ОГЭ
Задание 3190
Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей, делит пополам общую касательную к ним
По свойству касательной и секущей: $$AM^{2}=MC\cdot MN$$
$$MB^{2}=MC\cdot MN$$
$$\Rightarrow$$ $$AM^{2}=MB^{2}$$
$$\Rightarrow$$ $$AM=MB$$
ч.т.д.
Задание 7164
Докажите, что расстояние от всякой точки окружности, описанной около равностороннего треугольника, до одной из его вершин равно сумме расстояний от этой точки до двух других вершин.
1) Докажем , что $$AC*BD=CD*AB+AD*BC$$ (теорема Птолемея). Выберем на AC точку С так , чтобы $$\angle ABD=\angle CBE$$
2) $$\Delta ABD\sim \Delta BCE$$ ($$\angle ECB=\angle ADB$$ (вписанные на одну дугу) и $$\angle ABD=\angle CBE$$ )$$\Rightarrow$$$$\frac{BC}{EC}=\frac{BD}{AD}\Rightarrow$$ $$BC*AD=EC*BD(1)$$
3) $$\Delta ABE\sim \Delta BCD$$ ($$\angle CDB=\angle EAB$$; $$\angle ABD=\angle CBE$$ и $$\angle DBE$$ - общий $$\Rightarrow$$ $$\angle EBA=\angle DBC$$)$$\Rightarrow$$ $$\frac{AB}{AE}=\frac{BD}{CD}\Rightarrow$$ $$AB*CD=AE*BD(2)$$. Сложим (1) и (2): $$AB*CD+BC*AD=$$$$AE*BD+EC*BD=$$$$(AE+EC)BD=AC*BD$$
4) Пусть $$AB=BC=AC=x$$ , с учетом , что $$AC*BD=CD*AB+AD*BC$$ получим , что $$BD*a=CD*a+BC*a|: a\Rightarrow$$ $$BD=CD+BC$$
Задание 7252
Две окружности с радиусами $$R$$ и $$r$$ касаются друг друга внешним образом в точке $$A$$. Общие касательные $$AD$$ и $$BC$$ к окружностям пересекаются в точке $$D$$. Докажите, что $$AD^{2}=Rr$$.
1) По свойству касательных : CD=DA и DA=DB $$\Rightarrow$$ $$CD=DB\Rightarrow$$ AD-медиана $$\Rightarrow$$$$\angle CAB=90$$
2) Пусть $$\angle ACD=\alpha \Rightarrow$$ из $$\Delta ABC$$: $$\angle ABC=90-\alpha$$. Из $$\Delta O_{1}CD$$: $$\angle CO_{1}D=\angle ACD=\alpha$$ и $$\angle AO_{1}D=\angle CO_{1}D=\alpha$$. Аналогично , $$\angle ABC=\angle DO_{2}B=\angle DO_{2}A=90-\alpha$$. Тогда $$\angle O_{1}DO_{2}$$( из $$\Delta O_{1}D0_{2}$$) равен 90 ($$180-(\alpha +90-\alpha)$$)
3) из $$\Delta O_{1}CD$$: $$O_{1}D^{2}=O_{1}C^{2}+CD^{2}=R^{2}+AD^{2}$$. Из $$\Delta O_{2}DB$$: $$O_{2}D=DB^{2}+O_{2}B^{2}=r^{2}+AD^{2}$$. При этом $$O_{1}D^{2}+O_{2}D^{2}=O_{1}O_{2}^{2}=(R+r)^{2}$$. Тогда: $$R^{2}+r^{2}+2AD^{2}=$$$$R^{2}+2Rr+r^{2}\Rightarrow$$ $$AD^{2}=Rr$$
Задание 7812
Четыре точки окружности следуют в порядке $$A$$, $$B$$, $$C$$ и $$D$$. Продолжения хорды $$AB$$ за точку $$B$$ и хорды $$CD$$ за точку $$C$$ пересекаются в точке $$E$$, причем угол $$AED$$ равен $$60^{\circ}$$. Угол $$ABD$$ в три раза больше угла $$BAC$$. Докажите, что $$AD$$ – диаметр окружности.
Задание 15291
В окружности через середину $$O$$ хорды $$BD$$ проведена хорда $$AC$$ так, что дуги $$AB$$ и $$CD$$ равны. Докажите, что $$O$$ — середина хорды $$AC$$.
Вписанные углы ADB, CBD, ACB и DAC опираются на равные дуги, значит, они равны.
Получаем, что треугольники СOВ и AOD подобны по двум углам; их коэффициент подобия равен $$\frac{AO}{OC}$$
Поскольку AO = OC, эти треугольники равны, следовательно, AO = OC.