ОГЭ
Задание 2669
Известно, что графики функций y=x2+p и y=2x-5 имеют ровно одну общую точку. Определите координаты этой точки. Постройте графики заданных функций в одной системе координат.
$$y=x^{2}+p$$
$$y=2x-5$$
| $$x^{2}+p=2x-5$$ | имеет одно решение, т.к. D=0 |
$$x^{2}-2x+5+p=0$$
$$D=4-4(5+p)=0$$
$$\Rightarrow p=-4\Rightarrow x=1 y=-3$$
Задание 2773
Постройте график функции $$y=x^{2}-4\left | x \right |-x$$ и определите, при каких значениях а прямая $$y=а$$ имеет с графиком ровно три общие точки.
| $$\left\{\begin{matrix}x\geq0\Rightarrow y=x^{2}-4x-x=x^{2}-5x\\x\leq0\Rightarrow y=x^{2}+4x-x=x^{2}+3x\end{matrix}\right.$$ |
1) $$y=x^{2}-5x$$ $$x_{0}=-\frac{-5}{2}=2,5$$ $$y_{0}=2,5^{2}-5\cdot2,5=-6,25$$
2) $$y=x^{2}+3x$$ $$x_{0}=-\frac{3}{2}=-1,5$$ $$y_{0}=(-1,5)^{2}+3\cdot(-1,5)=-2,25$$
Задание 2814
Найдите все значения k при которых прямая $$y=kx$$ пересекает в двух точках ломаную, заданную условиями: $$y=\left\{\begin{matrix}x-2, x<6\\10-x, x\geq6\end{matrix}\right.$$
$$y=kx$$ проходит через центр системы координат
1) $$k\geq0$$ и до момента, пока пройдет через $$(6; 4)$$
$$4=k\cdot 6\Rightarrow k=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$ $$\Rightarrow k\in \left [ 0; \frac{2}{3} \right)$$
2) $$k<0$$ до момента, пока не станет параллельна $$y=10-x$$, то есть $$k>-1$$ $$\Rightarrow$$ $$k\in(-1; 0)$$
Задание 2927
Постройте график функции $$y=\frac{(x-9)(x^{2}-9)}{x^{2}-6x-27}$$ и определите, при каких значениях k построенный график не будет иметь общих точек с прямой у=kх.
Решение временно отсутствует, можете найти его в моем видео-разборе ( вначале варианта )
Задание 2976
Постройте график функции $$y=|x^{2}-2x-3|$$ и определите, при каких значениях а прямая $$y=a$$ имеет с графиком три общие точки.
Текстовое решение временно отсутствует. Вы можете найти разбор в видео перед вариантом
Задание 3101
Постройте график функции $$y=5-\frac{x^{4}-x^{3}}{x^{2}-x}$$ и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
$$y=5-\frac{x^{4}-x^{3}}{x^{2}-x}$$ $$x^{2}-x\neq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x\neq1$$; $$x\neq0$$ $$y=5-\frac{x^{2}(x^{2}-x)}{x^{2}-x}=5-x^{2}$$
Задание 3141
Найдите все значения k, при каждом из которых прямая y= kx - 1 имеет с графиком функции y=x2-4x+3 ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые.
Текстовое решение временно недоступно, вы можете найти его в видео в начале варианта
Задание 3273
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $$|3x+2|+|3x-2|=ax+4$$ имеет ровно два решения.
Пусть $$f(x)=|3x+2|+|3x-2|$$
$$g(x)=ax+4$$
 |
$$3x+2$$ $$3x-2$$ |
$$x<-\frac{2}{3}$$ $$\Rightarrow$$ $$f(x)=-3x-2-3x+2=-6x$$
$$x\in [-\frac{2}{3};\frac{2}{3}]\Rightarrow f(x)=3x+2-3x+2=4$$
$$x\geq \frac{2}{3}\Rightarrow f(x)=3x+2+3x-2=6x$$
$$g(x)=ax+4$$ при $$a\in(-6;0)\cup(0;6)$$
Задание 3843
Постройте график функции $$y=1-\frac{2x+4}{x^{2}+2x}$$ и определите, при каких значениях а прямая $$y=а$$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
$$y=1-\frac{2x+4}{x^{2}+2x}=1-\frac{2(x+2)}{x(x+2)}=1-\frac{2}{x}$$
$$x\neq0$$; $$x\neq2$$ $$\Rightarrow$$ $$(-2;2)$$ не входит
Тогда $$y=2$$; $$y=1$$ не имеют общих точек с $$y=1-\frac{2x+4}{x^{2}+2x}$$
Задание 3994
Постройте график функции $$y=5-\frac{x^{4}-x^{3}}{x^{2}-x}$$ и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
$$y=5-\frac{x^{4}-x^{3}}{x^{2}-x}$$
ОДЗ: $$x^{2}-x\neq0$$
$$\left\{\begin{matrix}x\neq0\\x\neq1\end{matrix}\right.$$
$$5-\frac{x^{4}-x^{3}}{x^{2}-x}=$$
$$=5-\frac{x^{2}(x^{2}-x)}{x^{2}-x}=5-x^{2}$$
$$y_{1}=5-x^{2}$$
То есть график первоначальной функции совпадает с графиком функции y1 при учете ОДЗ. Построим график y1 функции
Если прямая y=m проходит через оординаты 4 и 5, то получаем по одному пересечению, следовательно, их надо исключить, и тогда m будет принадлежать промежутку:
$$m\in(-\infty;4)\cup(4;5)$$
Задание 4058
Постройте график функции $$y=x^{2}-4|x|-x$$ и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком не менее одной, но не более трёх общих точек.
