$$$x=5$$
$$P=3*(2x+3)+3\Leftrightarrow $$$$P=3*13+3=42$$

Задание 4870

В равнобедренной трапеции основания равны 12 см и 20 см, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции.

Ответ: 256
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Проведем высоту LM через H
2) Т.к. $$\bigtriangleup BHC$$ - прямоугольный, то LM - высота, медиана, а значит LH=BL=LC=6, аналогично MH=AM=MD=10, тогда ML=16
3)$$S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}*LM=$$$$\frac{20+12}{2}*16=256$$

Задание 4897

Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит его на два треугольника, площади которых равны соответственно 6 и 54. Найдите гипотенузу треугольника 

Ответ: 20
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Треугольники ACH и CHB подобны (оба прямоугольные, угол A такой же, как угол HCB). В таком случае можем найти коэффициент подобия $$k=\frac{AH}{CH}=\frac{CH}{HB}=\frac{AC}{CB} (1)$$
2) Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, то есть: $$k^{2}=\frac{54}{6}$$, значит k=3
3) Пусть AH = 3x, тогда из равенства (1) получаем, что $$CH=\frac{AH}{3}=x$$, тогда $$HB=\frac{CH}{3}=\frac{x}{3}$$, тогда $$AB=3x+\frac{x}{3}=\frac{10x}{3}$$
4)$$S_{CHA}=\frac{1}{2}*AH*CH=\frac{3x*x}{2}=54$$. В таком случае x=6; тогда $$AB=\frac{10*6}{3}=20$$

Задание 4944

 Около окружности диаметром 15 описана равнобедренная трапеция с боковой стороной, равной 17. Найдите длину большего основания трапеции. 

Ответ: 25
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) По свойству радиусов .проведенных в точку касания, диаметр и высота трапеции одинаковы, тогда, из треугольника CND по теореме Пифагора: $$ND=\sqrt{CD^{2}-CN^{2}}=\sqrt{17^{2}-15^{2}}=8=AK$$

2) По свойству четырехугольника, описанного около окружности имеем, что $$BC+AD=AB+CD$$. Пусть $$BC=KN=x$$, тогда $$x+8+x+8=17+17$$, тогда $$x=9$$, следовательно, $$AD=8+9+8=25$$

Задание 4991

 Через концы хорды, длина которой 30, проведены две касательные, до пересечения в точке А. Найдите расстояние от точки А до хорды, если радиус окружности равен 17. 

Ответ: $$28\frac{1}{8}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Треугольник OCD - равнобедренный (OC=OD - Радиусы). Треугольник OCA равен треугольнику OAD (оба прямоугольные по свойству касательной и радуиса в точку касания, AC=AD по свойству касательной, OA - общая). Тогда углы COA и DOA равны, тогда треугольники COH и OHD равны. Тогда $$CH=\frac{1}{2}CB=15$$; $$OH=\sqrt{OC^{2}-CH^{2}}=\sqrt{17^{2}-15^{2}}=8$$;

2) Пусть $$CA=x$$,$$HA=y$$, тогда по теореме Пифагора и по формуле высоты прямоугольного треугольника как произведение катетов деленное на гипотенузу:

$$\left\{\begin{matrix}CA^{2}+CO^{2}=OA^{2}\\CH=\frac{OC\cdot CA}{OA}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+17^{2}=(8+y)^{2}\\15=\frac{17\cdot x}{8+y}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$120+15y=17\cdot x$$; $$y=\frac{17x-120}{15}$$; $$x^{2}+289=(8+\frac{17x-120}{15})^{2}$$; $$x^{2}+289=\frac{289x^{2}}{225}$$; $$225x^{2}+289\cdot225=289x^{2}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$64x^{2}=289\cdot225$$;$$x=\frac{17\cdot15}{8}=31,875$$; $$y=28,125=28\frac{1}{8}$$

Задание 5040

Меньшее основание прямоугольной трапеции равно 12,5 см, а большая диагональ является биссектрисой угла при большем основании и равна 20 см. Найдите площадь трапеции. 

Ответ: 171
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) $$\angle BDC=\angle ADB$$ (BD - биссект.); $$\angle CDB=\angle BDA$$ (накрестлежащие); $$\Rightarrow$$ $$\angle CBD=\angle BCD$$ $$\Rightarrow$$ $$BC=CD=12,5$$

2) $$CH$$ - высота, тогда $$AH=HD=12,5$$. Пусть $$AB=CH=x$$, $$HD=y$$,тогда: из $$\bigtriangleup CHD$$ и $$\bigtriangleup ABD$$:  $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=(12,5)^{2}\\x^{2}+(12,5+y)^{2}=20^{2}\end{matrix}\right.$$

$$20^{2}-(12,5+y)^{2}+y^{2}=12,5^{2}$$; $$400-12,5^{2}-25y-y^{2}+y^{2}-12,5^{2}=0$$; $$400-312,5=25y$$; $$y=3,5$$ $$\Rightarrow$$ $$x=\sqrt{400-256}=12$$

3) $$S=\frac{12,5+12,5+3,5}{2}\cdot12=171$$  

Задание 5087

Основания трапеции равны 6 см и 18 см. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям, до пересечения с боковыми сторонами. Найдите длину отрезка этой прямой. 

Ответ: 9
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) $$\bigtriangleup BOC\sim\bigtriangleup AOD$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{OC}{AO}=\frac{BC}{AD}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$$

2) т.к. $$\bigtriangleup AOM\sim\bigtriangleup ABC$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{MO}{BC}=\frac{AO}{AC}$$; $$\frac{AO}{AC}=\frac{AO}{AO+OC}$$; $$OC=\frac{1}{3}AO$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{AO}{AO+OC}=\frac{AO}{AO+\frac{1}{3}AO}=\frac{3}{4}$$ $$\Rightarrow$$ $$MO=\frac{3}{4}BC=4,5$$

3) т.к. $$\bigtriangleup OCN\sim\bigtriangleup ACD$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{ON}{AD}=\frac{OC}{AC}$$; $$\frac{OC}{AC}=\frac{OC}{OC+3OC}=\frac{1}{4}$$ $$\Rightarrow$$ $$ON=\frac{1}{4}AD=4,5$$ $$\Rightarrow$$ $$MN=9$$

Задание 5174

Углы, образуемые диагоналями ромба с одной из его сторон относятся как 2:3. Найдите углы ромба.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 5224

 На сторонах ВС и ВА треугольника АВС взяты точки E и F такие, что ВE:EС=1:3, ВF:FА=1:2. Площадь треугольника BEF равна 10. Найти площадь треугольника АВС 

Ответ: 120
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\frac{S_{ABC}}{S_{BEF}}=\frac{AB*BC}{BF*BE}(1)$$. Так как ВE:EС=1:3, то BC=4BE, так как ВF:FА=1:2, то AB=3BF. Подставим данные выражения в формулу (1): $$\frac{S_{ABC}}{S_{BEF}}=\frac{3BF*4BE}{BF*BE}=12$$, тогда $$S_{ABC}=12S_{BFE}=12*10=120$$

Задание 5320

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки длины 15 и 20 см.

Ответ: 294
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1)$$\frac{AC}{CB}=\frac{AL}{LB}=\frac{3}{4}$$ по свойству биссектрисы. Тогда, пусть AC=3x ; CB=4x

2)Из треугольника ABC по теореме Пифагора: $$AC^{2}+CB^{2}=AB^{2} \Leftrightarrow$$$$(3x)^{2}+(4x)^{2}=35^{2}$$. Отсюда x=7. Тогда AC=21 ; CB = 28.

3)$$S_{ABC}=\frac{1}{2}AC*CB=\frac{1}{2}*21*28=294$$

Задание 5367

В окружности радиуса 16 см проведена хорда длиной, равной 8 см. через один конец хорды проведена касательная, а через другой – секущая, параллельная касательной. Найдите расстояние между касательной и секущей.

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
1)Из треугольника AOB: по теореме косинусов $$\cos OAB = \frac{OA^{2}+AB^{2}-OB^{2}}{2OA*OB}=\frac{16^{2}+8^{2}-16^{2}}{2*16*8}=\frac{1}{4}$$
2)По свойству касательной и радиуса, проведенного в точку касания получаем, что $$AO\perp AK$$, но из параллельности AK и BH получаем, что $$AO\perp BH$$
3)Из треугольника ABH: $$AH=AB\cos OAB=8*\frac{1}{4}=2$$

Задание 5415

Высота прямоугольной трапеции в три раза больше меньшего основания, а большее основание равно 5. Найдите площадь трапеции, если её диагональ является биссектрисой угла при меньшем основании.

Ответ: 9
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1)AC-биссектриса $$\Rightarrow \angle BCA=\angle DCA;$$

$$\angle DAC=\angle BCA$$(накрест)$$\Rightarrow \angle DCA=\angle DAC\Rightarrow AD=CD=5;$$

2)$$CH||AB\Rightarrow AH=BC=x\Rightarrow HD=5-x$$ $$CH=3*x \Rightarrow \Delta CHD:5^{2}=\left ( 5-x \right )^{2}+3*x ^{2};$$

$$25=25-10x +x ^{2}+9x ^{2}\Rightarrow$$ $$10x ^{2}-10x =0\Rightarrow$$ $$10x \left ( x -1 \right )=0\Rightarrow$$$$x =0; x =1;$$

3)$$S=\frac{5+1}{2}*3=9;$$

Задание 5513

Отрезки АВ и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если АВ = 24, а расстояние от центра окружности до хорд АВ и CD равны соответственно 16 и 12.

