Четырёхугольники

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) Сумма внешних углов $$A$$ и $$B$$ равна $$180^{\circ}$$ (т.к. $$BC\parallel AD$$), а т.к. $$AK$$ и $$BK$$ - биссектрисы, то $$\angle KAB+\angle KBA=90^{\circ}$$. Кроме того $$K$$ равноудалена от $$BC$$ и $$AB$$ и от $$AD$$ и $$AB$$, т.к. лежит на биссектрисах.

2) Аналогично $$\bigtriangleup CED$$ - прямоугольный и $$E$$ равноудалена от $$BC$$ и $$AD$$

3) Пусть $$KE\cap AB=M$$; $$KE\cap CD=N$$, тогда из п.1 и п.2 $$MN$$ - средняя линия $$\Rightarrow$$ $$MN=\frac{BC+AD}{2}$$

4) $$KM$$ - медиана $$\bigtriangleup KBA$$, а он прямоугольный $$\Rightarrow$$ $$KM=AM=MB=\frac{AB}{2}$$, аналогично $$EN=\frac{CD}{2}$$

5) $$KE=KM+MN+NE=\frac{AB+BC+CD+AD}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$P_{ABCD}=2KE=48$$

1) Пусть $$L$$ - середина $$AC$$; $$K$$ - середина $$BD$$ $$\Rightarrow$$ $$ML$$ - средняя линия $$\bigtriangleup ABC$$, а $$KN$$ - $$\bigtriangleup DBC$$ $$\Rightarrow$$ $$LM=\frac{BC}{2}=NK$$ и $$LM\parallel BC\parallel NK$$ $$\Rightarrow$$ $$LMNK$$ - параллелограм

2) Аналогично, $$LN$$ - средняя линия $$\bigtriangleup CDA$$; $$MK$$ - $$\bigtriangleup ABD$$ $$\Rightarrow$$ $$LN=\frac{AD}{2}=MK$$, $$LN\parallel AD\parallel MK$$ $$\Rightarrow$$ $$LMNK$$ - прямоугольник $$\Rightarrow$$ $$MN=LK=1$$

1) Пусть $$CH\perp AD$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle HCD=90^{\circ}-\angle CDH=30^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$HD=CD\cdot\sin30^{\circ}=\frac{x}{2}$$;

2) Пусть $$BM\perp AM$$ $$\Rightarrow$$ $$MH=BC=x$$ $$\Rightarrow$$ $$AM=2x-x-\frac{x}{2}=\frac{x}{2}=HD$$ $$\Rightarrow$$ $$AM=HD$$; $$BM=CH$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup AMB=\bigtriangleup CAD$$ (по двум катетам) $$\Rightarrow$$ $$CD=AB=2=x$$ $$\Rightarrow$$ $$AM=1$$ $$\Rightarrow$$ по т. Пифагора из $$\bigtriangleup ABM$$: $$BM=\sqrt{AB^{2}-AM^{2}}=\sqrt{3}$$

3) $$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot BM=\frac{2+4}{2}\cdot\sqrt{3}=3\sqrt{3}$$

1) $$BC\parallel AD$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle BCO=\angle OAD$$; $$\angle CBO=\angle ODA$$ (накрестлежащие) $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup BOC\sim\bigtriangleup AOD$$

2) $$\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}}=\frac{9}{16}$$ см² $$\Rightarrow$$ $$\frac{BC}{AD}=\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}$$ (отношение площадей подобных фигур) $$\Rightarrow$$ $$BO=3x$$ $$\Rightarrow$$ $$DO=4x$$; $$CO=3y$$ $$\Rightarrow$$ $$AO=4y$$

3) $$\angle BOC=\alpha$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle BOA=180^{\circ}-\alpha$$ $$\Rightarrow$$ $$\sin\angle BOC=\sin\angle BOA$$ (смежные), $$\angle BOA=\angle COD$$; $$\angle BOC=\angle AOD$$ (вертикальные)