Если $$x\geq0\Rightarrow y=x^{2}-4x-x=x^{2}-5x$$
Если $$x<0\Rightarrow y=x^{2}+4x-x=x^{2}+3x$$
1) $$y=x^{2}-5x$$
$$x_{0}=-\frac{-5}{2}=2,5$$
$$y_{0}=2,5^{2}-5\cdot2,5=-6,25$$
2) $$y=x^{2}+3x$$
$$x_{0}=-\frac{3}{2}=-1,5$$
$$y_{0}=(-1,5)^{2}+3(-1,5)=-2,25$$
$$m=-6,25$$ - 1точка
$$m\in(-6,25;-2,25)$$ - 2 точки
$$m=-2,25$$ - 3 точки
$$m=0$$ -3 точки
$$m\in(0;+\infty)$$ - 2 точки $$\Rightarrow$$
$$m\in[-6,25;-2,25]\cup[0;+\infty)$$
Задание 4534
Постройте график функции $$y=2+\frac{x+2}{x^{2}+2x}$$ и определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.
$$y=2+\frac{x+2}{x^{2}+2x}=2+\frac{x+2}{x(x+2)}=2+\frac{1}{x}$$; $$x^{2}\neq2x\neq0$$; $$x\neq0$$; $$x\neq-2$$.
$$m=1,5$$; $$m=2$$
Задание 4801
Постройте график функции $$y=|x^{2}-2|x|-3|$$ и определите, какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс.
Сначала необходимо раскрыть первый модуль:
1)Если подмодульное выражение больше или равно нулю: $$\left\{\begin{matrix}x\geq 0\\ y=|x^{2}-2x-3|\end{matrix}\right.$$
Рассмотрим, когда подмодульное второе равно нулю: $$x_{1}=3 ; x_{2}=-1$$. Получаем, что на промежутках $$(-\infty ;-1)\cup (3;+\infty)$$ оно положительное, а при $$x\in (-1;3)$$ отрицательное. То есть мы получаем при $$x\geq 0$$: $$\begin{cases}y=x^{2}-2x-3 & \text{ if } x\in (-\infty ;-1)\cup (3;+\infty) \\ y=-x^{2}+2x+3 & \text{ if } x\in (-1;3)\end{cases}$$
В точках -1 и 3 значения будут одинаковы, потому нет разницы к какой части их присоединить
2)Если подмодульное выражение меньше нуля: $$\left\{\begin{matrix}x< 0\\ y=|x^{2}+2x-3|\end{matrix}\right.$$
Рассмотрим, когда подмодульное второе равно нулю: $$x_{1}=-3 ; x_{2}=1$$. Получаем, что на промежутках $$(-\infty ;-3)\cup (1;+\infty)$$ оно положительное, а при $$x\in (-3;1)$$ отрицательное. То есть мы получаем при $$x< 0$$: $$\begin{cases}y=x^{2}+2x-3 & \text{ if } x\in (-\infty ;-3)\cup (1;+\infty) \\ y=-x^{2}-2x+3 & \text{ if } x\in (-3;1)\end{cases}$$
В точках -3 и 1 значения будут одинаковы, потому нет разницы к какой части их присоединить
Далее необходимо построить графики четырех представленных парабол и оставить только те их части, которые даются по промежуткам:
Как видим по графику наибольшее количество общих точек составит 6 штук ($$y\in (3;4)$$)
Задание 4869
Постройте график функции $$y=\frac{(\sqrt{x^{2}-5x+6})^{2}}{x-3}$$ и найдите все значения а при которых прямая $$y=a$$ не имеет с графиком ни одной общей
Задание 4896
Постройте график функции $$y=2x|x|+x^{2}-6x$$ и определите, при каких значениях m прямая $$y=m$$ имеет с графиком более двух общих точек.
Задание 4943
Постройте график функции $$y=\left\{\begin{matrix}|x|,-1\leq x\leq2\\-x^{2}+6x-6,x>2;x<-1\end{matrix}\right.$$
определите, при каких значениях $$a$$ прямая $$y=a$$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Построим обы графика функция на одной системе координат
Отметим части графика с учетом ограничений по х (выделены черным цветом)
Сотрем ненужные части (важно помнить, что закращенный концы будут у графика модуля, так как именно там нестрогие неравенства)
Прямая $$y=a$$, это прямая, параллельная оси Ox. Как видим по графику две точки пересечения получатся в случае если $$a\in(-\infty;-13)\cup[0]\cup(1;3)$$
Задание 4990
Постройте график функции $$\frac{(x^{2}+x)\cdot|x|}{x+1}$$ и определите, при каких значениях а прямая $$y=a$$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
Задание 5039
Постройте график функции
$$y=\left\{\begin{matrix}-x^{2}-4x-4,x<-1\\1-|x-1|,x\geq-1\end{matrix}\right.$$
и определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Задание 5086
Постройте график функции $$y=\frac{(x^{2}-4)(x-4)}{x^{2}-2x-8}$$ и определите, при каких значениях $$k$$ построенный график не будет иметь общих точек с прямой $$y=kx$$
Задание 5173
Постройте график функции $$y=\frac{(x^{2}+6,25)(x-1)}{1-x}$$ и определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.
Задание 5223
Постройте график функции $$y=|x^{2}-5x+2|$$ . Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?
