ОГЭ
Задание 13840
От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 280 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 4 часа после этого следом за ним, со скоростью, на 8 км/ч большей, чем у первого, отправился второй. Найдите скорость (в км/ч) первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно.
Задание 13650
От пристани A к пристани B, расстояние между которыми равно 238 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 7 часов после этого следом за ним со скоростью, на 17 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость (в км/ч) первого теплохода, если в пункт B оба теплохода прибыли одновременно
Задание 13355
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 280 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения (в км/ч), если скорость теплохода в неподвижной воде равна 24 км/ч, стоянка длится 15 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 39 часов после отплытия из него.
Задание 13201
Рыболов в 5 часов утра на моторной лодке отправился от пристани против течения реки, через некоторое время бросил якорь, 2 часа ловил рыбу и вернулся обратно в 10 часов утра того же дня. На какое расстояние (в км) от пристани он отплыл, если скорость реки равна 2 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч?
Задание 13180
Расстояние между пристанями А и В равно 60 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 30 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
Задание 13158
Расстояние между пристанями А и В равно 45 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 28 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.
Задание 13005
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 80 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 23 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 35 часов после отплытия из него.
Задание 12984
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 216 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 23 часа после отплытия из него.
Задание 11537
Расстояние между двумя пристанями по реке равно 24 км. Моторная лодка прошла от одной пристани до другой, сделала стоянку на 1 ч 40 мин и вернулась обратно. Всё путешествие заняло $$6\frac{2}{3}$$ ч. Найдите скорость (в км/ч) течения реки, если известно, что скорость моторной лодки в стоячей воде равна 10 км/ч.
Задание 10464
Расстояние между пристанями А и В равно 126 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 36 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.
Скорость плота соответствует скорости течения реки, следовательно, плот в движении был: $$\frac{36}{4}=9$$ часов. Лодка в движении была на час меньше, то есть 8 часов. Пусть x км/ч - собственная скорость лодки. Тогда скорость по течению x+4 км/ч, против течения: x-4 км/ч. Время движения по течению: $$\frac{126}{x+4}$$ часа, против: $$\frac{126}{x-4}$$, а в сумме дает 8 часов:
$$\frac{126}{x-4}+\frac{126}{x+4}=8|:2$$
$$\frac{63}{x-4}+\frac{63}{x+4}=4|\cdot (x-4)(x+4)$$
$$63x+63\cdot 4+63x+63\cdot 4=4x^{2}-64$$
$$4x^{2}-126x-64=0|:2$$
$$2x^{2}-63x-32=0$$
$$D=3969+4\cdot 2 \cdot 32=4225=65^{2}$$
$$x_{1}=\frac{63+65}{2\cdot 2}=32$$
$$x_{2}<0$$
Задание 9922
Катер прошёл от одной станции к другой, расстояние между которыми по реке равно 48 км, сделал стоянку на 20 минут и вернулся обратно через $$5\frac{1}{3}$$ часа после начала поездки. Найдите скорость (в км/ч) течения реки, если известно, что скорость катера в стоячей воде равна 20 км/ч.
Задание 8826
Моторная лодка прошла против течения реки 132 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 5 часов меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
Пусть скорость лодки х км/ч. Тогда скорость против течения будет х-5 км/ч. а по течению х+5 км/ч
По условию на обратный путь затрачено на 5 часов меньше, тогда: $$\frac{132}{x-5}-\frac{132}{x+5}=5$$
Приведем к общему знаменателю: $$\frac{132(x+5)-132(x-5)}{x^2-25}=5$$
Задание 2381
От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 70 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 1 час после этого следом за ним, со скоростью, на 8 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно.
Пусть х км/ч - скорость первого, тогда х+8 км/ч - скорость второго. Время первого $$t_{1}=\frac{70}{x}$$ часов, время второго $$t_{2}=\frac{70}{x+8}$$ часов. При этом первый плыл на час дольше, тогда:
$$t_{1}-t_{2}=1\Leftrightarrow$$$$\frac{70}{x}-\frac{70}{x+8}=1|*(x^{2}+64)\Leftrightarrow$$$$70x+560-70x=x^{2}+8x\Leftrightarrow$$$$x^{2}+8x-560=0\Rightarrow$$
$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-8\\x_{1}*x_{2}=-560\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left[\begin{matrix}x_{1}=-28\\x_{2}=20\end{matrix}\right.$$
Скорость не может быть отрицательной, следовательно, она составляла 20 км/ч
Задание 2380
Баржа прошла по течению реки 40 км и, повернув обратно, прошла ещё 30 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
Пусть х км/ч - собственная скорость баржи, тогда время движения по течению $$t_{1}=\frac{40}{x+5}$$ часов, время движения против течения $$t_{2}=\frac{30}{x-5}$$. Тогда:
$$\frac{40}{x+5}+\frac{30}{x-5}=5|*\frac{x^{2}-25}{5}\Leftrightarrow$$$$8(x-5)+6(x+5)=x^{2}-25\Leftrightarrow$$$$x^{2}-14x-15=0\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=14\\x_{1}*x_{2}=-15\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left[\begin{matrix}x_{1}=15\\x_{2}=-1 \end{matrix}\right.$$
Скорость не может быть отрицательной, следовательно, она составляет 15 км/ч
Задание 2379
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 165 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 18 часов после отплытия из него.