Ответ: 32
Скрыть

1) Пусть О - центр окружности, $$OH\perp AB$$ и $$OM\perp CD$$;

2) $$OB=OA$$ - радиусы, $$OH$$ - общий катет $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup OHB=\bigtriangleup OHA$$ $$\Rightarrow$$ $$AH=HB=\frac{1}{2}AB=12$$;

3) $$OB=\sqrt{OH^{2}+HB^{2}}=20$$ (по т. Пифагора); $$OD=OB$$ - радиусы.

4) $$DM=\sqrt{OD^{2}-OM^{20}}=16$$ (по т. Пифагора);

5) $$DM=MC$$ (аналогично п. 2) $$\Rightarrow$$ $$CD=32$$

Задание 5514

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 18, а сторона AC в 1,2 раза больше стороны BC.

Ответ: 15
Скрыть

1) Пусть $$BC=x$$ $$\Rightarrow$$ $$AC=1,2x$$;

2) $$BKPC$$ - вписан $$\Rightarrow$$ $$\angle KPC+ \angle KBC=180^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle APK=\angle ABC$$. Аналогично $$\angle AKP=\angle PCB$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup APK\sim \bigtriangleup ABC$$;

3) из п. 2: $$\frac{AK}{AC}=\frac{KP}{BC}$$ $$\Rightarrow$$ $$KP=\frac{AK\cdot BC}{AC}=\frac{18\cdot x}{1.2x}=15$$

Задание 5515

Окружность, вписанная в треугольник ABC , касается его сторон в точках M, K и P. Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP равны 49°, 69° и 62°.

Ответ: $$42^{\circ}$$
Скрыть

1) $$\angle PKM$$ - вписанный и опирается на $$\smile PM$$. Но и $$\angle PMB$$ опирается на эту же хорду (угол между хордой и касательной равен половине дуги, на которую опирается) $$\Rightarrow$$ $$\angle PMB=\angle PKM=62^{\circ}$$ аналогично $$\angle MPB=62^{\circ}$$, тогда $$\angle B=180^{\circ}-2\cdot 62^{\circ}=56^{\circ}$$

2) Аналогично п.1 : $$\angle A=180^{\circ}-2\cdot 49^{\circ}=82^{\circ}$$; $$\angle C=180^{\circ}-2\cdot 69^{\circ}=42^{\circ}$$

Задание 5516

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 15, AC = 25.

Ответ: 16
Скрыть

1) Пусть О - центр окружности. М - точка пересечения $$AC$$ и окружности.

2) По свойству касательной и секущей: $$AM\cdot AC=AB^{2}$$

Пусть $$M=x$$, тогда $$AM=25-x$$.

Получим: $$(25-x)\cdot25=15^{2}$$ $$\div25$$ $$\Rightarrow$$

$$25-x=9$$ $$\Rightarrow$$ $$x=16=CM$$ - диаметр

Задание 5517

В треугольнике ABC угол B равен 72°, угол C равен 63°, $$BC=2\sqrt{2}$$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Ответ: 2
Скрыть

1) $$\angle A=180^{\circ}-(\angle B-\angle C)=45^{\circ}$$

2) Пусть $$R$$ - радиус описанной окружности, тогда : $$\frac{BC}{\sin A}=2R$$ $$\Rightarrow$$ $$R=\frac{BC}{\sin A}=\frac{2\sqrt{2}}{2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}=2$$

Задание 5518

Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О — центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 100°.

Ответ: $$10^{\circ}$$
Скрыть

1) $$OA\perp AC$$ по свойству радиуса, проведенного в точку касания;

2) $$\smile KA=100^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle KOA=100^{\circ}$$ (центральный) $$\Rightarrow$$ $$\angle DOA=80^{\circ}$$ (смежный) ($$\smile DA\neq100^{\circ}$$ т.к. $$\angle DOA<90^{\circ}$$)

3) $$\angle ACO=90^{\circ}-\angle COA=10^{\circ}$$

Задание 5519

Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 16, DC = 24 , AC = 25.

Ответ: 15
Скрыть

1) $$\angle BAM=\angle MCD$$ (накрестлежащие)

2) $$\angle AMB=\angle DMC$$ (вертикальные) $$\Rightarrow$$ из п.1 и п.2 $$\bigtriangleup ABM\sim\bigtriangleup DMC$$

3) Из подобия: $$\frac{AB}{DC}=\frac{AM}{MC}$$ Пусть $$AM=x$$, тогда $$MC=25-x$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{16}{24}=\frac{x}{25-x}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{2}{3}=\frac{x}{25-x}$$ $$\Rightarrow$$ $$50-2x=3x$$ $$\Rightarrow$$ $$x=10$$ $$\Rightarrow$$ $$MC=15$$

Задание 5520

Найдите величину угла AOE, если OE — биссектриса угла AOC , OD— биссектриса угла COB.

Ответ: 65
Скрыть

1) т.к. $$OD$$ - биссектриса, то $$\angle COD=\angle DOB=25^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle COB=50^{\circ}$$

2) $$\angle AOC=180^{\circ}-\angle COB=130^{\circ}$$ (смежный)

3) $$\angle AOE=\frac{\angle AOC}{2}=65^{\circ}$$ ($$OE$$ - биссектриса)

Задание 5521

На сторонах угла BAC и на его биссектрисе отложены равные отрезки AB, AC и AD. Величина угла BDC равна 160°. Определите величину угла BAC.

Ответ: $$40^{\circ}$$
Скрыть

1) $$AB=AD=AC$$ (по условию); $$\angle BAD=\angle DAC$$ ($$AD$$ - биссектриса), тогда $$\bigtriangleup BAD=\bigtriangleup ADC$$

2) $$\angle BDA=\angle ADC=\frac{\angle BDC}{2}=80^{\circ}$$

3) $$\angle ABD=\angle BDA$$ ($$AB=AD$$) $$\Rightarrow$$ $$\angle BAD=180^{\circ}-2\cdot80^{\circ}=20^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle BAC=20^{\circ}\cdot2=40^{\circ}$$

Задание 5522

В треугольнике АВС углы А и С равны 40° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.

Ответ: $$10^{\circ}$$
Скрыть

1) из $$\bigtriangleup CHB$$: $$\angle HBC=90^{\circ}-\angle C=30^{\circ}$$

2) из $$\bigtriangleup ABC$$: $$\angle B=180^{\circ}-(\angle A+\angle C)=80^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle CBD=\frac{\angle B}{2}=40^{\circ}$$ ($$BD$$ - биссектриса)

3) $$\angle CBH=\angle CBD-\angle CBH=10^{\circ}$$

Задание 5523

Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны $$2\sqrt{5},\sqrt{7}$$ и 2 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K , A и C подобен исходному. Найдите косинус угла AKC, если ∠KAC>90° .

Ответ: $$\frac{17}{8\sqrt{5}}$$
Скрыть

1) $$\cos\angle B=\frac{BC^{2}+AB^{2}-AC^{2}}{2BC\cdot AB}<0$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle B>90^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle B=\angle CAK$$ (из подобия)

2) $$\angle ACK\neq\angle BCA$$ (иначе $$K\in CB$$) $$\Rightarrow$$ $$\angle ACK=\angle BAC$$ и $$\angle AKC=\angle BCA$$ $$\Rightarrow$$ $$\cos\angle AKC=\cos\angle BCA=\frac{BC^{2}+AB^{2}-AC^{2}}{2BC\cdot AB}=\frac{4+20-7}{2\cdot2\cdot2\sqrt{5}}=\frac{17}{8\sqrt{5}}$$

Задание 5524

В треугольнике АВС углы А и С равны 20° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.

Ответ:

Задание 5525

Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а периметр равен 56. Найдите площадь трапеции.

Ответ: $$130\sqrt{2}$$
Скрыть

1) Пусть $$AB=18$$; $$DC=8$$ $$\Rightarrow$$ $$AD=CB=\frac{56-(18+8)}{2}=15$$

2) Пусть $$CH$$ и $$DM\perp AB$$ $$\Rightarrow$$ $$MN=DC=8$$; $$AD=CB$$; $$DM=CH$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup AMD=\bigtriangleup CHB$$ (по гипотенузе и катету) $$\Rightarrow$$ $$AM=HB=\frac{18-8}{2}=5$$

3) $$CH=\sqrt{CB^{2}-HB^{2}}=\sqrt{15^{2}-5^{2}}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}$$

4) $$S_{ABCD}=\frac{AB+CD}{2}\cdot CH=\frac{18+8}{2}\cdot10\sqrt{2}=130\sqrt{2}$$

Задание 5526

В параллелограмм вписана окружность. Найдите периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна 8.

Ответ: 32
Скрыть

1) т.к. окружность вписана, то $$AB+CD=BC+AD$$, но $$ABCD$$ - параллелограм $$\Rightarrow$$ $$AB+CD$$; $$AD=BC$$ $$\Rightarrow$$ $$2AB=2BC$$ $$\Rightarrow$$ $$AB=BC$$ $$\Rightarrow$$ $$ABCD$$ - ромб

2) $$P_{ABCD}=4\cdot AB=4\cdot8=32$$

Задание 5527

Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 12 и CH = 3. Найдите высоту ромба.

Ответ: 9
Скрыть

1) $$ABCD$$ - ромб $$\Rightarrow$$ $$AD=CD=12+3=15$$

2) $$\bigtriangleup AHD$$ - прямоугольный $$\Rightarrow$$ $$AH=\sqrt{AD^{2}-DH^{2}}=\sqrt{15^{2}-12^{2}}=9$$

Задание 5528

Периметр прямоугольника равен 56, а диагональ равна 27. Найдите площадь этого прямоугольника.