Задание 5271
Постройте график функции $$y=-1-\frac{x-2}{x^{2}-4}$$ и определите, при каких значениях $$a$$ прямая $$y=a$$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
ОДЗ: $$x^{2}-4 \neq 0 \Leftrightarrow$$$$x\neq\pm 2$$. Преобразуем правую часть функции: $$-1-\frac{x-2}{x^{2}-4}=$$$$-1-\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}=$$$$-1-\frac{1}{x+2}$$
То есть график функции $$y_{1}=-1-\frac{1}{x+2}$$ и график искомой функции совпадают, если к $$y_{1}$$ применить ОДЗ для искомой. График функции $$y_{1}$$ - гипербола, смещенная на 1 единицу вних и на две влево относительно графика эталонной обратной пропорциональности $$y=\frac{1}{x}$$. Начертим график функции $$y_{1}$$:
Учтем, что $$x\neq\pm 2$$. В случае $$x\neq -2$$ можно отдельно не рассматривать, так как это условие уже выполняется для графика функции $$y_{1}$$. Для $$x\neq 2$$: подставим значение $$x=2$$ в функции $$y_{1}$$: $$y_{1}(2)=-1-\frac{1}{2+2}=-\frac{5}{4}$$. То есть точку, с координатами $$(2;-\frac{5}{4})$$ необходимо отметить пустой на графике функции $$y_{1}$$ и тогда мы получим график искомой функции:
Прямая $$y=a$$ - прямая паралленая оси Ох, чтобы она не имела с графиком искомой функции точек пересечения она должны использоваться следующие значения $$a=-1;-\frac{5}{4}$$:
Задание 5319
Постройте график функции $$y=\frac{(x-4)(x^{2}-4)}{x^{2}-6x+8}$$ и определите, при каких значениях k построенный график не будет иметь общих точек с прямой у=kx
Найдем область определения заданной функции: $$x^{2}-6x+8 \neq 0 \Leftrightarrow $$$$x_{1} \neq 2 ; 4$$
Преобразуем данную функцию с учетом полученной области определения: $$\frac{(x-4)(x^{2}-4)}{x^{2}-6x+8}=$$$$\frac{(x-4)(x-2)(x+2)}{(x-4)(x-2)}=x+2$$. То есть график функции $$y=x+2$$ совпадает с графиком начальной функции при наличии области ее определения.
Получаем, что точки (2;4) и (4;6) пустые, следовательно, чтобы прямая y=kx не имела с графиком пересечений, она должна пройти через эти точки. Подставим их координаты в уравнение прямой, чтобы найти k:
$$4=2k \Leftrightarrow$$$$k=2$$
$$6=4k \Leftrightarrow$$$$k=1,5$$
Так же прямая не будет иметь пересечений, если она будет параллельна графику начальной функции. Две прямые $$y_{1}=k_{1}x+b_{1}$$ и $$y_{2}=k_{2}x+b_{2}$$ параллельны в том случае, если коэффициенты при х у них одинаковы ($$k_{1}=k_{2}$$, а свободные - разные ($$b_{1} \neq b_{2}$$). То есть k=1 тоже будет ответом.
Задание 5366
Постройте график функции $$y=|x^{2}+6x+5|$$ и определите, при каких значениях а прямая $$y=a$$ имеет с графиком три общие точки.
Рассмотрим график функции $$y_{1}=x^{2}+6x+5$$. Искомый будет отличаться от данного тем, что та часть параболы, которая находится под осью Ох симметрично отобразиться относительно оси Ох (в силу того, что модуль все отрицательные значения сделает положительными). Найдем вершину параболы: $$x_{0}=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2}=-3$$ , $$y_{1}(3)=(-3)^{2}+6*(-3)+5=-4$$. Найдем еще несколько значений для функции $$y_{1}$$: $$y_{1}(-2)=-3 ; y_{1}(-1)=0 ; y_{1}(0)=5$$.
График квадратичной функции симметричен относительно оси $$x=x_{0}$$, в нашем случае относительно $$x=-3$$. Начертим график функции $$y_{1}$$:
Отобразим симметрично относительно оси Ох ту часть параболы, которая располагается под осью Ох и получим график функции $$y=|x^{2}+6x+5|$$:
Очевидно, что прямая параллельная оси Оу будет иметь три точки пересечения с графиком данной функции при $$a=4$$:
Задание 5414
Постройте график функции $$y=|x-2|-|x+1|$$ и определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно три общие точки.
$$y=\left | x -2 \right |-\left | x +1 \right |$$. Уберем модули. $$x -2=0$$ при $$x=2$$, а $$x+1=0$$, при х=-1$$. Отметим полученные точки на координатной прямой и посмотрим, какие значения принимают подмодульные выражения на различных промежутках:
Получили три интервала:
1)$$\left\{\begin{matrix}x \leq -1\\y=-x +2+x +1=3 \end{matrix}\right.$$
2)$$\left\{\begin{matrix} -1<x<2\\y=-x +2-x -1=-2*x +1\end{matrix}\right.$$
3)$$\left\{\begin{matrix}x \geq 2 \\y=x -2-x -1=-3 \end{matrix}\right.$$
Построим график с учетом полученных интервалов и их кусочных функций:
Графиком функции $$y=kx$$ является прямая, проходящая через начало координат. Очевидно, что для 2х пересечений прямая должна пройти через координату (2;-3).
Найдем коэффициент k:
$$-3=k*2\Leftrightarrow$$$$k=-1,5$$
Тогда, для 3х пересечений, коэффициент должен быть больше, чем -1,5, но меньше 0, то есть $$k \in(-1,5;0)$$
Задание 6070
Постройте график функции $$y=\frac{x^{2}-25}{x^{2}-5x}$$ и определите, при каких значениях a прямая $$y=a$$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
$$y=\frac{x^{2}-25}{x^{2}-5x}$$
ОДЗ: $$x^{2}-5x\neq 0 \Leftrightarrow x(x-5)=0\Leftrightarrow$$$$ x\neq 0; x\neq 5\Rightarrow x\in (-\infty; 0)\cup(5 ;+\infty ).$$
Упростим выражение: $$\frac{x^{2}-25}{x^{2}-5x}=\frac{(x-5)*(x+5)}{x(x-5)}=\frac{x+5}{x}=1+\frac{5}{x}$$ Т.е. график $$y=1+\frac{5}{x}$$ такой же, как $$y=\frac{x^{2}-25}{x^{2}-5x}$$ при условии ОДЗ:
Прямая $$y=a$$ - это прямая, параллельная оси Ох. Она не будет иметь пересечения с графиком исходной функции при a=2 и a=1.
