Задачи на движение по воде

Пусть х км/ч - скорость первого, тогда х+8 км/ч - скорость второго. Время первого $$t_{1}=\frac{70}{x}$$ часов, время второго $$t_{2}=\frac{70}{x+8}$$ часов. При этом первый плыл на час дольше, тогда:

$$t_{1}-t_{2}=1\Leftrightarrow$$$$\frac{70}{x}-\frac{70}{x+8}=1|*(x^{2}+64)\Leftrightarrow$$$$70x+560-70x=x^{2}+8x\Leftrightarrow$$$$x^{2}+8x-560=0\Rightarrow$$
$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-8\\x_{1}*x_{2}=-560\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left[\begin{matrix}x_{1}=-28\\x_{2}=20\end{matrix}\right.$$

Скорость не может быть отрицательной, следовательно, она составляла 20 км/ч

Пусть х км/ч - собственная скорость баржи, тогда время движения по течению $$t_{1}=\frac{40}{x+5}$$ часов, время движения против течения $$t_{2}=\frac{30}{x-5}$$. Тогда:
$$\frac{40}{x+5}+\frac{30}{x-5}=5|*\frac{x^{2}-25}{5}\Leftrightarrow$$$$8(x-5)+6(x+5)=x^{2}-25\Leftrightarrow$$$$x^{2}-14x-15=0\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=14\\x_{1}*x_{2}=-15\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left[\begin{matrix}x_{1}=15\\x_{2}=-1 \end{matrix}\right.$$
Скорость не может быть отрицательной, следовательно, она составляет 15 км/ч

Пусть х км/ч - скорость теплохода в стоячей воде. Тогда время по течению: $$t_{1}=\frac{165}{x+4}$$ часов, время против течения $$t_{2}=\frac{165}{x-4}$$ часов. Время движения найдем как разницу общего времени и стоянки: $$18-5=13$$ часов. Тогда:

$$\frac{165}{x+4}+\frac{165}{x-4}=13|*(x^{2}-16)\Leftrightarrow$$$$13x^{2}-330x-208=0\Rightarrow$$$$D=108900+10816=346^{2}\Rightarrow$$$$x_{1}=\frac{330+346}{26}=26, x_{2}<0$$. Тогда собственная скорость теплохода составляет 26 км/ч

Пусть х км/ч - скорость течения, тогда время по течению $$t_{1}=\frac{16}{12+x}$$ часов, время против течения $$t_{2}=\frac{16}{12-x}$$ часов. Время движения в пути вычислим как разницу общего и стоянки: $$3\frac{2}{3}-\frac{2}{3}=3$$ часа. Следовательно:
$$\frac{16}{12+x}+\frac{16}{12-x}=3|*144-x^{2}\Leftrightarrow$$$$16*12-16x+16*12+16x=3(144-x^{2})|:3\Leftrightarrow$$$$128=144-x^{2}\Leftrightarrow$$$$x=\pm 4$$, скорость не может быть отрицательной, следовательно, скорость течения составляет 4 км/ч.

Пусть х км/ч - скорость течения реки, тогда время по течению $$t_{1}=\frac{48}{20+x}$$ часов, время против течения $$t_{2}=\frac{48}{20-x}$$ часов. Время движения за вычетом времени стоянки составляет: $$5\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=5$$ часов. Следовательно:
$$\frac{48}{20+x}+\frac{48}{20-x}=5|*(20-x)(20+x)\Leftrightarrow$$$$48*20-48x+48*20+48x=5(400-x^{2})\Leftrightarrow$$$$384=400-x^{2}\Leftrightarrow$$$$x^{2}=16\Leftrightarrow$$$$x=\pm 4$$, но скорость отрицательной быть не может, следовательно, скорость течения составляет 4 км/ч.

Пусть S км - расстояние от лагеря до берега, тогда время по течению: $$t_{1}=\frac{S}{6+3}$$ часов, время против течения: $$t_{2}=\frac{S}{6-3}$$ часов. При этом время в пути составляет: $$6-2=4$$ часа, тогда:
$$\frac{S}{9}+\frac{S}{3}=4|*9\Leftrightarrow$$$$S+3S=36\Leftrightarrow$$$$4S=36|:4\Leftrightarrow$$$$S=9$$ км

Пусть S км - расстояние в одну сторону, тогда время по течению: $$t_{1}=\frac{S}{6+2}$$ ; время против течения: $$t_{2}=\frac{S}{6-2}$$. Общее время движения составляет: $$10-5-2=3$$ часа. Тогда:
$$\frac{S}{8}+\frac{S}{4}=6\Leftrightarrow$$$$\frac{3S}{8}=3|*\frac{8}{3}\Leftrightarrow$$$$S=8$$ км.