Пусть х км/ч - скорость теплохода в стоячей воде. Тогда время по течению: $$t_{1}=\frac{165}{x+4}$$ часов, время против течения $$t_{2}=\frac{165}{x-4}$$ часов. Время движения найдем как разницу общего времени и стоянки: $$18-5=13$$ часов. Тогда:
$$\frac{165}{x+4}+\frac{165}{x-4}=13|*(x^{2}-16)\Leftrightarrow$$$$13x^{2}-330x-208=0\Rightarrow$$$$D=108900+10816=346^{2}\Rightarrow$$$$x_{1}=\frac{330+346}{26}=26, x_{2}<0$$. Тогда собственная скорость теплохода составляет 26 км/ч
Задание 2378
Моторная лодка прошла от одной пристани до другой, расстояние между которыми по реке равно 16 км, сделала стоянку на 40 мин и вернулась обратно через $$3\frac{2}{3}$$ ч после начала поездки. Найдите скорость течения реки, если известно, что скорость моторной лодки в стоячей воде равна 12 км/ч.
Пусть х км/ч - скорость течения, тогда время по течению $$t_{1}=\frac{16}{12+x}$$ часов, время против течения $$t_{2}=\frac{16}{12-x}$$ часов. Время движения в пути вычислим как разницу общего и стоянки: $$3\frac{2}{3}-\frac{2}{3}=3$$ часа. Следовательно:
$$\frac{16}{12+x}+\frac{16}{12-x}=3|*144-x^{2}\Leftrightarrow$$$$16*12-16x+16*12+16x=3(144-x^{2})|:3\Leftrightarrow$$$$128=144-x^{2}\Leftrightarrow$$$$x=\pm 4$$, скорость не может быть отрицательной, следовательно, скорость течения составляет 4 км/ч.
Задание 2377
Катер прошёл от одной пристани до другой, расстояние между которыми по реке равно 48 км, сделал стоянку на 20 мин и вернулся обратно через $$5\frac{1}{3}$$ ч после начала поездки. Найдите скорость течения реки, если известно, что скорость катера в стоячей воде равна 20 км/ч.
Пусть х км/ч - скорость течения реки, тогда время по течению $$t_{1}=\frac{48}{20+x}$$ часов, время против течения $$t_{2}=\frac{48}{20-x}$$ часов. Время движения за вычетом времени стоянки составляет: $$5\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=5$$ часов. Следовательно:
$$\frac{48}{20+x}+\frac{48}{20-x}=5|*(20-x)(20+x)\Leftrightarrow$$$$48*20-48x+48*20+48x=5(400-x^{2})\Leftrightarrow$$$$384=400-x^{2}\Leftrightarrow$$$$x^{2}=16\Leftrightarrow$$$$x=\pm 4$$, но скорость отрицательной быть не может, следовательно, скорость течения составляет 4 км/ч.
Задание 2375
Туристы проплыли на лодке от лагеря некоторое расстояние вверх по течению реки, затем причалили к берегу и, погуляв 2 часа, вернулись обратно через 6 часов от начала путешествия. На какое расстояние от лагеря они отплыли, если скорость течения реки равна 3 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч?
Пусть S км - расстояние от лагеря до берега, тогда время по течению: $$t_{1}=\frac{S}{6+3}$$ часов, время против течения: $$t_{2}=\frac{S}{6-3}$$ часов. При этом время в пути составляет: $$6-2=4$$ часа, тогда:
$$\frac{S}{9}+\frac{S}{3}=4|*9\Leftrightarrow$$$$S+3S=36\Leftrightarrow$$$$4S=36|:4\Leftrightarrow$$$$S=9$$ км
Задание 2374
Рыболов в 5 часов утра на моторной лодке отправился от пристани против течения реки, через некоторое время бросил якорь, 2 часа ловил рыбу и вернулся обратно в 10 часов утра того же дня. На какое расстояние от пристани он отдалился, если скорость реки равна 2 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч?
Пусть S км - расстояние в одну сторону, тогда время по течению: $$t_{1}=\frac{S}{6+2}$$ ; время против течения: $$t_{2}=\frac{S}{6-2}$$. Общее время движения составляет: $$10-5-2=3$$ часа. Тогда:
$$\frac{S}{8}+\frac{S}{4}=6\Leftrightarrow$$$$\frac{3S}{8}=3|*\frac{8}{3}\Leftrightarrow$$$$S=8$$ км.
