Перейти к основному содержанию

ОГЭ

(C4) Геометрическая задача на вычисление

Треугольники

Задание 2670

ABC – равнобедренный треугольник с основанием AC, CD – биссектриса угла C, ∠ADC = 150°. Найдите ∠B.

Ответ: 140
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Пусть $$\angle A=\angle C=x$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle ACD=\frac{x}{2}$$ (CD-биссектриса)

2) $$x+\frac{x}{2}+150=180^{\circ}$$ (из $$\bigtriangleup ADC$$) $$1,5x=30$$ $$\Rightarrow$$ $$x=20^{\circ}$$

3) $$\angle B=180^{\circ}-2x=180^{\circ}-40^{\circ}=140^{\circ}$$

 

Задание 2774

Точка М лежит внутри равнобедренного треугольника АВС с основанием АС на расстоянии 6 см от боковых сторон и на расстоянии $$\sqrt{3}$$ см от основания. Найдите основание треугольника, если $$\angle B=120^{\circ}$$.

Ответ: 30
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) $$\bigtriangleup BMC$$ - прямоугольный: $$\frac{CM}{BM}=\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$; $$\frac{6}{BM}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$BM=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}$$

2) $$BK=BM+MK=4\sqrt{3}+\sqrt{3}=5\sqrt{3}$$

3) $$\tan 60^{\circ}=\frac{AK}{BK}$$ (из $$\bigtriangleup ABK$$) $$\sqrt{3}=\frac{x}{5\sqrt{3}}$$ $$\Rightarrow$$ $$x=15$$ $$\Rightarrow$$ $$AC=15\cdot2=30$$

 

 

Задание 2816

Сторона АВ треугольника АВС разделена на три равные части и через точки деления проведены прямые, параллельные стороне АС. Найдите площадь трапеции, заключенной между ними, если площадь треугольника равна 93.

Ответ: 31
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\bigtriangleup BKP\sim \bigtriangleup BML\sim \bigtriangleup ABC$$

$$BK=\frac{1}{3}AB$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{KBP}=\frac{1}{9}S_{ABC}=\frac{1}{9}\cdot93=10\frac{1}{3}$$

 

 

Задание 2928

Окружность с центром О вписана в прямоугольный треугольник АВС. Она касается гипотенузы АВ в точке М, причем АМ = 12 и ВМ = 8. Найдите площадь треугольника АОВ.

Ответ: 40
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Решение временно отсутствует, можете найти его в моем видео-разборе ( вначале варианта )

Задание 2977

В треугольнике ABC высота BD = 11,2 см, а высота AE = 12см. Точка E делит сторону BC в отношении 5:9, считая от вершины B. Найти длину стороны AC.

Ответ: 15
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Текстовое решение временно отсутствует. Вы можете найти разбор в видео перед вариантом

Задание 3018

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если длина гипотенузы равна $$2\sqrt{13}$$ см, а длина медианы, проведенной из вершины большего острого угла равна 5 см.

Ответ: 12
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть $$AC=x$$; $$CB=2y$$

Из $$\bigtriangleup ACH$$ и $$\bigtriangleup ACB$$:

$$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=5^{2}\\x^{2}-(2y)^{2}=(2\sqrt{13})^{2}\end{matrix}\right.$$

$$4y^{2}-y^{2}=4\cdot13-25$$

$$3y^{2}=27\Rightarrow y^{2}=9\Rightarrow y=3$$

$$x^{2}+9=25\Rightarrow x=4$$

$$S=\frac{1}{2}AC\cdot CB=\frac{1}{2}\cdot x\cdot 2y=xy=3\cdot 4=12$$

 

 

Задание 3142

Найдите катеты прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 20, а радиус вписанной окружности равен 4.

Ответ: 12 и 16
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Текстовое решение временно недоступно, вы можете найти его в видео в начале варианта

Задание 3313

В равнобедренном треугольнике с основанием АС и боковой стороной АВ проведена высота АD делящая боковую сторону ВС в отношении ВD : DC = 7 : 1. Найдите АВ если АС = 4 см.

Ответ: 8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 3408

В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла В проведены медиана ВЕ и высота ВК. Найдите длину гипотенузы АС, если КЕ = 1, $$\angle BAK=60^{\circ}$$.

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 3567

В треугольнике АВС АВ = ВС = 4см. АЕ = 3 см – медиана треугольника. Найдите АС.

Ответ: $$\sqrt{10}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) из $$\bigtriangleup ABE$$:

$$\cos B=\frac{AB^{2}+BE^{2}-AE^{2}}{2AB\cdot BC}=\frac{4^{2}+2^{2}-3^{2}}{2\cdot4\cdot2}=\frac{16+4-9}{16}=\frac{11}{16}$$

2) из $$\bigtriangleup ABC$$:

$$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}-2AB\cdot BC\cdot\cos B}=\sqrt{4^{2}+4^{2}-2\cdot4\cdot4\cdot\frac{11}{16}}=\sqrt{32-22}=\sqrt{10}$$

Задание 4329

В треугольнике АВС АС=АВ, медианы АМ и ВF пересекаются в точке О, АМ:ВF=8:5.Найдите BF, если площадь треугольника AOF равна 24.