Задание 6117
Известно, что графики функций y=x2 +p и y=4x−3 имеют ровно одну общую точку. Определите координаты этой точки. Постройте графики заданных функций в одной системе координат
- Так как графики имеют одну точку пересечения, то уравнение : $$x^{2}-p=4x-3$$ должно иметь один корень, то есть дискриминант равен 0:
- $$x^{2}-4x+p+3=0$$ $$D=16-4(p+3)=16-4p+12=4-4p=0$$
- Тогда $$p=1$$.
- Найдем абсциссу точки пересечения: $$x_{0}=-\frac{-4}{2}=2$$.
- Найдем ординату (подставим в линейное уравнение): $$y=4*2-3=5$$. То есть точка пересечения будет с координатами (2;5).
- Построим графики функций:
Задание 6165
Найдите все значения k при которых прямая у = kx пересекает в двух точках ломаную, заданную условиями:$$\left\{\begin{matrix}x-3,x<5\\ 7-x,x\geq 5\end{matrix}\right.$$
$$y=\left\{\begin{matrix}x-3, x<5 & & \\7-x, x\geq 5& &\end{matrix}\right.$$
Начертим график данной функции :
При a>0 до момента , когда пройдет поезд (5;2) (прямая розового цвета) : $$2=5*k\Rightarrow k=0,4$$, то есть $$k\in [0; 0,4)$$.
При a<0, пока не станет параллельна (прямая серого цвета) прямой y=7-x, то есть $$a\in (-1; 0)$$ Итог (-1; 0,4)
Задание 6212
Постройте график функции $$y=\left\{\begin{matrix}-x^{2},|x|\leq 2\\ \frac{8}{x},|x|>2\end{matrix}\right.$$
и определите, при каких значениях а прямая y=аx будет иметь с графиком единственную общую точку
Начертим график данной функции $$y=\left\{\begin{matrix} -x^{2}, \left | x \right |\leq 2\\ \frac{8}{x}, \left | x \right |>0\end{matrix}\right.$$
Учтем, что график $$y=-x^{2}$$ при $$x\in [-2;2]$$ (на концах закрашенные точки, так как неравенство нестрогое), на остальной части область определения $$y=\frac{8}{x}$$.
$$y=a$$ - прямая, параллельная оси Ox, тогда одну точку будет иметь при $$a\in [0;4)$$
Задание 6259
Постройте график функции $$y=\frac{(x-5)(x^{2}-16)}{x^{2}-x-20}$$ и определите, при каких значениях k построенный график не будет иметь общих точек с прямой $$y=kx$$ .
$$y=\frac{(x-5)(x^{2}-16)}{x^{2}-x-20}$$
Найдем область определения. Так как есть знаменатель, то он не равен нулю:
$$x^{2}-x-20\neq 0$$
$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}\neq 1 \\x_{1}*x_{2}\neq -20 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}\neq -4 \\x_{2}=5 \end{matrix}\right.$$
Воспользуемся формулой: $$ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})$$:
$$y=\frac{(x-5)(x-4)(x+4)}{(x+4)(x-5)}=x-4$$
Не будет иметь если $$y=kx$$ пройдет через точку (5;1) или (-4;-8), а так же если будет параллельна:
1)$$1=5*k\Rightarrow k=0,2$$
2) $$-8=(-4)k\Rightarrow k=2$$
3) Прямые параллельны, если их коэффициенты при х равны. То есть прямая $$y=kx$$ параллельна $$y=x-4$$ при $$k=1$$
Задание 6308
Постройте график функции $$y=|x^{2}-4x-2|$$ и определите, при каких значениях с прямая $$y=c$$ имеет с графиком три общие точки.
Данный график есть парабола $$y=x^{2}-4x-2$$, у которой часть ,которая располагается по Ox отображается симметрично Ox.
Найдем вершину параболы: $$x_{0}=-\frac{-4}{2}=2$$ $$y_{0}=\left | 4-8-2 \right |=6$$
$$y=c$$ - параллельна Ox, тогда при точки при y=6 , то есть c=6
Задание 6355
При каких значениях р вершины парабол $$y=x^{2}-6px+p$$ и $$y=-x^{2}+2px+3$$ расположены по одну сторону от оси х?
Вершина $$y=x^{2}-6px+p$$: $$x_{01}=-\frac{6p}{2}=3p$$, $$y_{01}=9p^{2}-18p^{2}+p=p-9p^{2}$$
Вершина $$y=-x^{2}+2px+3$$: $$x_{02}=-\frac{2p}{-2}=p$$, $$y_{02}=-p^{2}+2p^{2}+3=p^{2}+3$$
По одну сторону от OX:
$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}y_{01}>0\\y_{02}>0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}y_{01}<0\\y_{02}<0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}p-9p^{2}>0 \\p^{2}+3>0 \end{matrix}\right. \\\left\{\begin{matrix}p-9p^{2}<0 \\p^{2}+3<0 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}p-9p^{2}>0 \\p \in R \end{matrix}\right. \\\left\{\begin{matrix}p-9p^{2}<0 \\p \in \varnothing \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$p(1-9p)>0\Leftrightarrow$$ $$p\in (0 ;\frac{1}{9})$$
Задание 6402
Постройте график функции $$y=x^{2}-4|x+1|$$ и определите, при каких значениях a прямая $$y=a$$ имеет с графиком ровно три общие точки.