4) $$S_{BOA}=\frac{1}{2}\cdot BO\cdot OA\cdot\sin\angle BOA=\frac{1}{2}\cdot3x\cdot4y\cdot\sin\alpha=6xy\sin\alpha$$; $$S_{COD}=\frac{1}{2}\cdot CO\cdot OD\cdot\sin\angle COD=\frac{1}{2}\cdot3y\cdot4x\cdot\sin\alpha=6xy\sin\alpha=S_{BOA}$$; $$S_{BOC}=\frac{1}{2}\cdot BO\cdot OC\cdot\sin\angle BOC=\frac{1}{2}\cdot3x\cdot3y\cdot\sin\alpha=9$$ $$\Rightarrow$$ $$xy\sin\alpha=2$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{BOA}=S_{COD}=12$$

5) $$S_{ABCD}=9+2\cdot12+16=49$$

1) Пусть $$NP\cap MK=H$$; $$NK\parallel MP$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup NHK\sim\bigtriangleup MHP$$; $$\frac{NK}{MP}=\frac{24}{40}=\frac{3}{5}=\frac{NH}{HP}=\frac{HK}{HM}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{MK}{MN}=\frac{8}{5}=\frac{NP}{HP}$$

2) $$AB\parallel NK$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup AHM\sim\bigtriangleup MNK$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{NK}{AH}=\frac{MK}{MH}=\frac{8}{5}$$ $$\Rightarrow$$ $$AH=\frac{24\cdot5}{8}=15$$. Аналогично $$\bigtriangleup HBP\sim\bigtriangleup NKP$$ и $$\frac{NK}{HB}=\frac{NP}{HP}=\frac{8}{5}$$ $$\Rightarrow$$ $$HB=15$$ $$\Rightarrow$$ $$AB=30$$

1) Пусть $$AD=x$$, $$DC=y$$, тогда $$2(x+y)=56$$ $$\star$$

2) $$\bigtriangleup ADC$$ - прямоугольный $$\Rightarrow$$ $$AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}$$. С учетом $$\star$$: $$\left\{\begin{matrix}x+y=28&\\x^{2}+y^{2}=27^{2}&\end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=784&\\x^{2}+y^{2}=729^{2}&\end{matrix}\right.$$ Подставим из второго в первое: $$729+2xy=784$$ $$\Rightarrow$$ $$2xy=55$$ $$\Rightarrow$$ $$xy=27,5$$

1) $$ABCD$$ - ромб $$\Rightarrow$$ $$AD=CD=12+3=15$$

2) $$\bigtriangleup AHD$$ - прямоугольный $$\Rightarrow$$ $$AH=\sqrt{AD^{2}-DH^{2}}=\sqrt{15^{2}-12^{2}}=9$$

1) т.к. окружность вписана, то $$AB+CD=BC+AD$$, но $$ABCD$$ - параллелограм $$\Rightarrow$$ $$AB+CD$$; $$AD=BC$$ $$\Rightarrow$$ $$2AB=2BC$$ $$\Rightarrow$$ $$AB=BC$$ $$\Rightarrow$$ $$ABCD$$ - ромб

2) $$P_{ABCD}=4\cdot AB=4\cdot8=32$$

1) Пусть $$AB=18$$; $$DC=8$$ $$\Rightarrow$$ $$AD=CB=\frac{56-(18+8)}{2}=15$$

2) Пусть $$CH$$ и $$DM\perp AB$$ $$\Rightarrow$$ $$MN=DC=8$$; $$AD=CB$$; $$DM=CH$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup AMD=\bigtriangleup CHB$$ (по гипотенузе и катету) $$\Rightarrow$$ $$AM=HB=\frac{18-8}{2}=5$$

3) $$CH=\sqrt{CB^{2}-HB^{2}}=\sqrt{15^{2}-5^{2}}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}$$

4) $$S_{ABCD}=\frac{AB+CD}{2}\cdot CH=\frac{18+8}{2}\cdot10\sqrt{2}=130\sqrt{2}$$