ОГЭ
Задание 2672
Через середину M стороны BC параллелограмма ABCD, площадь которого равна 1, и вершину A проведена прямая, пересекающая диагональ BD в точке O. Найдите площадь четырёхугольника OMCD.
1) $$\bigtriangleup BOM\sim \bigtriangleup AOD$$; $$\frac{BM}{AD}=\frac{1}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{S_{BOM}}{S_{AOD}}=\frac{1}{4}$$ |
2) Пусть $$S_{BOM}=S_{1}$$; $$S_{AOD}=S_{2}$$; $$S_{ABO}=S_{3}$$ $$\Rightarrow S_{AOD}=4S_{BOM}=4S_{2}$$; $$S_{ABD}=\frac{1}{2}S_{ABCD}=\frac{1}{2}$$; $$S_{ABM}=\frac{1}{2}\cdot AH\cdot BM=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot BC\cdot BM=\frac{1}{4}S_{ABCD}=\frac{1}{4}$$
3) $$\left\{\begin{matrix}S_{1}+S_{3}=\frac{1}{4}\\S_{3}+S_{2}=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}S_{1}+S_{3}=\frac{1}{4}\\S_{3}+4S_{1}=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$$ (вычтем из второго первое) $$3S_{1}=\frac{1}{4}\Rightarrow S_{1}=\frac{1}{12}$$ $$S_{2}=4\frac{1}{12}=\frac{1}{3}$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{3}=\frac{1}{4}-S_{1}=\frac{1}{4}-\frac{1}{12}=\frac{1}{6}$$ $$S_{1}+S_{2}+S_{3}=\frac{1}{12}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1+4+2}{12}=\frac{7}{12}=S_{ABMD}$$ $$S_{MOCD}=1-S_{ABMD}=1-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}$$
Задание 2776
На боковой стороне трапеции выбрана точка, делящая эту сторону в отношении 3:1, считая от вершины меньшего основания. Прямая, проходящая через эту точку параллельно основаниям, делит площадь трапеции в отношении 2:1, считая о меньшего основания. В каком отношении делит площадь трапеции её средняя линия?
$$\frac{S_{BMLC}}{S_{AMLD}}=\frac{2}{1}$$ 1) Пусть $$BC=x$$; $$AD=y$$; $$BZ=h$$ $$\Rightarrow$$ $$BR=\frac{3h}{4}$$; $$RZ=\frac{h}{4}$$; $$AZ+ND=y-x$$ $$\Rightarrow$$ $$MR+IL=\frac{3}{4}(y-x)$$ $$\Rightarrow$$ $$ML=x+\frac{3}{4}(y-x)=\frac{x+3y}{4}$$ 2) $$\left.\begin{matrix}S_{BMLC}=\frac{x+\frac{x+3y}{4}}{2}\cdot \frac{3h}{4}=\frac{(5x+3y)\cdot 3h}{32}\\S_{AMLD}=\frac{\frac{x+3y}{4}+y}{2}\cdot \frac{h}{4}=\frac{(x+7y)\cdot h}{32}\end{matrix}\right\}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{S_{BMLC}}{S_{AMLD}}=\frac{15x+9y}{x+7y}=\frac{2}{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$15x+9y=2x+14y$$ $$\Rightarrow$$ $$y=\frac{13x}{5}=2,6x$$ 3) $$\left.\begin{matrix}S_{BCKH}=\frac{x+\frac{x+y}{2}}{2}\cdot \frac{h}{2}=\frac{(3x+y)\cdot h}{8}\\S_{MCDA}=\frac{\frac{x+y}{2}+y}{2}\cdot \frac{h}{2}=\frac{(x+3y)\cdot h}{8}\end{matrix}\right\}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{S_{BCKH}}{S_{MCDA}}=\frac{3x+y}{x+3y}=\frac{3x+2,6x}{x+7,8x}=\frac{5,6x}{8,8x}=\frac{7}{11}$$ |
Задание 2930
В трапеции АВСD на продолжении основания ВС взята точка М таким образом, что прямая АМ отсекает от трапеции АВСD треугольник, площадь которого в 4 раза меньше площади трапеции АВСD. Найдите длину отрезка СМ, если АD=8, ВС=4.