Расмотрим подмодульное выражение:
При $$x+1\geq 0\Leftrightarrow$$ $$x\geq -1 \Rightarrow y=x^{2}-4x-4(1)$$
При $$x+1<0\Leftrightarrow$$ $$-x<-1 \Rightarrow y=x^{2}+4x+4=(x+2)^{2}(2)$$
(1): Найдём вершину: $$x_{0}=-\frac{-4}{2}=2\Rightarrow$$ $$y_{0}=2^{2}-4*2-4=-8$$
Построим график данной функции (с учетом ограничения по х):
Построим график функции (2) с учетом ограничения по х:
В итоге получаем, что три точке пересечения прямая $$y=a$$с графиком функции будет иметь при $$a=0,a=1$$
Задание 6449
Постройте график функции $$y=|\frac{x-1}{x}|$$ и определите, при каких значениях а прямая y=ах имеет с графиком ровно две общие точки.
Преобразуем правую часть функции: $$y=\left | \frac{x-1}{x} \right |=\left | 1-\frac{1}{x} \right |$$. То есть у нас дан график функции $$y=\frac{1}{x}$$, смещенный на 1 вверх по оси Оу и отображенный относительно оси Оу.
Кроме того, наличие модуля отобрадает ту часть графика, которая находится под осью Ох (показана на рисунке), симметрично относительно Ох:
Итоговый график функции будет выглядить, как:
Необходимо найти такое значение а, при котором будет ровно два решения. В таком случае график прямой должен касаться графика исходной функции (точка B):
Так как касается в той части графика, где функции (с учетом раскрытия модуля) выглядит как $$y=1-\frac{1}{x}$$. Так как там касается, то должна быть одна точка пересечения с данным графиком: $$ax=1-\frac{1}{x}\Leftrightarrow$$$$\frac{ax^{2}-x+1}{x}=0$$ При этом $$D=1-4a=0\Leftrightarrow$$$$a=\frac{1}{4}=0,25$$
Задание 6504
Постройте график функции $$y=|x|x-|x|-6x$$ и определите, при каких значениях а прямая y = а имеет с графиком ровно две общие точки.
Раскроем модули $$y=\left\{\begin{matrix}x^{2}-7x, x\geq 0(1)\\-x^{2}-5x, x<0(2)\end{matrix}\right.$$
(1) Найдем вершину : $$x_{0}=-\frac{07}{2}=3,5$$, $$y_{x_{0}}=3,5^{2}-7*3,5=12,25-24,5=-12,25$$
(2) $$x_{0}=-\frac{-5}{-2}=-2,5$$, $$y(x_{0})=-(-2,5)^{2}-5(-2,5)=6,25$$
Построим график функции.
С учетом графика видно, что две точки пересечения будут только в том случае, когда прямая пройдет через одну из вершин парабол. Тогда: a=6,25 и a=-12,25
Задание 6551
Постройте график функции $$y=|x+3|+|x-3|$$ и найдите все значения а, при которых прямая $$y=ax+6$$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Раскроем модуль:
$$x\leq -3\Leftrightarrow y=-x-3-x+3=-2x$$
$$x \in (-3, 3]\Leftrightarrow y=x+3-x+3=6$$
$$x>3\Rightarrow y=x+3+x-3=2x$$
Начертим график:
Видим, что две точки пересечения будут в том случае, если прямая лежит в первой четверти при $$a\in(0;2)$$ (от момента, когда она будет параллельна оси Ох, до момента, когда она будет параллельна прямой $$y=2x$$) и, если прямая лежит во второй четверти при $$a\in(-2;0)$$ (от момента, когда она будет параллельна $$y=-2x$$, до момента, когда она будет параллельна оси Ох): $$a \in (-2;0)\cup (0;2)$$
Задание 6598
Постройте график функции $$y=\left\{\begin{matrix}-x^{2}, |x|\leq 1\\-\frac{1}{\left | x \right |}, |x|>1\end{matrix}\right.$$ и определите, при каких значениях c прямая y=c будет иметь с графиком ровно две общие точки
Рассмотрим график функции $$y=-x^{2}$$ с учетом того, что $$-1 \leq x \leq 1$$: это парабола, ветви вниз, вершина в начале координат (черным отмечена часть графика, с учетом ограничений)
Рассмотрим график функции $$y=-\frac{1}{\left | x \right |}$$ с учетом, что $$x \in (-\infty; 1)\cup (1;+\infty)$$: без модуля была бы гипербола, располагающаяся во второй и четвертой координатной четвертях, с учетом модуля левая ее ветвь отобразится относительно оХ (черным выделена часть, с учетом ограничений по х):
Объеденим графики:
Как видим, две точки пересечения прямая будет иметь в том случае, когда c=1
Задание 6646
Постройте график функции $$y=\left\{\begin{matrix}x^{2}+4x,x<1\\ \frac{5}{x},x\geq 1\end{matrix}\right.$$ и определите, при каких значениях а прямая y=а будет пересекать построенный график в трех точках.
Рассмотрим $$y=x^{2}+4x$$. Найдем координаты вершины параболы: $$x_{0}=-\frac{4}{2}=-2$$; $$y_{0}=-4$$. Построим график функции с учетом ограничения по х (выделен черным)
Рассмотрим $$y=\frac{5}{x}$$ - это гипербола, расположенная в первой и третьей координатных четвертях. С учетом ограничениях по х (выделен черным):
Объединим полученные кусочные функции:
Прямая $$y=a$$ - прямая, параллелная оси Ох. Три точки пересечения будет при $$a \in (0;5)$$
Задание 6713
Постройте график функции $$y=|x-4|+|x+4|$$ и найдите все значения k , при которых прямая $$y=kx$$ имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.