Ответ: 27,5
Скрыть

1) Пусть $$AD=x$$, $$DC=y$$, тогда $$2(x+y)=56$$ $$\star$$

2) $$\bigtriangleup ADC$$ - прямоугольный $$\Rightarrow$$ $$AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}$$. С учетом $$\star$$: $$\left\{\begin{matrix}x+y=28&\\x^{2}+y^{2}=27^{2}&\end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=784&\\x^{2}+y^{2}=729^{2}&\end{matrix}\right.$$ Подставим из второго в первое: $$729+2xy=784$$ $$\Rightarrow$$ $$2xy=55$$ $$\Rightarrow$$ $$xy=27,5$$

Задание 5529

Прямая, параллельная основаниям MP и NK трапеции MNKP, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны MN и KP в точках A и B соответственно. Найдите длину отрезка AB, если MP=40 см, NK=24 см.

Ответ: 30
Скрыть

1) Пусть $$NP\cap MK=H$$; $$NK\parallel MP$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup NHK\sim\bigtriangleup MHP$$; $$\frac{NK}{MP}=\frac{24}{40}=\frac{3}{5}=\frac{NH}{HP}=\frac{HK}{HM}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{MK}{MN}=\frac{8}{5}=\frac{NP}{HP}$$

2) $$AB\parallel NK$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup AHM\sim\bigtriangleup MNK$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{NK}{AH}=\frac{MK}{MH}=\frac{8}{5}$$ $$\Rightarrow$$ $$AH=\frac{24\cdot5}{8}=15$$. Аналогично $$\bigtriangleup HBP\sim\bigtriangleup NKP$$ и $$\frac{NK}{HB}=\frac{NP}{HP}=\frac{8}{5}$$ $$\Rightarrow$$ $$HB=15$$ $$\Rightarrow$$ $$AB=30$$

Задание 5530

Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке O. Площади треугольников AOD и BOC равны соответственно 16 см2 и 9 см2. Найдите площадь трапеции.

Ответ: 49
Скрыть

1) $$BC\parallel AD$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle BCO=\angle OAD$$; $$\angle CBO=\angle ODA$$ (накрестлежащие) $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup BOC\sim\bigtriangleup AOD$$

2) $$\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}}=\frac{9}{16}$$ см2 $$\Rightarrow$$ $$\frac{BC}{AD}=\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}$$ (отношение площадей подобных фигур) $$\Rightarrow$$ $$BO=3x$$ $$\Rightarrow$$ $$DO=4x$$; $$CO=3y$$ $$\Rightarrow$$ $$AO=4y$$

3) $$\angle BOC=\alpha$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle BOA=180^{\circ}-\alpha$$ $$\Rightarrow$$ $$\sin\angle BOC=\sin\angle BOA$$ (смежные), $$\angle BOA=\angle COD$$; $$\angle BOC=\angle AOD$$ (вертикальные)

4) $$S_{BOA}=\frac{1}{2}\cdot BO\cdot OA\cdot\sin\angle BOA=\frac{1}{2}\cdot3x\cdot4y\cdot\sin\alpha=6xy\sin\alpha$$; $$S_{COD}=\frac{1}{2}\cdot CO\cdot OD\cdot\sin\angle COD=\frac{1}{2}\cdot3y\cdot4x\cdot\sin\alpha=6xy\sin\alpha=S_{BOA}$$; $$S_{BOC}=\frac{1}{2}\cdot BO\cdot OC\cdot\sin\angle BOC=\frac{1}{2}\cdot3x\cdot3y\cdot\sin\alpha=9$$ $$\Rightarrow$$ $$xy\sin\alpha=2$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{BOA}=S_{COD}=12$$

5) $$S_{ABCD}=9+2\cdot12+16=49$$

Задание 5531

В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания ВС и вдвое больше боковой стороны CD. Угол ADC равен 60°, сторона AB равна 2. Найдите площадь трапеции.

Ответ: $$3\sqrt{3}$$
Скрыть

1) Пусть $$CH\perp AD$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle HCD=90^{\circ}-\angle CDH=30^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$HD=CD\cdot\sin30^{\circ}=\frac{x}{2}$$;

2) Пусть $$BM\perp AM$$ $$\Rightarrow$$ $$MH=BC=x$$ $$\Rightarrow$$ $$AM=2x-x-\frac{x}{2}=\frac{x}{2}=HD$$ $$\Rightarrow$$ $$AM=HD$$; $$BM=CH$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup AMB=\bigtriangleup CAD$$ (по двум катетам) $$\Rightarrow$$ $$CD=AB=2=x$$ $$\Rightarrow$$ $$AM=1$$ $$\Rightarrow$$ по т. Пифагора из $$\bigtriangleup ABM$$: $$BM=\sqrt{AB^{2}-AM^{2}}=\sqrt{3}$$

3) $$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot BM=\frac{2+4}{2}\cdot\sqrt{3}=3\sqrt{3}$$

Задание 5532

В выпуклом четырёхугольнике ABCD длина отрезка, соединяющего середины сторон AB и , CD равна одному метру. Прямые BC и AD перпендикулярны. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей AC и BD.

Ответ: 1
Скрыть

1) Пусть $$L$$ - середина $$AC$$; $$K$$ - середина $$BD$$ $$\Rightarrow$$ $$ML$$ - средняя линия $$\bigtriangleup ABC$$, а $$KN$$ - $$\bigtriangleup DBC$$ $$\Rightarrow$$ $$LM=\frac{BC}{2}=NK$$ и $$LM\parallel BC\parallel NK$$ $$\Rightarrow$$ $$LMNK$$ - параллелограм

2) Аналогично, $$LN$$ - средняя линия $$\bigtriangleup CDA$$; $$MK$$ - $$\bigtriangleup ABD$$ $$\Rightarrow$$ $$LN=\frac{AD}{2}=MK$$, $$LN\parallel AD\parallel MK$$ $$\Rightarrow$$ $$LMNK$$ - прямоугольник $$\Rightarrow$$ $$MN=LK=1$$

Задание 5533

Каждое основание AD и BC трапеции ABCD продолжено в обе стороны. Биссектрисы внешних углов A и B этой трапеции пересекаются в точке K, биссектрисы внешних углов C и D пересекаются в точке E. Найдите периметр трапеции ABCD, если длина отрезка KE равна 28

Ответ: 48
Скрыть

1) Сумма внешних углов $$A$$ и $$B$$ равна $$180^{\circ}$$ (т.к. $$BC\parallel AD$$), а т.к. $$AK$$ и $$BK$$ - биссектрисы, то $$\angle KAB+\angle KBA=90^{\circ}$$. Кроме того $$K$$ равноудалена от $$BC$$ и $$AB$$ и от $$AD$$ и $$AB$$, т.к. лежит на биссектрисах.

2) Аналогично $$\bigtriangleup CED$$ - прямоугольный и $$E$$ равноудалена от $$BC$$ и $$AD$$

3) Пусть $$KE\cap AB=M$$; $$KE\cap CD=N$$, тогда из п.1 и п.2 $$MN$$ - средняя линия $$\Rightarrow$$ $$MN=\frac{BC+AD}{2}$$

4) $$KM$$ - медиана $$\bigtriangleup KBA$$, а он прямоугольный $$\Rightarrow$$ $$KM=AM=MB=\frac{AB}{2}$$, аналогично $$EN=\frac{CD}{2}$$

5) $$KE=KM+MN+NE=\frac{AB+BC+CD+AD}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$P_{ABCD}=2KE=48$$

Задание 5534

Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями 8 и 5, если отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, равны.

Ответ:

Задание 5535

Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне BC. Найдите BC, если AB = 34.

Ответ:

Задание 5536

В трапеции АВСD боковые стороны AB и CD равны, CH — высота, проведённая к большему основанию AD. Найдите длину отрезка HD, если средняя линия KM трапеции равна 16, а меньшее основание BC равно 4.

Ответ:

Задание 5537

В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CNM равна 57. Найдите площадь четырёхугольника ABMN.

Ответ:

Задание 5538

Основания трапеции равны 16 и 34. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Ответ:

Задание 5539

Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает его сторону BC в точке E. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если BE=7, EC=3 , a $$\angle ABC=150^{\circ}$$

Ответ:

Задание 5540

Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 24, BF = 10.

Ответ:

Задание 5541

Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 15 и 7, а средняя линия равна 10.

Ответ:

Задание 5542

Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямо‐ угольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH = 11.

Ответ:

Задание 5543

Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC относится к длине стороны AB как 7:10. Найдите отношение площади треугольника AKM к площади треугольника ABC.

Ответ:

Задание 5544

В треугольнике ABC угол С равен 90°, радиус вписанной окружности равен 2. Найдите площадь треугольника ABC, если AB = 12.

Ответ:

Задание 5545

Высота треугольника разбивает его основание на два отрезка с длинами 8 и 9. Найдите длину этой высоты, если известно, что другая высота треугольника делит ее пополам.

Ответ:

Задание 5546

Найдите отношение двух сторон треугольника, если его медиана, выходящая из их общей вершины, образует с этими сторонами углы в 30° и 90°.

Ответ:

Задание 5547

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 13, AC = 65, NC = 28.

Ответ:

Задание 5548

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 18 и 30. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Ответ:

Задание 5549

Прямая AD, перпендикулярная медиане ВМ треугольника АВС, делит её пополам. Найдите сторону АС, если сторона АВ равна 4.

Ответ:

Задание 5550

Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M. Найдите длину медианы, проведённой к стороне BC, если угол BAC равен 47°, угол BMC равен 133°, $$BC=4\sqrt{3}$$.

Ответ:

Задание 5551

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны катеты: AC=6,  BC=8. Найдите медиану CK этого треугольника

Ответ:

Задание 6071

В прямоугольную трапецию с основаниями 5 см и 6 см вписана окружность. Найдите площадь этой трапеции.

Ответ: 30
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) BC=5; CD=6; опустим $$CH\perp AD$$ , тогда $$HD=6-5=1$$.