Решение временно отсутствует, можете найти его в моем видео-разборе ( вначале варианта )
Задание 3144
Точки D и Е расположены на стороне АС треугольника АВС. Прямые ВD и ВЕ разбивают медиану АМ треугольника АВС на три равных отрезка. Найдите площадь треугольника BDE, если площадь треугольника ABC равна 1.
Текстовое решение временно недоступно, вы можете найти его в видео в начале варианта
Задание 2973
Прямая пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках Р и М соответственно. Найдите отношение площади треугольника АМР к площади четырехугольника МСВР, если АР : РВ = 5 : 4, АМ : МС = 3 : 5.
1) $$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}9x\cdot 8y\cdot \sin \alpha =36xy\sin \alpha$$ 2) $$S_{APM}=\frac{1}{2}AP\cdot AM\cdot \sin A=\frac{1}{2}5x\cdot 3y\cdot \sin \alpha =7,5xy\sin \alpha$$ 3) $$S_{PBCM}=S_{ABC}-S_{APM}=36xy\sin \alpha-7,5xy\sin \alpha=28,5xy\sin \alpha$$ 4) $$\frac{S_{AMP}}{S_{MCBP}}=\frac{7,5xy\sin \alpha}{28,5xy\sin \alpha}=\frac{75}{285}=\frac{15}{57}=\frac{5}{19}$$
Задание 3569
В равностороннем треугольнике АВС высота равна $$\sqrt{3}$$. На стороне АВ взята точка М, такая, что АМ:МВ = 1:3. На стороне ВС взята точка N, такая, что ВN:NС = 3:5.Найдите площадь четырехугольника АМNС.
1) из $$\bigtriangleup AHB$$: $$\sin A=\frac{BH}{AB}$$ $$\Rightarrow$$
$$AB=\frac{BH}{\sin A}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$$
2) $$MB=\frac{3}{4}AB$$; $$BN=\frac{3}{8}BC$$ $$\Rightarrow$$
$$S_{BMN}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}AB\cdot\frac{3}{8}BC\cdot\sin B=\frac{9}{32}\cdot\frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot\sin B=\frac{9}{32}S_{ABC}$$
3) $$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot\sin B=\frac{1}{2}\cdot2\cdot2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$$ $$\Rightarrow$$
$$S_{AMNC}=S_{ABC}-S_{BMN}=\frac{23}{32}S_{ABC}=\frac{23}{32}\cdot\sqrt{3}$$
Задание 3846
В трапеции ABCD основания AD и ВС равны 6см и 10см соответственно. На продолжении ВС выбрана такая точка М, что прямая АМ отсекает от площади трапеции 1/4 её часть. Найдите длину отрезка СМ.
1) Пусть $$AH=h$$ - высота
$$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot AH=\frac{6+10}{2}\cdot h=h$$
тогда $$S_{AKD}=\frac{1}{2}AD\cdot x$$, х - высота
$$S_{AKD}=KM$$
$$S_{AKD}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot x=3x=\frac{1}{4}S_{ABCD}=2h$$
$$x=\frac{2h}{3}$$
2) $$LK+KM=h$$ $$\Rightarrow$$ $$LK=\frac{h}{3}$$ - высота $$\bigtriangleup CMK$$
3) $$\bigtriangleup AKD\sim\bigtriangleup CMK$$ по трем углам $$\Rightarrow$$
$$\frac{AD}{CM}=\frac{KM}{KL}=\frac{2h}{3}\div\frac{h}{3}=\frac{2}{1}$$
$$CM=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}\cdot6=3$$
Задание 3997
Продолжение сторон KN и LM выпуклого четырехугольника KLMN пересекаются в точке P, а продолжения сторон KL и LM – в точке Q. Отрезок PQ перпендикулярен биссектрисе угла KQN. Найти длину стороны KL, если KQ=12, NQ=8, а площадь четырехугольника KLMN равна площади треугольника LQM.