Рассмотрим раскрытие модулей:
$$\left\{\begin{matrix}x\leq -4, y=-x+4-(-x-4)=8\\x \in (-4,4)(1), y =-x+4-(x+4)=-2x-8\\x\geq 4(2), y=x-4-(x+4)=-8(3)\end{matrix}\right.$$
Построим график данной кусочной функции:
Как видим, одна точка пересечения у графика будет в случае: $$k \in (-\infty ;-2)\cup [0;+\infty )$$
Задание 6740
Постройте график функции $$y=\frac{2|x|-1}{|x|-2x^{2}}$$ и определите, при каких значениях k прямая y=kx не имеет с графиком ни одной общей точки.
ОДЗ: $$\left | x \right |-2x^{2}\neq 0\Leftrightarrow$$ $$\left | x \right |-2\left | x \right |^{2} \neq 0\Leftrightarrow$$ $$\left | x \right |(1-2\left | x \right |)\neq 0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x\neq 0\\ x\neq 0,5\\ x\neq -0,5\end{matrix}\right.$$.
При $$x>0$$: $$y=\frac{2x-1}{x(1-2x)}=-\frac{1}{x}$$ (выдерена красным)
При $$x<0$$: $$y=\frac{-2x-1}{-x-2x^{2}}=\frac{1}{x}$$(выделена красным)
Итоговый график с учетом ОДЗ:
Найдем k: $$y=kx$$ проходит через (-0,5 ; -2): $$-2=-0,5*k\Rightarrow k=4$$(зеленая) и через (0,5; -2): $$-2=0,5k\Rightarrow k=-4$$(красная). При k=0 (черная) тоже не имеет пересечений
Задание 6787
Постройте график функции $$y=\frac{x-2}{x^{2}-2x}$$ и определите, при каких значениях k прямая $$y=kx$$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Найдем ограничения по x: $$x^{2}-2x\neq 0\Leftrightarrow$$ $$x\neq 0 x\neq 2(1)$$. Тогда $$y=\frac{x-2}{x(x-2)}=\frac{1}{x}$$ с учетом (1) аналогичен искомой функции
Построим график функции:
$$y=kx$$ имеет 1 общую точку если проходит через (2;0,5): $$0,5=2k\Rightarrow$$ $$k=\frac{1}{4}$$
Задание 6858
Постройте график функции $$y=\left\{\begin{matrix}-x^{2}-4x, x\geq 0\\-2x, x<0\end{matrix}\right.$$ и определите, при каких значениях m он имеет ровно две общие точки с прямой y=m.
Построим $$y=-x^{2}-4x$$. Вершина параболы: $$x_{0}=-\frac{-4}{-2}=-2$$, тогда $$y_{0}=-(-2)^{2}-4(-2)=4$$ (Черным выделена часть графика, с учетом $$x\geq 0$$):
Построим $$y=-2x$$ - это прямая, проходящая во второй и четвертой четвертях через начало координат (черным выделено с учетом условия $$x<0$$:
Объединим полученные кусочные функции:
С учетом того, что график функции $$y=m$$ - это прямая, параллельная оси Ох, то 2 точки пересечения с первоначальным графиком быть не может
Задание 6906
Постройте график функции $$y=1+\frac{x-3}{x^{2}-3x}$$ и определите, при каких значениях а прямая y=а не имеет с графиком ни одной общей точки.
$$y=1+\frac{x-3}{x^{2}-3x}$$$$\Leftrightarrow$$ $$y=1+\frac{x-3}{x(x-3)}$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y=1+\frac{1}{x}\\x-3\neq 0\end{matrix}\right.$$
Начертим график данной функции:
Найдем оординату точки А: $$y(3)=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$$
Т.к. $$y=a$$ – прямая, параллельная Ox, то не будет иметь общих точек при $$a=\frac{4}{3}$$ (проходит через А) и $$a=1$$ (проходит через горизонтальную асимптоту)
Задание 6954
Постройте график функции $$y=1-\frac{2x^{4}-x^{3}}{2x^{2}-x}$$ и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
$$y=1-\frac{2x^{4}-x^{3}}{2x^{2}-x}=1-\frac{x^{3}(2x-1)}{x(2x-1)}$$$$\Rightarrow$$ $$y=\left\{\begin{matrix}1-x^{2}\\x\neq 0\\2x-1\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$y=\left\{\begin{matrix}1-x^{2}\\x \neq 0\\x\neq 0,5\end{matrix}\right.$$
Построим график данной функции (не забудем отметить пустыми точка (A и B) имеющиеся ограничения:
Видим, что прямая всегда будет пересекать в двух точках параболы (на области значений параболы) кроме тех случаев, когда она пройдет через точку А или В: $$m \in (-\infty;0,75)\cup (0,75; 1)$$
Задание 7002
Постройте график функции $$y=\left | x^{2}-6\left | x \right |+4 \right |-2$$ и определите, при каких значениях m прямая у=m имеет с графиком наибольшее число общих точек..