2) Пусть AB=x, тогда CH=x Пусть CD=y , тогда из $$\Delta CHD: x^{2}+1^{2}=y^{2}$$

По свойству описанного многоугольника : $$5+6=x+y$$. Тогда:

$$\left\{\begin{matrix}x^{2} +1=y^{2}\\x+y-11 & &\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}x^{2}+1=(11-x)^{2} \\y=11-x\end{matrix}\right.$$

$$x^{2}+1=121-22x+x^{2}$$
$$22x=120$$ 
$$x=\frac{120}{22}=\frac{60}{11}$$

3)$$S=\frac{5+6}{2}*\frac{60}{11}=30$$.

Задание 6118

Диагональ равнобедренной трапеции делит пополам угол при её основании. Найдите большее основание трапеции, если её меньшее основание равно 5 см, а высота - 4,8 см.

Ответ: 7,8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

  1. $$\angle BAC=\angle CAD$$ (AC - биссектрисса)
  2. $$\angle CAD=\angle BCA$$ (накрест лежащие при параллельных), следовательно треугольник ABC - равнобедренный и $$AB=BC=CD=5$$
  3. Проведем перпендикуляры BM и CH к AD. Из треугольника CHD: $$HD=\sqrt{CD^{2}-CH^{2}}=\sqrt{5^{2}-4,8^{2}}=1,4$$
  4. $$AM=HD=1,4$$, тогда $$AD=5+1,4*2=7,8$$

Задание 6213

Около круга радиуса 2 см описана равнобедренная трапеция с острым углом 30. Найдите длину средней линии трапеции.

Ответ: 8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

  1. Пусть BH-высота, тогда BH=2ч=4
  2. из $$\Delta ABH$$: $$AB=BH \sin A=\frac{4}{\frac{1}{2}}=8=CD$$
  3. т.к. $$AB+CD=BC+AD$$(свойство описанного выпуклого четырехугольника) , то $$BC+AD=16$$, тогда средняя линия $$\frac{16}{2}=8$$

Задание 6261

В треугольник со сторонами АВ=8, ВС=6, АС=4 вписана окружность. Найдите длину отрезка DE, где D, Е – точки касания этой окружности со сторонами АВ и АС соответственно.

Ответ: $$\frac{3\sqrt{10}}{4}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) Пусть O-центр окружности , тогда: $$OD\perp AB OE\perp AC$$ (свойство радиуса к касательной)

     2) $$OD=OC=\frac{S}{p}=$$$$\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}$$ (формула Герона); $$p=\frac{8+6+4}{2}=9$$; $$OD=\sqrt{\frac{(9-6)(9-8)(9-4)}{9}}=$$$$\sqrt{\frac{3*1*5}{9}}=\sqrt{\frac{5}{3}}$$

     3) $$\cos A=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2*AB*AC}=\frac{8^{2}+4^{2}-6^{2}}{2*8*4}=\frac{11}{16}$$ (теорема косинусов)

     4) $$\angle DOE=180-\angle A\Rightarrow$$ $$\cos DOE=-\cos A=-\frac{11}{16}$$

     5)$$\Delta DOE$$: $$DE=\sqrt{DO^{2}+OE^{2}-2DO*OE*\cos DOE}=$$$$\sqrt{\frac{5}{3}+\frac{5}{3}+2\frac{5}{3}*\frac{11}{16}}=$$$$\sqrt{\frac{10}{36}+\frac{110}{16*3}}=$$$$\sqrt{\frac{270}{16*3}}=\sqrt{\frac{90}{16}}=\frac{3\sqrt{10}}{4}$$

Задание 6309

В параллелограмме ABCD биссектриса тупого угла B пересекает сторону АD в точке К. Найти периметр параллелограмма, если АВ = 12 и АК:КD = 4:3

Ответ: 66 или 30
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

a)   Пусть $$K\in AD$$(внутри), тогда:

     1) $$\angle ABK=\angle CBK$$(BK-биссектриса); $$\angle CBK=\angle AKB$$(накрест лежащие) $$\Rightarrow \Delta ABK$$-равнобедренный и $$AB = AK$$

     2) пусть $$AB=4x =12\Rightarrow x=3, KD=3x=9$$$$\Rightarrow AD=21$$

     3) $$P_{ABCD}=2(12+21)=66$$

b)   вне AD. Аналогично $$AK=AB=12$$. Пусть $$DK=3x$$, тогда AK=4x и AD=x. Получаем $$4x=12\Rightarrow x=3$$ и $$P_{ABCD}=2(12+3)=30$$

Задание 6356

В прямоугольном треугольнике, периметр которого равен 36 см, вписана окружность. Гипотенуза делится точкой касания в отношении 2 : 3. Найдите длину гипотенузы.

Ответ: 15
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) Пусть $$\frac{AH}{HB}=\frac{2}{3}$$, тогда AH=2x; HB=3x

     2) По свойству касательных MB=HB=3x, NA=AH=2x

     3) Пусть ON=OH=OM=y, но NC=CM=y. Тогда по т. Пифагора :$$(y+2x)^{2}+(y+3x)^{2}=(5x)^{2}(1)$$

     4) т.к. P=36, то $$y+2x+y+3x+5x=36$$, $$2y=36-10x\Leftrightarrow y=18-5x$$

Подставим в (1)

$$(18-5x+2x)^{2}+(18-5x+3x)^{2}=25x^{2}$$

$$324-108x+9x^{2}+324-72x+4x^{2}=25x^{2}$$

$$12x^{2}+180x-648=0$$

$$x^{2}+15x-54=0$$

$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-15\\x_{1}*x_{2}=-54\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=3\\x_{2}=-18\end{matrix}\right.$$

-18 не может быть, так как длина - число положительное, следовательно, $$5x=5*3=15$$ - длина гипотенузы

Задание 6403

В равнобедренную трапецию АВСD с основаниями ВС = 18 и AD = 32 вписан круг. Найдите площадь трапеции.

Ответ: 600
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

 

     1) $$BC+AD=AB+CD=18+32=50$$ ( по свойству описанного четырехугольника ), тогда AB=CD=25

     2) Пусть $$BH\left | \right |CM \perp AD$$, тогда $$AH=MD=\frac{AD-BC}{2}=7$$

     3) По т. Пифагора $$\Delta ABH$$: $$BH=\sqrt{25^{2}-7^{2}}=24$$

     4) $$S=\frac{18+32}{2}*24=600$$

Задание 6450

В равнобедренной трапеции с основаниями 10 и 26 см диагональ является биссектрисой острого угла. Найдите площадь трапеции.

Ответ: 108
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) $$\angle BAC=\angle CAD$$ (AC-бисссектриса), $$\angle CAD=\angle BCA$$ ( накрест лежащие ), тогда $$\angle BAC=\angle ACA$$, следовательно, $$\Delta ABC$$ - равнобедренный, и AB=BC=10

     2) Пусть BH=CM - высота, тогда $$AH=MD=\frac{AD-BC}{2}=8$$

     3) из $$\Delta ABH:$$ $$BH=\sqrt{AB^{2}-AB^{2}}=6$$

     4) $$S_{ABCD}=\frac{10+26}{2}*6=108$$

Задание 6505

Средняя линия трапеции равна 10 и делит площадь трапеции в отношении 3:5. Найти длины оснований этой трапеции.

Ответ: 5 и 15
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) Пусть BC=x , тогда , т.к. MN-средняя линия , то BC+AD=2MN $$\Rightarrow$$ AD=2MN-BC=20-x

     2) Пусть BK –высота и BH=HK=y. Тогда :

$$\frac{x+10}{2}*y=S_{MBCN}$$

$$\frac{10+20-x}{2}*y=S_{AMND}$$

Получаем:

$$\frac{\frac{10+x}{2}*y}{\frac{30-x}{2}*y}=\frac{3}{5}\Leftrightarrow$$ $$\frac{10+x}{30-}=\frac{3}{5}\Leftrightarrow$$ $$50+5x=90-3x\Leftrightarrow$$ $$8x=40\Leftrightarrow x=5$$, тогда: BC=5, AD=15

Задание 6552

Площадь равнобедренного треугольника с острым углом при вершине равна 48, а боковая сторона равна 10. Найдите высоту, опущенную на основание.

Ответ: 8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) $$S=\frac{1}{2}AB*BC *\sin B\Rightarrow$$ $$\sin B=\frac{2S}{AB^{2}}=$$$$\frac{2*48}{100}=0,96\Rightarrow$$ $$\cos B=\sqrt{1-0,96^{2}}=0,28$$

     2) $$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}-2AB*BC\cos B}=$$$$\sqrt{10^{2}+10^{2}-2*10*10*0,28}=12$$$$\Rightarrow HC=6$$

     3) из $$\Delta BHC$$: $$BH=\sqrt{BC^{2}-HC^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$$

Задание 6599

Высота, основание и сумма боковых сторон треугольника равны соответственно 12 см, 14 см, и 28 см. Найдите боковые стороны треугольника

Ответ: 15 и 13
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) Пусть $$AH=y\Rightarrow HC=14-y$$, $$AB=x\Rightarrow BC=28-x$$

     2) $$\Delta ABH$$: $$12^{2}+y^{2}=x^{2}(1)$$

$$\Delta BHC$$: $$12^{2}+(14-y)^{2}=(28-x)^{2}\Leftrightarrow$$$$144+196-28y+y^{2}=784-56x+x^{2}\Leftrightarrow$$$$444-56x+28y+x^{2}-y^{2}=0$$

Из (1): $$x^{2}-y^{2}=144$$, подставим во второе: $$28y-56x+444+144=0 |:28\Leftrightarrow$$$$y-2x=-21\Leftrightarrow$$ $$y=2x-21$$

Подставим в (1) : $$144+(2x-21)^{2}-x^{2}=0\Leftrightarrow$$$$144+4x^{2}-84x+441-x^{2}=0\Leftrightarrow$$$$3x^{2}-84x+585=0 |:3\Leftrightarrow$$$$x^{2}-28x+195=0$$

D=784-780=4

$$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\frac{28+2}{2}=15=AB\\x_{2}=\frac{28-2}{2}=13=AB\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}BC=28-15=13\\BC=18-13=15\end{matrix}\right.$$

Тогда: AB=15 и BC=13 ( или наоборот)

Задание 6647

Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH=12.