1) Постороим через К прямую $$m\parallel QP$$
Пусть $$ON\cap m=A$$; $$QB\cap m=B$$ (QB - биссектриса);
$$QL\cap m=K$$; $$PL\cap m=C$$
2) $$\bigtriangleup KAN\sim\bigtriangleup QNP$$; $$QA=QK=12$$ $$\Rightarrow$$
$$AN=AQ-QN=12-8=4$$; $$\frac{AN}{QN}=\frac{AK}{QP}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$$
3) Пусть $$QK=xQL$$ $$\Rightarrow$$
$$KL=QK-QL=(x-1)QL$$
$$\bigtriangleup CKL\sim\bigtriangleup QLP$$ $$\Rightarrow$$
$$\frac{CK}{QP}=\frac{KL}{LQ}=\frac{(x-1)LQ}{LQ}$$ $$\Rightarrow$$
$$CK=QP(x-1)$$
4) Пусть $$AQ=yQM$$ $$\Rightarrow$$
$$AM=AQ-QM=yQM-QM=QM(y-1)$$
$$\bigtriangleup CAM\sim\bigtriangleup QMP$$ $$\Rightarrow$$
$$\frac{AC}{PQ}=\frac{AM}{MQ}=\frac{QM(y-1)}{QM}$$ $$\Rightarrow$$
$$AC=PQ(y-1)$$
$$AK=\frac{1}{2}PQ$$
$$AK=AC-CK$$ $$\Rightarrow$$
$$\frac{1}{2}PQ=(y-1)PQ-(x-1)PQ$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\frac{1}{2}=y-1-x+1$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\frac{1}{2}=y-x$$
5) $$S_{\bigtriangleup LQM}=S=\frac{1}{2}QL\cdot QM\cdot\sin Q=\frac{1}{2}\frac{QK}{x}\cdot\frac{AQ}{y}\sin Q$$
$$S_{\bigtriangleup QKN}=2S=\frac{1}{2}QK\cdot QN\cdot\sin Q$$
$$\frac{1}{2}QK\cdot QN\cdot\sin Q=2\cdot\frac{1}{2}\frac{QK}{x}\cdot\frac{AQ}{y}\sin Q$$
$$12\cdot8=2\cdot\frac{12}{x}\cdot\frac{12}{y}\Leftrightarrow$$
$$8=\frac{24}{xy}$$ $$\Leftrightarrow$$
$$xy=3$$
$$\left\{\begin{matrix}y=x+\frac{1}{2}\\xy=3\end{matrix}\right.$$
$$x(x+\frac{1}{2})=3$$
$$x^{2}+\frac{x}{2}-3=0$$
$$2x^{2}+x-6=0$$
$$D=1+48=49$$
$$x_{1}=\frac{-1+7}{4}=\frac{3}{2}$$
$$x_{2}<0$$
6) $$\Rightarrow$$: $$QL=\frac{QK}{\frac{3}{2}}=\frac{12\cdot2}{3}=8$$ $$\Rightarrow$$
$$KL=QK-QL=12-8=4$$
Задание 4061
В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ, равной 10, на высоте СD как на диаметре построена окружность. Касательные к этой окружности, проходящие через точки А и В, пересекаются при продолжении в точке К. чему равны касательные к окружности, выходящие из точки К?
1) Пусть $$HB=x\Rightarrow AH=10-x$$
по свойству касательных $$MB=HB=x$$
$$AH=AN=10-x$$; пусть $$OH=OC=r$$;
$$KN=KM=z$$
2) По свойству высоты прямоугольного треугольинка:
$$CH=\sqrt{AH\cdot HB}\Leftrightarrow(2r)^{2}=x(10-x)$$
$$\Leftrightarrow r^{2}=\frac{x(10-x)}{4}$$
3) $$S_{AKB}=p\cdot r$$, где
$$p=\frac{AK+KB+AB}{2}$$
$$S=\sqrt{p(p-AK)(P-KB)(p-AB)}$$
$$p=\frac{10+10-x+x+2z}{2}=10+z$$
$$S=\sqrt{(10+z)(10+z-10+x-x)(10+z-x-z)(10+z-10}=$$
$$=\sqrt{(10+z)\cdot x\cdot(10-x)\cdot z}$$
Тогда:
$$r=\frac{S}{p}=\frac{xz(10+z)(10-x)}{10+z}=\sqrt{\frac{xz(10-x)}{10+z}}$$
4) 2 из 3:
$$\sqrt{\frac{x(10-x)}{4}}=\sqrt{\frac{xz(10-x)}{10+z}}$$
$$\frac{1}{4}=\frac{z}{10+z}$$
$$10+z=4z\Leftrightarrow z=\frac{10}{3}$$
Задание 4331
Через центр О вписанной в треугольник АВС полуокружности проведена прямая, параллельная стороне ВС и пересекающая стороны АВ и АС соответственно в точках М и N. Периметр треугольника АМN равен 3, ВС = 1, а отрезок АО в 3 раза больше радиуса вписанной в треугольник АВС окружности. Найдите площадь треугольника АВС.