Расскроем первый модуль:
1) При $$x\geq 0$$ : $$y=\left | x^{2}-6x+4 \right |-2$$
Рассмотрим подмодульное выражение: $$x^{2}-6x+4=0$$: $$D=36-16=20\Rightarrow$$ $$x_{1}, x_{2}=\frac{6 \pm \sqrt{20}}{2}=3 \pm \sqrt{5}$$
- тогда при $$x \in [0;3-\sqrt{5}]\cup [3+\sqrt{5}; +\infty )$$: $$y=x^{2}-6x+4-2=x^{2}-6x+2(1)$$
- при $$x \in (3-\sqrt{5}; 3+\sqrt{5})$$: $$y=-x^{2}+6x-6(2)$$
2) При $$x<0$$ имеем $$y=\left | x^{2}+6x+4\right |-2$$
Рассмотрим подмодульное выражение : $$x^{2}+6x+4=0\Leftrightarrow$$ $$x_{1,2}=-3\pm \sqrt{5}$$
- тогда при $$x \in (-\infty ; -3-\sqrt{5}]\cup [-3+\sqrt{5};0)$$ имеем: $$y=x^{2}+6x+4+2=x^{2}+6x-2(3)$$
- при $$x \in (-3-\sqrt{5}; -3+\sqrt{5}):$$ $$y=-x^{2}-6x-6(4)$$
Построим график функции
Видим, что наибольшее количество пересечений (8) будет при $$m \in (-2;2)$$
Задание 7088
Постройте график функции $$\left\{\begin{matrix}-x^{2}, |x|\leq 2\\ \frac{8}{x},|x|>1\end{matrix}\right.$$ и определите, при каких значениях а прямая y=а будет иметь с графиком ровно одну общую точку
Построим график функции $$y=-x^{2}$$ и оставим часть при $$\left | x \right |\leq 2(x \in [-2 ;2])$$.
Построим $$y=\frac{8}{x}$$ при $$x \in (-\infty ;-2)\cup (2; +\infty )$$
1 общая точка при $$a \in [0 ; 4)$$
Задание 7135
Постройте график функции $$y=-1-\frac{x-1}{x^{2}-x}$$ и определите, при каких значениях а прямая y=а не имеет с графиком ни одной общей точки
Упростим формулу: $$y_{1}=-1-\frac{x-1}{x(x-1)}=-1-\frac{1}{x}$$ . Следовательно , график функции $$y_{1}$$ совпадает с $$y$$ при учете , что $$x\neq 1$$.
Не имеет при $$a=-2$$ и при $$a=-1$$.
Задание 7162
Постройте график функции $$y=x^2-5|x|-x$$ и определите, при каких значениях а прямая y=а имеет с графиком не менее одной, но не более трёх общих точек.
Раскроем модули : $$y=\left\{\begin{matrix}x^{2}-5x-x=x^{2}-6x, x\geq 0(1)\\x^{2}+5x-x=x^{2}+4x, x<0 (2)\end{matrix}\right.$$
(1): Найдем вершину параболы: $$x_{0}=-\frac{-6}{2}=3\Rightarrow$$ $$y_{0}=3^{2}-6*3=-9$$
(2): $$x_{0}=-\frac{4}{2}=-2\Rightarrow$$ $$y_{0}=(-2)^{2}+4(-2)=-4$$
Необходимо найти все а , при которых будет от 1 до 3 общих точек: $$a \in [-9 ;-4] \cup (0 ;+\infty )$$
Задание 7249
Постройте график функции $$y=|x^{2}-4|x|+3|$$ и определите, какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс.
Рассмотрим модули: $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x\geq 0\\y=\left | x^{2}-4x+3 \right |(1)\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x<0\\y=\left | x^{2}+4x+3 \right |(2)\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$
Учтем, что парабола $$y=\left | ax^{2}+bx+c \right |$$ строится аналогично $$y=ax^{2}+bx+c$$ с учетом, что та часть параболы, которая была под Ox отображается симметрично относительно Ox. Найдем вершины параболы для (1) и (2)
(1) : $$x_{0}=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2}=2\Rightarrow$$ $$y_{0}=\left | 2^{2}-4*2+3 \right |=\left | -1 \right |=1$$
(2) : $$x_{0}=-\frac{4}{2}=-2\Rightarrow$$ $$y_{0}=\left | (-2)^{2}+4(-2)+3 \right |=1$$
Построим график:
Наибольшее количество точек равно 8 при $$a \in (0 ;1)$$ (для прямой y=a)
Задание 7278
Постройте график функции $$y=|2|x|-6|$$ и найдите все значения а при которых прямая $$y=a$$ имеет с графиком ровно три общие точки.
Раскроем внутренний модель : $$\left\{\begin{matrix}y=\left | 2x-6 \right |,x>0(1)\\y=\left | -2x-6 \right |, x<0 (2)\end{matrix}\right.$$
1) Если $$2x-6\geq 0$$ (или $$x\geq 3$$), то $$y=2x-6$$ ,если $$x<3$$, то $$y=-2x+6$$
2) Если $$-2x-6\geq 0\Leftrightarrow$$ $$x\leq -3$$, то $$y=-2x-6$$, если $$x\geq -3$$, то $$y=2x+6$$
Тогда получим следующую совокупность :
$$\left[\begin{matrix}\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x\geq 3 & & \\y=2x-6 & &\end{matrix}\right. & & \\\left\{\begin{matrix}0\leq x<3 & & \\y=-2x+6& &\end{matrix}\right.& &\end{matrix}\right. & & \\\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x\leq -3 & & \\y=-2x-6& &\end{matrix}\right. & & \\\left\{\begin{matrix}-3<x<0 & & \\y=2x+6& &\end{matrix}\right. & &\end{matrix}\right.& &\end{matrix}\right.$$
Прямая y=a имеет с графиком 3 общие точки при a=6
Задание 7470
Постройте график функции $$y=x^{2}-5x+10-3|x-2|$$ и определите, при каких значениях а прямая y=а+3 будет иметь с графиком три общие точки.