Задание 2373
Пристани А и В расположены на реке, скорость течения которой на этом участке равна 3 км/ч. Лодка проходит туда и обратно без остановок со средней скоростью 8 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.
Пусть х км/ч - собственная скорость лодки, S км - расстояние от А до В, тогда:
время по течению: $$t_{1}=\frac{S}{x+3}$$
время против течения: $$t_{2}=\frac{S}{x-3}$$
Средняя скорость в таком случае составляет: $$\frac{2S}{\frac{S}{x+3}+\frac{S}{x-3}}=8\Leftrightarrow$$$$\frac{2S}{\frac{Sx-3S+Sx+3S}{x^{2}-9}}=8\Leftrightarrow$$$$\frac{2S(x^{2}-9)}{2Sx}=8\Leftrightarrow$$$$x^{2}-9=8x\Leftrightarrow$$$$x^{2}-8x-9=0\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=8\\x_{1}*x_{2}=-9 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x_{1}=9\\x_{2}=-1 \end{matrix}\right.$$
Скорость лодки не может быть отрицательной, потому она составит 9 км/ч
Задание 2372
Моторная лодка прошла 36 км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь 5 часов. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде.
Пусть х км/ч - собственная скорость лодки, тогда х+3 км/ч - скорость лодки по течению и $$t_{1}=\frac{36}{x+3}$$ часов - время лодки по течению; х-3 км/ч - скорость лодки против течения и $$t_{2}=\frac{36}{x-3}$$ часов - время против течения. Суммарное время движения составляет 5 часов, то есть: $$t_{1}+t_{2}=5$$, получаем:
$$\frac{36}{x+3}+\frac{36}{x-3}=5|*(x-3)(x+3)\Leftrightarrow$$$$36x-108+36x+108=5x^{2}-45\Leftrightarrow$$$$5x^{2}-72x-45=0\Rightarrow$$$$D=5184+900=6084=78^{2}\Rightarrow$$$$x_{1}=\frac{72+78}{10}=15, x_{2}<0$$, то есть собственная скорость лодки составляла 15 км/ч
Задание 2371
Расстояние между пристанями А и В равно 80 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 2 часа вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошел 22 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Пусть х км/ч - собственная скорость яхты, плот двигается со скоростью течения, тогда время плота $$t_{1}=\frac{22}{2}=11$$ часов. Лодка плыла на 2 часа меньше, то есть $$11-2=9$$ часов, при этом данное время складывается из времени по течению: $$t_{2}=\frac{80}{x+2}$$ и времени движения против течения $$t_{3}=\frac{80}{x-2}$$.
Получаем: $$\frac{80}{x+2}+\frac{80}{x-2}=9|*(x+2)(x-2)\Leftrightarrow$$$$80x-160+80x+160=9x^{2}-36\Leftrightarrow$$$$9x^{2}-160x-36=0\Rightarrow$$$$D=25600+1296=164^{2}\Rightarrow$$$$x_{1}=\frac{160+164}{18}=18 , x_{2}<0$$, то есть собственная скорость лодки 18 км/ч
Задание 2370
Из пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению реки, отправился плот. Одновременно навстречу ему из пункта В вышел катер. Встретив плот, катер сразу повернул и поплыл назад. Какую часть пути от А до В пройдет плот к моменту возвращения катера в пункт В, если скорость катера в стоячей воде вчетверо больше скорости течения реки?
Пусть расстояние от А до В равно 1, х частей расстояния/час - скорость течения (она же и скорость плота), тогда 4х - собственная скорость катера. Получаем, что из В в А катер плыл против течения со скоростью 4х-х=3х, из А в В по течению со скоростью 4х+х=5х. Для нахождения времени встречи объектов, двигавшихся навстречу, скорости складываются, то есть: $$t_{1}=\frac{1}{x+3x}=\frac{1}{4x}$$, тогда расстояние из А до места встречи: $$S_{1}=x*\frac{1}{4x}=\frac{1}{4}$$. Тогда расстояние от В до места встречи: $$S_{2}=1-S_{1}=\frac{3}{4}$$. Тогда, время, за которое катер вернется обратно в В: $$t_{2}=\frac{\frac{3}{4}}{5x}=\frac{3}{20x}$$, тогда расстояние, которое за это время пройдет плот: $$S_{3}=x*\frac{3}{20x}=\frac{3}{20}$$. Тогда общее расстояние, пройденное плотом, $$S_{1}+S_{3}=\frac{1}{4}+\frac{3}{20}=\frac{2}{5}$$, то есть плот пройдет $$\frac{2}{5}$$ всего пути за все время