Уравнения

Найдем ОДЗ: $$6-x\geq 0\Leftrightarrow 6(1)$$

$$x^{2}-2x-35=0\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=2\\x_{1}*x_{2}=-35\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=7\notin (1)\\x_{2}=-5\end{matrix}\right.$$

$$(x+2)^{4}-4(x+2)^{2}-5=0$$
Пусть $$(x+2)^{2}=y\geq 0$$, тогда получаем уравнение:$$y^{2}-4y-5=0$$. По теореме Виета: $$\left\{\begin{matrix}y_{1}+x_{2}=4\\ y_{1}*x_{2}=-5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ y_{1}=5;y_{2}=-1$$
Возвращаемся к обратной замене:
$$\left\{\begin{matrix}(x+2)^{2}=5\\(x+2)^{2}=-1\end{matrix}\right.$$
В первом случае: $$\left\{\begin{matrix}x+2=\sqrt{5}\\x+2=-\sqrt{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ x_{1}=-2+\sqrt{5};x_{2}=-2-\sqrt{5}$$
Во втором случае решений нет, так как при замене указывали, что $$y\geq 0$$(так как квадрат числа число неотрицательное

Извлечем корень третьей степени: $$x^{2}=6x-5$$; $$x^{2}-6x+5=0$$; $$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=6\\x_{1}\cdot x_{2}=5\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=5\\x_{2}=1\end{matrix}\right.$$

ОДЗ: $$x-2\neq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x\neq2$$

Замена: $$\frac{1}{x-2}=y$$

$$y^{2}-y-6=0$$; $$\left\{\begin{matrix}y_{1}+y_{2}=1\\y_{1}\cdot y_{2}=-6\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y_{1}=3\\y_{2}=-2\end{matrix}\right.$$ Обратная замена: $$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x-2}=3\\\frac{1}{x-2}=-6\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x-2=\frac{1}{3}\\x-2=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{7}{3}\\x=1,5\end{matrix}\right.$$

$$3x^{2}-4x-4=0$$; $$D=16+48=64$$; $$x_{1}=\frac{4+8}{6}=2$$; $$x_{2}=\frac{4-8}{6}=-\frac{2}{3}$$

$$20x^{2}-12x+1=0$$

$$D=144-80=64$$

$$x_{1}=\frac{12+8}{40}=0,5$$; $$x_{2}=\frac{12-8}{40}=0,1$$

ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x-9\neq0\\x-4\neq0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x\neq9\\x\neq4\end{matrix}\right.$$

$$\frac{4)(x-4)+9(x-9)}{(x-4)(x-9)}=2$$; $$4x-16+9x-81=2(x-4)(x-9)$$; $$13x-97=2x^{2}-26x+72$$; $$2x^{2}-39x+169=0$$

$$D=1521-1352=169$$; $$x_{1}=\frac{39-13}{4}=6,5$$; $$x_{2}=\frac{39+13}{4}=13$$

$$(x+5)^{3}-25(x+5)=0$$; $$(x+5)((x+5)^{2}-25)=0$$; $$(x+5)(x+5-5)(x+5+5)=0$$; $$(x+5)x(x+10)=0$$;

$$\left\{\begin{matrix}x+5=0\\x=0\\x+10=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=-5\\x=0\\x=-10\end{matrix}\right.$$

ОДЗ: $$3-x\geq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x\leq3$$ (1)

$$x^{2}-2x+\sqrt{3-x}-\sqrt{3-x}-8=0$$

$$x^{2}-2x-8=0$$

$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=2\\x_{1}\cdot x_{2}=-8\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=4\notin(1)\\x_{2}=-2\end{matrix}\right.$$

$$(x-3)(x-4)(x-5)-(x-2)(x-4)(x-5)=0$$; $$(x-4)(x-5)(x-3-x+2)=0$$; $$(x-4)(x-5)=0$$; $$\left\{\begin{matrix}x-4=0\\x-5=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=4\\x=5\end{matrix}\right.$$

$$(x-2)^{2}(x-3)-12(x-2)=0$$; $$(x-2)((x-2)(x-3)-12)=0$$; $$(x-2)(x^{2}-5x+6-12)=0$$; $$(x-2)(x^{2}-5x-6)=0$$; $$(x-2)(x-6)(x+1)=0$$;

$$\left\{\begin{matrix}x-2=0\\x-6=0\\x+1=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=2\\x=6\\x=-1\end{matrix}\right.$$

$$x^{3}+4x^{2}-9x-36=0$$; $$x^{2}(x+4)-9(x+4)=0$$; $$(x+4)(x^{2}-9)=0$$; $$\left\{\begin{matrix}x+4=0\\x^{2}-9=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=-4\\x=\pm3\end{matrix}\right.$$

Сумма 2х квадратов равна 0 тогда, когда каждый из них одновеменно равен 0.

$$\left\{\begin{matrix}x^{2}-25=0\\x^{2}+3x-10=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pm5\\\left\{\begin{matrix}x=-5\\x=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=-5$$

$$x^{3}-x^{2}+7x-7=0$$; $$x^{2}(x-1)+7(x-1)=0$$; $$(x-1)(x^{2}+7)=0$$; $$ \left\{\begin{matrix}x-1=0\\x^{2}+7=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=1\\x=\varnothing\end{matrix}\right.$$

$$x^{2}+7=0$$ не имеет ршений, т.к. $$x^{2}\neq-7$$

Пусть $$x^{2}=y\geq0$$: $$y^{2}-5y+4=0$$

$$\left\{\begin{matrix}y_{1}+y_{2}=5\\y_{1}\cdot y_{2}=4\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y_{1}=4\\y_{2}=1\end{matrix}\right.$$

Обратная замена: $$\left\{\begin{matrix}x^{2}=4\\x^{2}=1\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pm2\\x=\pm1\end{matrix}\right.$$

$$x^{2}(x-3)-8(x-3)=0$$; $$(x-3)(x^{2}-8)=0$$; $$\left\{\begin{matrix}x-3=0\\x^{2}-8=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=3\\x=\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}\end{matrix}\right.$$

Подставим корень в уравнение: $$3\cdot(-1)^{2}+5\cdot(-1)+2m=0$$; $$2m-2=0$$; $$m=1$$. Подставим m в уравнение: $$3x^{2}+5x+2=0$$; $$D=25-24=1$$; $$x_{1}=\frac{-5-1}{6}=-1$$; $$x_{2}=\frac{-5+1}{6}=-\frac{2}{3}$$.