Расскароем модуль:
$$\left\{\begin{matrix}x-2\geq 0\Rightarrow y=x^{2}+5x+10-3x+6\\x-2< 0\Rightarrow y=x^{2}+5x+10+3x-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}y=x^{2}-8x+16=(x-4)^{2},x\geq 0(1)\\y=x^{2}-2x+4, x<0(2)\end{matrix}\right.$$
В случае (1) дана парабола, ветви которой направлены вниз, получается она путем сдвига параболы вида $$y=x^{2}$$ на 4 единицы вправо по Ох.
В случае (2): найдем вершину: $$x_{0}=-\frac{-2}{2}=1$$, тогда $$y_{0}=1^{2}-2*1+4=3$$
Начертим оба графика:
Видим, что прямая $$y=a+3$$ будет иметь с графиком три общие точки в том случае, когда $$a+3=4\Leftrightarrow a=1$$ и $$a+3=3\Leftrightarrow a=0$$
Задание 8398
Постройте график функции $$y=|x^{2}-4|x|-5|$$ . Найдите все значения p, при которых прямая $$y=p$$ имеет с графиком функции ровно шесть общих точек.
Раскроем модули: $$y=\left\{\begin{matrix}|x^{2}-4x-5|,x\geq0(1)&\\|x^{2}+4x-5|,x<0(2)&\end{matrix}\right.$$
$$(1)$$, если взять параболу $$y=x^{2}-4x-5$$ и симметрично отобразить относительно $$Ox$$ ту часть, которя располагается под $$Ox$$, то получим $$y=|x^{2}-4x-5|$$. Аналогично для $$(2)$$
Найдем вершины парабол (до отображения)
$$(1)$$: $$x_{0}=-\frac{-4}{2}=2$$ $$\Rightarrow$$ $$y_{0}=2^{2}-4\cdot2-5=-9$$
$$(2)$$: $$x_{0}=-\frac{4}{2}=-2$$ $$\Rightarrow$$ $$y_{0}=(-2)^{2}+4\cdot(-2)-5=-9$$
Начертим графики и учтем симметрию и ограничения по $$x$$.
$$y=p$$ - прямая, параллельная $$Ox$$, проходящая через ординату $$p$$ $$\Rightarrow$$ 6 точек общих при $$p\in(5;9)$$
Задание 8424
Постройте график функции $$y=|x|\cdot(x-1)-3x$$. Найдите все значения m, при каждом из которых прямая $$y=m$$ имеет с графиком функции ровно две общие точки
Раскроме модуль: $$y=\left\{\begin{matrix}x(x-1)-3x=x^{2}-4x,x\geq0(1)&\\-x(x-1)-3x=-x^{2}-2x,x<0(2)&\end{matrix}\right.$$
В обоих случаях части парабол, ограниченные осью Oy (слева и справа сосответственно)
Найдем вершины:
1) $$x_{0}=-\frac{-4}{2}=2$$ $$\Rightarrow$$ $$y_{0}=2^{2}-4\cdot2=-4$$
2) $$x_{0}=-\frac{-2}{-2}=-1$$ $$\Rightarrow$$ $$y_{0}=-(-1)^{2}-2\cdot(-1)=1$$
Построим график
$$m\in{-4;1}$$
Задание 10243
Постройте график функции $$y=\frac{(x-9)(x^{2}-9)}{x^{2}-6x-27}$$. Найдите, при каких значениях прямая x не имеет с графиком функции общих точек
Задание 10465
Постройте график функции $$y=\frac{(x^{2}-4x+3)(x^{2}-x-2)}{x^{2}-2x-3}$$ и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.
Учтем область определения функции D(x): $$x^{2}-2x-3\neq 0\Leftrightarrow$$$$x\neq -1;3$$
Разложим числитель на множители:
Тогда с учетом D(x): $$y=\frac{(x^{2}-4x+3)(x^{2}-x-2)}{x^{2}-2x-3}=$$$$\frac{(x-3)(x-1)(x-2)(x+1)}{(x+1)(x-3)}=$$$$(x-1)(x-2)$$
Построим график функции:
Прямая y=m - параллельна оси оХ. Будет иметь одну точку пересечения в следующих случаях: -0,25;2;6
Задание 10959
Задание 10982
$$у = х^2 - 4|х| - х$$ из этого получим два уравнения:
1) $$x_0=-\frac{-5}{2}=2,5; y_0=2,5^2-5\cdot 2,5=-6,25, x_1=0; x_2=5$$
2) $$x_0=\frac{-3}{2}=-1,5; y_0=(-1,5)^2+3\cdot (-1,5)=-2,25, x_1=0; x_2=-3$$
Построим график функции.
от 1 до 3 точек при $$m\in [-6,25;-2,25]\cup [0;+\infty)$$
Задание 11043
Постройте график функции $$y=x^2-3|x|-x$$ и определите, при каких значениях m прямая $$y=m$$ имеет с графиком не менее одной, но не более трёх общих точек.
$$y=x^2-3|x|-x$$ получаем уравнения:
1) $$y=x^2-3x-x, x\geq 0 \to y=x^2-4x, x\geq 0 (1)$$
2) $$y=x^2+3x-x, x<0 \to y=x^2+2x, x<0 (2)$$
(1) $$x_0=-\frac{-4}{2}=2; y_0=2^2-4\cdot 2=-4.$$ Нули функции: $$x^2-4x=0\to x_1=0; x_2=4.$$
(2) $$x_0=-\frac{2}{2}=-1; y_0=(-1)^2+2(-1)=-1.$$ Нули функции: $$x^2+2x=0\to x_1=0; x_2=-2.$$
Построим график функции: $$y=m$$ - прямая, параллельная Ox от одной до трех точек пересечения имеет при $$m\in[-4;-1]\cup[0;+\infty)$$
