ОГЭ
Задание 2669
Известно, что графики функций $$y = x^2 + p$$ и $$y = 2x - 5$$ имеют ровно одну общую точку. Определите координаты этой точки. Постройте графики заданных функций в одной системе координат.
$$y=x^{2}+p$$
$$y=2x-5$$
| $$x^{2}+p=2x-5$$ | имеет одно решение, т.к. D=0 |
$$x^{2}-2x+5+p=0$$
$$D=4-4(5+p)=0$$
$$\Rightarrow p=-4\Rightarrow x=1 y=-3$$
Задание 2773
Постройте график функции $$y = x^2 - 4|x| - x$$ и определите, при каких значениях $$a$$ прямая $$y = a$$ имеет с графиком ровно три общие точки.
| $$\left\{\begin{matrix}x\geq0\Rightarrow y=x^{2}-4x-x=x^{2}-5x\\x\leq0\Rightarrow y=x^{2}+4x-x=x^{2}+3x\end{matrix}\right.$$ |
1) $$y=x^{2}-5x$$ $$x_{0}=-\frac{-5}{2}=2,5$$ $$y_{0}=2,5^{2}-5\cdot2,5=-6,25$$
2) $$y=x^{2}+3x$$ $$x_{0}=-\frac{3}{2}=-1,5$$ $$y_{0}=(-1,5)^{2}+3\cdot(-1,5)=-2,25$$
Задание 2814
Найдите все значения $$k$$, при которых прямая $$y = kx$$ пересекает в двух точках ломаную, заданную условиями: $$y = \begin{cases} x - 2,& x < 6 \\ 10 - x,& x \ge 6 \end{cases}$$
$$y=kx$$ проходит через центр системы координат
1) $$k\geq0$$ и до момента, пока пройдет через $$(6; 4)$$
$$4=k\cdot 6\Rightarrow k=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$ $$\Rightarrow k\in \left [ 0; \frac{2}{3} \right)$$
2) $$k<0$$ до момента, пока не станет параллельна $$y=10-x$$, то есть $$k>-1$$ $$\Rightarrow$$ $$k\in(-1; 0)$$
Задание 2927
Постройте график функции $$y=\frac{(x-9)(x^{2}-9)}{x^{2}-6x-27}$$ и определите, при каких значениях k построенный график не будет иметь общих точек с прямой у=kх.
Решение временно отсутствует, можете найти его в моем видео-разборе ( вначале варианта )
Задание 2976
Постройте график функции $$y=|x^{2}-2x-3|$$ и определите, при каких значениях а прямая $$y=a$$ имеет с графиком три общие точки.
Текстовое решение временно отсутствует. Вы можете найти разбор в видео перед вариантом
Задание 3101
Постройте график функции $$y = 5 - \frac{x^4 - x^3}{x^2 - x}$$ и определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно две общие точки.
$$y=5-\frac{x^{4}-x^{3}}{x^{2}-x}$$ $$x^{2}-x\neq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x\neq1$$; $$x\neq0$$ $$y=5-\frac{x^{2}(x^{2}-x)}{x^{2}-x}=5-x^{2}$$
Задание 3141
Найдите все значения $$k$$, при каждом из которых прямая $$y = kx - 1$$ имеет с графиком функции $$y = x^2 - 4x + 3$$ ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые.
Текстовое решение временно недоступно, вы можете найти его в видео в начале варианта
Задание 3843
Постройте график функции $$y = 1 - \frac{2x + 4}{x^2 + 2x}$$ и определите, при каких значениях $$a$$ прямая $$y = a$$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
$$y=1-\frac{2x+4}{x^{2}+2x}=1-\frac{2(x+2)}{x(x+2)}=1-\frac{2}{x}$$
$$x\neq0$$; $$x\neq2$$ $$\Rightarrow$$ $$(-2;2)$$ не входит
Тогда $$y=2$$; $$y=1$$ не имеют общих точек с $$y=1-\frac{2x+4}{x^{2}+2x}$$
Задание 3994
Постройте график функции $$y = 5 - \frac{x^4 - x^3}{x^2 - x}$$ и определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно две общие точки.
$$y=5-\frac{x^{4}-x^{3}}{x^{2}-x}$$
ОДЗ: $$x^{2}-x\neq0$$
$$\left\{\begin{matrix}x\neq0\\x\neq1\end{matrix}\right.$$
$$5-\frac{x^{4}-x^{3}}{x^{2}-x}=$$
$$=5-\frac{x^{2}(x^{2}-x)}{x^{2}-x}=5-x^{2}$$
$$y_{1}=5-x^{2}$$
То есть график первоначальной функции совпадает с графиком функции y1 при учете ОДЗ. Построим график y1 функции
Если прямая y=m проходит через оординаты 4 и 5, то получаем по одному пересечению, следовательно, их надо исключить, и тогда m будет принадлежать промежутку:
$$m\in(-\infty;4)\cup(4;5)$$