Ответ: 12
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Рассмотрим $$\Delta PBK$$: $$\angle B=90\Rightarrow$$ PK-диаметр описанной окружности $$\Rightarrow PK=BH=12$$

Задание 6714

В прямоугольной трапеции с острым углом 45, большая боковая сторона равна $$16\sqrt{2}$$ см, а меньшая диагональ равна 20 см. Найдите площадь трапеции.

Ответ: 320
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) Пусть $$CH\perp AD$$, тогда $$\Delta CHD$$ – прямоугольный и равнобедренный и $$CH=CD\sin D=$$$$16\sqrt{2}*\frac{\sqrt{2}}{2}=16$$

     2) из $$\Delta AHC$$: $$AH=\sqrt{AC^{2}-CH^{2}}=12$$; т.е. CH и $$AB\perp AD$$, то BH=AH=12; AD=AH+HD=28

     3) $$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}*CH=$$$$\frac{12+28}{2}*16=320$$

Задание 6741

Диагонали параллелограмма АВСD пересекаются в точке О. В треугольнике АОВ АВ = 6 см, медиана ОК = 4 см. Найдите периметр параллелограмма АВСD.

Ответ: 18
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) Построим медиану в $$\Delta DOC$$: $$DL=LC=\frac{CD}{2}$$$$\Rightarrow$$ $$DL=AK$$, но $$DL\left | \right |AK$$$$\Rightarrow$$ $$AKLD$$ - параллелограмм $$\Rightarrow$$ $$AD=KL$$

     2) $$\Delta KBO=\Delta ODL$$ ($$DC=KB$$; $$\angle BKO=\angle OLD$$; $$\angle KDO=\angle ODC$$ (накрест лежащие)) $$\Rightarrow$$ $$KO=OL=4$$

     3) $$P=(6+8)*2=18$$

Задание 6788

Хорда круга пересекает диаметр под углом 30 и делит его на части длиной 11 см и 55 см. Найдите расстояние от центра круга до хорды.

Ответ: 11
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) $$AB=AH+HB=66$$$$\Rightarrow$$ $$OA=OB=33$$(радиусы)

     2) $$OH=OB-HB=33-11=22$$

     3) из $$\Delta OHM$$: $$OM=OH*\sin OHM$$; $$OM=22*\frac{1}{2}=11$$

Задание 6859

В треугольнике ABC на стороне AC как на диаметре построена окружность, которая пересекает сторону AB в точке M, а сторону BC – в точке N. Известно, что AC=2, AB=3, AM : MB = 2 : 3. Найдите AN..

Ответ: $$\frac{4,8}{\sqrt{5,8}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

         1) $$AM :MB= 2: 3$$, $$AB=3$$$$\Rightarrow$$ $$AM=1,2$$, $$MB=1,8$$

         2) $$\Delta AMC$$: $$MC=\sqrt{AC^{2}-AM^{2}}=1,6$$

         3) $$\Delta MBC$$: $$BC=\sqrt{MB^{2}+MC^{2}}=\sqrt{5,8}$$

         4) $$\Delta ABN\sim \Delta CMB$$ (оба прямоугольные ,$$\angle B$$ - общий )$$\Rightarrow$$ $$\frac{AN}{MC}=\frac{AB}{BC}$$$$\Rightarrow$$ $$AN=\frac{1,6*3}{\sqrt{5,8}}=\frac{4,8}{\sqrt{5,8}}$$

Задание 6907

Биссектриса AD равнобедренного треугольника АВС делит его на треугольники АВD и ACD площадью 4 см2 и 2 см2 соответственно. Найдите стороны треугольника АВС, если АС – его основание.

Ответ: $$\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt[4]{15}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

      1) Т.к. $$\Delta ABD$$ и $$\Delta ADC$$ имеют общую вершину A , то : $$\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}}=\frac{BD}{DC}=\frac{4}{2}=\frac{2}{1}$$. Пусть $$BD=2x$$, тогда $$DC=x$$ и $$AB=BC=3x$$

      2) По свойству биссектрисы: $$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{2}{1}$$, тогда $$AC=\frac{AB}{2}=1,5 x$$

      3) $$S_{ABC}=4+2=6$$, По формуле Герона : $$p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{15x}{4}$$; $$6=\sqrt{(\frac{15x}{4}-3x)^{2}*(\frac{15x}{4}-\frac{3x}{2})*\frac{15x}{4}}$$$$\Leftrightarrow$$ $$\frac{9x^{2}}{16}\sqrt{15}=6$$$$\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{4\sqrt{6}}{3\sqrt[4]{15}}$$. Тогда $$AB=BC=\frac{4\sqrt{16}}{\sqrt[4]{15}}$$ и $$AC=\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt[4]{15}}$$

Задание 6955

Боковая сторона неравнобедренной трапеции равна 12 см и образует с большим основанием угол 60. Основания трапеции равны 16 см и 40 см. Найдите площадь трапеции.

Ответ: $$112\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

        1) Пусть $$BH\perp AD\Rightarrow$$ из $$\Delta ABH$$: $$BH=AB \sin A=12*\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$$

        2) $$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}*BH=$$$$\frac{16+40}{2}*4\sqrt{3}=112\sqrt{3}$$

Задание 7003

Медиана АМ треугольника АВС равна половине стороны ВС. Угол между АМ и высотой АН равен 40. Найдите углы треугольника АВС.

Ответ: 90, 65, 25
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) т.к. медиана равна половине стороны, то $$\Delta ABC$$ – прямоугольный, при этом $$\angle A=90$$ и $$AM=CM=MB$$

     2) из $$\Delta AMH$$: $$\angle AMH=90-\angle MAH=50$$

     3) из $$\Delta AMC$$: $$\angle CAM +\angle ACM =\angle AMH$$ (как внешний угол при третьей вершине ),при этом $$\angle CAM=\angle ACM\Rightarrow$$ $$\angle ACM =\frac{50}{2}=25$$

     4) $$\angle B=90-\angle C=90-25=65$$

Задание 7089

Перпендикуляр, опущенный из вершины параллелограмма на его диагональ, делит ее на отрезки длиной 6 и 15 см. Найти длины сторон параллелограмма, если одна из них на 7 см больше другой

Ответ: 10 и 17
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) Пусть $$BH \perp AC$$ и AH=6 , тогда HC=15/ Пусть AB=x, тогда BC=x+7

     2) из $$\Delta ABH$$: $$BH^{2}=AB^{2}-AH^{2}=x^{2}-36$$

     3) из $$\Delta BHC$$: $$BH^{2}+HC^{2}=BC^{2}\Leftrightarrow$$ $$x^{2}-36+225=(x+7)^{2}\Leftrightarrow$$ $$x=10=AB\Rightarrow$$ $$BC=17$$

Задание 7163

В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса 2 см. Найдите площадь трапеции, если длина боковой стороны равна 10 см

Ответ: 40
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) Пусть O-центр окружности, $$OH\perp BC$$ и $$OM\perp AD$$ (радиусы в точки касания )$$\Rightarrow$$ $$HK=2+2=4$$. Пусть $$CK\left | \right |HM\Rightarrow$$ $$CK=4$$

     2) По свойству описанного четырехугольника : $$AB+CD=BC+AD=20$$

     3) $$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}*CK=\frac{20}{2}*4=40$$

Задание 7250

Основания трапеции равны 4 см и 16 см. Найдите ее площадь, если известно, что в трапецию можно вписать и вокруг нее можно описать окружность

Ответ: 80
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) Если около нее можно описать окружность , то это равнобедренная трапеция.

     2) Если в нее можно вписать окружность, то сумма боковых сторон равна сумме оснований.

     3) С учетом (1) и (2): $$AB=CD=\frac{4+16}{2}=10$$

     4) Пусть $$CH\perp AD\Rightarrow$$ $$HD=\frac{AD-BC}{2}=\frac{16-4}{2}=6$$

     5) по т . Пифагора из $$\Delta CHD$$: $$CH=\sqrt{CD^{2}-HD^{2}}=8$$

     6) $$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}*CH=10*8=80$$

Задание 7279

В треугольнике с основанием 15 см проведен отрезок, параллельный основанию. Площадь полученной трапеции составляет ¾ площади треугольника. Найдите длину этого отрезка.

Ответ: 7,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) Пусть $$A_{1}C_{1}\left | \right |AC$$, тогда $$S_{AA_{1}C_{1}C}=\frac{3}{4} S_{ABC}$$$$\Rightarrow$$ $$S_{A_{1}BC_{1}}=\frac{1}{4} S_{ABC}$$

     2) $$\frac{S_{A_{1}BC_{1}}}{S_{ABC}}=$$$$(\frac{A_{1}C_{1}}{AC})^{2}=$$$$\frac{1}{4}\Rightarrow$$ $$\frac{A_{1}C_{1}}{AC}=\frac{1}{2}$$$$\Rightarrow$$ $$A_{1}C_{1}=7,5$$

Задание 7311

Около трапеции ABCD с основаниями AD и BC описана окружность радиуса 6. Центр описанной окружности лежит на основании AD. Основание ВС равно 4. Найдите площадь трапеции.

Ответ: $$32\sqrt{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7395

В равнобедренном треугольнике с углом 45 при основании вписан квадрат так, что одна из его сторон лежит на основании треугольника. Найдите площадь квадрата, если площадь треугольника равна 18.