$$S_{ABC}=p\cdot r=\frac{AB+BC+AC}{2}\cdot r$$; $$P_{AMN}=AM+MN+AN$$; BO - биссетриса $$\Rightarrow$$ $$MO\parallel BO$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle MOB=\angle OBH=\angle OBM$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup MBO$$ - равнобедренный $$\Rightarrow$$ $$MB=MO$$. Аналогично: $$ON=NC$$ $$\Rightarrow$$ $$MN=MO+ON=MN+NC$$; $$AB=AM+MB$$; $$AC=AN+NC$$; $$P_{AMN}=AM+AN+NO+OM=AM+AN+NC+MB=AB+AC=3$$
Из $$\bigtriangleup AOP$$: $$AP=\sqrt{AO^{2}-OP^{2}}=\sqrt{(3r)^{2}-r^{2}}=\sqrt{8}r$$; $$S_{ABC}=\frac{AB+BC+AC}{2}\cdot r=\frac{3+1}{2}\cdot r=2r$$; $$AP=\frac{AB+AC-BC}{2}=\frac{3-1}{2}=1$$ $$\Rightarrow$$ $$AP=1=\sqrt{8}r$$ $$\Rightarrow$$ $$r=\frac{1}{\sqrt{8}}$$; $$S_{ABC}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{8}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$
Задание 4537
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, его диагонали АС и BD пересекаются в точке F, причем AF : FС = 3 : 1, ВF : FD = 4 : 3, $$\cos\angle ADB=0,25$$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ВАС, если АС = 4
1) $$AF\div FC=3\div1$$; $$AC=4$$ $$\Rightarrow$$ $$AF=3$$; $$FC=1$$
2) $$\angle CAD=\angle CBF$$; $$\angle BCA=\angle BDA$$ (опираются на одни дуги); $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup BFC\sim\bigtriangleup AFD$$: пусть $$BF=4x$$; $$FD=3x$$, тогда $$k=\frac{BF}{AF}=\frac{CF}{FD}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{4x}{3}=\frac{1}{3x}$$ $$\Rightarrow$$ $$4x^{2}=1$$ $$\Rightarrow$$ $$x=\frac{1}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$BF=2$$; $$FD=1,5$$
3) $$\frac{BC}{AD}=k=\frac{2}{3}$$ $$\Rightarrow$$ пусть $$BC=a$$ $$\Rightarrow$$ $$AD=1,5a$$. По теореме косинусов для $$\bigtriangleup ABC$$ и $$\bigtriangleup ABD$$: $$\left\{\begin{matrix}AB^{2}=BC^{2}+AC^{2}-2BC\cdot AC\cdot\cos\angle BCA\\AB^{2}=BD^{2}+AD^{2}-2BD\cdot AD\cdot\cos\angle BDA\end{matrix}\right.$$ Приравниваем их: $$a^{2}+16-2\cdot4\cdot a\cdot\frac{1}{4}=2,25a^{2}+12,25-2\cdot\frac{2}{3}a\cdot3,5\cdot\frac{1}{4}$$; $$1,25a^{2}+3,75a-0,625a=0$$; $$2a^{2}-a+6=0$$; $$a=2$$ $$\Rightarrow$$ $$b=\sqrt{4+16-2\cdot2\cdot4\cdot\frac{1}{4}}=4=AB$$
4) Из $$\bigtriangleup ABC$$: $$\frac{AB}{2\sin\angle BCA}=R$$, где R - радиус описанной окружности; $$\sin\angle BCA=\sqrt{1-\cos^{2}\angle BCA}=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$$; $$R=\frac{4}{2\cdot\frac{\sqrt{15}}{4}}=\frac{8}{\sqrt{15}}=\frac{8\sqrt{15}}{15}$$