Пусть х км/ч - собственная скорость лодки, S км - расстояние от А до В, тогда:
время по течению: $$t_{1}=\frac{S}{x+3}$$
время против течения: $$t_{2}=\frac{S}{x-3}$$
Средняя скорость в таком случае составляет: $$\frac{2S}{\frac{S}{x+3}+\frac{S}{x-3}}=8\Leftrightarrow$$$$\frac{2S}{\frac{Sx-3S+Sx+3S}{x^{2}-9}}=8\Leftrightarrow$$$$\frac{2S(x^{2}-9)}{2Sx}=8\Leftrightarrow$$$$x^{2}-9=8x\Leftrightarrow$$$$x^{2}-8x-9=0\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=8\\x_{1}*x_{2}=-9 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x_{1}=9\\x_{2}=-1 \end{matrix}\right.$$
Скорость лодки не может быть отрицательной, потому она составит 9 км/ч

Пусть х км/ч - собственная скорость лодки, тогда х+3 км/ч - скорость лодки по течению и $$t_{1}=\frac{36}{x+3}$$ часов - время лодки по течению; х-3 км/ч - скорость лодки против течения и $$t_{2}=\frac{36}{x-3}$$ часов - время против течения. Суммарное время движения составляет 5 часов, то есть: $$t_{1}+t_{2}=5$$, получаем:

$$\frac{36}{x+3}+\frac{36}{x-3}=5|*(x-3)(x+3)\Leftrightarrow$$$$36x-108+36x+108=5x^{2}-45\Leftrightarrow$$$$5x^{2}-72x-45=0\Rightarrow$$$$D=5184+900=6084=78^{2}\Rightarrow$$$$x_{1}=\frac{72+78}{10}=15, x_{2}<0$$, то есть собственная скорость лодки составляла 15 км/ч

Пусть х км/ч - собственная скорость яхты, плот двигается со скоростью течения, тогда время плота $$t_{1}=\frac{22}{2}=11$$ часов. Лодка плыла на 2 часа меньше, то есть $$11-2=9$$ часов, при этом данное время складывается из времени по течению: $$t_{2}=\frac{80}{x+2}$$ и времени движения против течения $$t_{3}=\frac{80}{x-2}$$.

Получаем: $$\frac{80}{x+2}+\frac{80}{x-2}=9|*(x+2)(x-2)\Leftrightarrow$$$$80x-160+80x+160=9x^{2}-36\Leftrightarrow$$$$9x^{2}-160x-36=0\Rightarrow$$$$D=25600+1296=164^{2}\Rightarrow$$$$x_{1}=\frac{160+164}{18}=18 , x_{2}<0$$, то есть собственная скорость лодки 18 км/ч

Пусть расстояние от А до В равно 1, х частей расстояния/час - скорость течения (она же и скорость плота), тогда 4х - собственная скорость катера. Получаем, что из В в А катер плыл против течения со скоростью 4х-х=3х, из А в В по течению со скоростью 4х+х=5х. Для нахождения времени встречи объектов, двигавшихся навстречу, скорости складываются, то есть: $$t_{1}=\frac{1}{x+3x}=\frac{1}{4x}$$, тогда расстояние из А до места встречи: $$S_{1}=x*\frac{1}{4x}=\frac{1}{4}$$. Тогда расстояние от В до места встречи: $$S_{2}=1-S_{1}=\frac{3}{4}$$. Тогда, время, за которое катер вернется обратно в В: $$t_{2}=\frac{\frac{3}{4}}{5x}=\frac{3}{20x}$$, тогда расстояние, которое за это время пройдет плот: $$S_{3}=x*\frac{3}{20x}=\frac{3}{20}$$. Тогда общее расстояние, пройденное плотом, $$S_{1}+S_{3}=\frac{1}{4}+\frac{3}{20}=\frac{2}{5}$$, то есть плот пройдет $$\frac{2}{5}$$ всего пути за все время