Ответ: 8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7471

Найдите площадь равнобедренного треугольника, если высота, опущенная на основание равна 10 см, а высота, опущенная на боковую сторону равна 12 см.

Ответ: 75
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) Опустим высоту BH и высоту AM=12. Так как треугольник равнобедренный, то AH=HC=x. Пусть BC=y. Тогда из треугольника BHC: $$BH^{2}+HC^{2}=BC^{2}$$.

     2) другой стороны из площади треугольника через его сторону и проведенную к ней высоту получим : $$BH*AC=AM*BC$$. Тогда: $$\left\{\begin{matrix}10^{2}+x^{2}=y^{2}\\10*2x=12*y\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}10^{2}+x^{2}=(\frac{5x}{3})^{2}\\ y=\frac{5x}{3}\end{matrix}\right.\Rightarrow$$ $$900+9x^{2}=25x^{2}\Rightarrow$$ $$x=7,5$$

     3) Площадь треугольника в таком случае: $$S=\frac{1}{2}AC*BH=\frac{1}{2}*2*7,5*10=75$$

Задание 7497

В треугольник вписана окружность с радиусом 4. Одна из сторон треугольника разделена точкой касания на отрезки, длины которых 6 и 8. Найдите дины сторон треугольника.

Ответ: 13;14;15
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7544

Известно, что угол при вершине В1 правильного многоугольника В1В2В3…Вn равен 150o, а радиус описанной около этого многоугольника окружности равен $$8\sqrt{3}$$ . Найдите высоту В4Н треугольника В2В4В8 .

Ответ: 12
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7591

Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC . Найдите AB , если AH=3, AC=27

Ответ: 9
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7618

В треугольнике АВС медианы СD и ВЕ пересекаются в точке К. Найдите площадь четырёхугольника АDКЕ, если ВС=20, АС=12, $$\angle ACB=135^{\circ}$$.

Ответ: $$20\sqrt{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7667

Из точки А к окружности радиуса 7,5 проведены две касательные длиной 10. Найти расстояние от точки А до хорды, соединяющей точки касания

Ответ: 8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7714

В выпуклом четырехугольнике ABCD расстояние между серединами смежных сторон равны 2 и 3. Острый угол в четырёхугольнике, вершинами которого являются середины сторон исходного, равен 30. Найдите площадь четырехугольника ABCD.

Ответ: 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7761

Дан ромб АВСD. Окружность, описанная около треугольника АВD, пересекает большую диагональ ромба АС в точке Е. Найдите меньшую диагональ ромба, если АВ=$$16\sqrt{2}$$ , СЕ=12.

Ответ: $$2\sqrt{238-6\sqrt{265}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7811

В равнобедренном треугольнике АВС основание АС равно 6 см, а высота опущенная на основание равна 4 см. Найдите периметр треугольника СНВ, где СН – высота, опущенная на боковую сторону.

Ответ: 11,2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7857

Диагональ равнобедренной трапеции, равная 8, перпендикулярна боковой стороне. Найдите меньшее основание трапеции, если её большее основание равно 10.

Ответ: 2,8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7907

AA1 – медиана треугольника ABC . Точка C1 лежит на стороне AB , причём AC1:C1B=1:2. Отрезки AA1 и CC1 пересекаются в точке M. Найдите отношение CM:MC1

Ответ: 3:1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8399

В окружность радиуса 3 вписана равнобедренная трапеция с углом 45 при основании и высотой, равной $$\sqrt{2}$$ . Найдите площадь этой трапеции

Ответ: $$4\sqrt{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Пусть $$BH$$ и $$CM$$ высоты, тогда в $$\bigtriangleup ABH$$: $$\angle ABH=90^{\circ}-\angle=45^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$AH=HB=\sqrt{2}$$; аналогично $$CM=MD=\sqrt{2}$$

2) $$\bigtriangleup ABD$$ - вписан $$\Rightarrow$$ $$\frac{BD}{\sin A}=2\cdot2$$ $$\Rightarrow$$ $$BD=2\cdot R\sin A=2\cdot3\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$$

3) По т. Пифагора из $$\bigtriangleup BDH$$: $$HD=\sqrt{BD^{2}-BH^{2}}=4$$ $$\Rightarrow$$ $$HM=BC=4-\sqrt{2}$$

4) $$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot BH=\frac{4-\sqrt{2}+4+\sqrt{2}}{2}\cdot\sqrt{2}=4\sqrt{2}$$

Задание 8425

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP=18, а сторона BC в 1,2 раза меньше стороны AB .

Ответ: 15
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Пусть $$BC=x$$ $$\Rightarrow$$ $$AB=1,2x$$

2) $$\angle B+\angle KPC=180^{\circ}$$ ($$BKPC$$ - вписан), $$\angle KPC+\angle APK=180^{\circ}$$ (смежные) $$\Rightarrow$$ $$\angle APK=\angle B$$; $$\angle A$$ - общий $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup APK\sim\bigtriangleup ABC$$

3) $$\frac{KP}{BC}=\frac{AP}{AB}$$ $$\Rightarrow$$ $$KP=\frac{BC\cdot AP}{AB}=\frac{x\cdot18}{1,2x}=15$$

Задание 8477

Прямая AD, перпендикулярная медиане BM треугольника ABC, делит её пополам. Найдите сторону AB, если AC=10.

Ответ: 5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 8529

Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются на стороне BC. Найдите BC, если AB=42 .

Ответ: 84
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 8581

В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания BC и вдвое больше боковой стороны CD. Угол ADC равен 60o. Сторона AB равна 2. Найдите площадь трапеции.

Ответ: $$3\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8828

Прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках К и N соответственно. Известно, что АВ=12, ВС=15, АС=24, AK=7, CN=11. Найдите длину отрезка КN.

Ответ: 8
Скрыть
  1. ВК=АВ-АК=12-7=5
  2. ВN=ВС-ВN=15-11=4
  3. Рассмотрим треугольники АВС и КВN. Угол В общий АВ/ВN=BC/BK, т.к.12/4 =15/5 =3 Следовательно данные треугольники подобны по двум сторонам и углу между ними, причем коэффициент подобия равен 3.
  4. Поэтому и АС/КN =3, т.е. 24/КN =3, т.е. КN=8
 

Задание 8855

Прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках К и N соответственно. Известно, что АВ=9, ВС=12, АС=18, AK=5, CN=9. Найдите длину отрезка КN.

Ответ: 6
 

Задание 8947

В равнобедренной трапеции ABCD с большим основанием AD биссектриса угла A пересекается с биссектрисой угла C в точке F, а также пересекает сторону CD в точке K. Известно, что угол AFC равен 150°. Найдите CK, если FK=$$6\sqrt{3}$$.

Ответ: 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8973

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны катеты: AC=6, BC=8 . Найдите медиану CK этого треугольника.

Ответ: 5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9000

В равнобедренной трапеции ABCD с большим основанием AD биссектриса угла А пересекается с биссектрисой угла C в точке F, а также пересекает сторону CD в точке K. Известно, что угол AFC равен 150°. Найдите FK, если CF=$$12\sqrt{3}$$.

Ответ: 18
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9027

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB=20, CD=48, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 24.

Ответ: 10
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9066

Углы В и С треугольника АВС равны соответственно 64° и 86°. Найдите ВС, если диаметр окружности, описанной около треугольника АВС, равен 13.

Ответ: 6,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9088

Отрезки AB и CB являются хордами окружности. Найдите длину хорды CB , если AB=24, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CB равны соответственно 16 и 12.

Ответ: 32
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9195

Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно. Найдите BN, если MN=20, АС=35, NC=39.

Ответ: 52
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9221

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках М и N соответственно. Найдите BN, если MN=15, AC=25, NC=22.

Ответ: 33
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9267

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN , если MN=16 , AC=20 , NC=15 .

Ответ: 60
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9288

Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD , если $$\angle ABC$$=135, $$\angle ADC$$=150, CD=$$69\sqrt{2}$$ .

Ответ: 69
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9315

Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр параллелограмма, если BK=10, СК = 18.

Ответ: 76
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9415

Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр параллелограмма, если ВК=8, СК=13.

Ответ: 58
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9425

Углы В и С треугольника АВС равны соответственно 66° и 84°. Найдите ВС, если радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 15.

Ответ: 15
 

Задание 9445

Углы В и С треугольника АВС равны соответственно 64° и 86°. Найдите ВС, если диаметр окружности, описанной около треугольника АВС, равен 13.

Ответ: 6,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9471

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны катеты: AC=6, BC=8. Найдите медиану CK этого треугольника.

Ответ: 5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9559

Углы В и С треугольника АВС равны соответственно 66° и 84°. Найдите ВС, если радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 15.

Ответ: 15
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9586

Прямая AD, перпендикулярная медиане BM треугольника ABC, делит её пополам. Найдите сторону AC, если сторона AB равна 4

Ответ: 8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9615

Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 45° и 120°, а CD=34.

Ответ: $$17\sqrt{6}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9711

Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны $$2\sqrt{2}$$, 5 и 1 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает отрезок AB в точке, отличной от B . Известно, что треугольник с вершинами K, A, C подобен треугольнику ABC . Найдите градусную меру угла AKC , если $$\angle$$KAC>90 .

Ответ: 45
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9737

Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если известно, что AB=18, DC=54, AC=48

Ответ: 36
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9764

Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы ABC и BCD  равны соответственно 30° и 120°, а CD=25.

Ответ: $$25\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9832

Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M. Найдите длину медианы, проведённой к стороне BC , если $$\angle$$BAC =47 , $$\angle$$BMC=133, BC=$$4\sqrt{3}$$.