Ответ: 15
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Пусть $$S_{ABC}=S$$, тогда $$S=2\cdot\frac{1}{2}\cdot AC\cdot AM\sin\alpha=AC\cdot AM\sin\alpha$$; $$S_{AFO}=\frac{1}{2}\cdot AF\cdot AO\sin\alpha=$$ $$\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}AC\cdot\frac{2}{3}AM\sin\alpha=\frac{1}{6}AC\cdot AM\sin\alpha=24$$ $$\Rightarrow$$ $$AC\cdot AM\sin\alpha=144=S$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{1}{2}AM\cdot CB=144$$

2) Пусть $$AM=8x$$ $$\Rightarrow$$ $$BF=5x$$, по свойству медиан: $$OB=\frac{2}{3}BF=\frac{10x}{3}$$; $$OM=\frac{1}{3}AM=\frac{8x}{3}$$; $$MB=\sqrt{OB^{2}-OM^{2}}=\sqrt{(\frac{10x}{3})^{2}-(\frac{8x}{3})^{2}}=\frac{6x}{3}=2x$$ $$\Rightarrow$$ $$CB=4x$$

3) $$\frac{1}{2}AM\cdot CB=144$$; $$\frac{1}{2}\cdot8x\cdot4x=144$$; $$32x^{2}=288$$; $$x^{2}=9$$ $$x=3$$

4) $$BF=5x=5\cdot3=15$$

 

Задание 4535

Основание равнобедренного треугольника равно 12 см, а высота, проведенная к боковой стороне, равна 9,6 см. Найдите периметр треугольника

Ответ: 32
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Проведем $$BM\perp AC$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup BMC\sim\bigtriangleup AHC$$  (прямоугольные; $$\angle C$$ - общий)

2) $$MC=\frac{1}{2}AC=6$$; $$HC=\sqrt{12^{2}-9,6^{2}}=7,2$$;

3) $$\frac{BM}{AH}=\frac{MC}{HC}$$ $$\Rightarrow$$ $$BM=\frac{AH\cdot MC}{HC}=\frac{9,6\cdot6}{7,2}=8$$

4)$$BC=\sqrt{MC^{2}+BM^{2}}=10=AB$$

$$P_{ABC}=10+10+12=32$$

Задание 4652

Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади четырёхугольника KPCM.

Ответ: 2,4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Выполним построение:

1)Точка K - середина BM, значит $$\frac{BK}{KM}=\frac{1}{1}$$
Точка M -середина AC, значит $$\frac{MA}{AC}=\frac{1}{2}$$
По теореме Менелая:
$$\frac{BK}{KM}*\frac{MA}{AC}*\frac{BK}{KM}=1$$
$$\frac{1}{1}*\frac{1}{2}*\frac{BK}{KM}=1$$
Тогда  $$\frac{BK}{KM}=\frac{2}{1}$$
2)Из пункта 1: $$BP=\frac{1}{3}BC$$
$$\frac{S_{BKP}}{S_{BMC}}=\frac{BK*BP}{BM*BC}$$
$$\frac{S_{BKP}}{S_{BMC}}=\frac{0,5BM*\frac{1}{3}BC}{BM*BC}=$$$$\frac{1}{6}$$
Тогда $$S_{KPCM}=\frac{5}{6}*S_{BMC}=$$$$\frac{5}{6}*\frac{1}{2}*S_{ABC}=\frac{5}{12}*S_{ABC}$$
Тогда $$\frac{S_{ABC}}{S_{KPCM}}=\frac{12}{5}$$

Задание 4897

Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит его на два треугольника, площади которых равны соответственно 6 и 54. Найдите гипотенузу треугольника 

Ответ: 20
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Треугольники ACH и CHB подобны (оба прямоугольные, угол A такой же, как угол HCB). В таком случае можем найти коэффициент подобия $$k=\frac{AH}{CH}=\frac{CH}{HB}=\frac{AC}{CB} (1)$$
2) Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, то есть: $$k^{2}=\frac{54}{6}$$, значит k=3
3) Пусть AH = 3x, тогда из равенства (1) получаем, что $$CH=\frac{AH}{3}=x$$, тогда $$HB=\frac{CH}{3}=\frac{x}{3}$$, тогда $$AB=3x+\frac{x}{3}=\frac{10x}{3}$$
4)$$S_{CHA}=\frac{1}{2}*AH*CH=\frac{3x*x}{2}=54$$. В таком случае x=6; тогда $$AB=\frac{10*6}{3}=20$$

Задание 5224

 На сторонах ВС и ВА треугольника АВС взяты точки E и F такие, что ВE:EС=1:3, ВF:FА=1:2. Площадь треугольника BEF равна 10. Найти площадь треугольника АВС 

Ответ: 120
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\frac{S_{ABC}}{S_{BEF}}=\frac{AB*BC}{BF*BE}(1)$$. Так как ВE:EС=1:3, то BC=4BE, так как ВF:FА=1:2, то AB=3BF. Подставим данные выражения в формулу (1): $$\frac{S_{ABC}}{S_{BEF}}=\frac{3BF*4BE}{BF*BE}=12$$, тогда $$S_{ABC}=12S_{BFE}=12*10=120$$