Ответ: 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9859

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 21 и 75. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Ответ: 20,16
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9924

Каждое основание AD и BC трапеции ABCD продолжено в обе стороны. Биссектрисы внешних углов A и B трапеции пересекаются в точке M. Биссектрисы внешних углов C и D трапеции пересекаются в точке N. Найдите периметр трапеции ABCD, если длина отрезка MN равна 24.

Ответ: 48
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9959

Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы АВС и BCD равны соответственно 45° и 120°, a CD=34.

Ответ: $$17\sqrt{6}$$
 

Задание 9978

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 20 и 52. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Ответ: 240/13
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10005

Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите АС, если диаметр окружности равен 15, а АВ = 4.
Ответ: 16
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10244

Стороны AC , AB и треугольника BC ABC равны $$2\sqrt{2}$$,$$\sqrt{5}$$ и 1 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен треугольнику ABC. Найдите косинус угла AKC, если угол KAC является тупым

Ответ: $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$
 

Задание 10307

Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF=20 , BF=15 .

Ответ: 25
 

Задание 10329

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K . Найдите площадь параллелограмма, если BC=19 , а расстояние от точки K до стороны AB равно 7.

Ответ: 266
 

Задание 10362

В треугольнике ABC угол B равен 72o , угол равен C=63o , $$BC=2\sqrt{2}$$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Ответ: 2
 

Задание 10374

Окружность, вписанная в треугольник ABC , касается сторон в точках M, N, P. Найдите углы треугольника ABC , если углы треугольника MNP равны 49o, 69o и 62o

Ответ: 82;42;56
 

Задание 10425

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB=16, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 15 и 8.

Ответ: 30
 

Задание 10466

В равнобедренной трапеции ABCD с большим основанием AD биссектриса угла А пересекается с биссектрисой угла С в точке F, а также пересекает сторону CD в точке К. Известно, что прямые АВ и CF параллельны. Найдите CF, если FK=$$4\sqrt{3}$$.

Ответ: 8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
  1. Пусть $$AF \cap BC=E$$. Так как ABCD – равнобедренная трапеция,$$\angle BAC+\angle BCD=180^{\circ}$$. Пусть $$\angle BAC=2\alpha\Rightarrow$$$$\angle BCD=180^{\circ}-2\alpha$$. Тогда $$\angle ECK=2\alpha$$, $$\angle CEK=\alpha$$ ($$\frac{\angle A}{2}$$ - как накрест лежащие)
  2. $$\angle AFC=\angle BAF=\alpha=\angle CFK$$ (накрест лежащие и вертикальные)
  3. $$\angle FCK=\frac{180^{\circ}-2\alpha}{2}=90^{\circ}-\alpha$$. Из треугольника CFK $$\angle CKF=180^{\circ}-(\alpha+90^{\circ}+\alpha)=90^{\circ}$$
  4. Из треугольника CKE: $$90^{\circ}+3\alpha=180^{\circ}\Rightarrow$$$$\alpha=30^{\circ}$$
  5. $$CF=\frac{FK}{\cos CFK}=$$$$\frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=8$$
 

Задание 10960

Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если $$AF=24$$ и $$BF=10$$.
Ответ: 25
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1)$$\ \angle A+\angle B=180{}^\circ \to \angle BAF+\angle ABF=90{}^\circ $$ (как половина суммы $$\angle A$$ и $$\angle B$$).

2) по теореме Пифагора: $$AB=\sqrt{AF^2+BF^2}=\sqrt{{24}^2+{10}^2}=25$$.

 

Задание 10983

Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как $$6:13:17$$. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 18.
Ответ: 18
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть Пусть дуги $$6x;13x;17x$$. Тогда $$6x+13x+17x=360\to x=10$$ т.е. дуги $$60^{\circ}; 130^{\circ}; 170^{\circ}$$. Пусть $$\angle C$$ опирается на дугу в $$60^{\circ}\to \angle C=30^{\circ}$$ (вписанный) $$\to AB=18, R=\frac{AB}{2\sin{C}}=\frac{18}{2\cdot \frac{1}{2}}=18$$
 

Задание 11044

Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 6:11:19. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 15.

Ответ: 15
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Углы A,B,C - вписанные, потому равны половинам соответствующих дуг, потому отношение углов 6:11:29.

2) Т.к. $$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ},$$ если $$\angle A=6x,$$ то: $$6x+11x+29x=180^{\circ}\to x=5\to \angle A=30^{\circ}.$$

3) Напротив меньшей стороны лежит меньший угол $$\to BC=15.  R=\frac{a}{2\sin{\alpha}}=\frac{BC}{2\sin{A}}=\frac{15}{2\cdot \frac{1}{2}}=15$$

 

Задание 11066

Высота треугольника разбивает его основание на два отрезка с длинами 8 и 9. Найдите длину этой высоты, если известно, что другая высота треугольника делит её пополам.

Ответ: 12
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть $$BH$$ и $$CM$$ - высоты, $$CM\cap BH=P;HP=PB.$$ Пусть $$HP=PB=x.$$ $$\angle BPM=\angle HPC$$ - вертикальные. $$\triangle BMP\sim \triangle ABH$$ (прямоугольные с общим острым углом) $$\to \angle BAH=\angle MPB=\alpha .$$

Из $$\triangle ABH:{\tan \alpha \ }=\frac{2x}{8}=\frac{x}{4}$$

Из $$\triangle PHC:{\tan \alpha \ }=\frac{9}{x}$$

Получим: $$\frac{x}{4}=\frac{9}{x}=x^2=36\to x=6\to BH=12$$

 

Задание 11171

Прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АBС в точках К и N соответственно. Известно, что АВ = СN = 16, ВС = 20, АС = 28, АК = 11. Найдите длину отрезка КN.

Ответ: 7
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
В треугольнике ΔBNK найдём стороны BK и BN: BK = BA – AK = 16 – 11 = 5 BN = BC – CN = 20 – 16 = 4
Рассмотрим треугольники ΔBNK и ΔBAC, в них угол ∠В общий. Мысленно перевернём ΔBNK и поменяем местами стороны BK и BN.
Сторона BK относится к стороне BC как: $$\frac{BK}{BC}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$$
Сторона BN относится к стороне BA как: $$\frac{BN}{BA}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$$
Коэффициент подобия один, значит треугольники подобны, тогда подобны и третьи стороны: $$\frac{KN}{AC}=\frac{1}{4}$$. Тогда $$KN=\frac{28}{4}=7$$
 

Задание 11193

Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках К и Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если АР = 34, а сторона ВС в 2 раза меньше стороны АВ.

Ответ: 17
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11215

Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках К и Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если А К = 7, а сторона АС в 1,4 раза больше стороны ВС.

Ответ: 5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11236

В равнобедренной трапеции ABCD с большим основанием AD биссектриса угла А пересекается с биссектрисой угла С в точке F, а также пересекает сторону CD в точке К. Известно, что прямые АВ и CF параллельны. Найдите CF, если $$FK=4\sqrt{3}$$.

Ответ: 8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11259

Прямая AD, перпендикулярная медиане BM треугольника ABC, делит угол BAC пополам. Найдите сторону AB, если сторона AC равна 4.

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11301

Прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках К и N соответственно. Известно, что АВ=12, ВС=15, АС=24, AК=7, CN=11. Найдите длину отрезка KN.

Ответ: 8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11322

Прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках К и N соответственно. Известно, что АВ=9, ВС=12, АС=18, АK=5, CN=9. Найдите длину отрезка KN.

Ответ: 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11358

В равнобедренной трапеции ABCD с большим основанием AD биссектриса угла А пересекается с биссектрисой угла С в точке F, а также пересекает сторону CD в точке К. Известно, что угол AFC равен 150°. Найдите СК, если $$FK=6\sqrt{3}$$

Ответ: 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11401

В равнобедренной трапеции ABCD с большим основанием AD биссектриса угла А пересекается с биссектрисой угла С в точке F, а также пересекает сторону CD в точке К. Известно, что угол AFC равен 150°. Найдите FK, если $$CF=12\sqrt{3}$$.

Ответ: 18
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11444

Отрезки АВ и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если АВ=20, СВ=48, а расстояние от центра окружности до хорды АВ равно 24.

Ответ: 10
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11492

Отрезки АВ и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если АВ=24, а расстояния от центра окружности до хорд АВ и CD равны соответственно 16 и 12.

Ответ: 32
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11516

Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD , если углы ABC и BCD равны соответственно 45o и 150o, а боковая сторона CD=32.

Ответ: $$16\sqrt{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11539

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Определите длину отрезка KP, если AP=30, а сторона BC в 1,2 раза меньше стороны AB .

Ответ: 25
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11560

Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно. Найдите BN, если MN=20, АС=35, NC=39.

Ответ: 52
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11582

Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно. Найдите BN, если MN=15, АС=25, NC=22.

Ответ: 33
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11604

Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает его сторону BC в точке E. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если BE=5 , EC=2 , а $$\angle ABC=150^{\circ}$$.

Ответ: 17,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11627

Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны $$2\sqrt{3}$$, $$\sqrt{7}$$ и 1 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен исходному. Найдите косинус угла AKC, если $$\angle KAC>90^{\circ}$$

Ответ: $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11628

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1и BB1. Докажите, что углы AA1B1  и ABB1  равны. 

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11647

Биссектрисы угла A при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF=24, BF=10.

Ответ: 26
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11668

Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр параллелограмма, если BK=10, СK=18.

Ответ: 76
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11690

Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр параллелограмма, если ВК=8, СК=13.

Ответ: 58
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11792

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP , если AK=34, а сторона AC в 2 раза больше стороны BC.

Ответ: 17
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11814

Углы В и С треугольника АВС равны соответственно 64° и 86°. Найдите ВС, если диаметр окружности, описанной около треугольника АВС, равен 13.

Ответ: 6,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11836

Углы В и С треугольника АВС равны соответственно 66° и 84°. Найдите ВС, если радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 15.

Ответ: 15
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11878

Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы АВС и BCD равны соответственно 45° и 120°, a CD=34.

Ответ: $$17\sqrt{6}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11900

Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы АВС и BCD равны соответственно 30° и 120°, a CD=25.

Ответ: $$25\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11926

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 21 и 75. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Ответ: 20,16
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11947

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 20 и 52. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Ответ: $$\frac{240}{13}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11981

Высота АН ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH=15 и СН=2. Найдите высоту ромба.

Ответ: 8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12002

Высота АН ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH=24 и CH=1. Найдите высоту ромба.

Ответ: 7
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12023

Отрезки АВ и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки АС и BD пересекаются в точке М. Найдите МС, если АВ=16, DC=24, АС=25.

Ответ: 15
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12044

Отрезки АВ и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки АС и BD пересекаются в точке М. Найдите МС, если АВ=18, DC=54, АС=48.

Ответ: 36
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12065

Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите АВ, если AF=21, BF = 20.

Ответ: 29
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12086

Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите АВ, если АВ=24, ВF=32.

Ответ: 40
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12107

Точка Н является основанием высоты ВН, проведённой из вершины прямого угла В прямоугольного треугольника АВС. Окружность с диаметром ВН пересекает стороны АВ и СВ в точках Р и К соответственно. Найдите ВН, если $$PK=13.$$

Ответ: 13
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12128

Точка Н является основанием высоты ВН, проведённой из вершины прямого угла В прямоугольного треугольника АВС. Окружность с диаметром ВН пересекает стороны АВ и СВ в точках Р и К соответственно. Найдите BH, если $$PK=11$$.

Ответ: 11
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12149

Точка Н является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла В треугольника АВС к гипотенузе АС. Найдите АВ, если $$АН\ =5,\ АС\ =\ 45.$$

Ответ: 15
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12170

Точка Н является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла В треугольника АВС к гипотенузе АС. Найдите АВ, если $$АН = 3, АС = 27.$$

Ответ: 9
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12191

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 14, а одна из диагоналей ромба равна 56. Найдите углы ромба.

Ответ: $$60^{\circ}; 120^{\circ}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12212

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 18, а одна из диагоналей ромба равна 72. Найдите углы ромба.

Ответ: $$60^{\circ}; 120^{\circ}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12233

Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите диаметр окружности, если $$AB=1, AC=5.$$

Ответ: 4,8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12254

Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите АС, если диаметр окружности равен 15, а $$AB=4$$

Ответ: 16
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12939

В треугольнике ABC угол C равен $$90^{\circ}$$, радиус вписанной окружности равен 3. Найдите площадь треугольника ABC, если AB=15.

Ответ: 54
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12986

Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны АВ и CD в точках Е и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 35, ВС = 21, CF:DF = 5:2.

Ответ: 31
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13007

Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны АВ и CD в точках Е и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 48, ВС = 16, CF:DF = 5:3.

Ответ: 36
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13028

Прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках K и  N соответственно. Известно, что AB = CN=16, ВС = 20, АС = 28, АК=11. Найдите длину отрезка KN.

Ответ: 7
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13050

В равнобедренной трапеции ABCD с большим основанием AD биссектриса угла А пересекается с биссектрисой угла С в точке F, а также пересекает сторону CD в точке К. Известно, что прямые АВ и CF параллельны. Найдите CF, если $$FK=4\sqrt{3}$$.

Ответ: 8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13071

Отрезки АВ и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки АС и BD пересекаются в точке М. Найдите МС, если АВ=14, DC=56, АС=40.

Ответ: 32
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13094

Отрезки АВ и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки АС и BD пересекаются в точке М. Найдите МС, если АВ = 15, DC = 30, АС = 39.

Ответ: 26
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13115

Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке O. Площади треугольников AOD и BOC равны соответственно 25 и 16. Найдите площадь трапеции.

Ответ: 81
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13138

Прямая AD, перпендикулярная медиане BM треугольника ABC, делит угол BAC пополам. Найдите сторону AB, если сторона AC равна 4.

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13160

Точка Н является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла В треугольника АВС к гипотенузе АС. Найдите АВ, если АН = 4, АС = 16.

Ответ: 8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13182

Точка Н является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла В треугольника АВС к гипотенузе АС. Найдите АВ, если АН = 9, АС = 36.

Ответ: 18
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13203

В треугольнике ABC углы A и C равны 20о и 60о соответственно. Найдите угол между высотой BH и биссектрисой BD.

Ответ: 20
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13224

Прямая, параллельная основаниям MP и NK трапеции MNKP, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны MN и KP в точках A и B соответственно. Найдите длину отрезка AB , если MP = 40, NK = 24.

Ответ: 30
 

Задание 13246

Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и пересекаются BD в точке M. Найдите MC, если AB = 13, DC = 65, AC = 42.

Ответ: 35
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13272

Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите АВ, если AF = 21, BE = 20.

Ответ: 29
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13293

Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите АВ, если AF = 15, BF = 8.

Ответ: 17
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13314

Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 6:13:17. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 18.

Ответ: 18
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13336

Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 6:11:19. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 15.

Ответ: 15
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13357

В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания и вдвое больше боковой стороны CD. Угол  ADC равен 60o, сторона AB равна 4. Найдите площадь трапеции.

Ответ: $$12\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13416

Высота АН ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH=20 и СН=5. Найдите высоту ромба.

Ответ: 15
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13437

Найдите отношение двух сторон треугольника, если его медиана, выходящая из их общей вершины, образует с этими сторонами углы в 30o и 90o.

Ответ: 1:2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13460

Высота АН ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH=24 и СН=6. Найдите высоту ромба.

Ответ: 18
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13481

Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках К и Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если АР=34, а сторона ВС в 2 раза меньше стороны АВ.

Ответ: 17
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13504

Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках К и Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если АК=7, а сторона АС в 1,4 раза больше стороны ВС.

Ответ: 5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13526

В выпуклом четырёхугольнике NPQM диагональ NQ является биссектрисой угла PNM и пересекается с диагональю PM в точке S. Найдите NS, если известно, что около четырёхугольника NPQM можно описать окружность, PQ=86, SQ=43.

Ответ: 129
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13586

Прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках К и N соответственно. Известно, что АВ=12, ВС=15, АС=24, АК=7, CN=11. Найдите длину отрезка KN.

Ответ: 8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13608

Высота треугольника разбивает его основание на два отрезка с длинами 8 и 9. Найдите длину этой высоты, если известно, что другая высота треугольника делит её пополам.

Ответ: 12
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13630

Прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках К и N соответственно. Известно, что АВ=9, ВС=12, АС=18, АK=5, CN=9. Найдите длину отрезка KN.

Ответ: 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13652

Каждое основание AD и BC трапеции ABCD продолжено в обе стороны. Биссектрисы внешних углов A и B этой трапеции пересекаются в точке P, биссектрисы внешних углов C и D пересекаются в точке R. Найдите периметр трапеции ABCD , если длина отрезка PR равна 24.

Ответ: 48
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13676

В треугольнике ABC угол равен 90o, радиус вписанной окружности равен 3. Найдите площадь треугольника ABC, если AB=15.

Ответ: 54
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13716

В равнобедренной трапеции ABCD с большим основанием AD биссектриса угла А пересекается с биссектрисой угла С в точке F, а также пересекает сторону CD в точке К. Известно, что угол AFC равен 150°. Найдите СК, если $$FK=6\sqrt{3}$$.

Ответ: 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13737

В равнобедренной трапеции ABCD с большим основанием AD биссектриса угла А пересекается с биссектрисой угла С в точке F, а также пересекает сторону CD в точке К. Известно, что угол AFC равен 150°. Найдите FK, если $$CF=12\sqrt{3}$$.

Ответ: 18
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13760

Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями 8 и 5, если отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, равны.

Ответ: 20
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13821

Отрезки $$AB$$ и $$CD$$ являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды $$CD$$, если $$AB = 20$$, $$CD = 48$$, а расстояние от центра окружности до хорды $$AB$$ равно 24.

Ответ: 10
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13842

Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB=11, DC=55, AC=30.

Ответ: 25
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13863

В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания BC и вдвое больше боковой стороны CD. Угол ADC равен 60o, сторона AB равна 1. Найдите площадь трапеции.

Ответ: $$\frac{3\sqrt{3}}{4}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13886

Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH=15.

Ответ: 15
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13926

Отрезки АВ и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если АВ=24, а расстояния от центра окружности до хорд АВ и CD равны соответственно 16 и 12.

Ответ: 32
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13948

Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно. Найдите BN, если MN=20, АС=35, NC=39.

Ответ: 52
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13970

Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно. Найдите BN, если MN=15, АС=25, NC=22.

Ответ: 33
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13992

Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр параллелограмма, если ВК=10, СК=18.

Ответ: 76
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14013

Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр параллелограмма, если ВК=8, СК=13.

Ответ: 58
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14068

Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы АВС и BCD равны соответственно 30° и 120°, a CD=25.

Ответ: $$25\sqrt{3}$$
 

Задание 14090

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 21 и 75. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Ответ: 20,16
 

Задание 14112

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 20 и 52. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Ответ: $$\frac{240}{13}$$
 

Задание 14134

Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите АС, если диаметр окружности равен 15, а AB=4.

Ответ: 16
 

Задание 14156

Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите диаметр окружности, если АВ=1, АС=5.

Ответ: 4,8
 

Задание 14178

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 18, а одна из диагоналей ромба равна 72. Найдите углы ромба.

Ответ: $$60^{\circ};120^{\circ}$$
 

Задание 14200

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 14, а одна из диагоналей ромба равна 56. Найдите углы ромба.

Ответ: $$60^{\circ};120^{\circ}$$