ОГЭ
Задание 1894
Два острых угла прямоугольного треугольника относятся как 4:5. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.
Пусть меньший угол равен 4х, тогда больший - 5х. По свойству суммы острых углов прямоугольного треугольника: $$4x+5x=90\Leftrightarrow$$$$x=10$$, тогда больший угол $$5*10=50^{\circ}$$
Задание 1895
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=15, $$\cos A=\frac{5}{7}$$. Найдите AB.
По определению косинуса: $$AB=\frac{AC}{\cos A}=\frac{15}{\frac{5}{7}}=21$$
Задание 1896
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=12, $$\sin A=\frac{4}{11}$$. Найдите AB.
По определению синуса: $$AB=\frac{BC}{\sin A}=\frac{12}{\frac{4}{11}}=33$$
Задание 1897
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 20, tgA = 0,5. Найдите BC.
По определению тангенса: $$CB=AC*tg A=20*0,5=10$$
Задание 1898
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 20, $$\tan A=0,5$$. Найдите AC.
Из определения тангенса угла: $$AC=\frac{BC}{tg A}=\frac{20}{0,5}=40$$
Задание 1899
Катеты прямоугольного треугольника равны 35 и 120. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.
Найдем гипотенузу треугольника по теореме Пифагора: $$\sqrt{35^{2}+120^{2}}=125$$
Высоту прямоугольного треугольника, опущенного из прямого угла можно выразить как: $$h=\frac{ab}{c}$$, где a,b - катеты, с - гипотенуза, тогда $$h=\frac{35*120}{125}=33,6$$
Задание 1900
Катеты прямоугольного треугольника равны $$\sqrt{15}$$ и 1. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.
Найдем гипотенузу по теореме Пифагора: $$\sqrt{(\sqrt{15})^{2}+1^{2}}=4$$
Напротив меньшей стороны лежит меньший угол, то есть меньший угол лежит напротив катета, равного 1, тогда $$\sin \alpha=\frac{1}{4}=0,25$$
Задание 1901
Площадь прямоугольного треугольника равна $$32\sqrt{3}$$. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы.
Пусть катет, лежащий напротив угла в 30 градусов равен х, тогда по свойству катета, лежащего напротив угла в 30 градусов, гипотенуза равна 2х.
По теореме Пифагора третий катет будет равен: $$\sqrt{(2x)^{2}-x^{2}}=\sqrt{3}x$$
Распишем площадь треугольника как половину произведения его катетов:$$\frac{1}{2}x*\sqrt{3}x=32\sqrt{3}\Leftrightarrow$$$$x^{2}=64\Leftrightarrow$$$$x=8$$, тогда гипотенуза составит $$2*8=16$$
Задание 1902
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=12, $$\tan A=\frac{2\sqrt{10}}{3}$$. Найдите AB.
Из определения тангенса угла: $$CB=AC*tg A=8\sqrt{10}$$
По теореме Пифагора: $$AB=\sqrt{AC^{2}+CB^{2}}=\sqrt{144+640}=28$$
Задание 1903
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 6, AC = 24.
Из подобия треугольников BHA и ABC (по свойтсву высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла): $$\frac{HA}{AB}=\frac{AB}{AC}\Leftrightarrow$$$$AB=\sqrt{HA*AC}=12$$
Задание 1904
В прямоугольном треугольнике ABC катет AC равен 35, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна $$14\sqrt{6}$$. Найдите $$\sin\angle ABC$$.
По свойству высоты прямоугольного треугольника, опущенной из прямого угла: $$\angle ACH=\angle ABC$$
Тогда из треугольника ACH: $$\cos ACH=\frac{CH}{AC}=\frac{14\sqrt{6}}{35}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$$
По основному тригонометрическому тождеству: $$\sin ACH=\sqrt{1-\cos^{2} ACH}=\sqrt{\frac{24}{25}}=\frac{1}{5}$$.
Задание 1906
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 12 и 13.
По теореме Пифагора найдем второй катет: $$\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5$$
Найдем площадь прямоугольного треугольника как половину произведения длин его катетов :$$\frac{1}{2}*12*5=30$$
Задание 1907
Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 23°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.
По свойству суммы острых углов прямоугольного треугольника второй острый угол будет равен: $$90-23=67^{\circ}$$
Задание 1908
В треугольнике ABC известно, что AC=14, $$BC=\sqrt{165}$$, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы, тогда по теореме Пифагора: $$AB=\sqrt{AC^{2}+CB^{2}}=\sqrt{361}=19$$, тогда радиус описанной окружности составляет 9,5
Задание 2810
Катеты прямоугольного треугольника равны $$3\sqrt{51}$$ и $$21$$. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.
|
$$C=\sqrt{(3\sqrt{51})^{2}+(21)^{2}}=30$$ $$21<3\sqrt{51}$$ $$\Rightarrow$$ $$\alpha$$ - искомый угол, $$\sin \alpha=\frac{21}{30}$$ |
 |
Задание 2851
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=10, tg A=0,8. Найдите BC.
tg A = CB/AC => CB=AC*tg A=10*0.8=8
Задание 2888
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=4, sinA=0,8. Найдите AB
sinA=BC/AB => AB=BC/sinA=4/0.8=5
Задание 3013
Катеты прямоугольного треугольника равны $$4\sqrt{6}$$ и 2. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.
$$AB=\sqrt{(4\sqrt{6})^{2}+2^{2}}=10$$ $$CA< CB$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle B< \angle A$$
$$\sin A=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{10}=0,2$$
Задание 3061
В треугольнике ABC угол C прямой, BC=6, sinA=0,6. Найдите AB.
$$\sin A=\frac{BC}{AB}=0,6$$ $$\frac{6}{AB}=0,6$$ $$AB=10$$
Задание 3097
Катеты прямоугольного треугольника равны $$3\sqrt{11}$$ и 1. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.
Гипотенуза по теореме Пифагора: $$\sqrt{(3\sqrt{11})^{2}+1^{2}}=10$$ Напротив меньшей стороны лежит меньший угол, то есть угол у нас меньший будет напротив катета, равного 1, значит его синус будет равен 1/10=0,1
Задание 3137
Катеты прямоугольного треугольника равны $$3\sqrt{91}$$ и 9. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.
|
Пусть $$AB=3\sqrt{91}$$ , $$BC=9$$, тогда по теореме Пифагора: $$AB=\sqrt{3\sqrt{91}^{2}+9^2}=30$$ Так как AC>CB, то угол A меньше угла B (так как лежит напротив меньшей стороны) $$ \sin A=\frac{CB}{AB}=0.3$$ |
 |
Задание 3182
Катеты прямоугольного треугольника равны $$20\sqrt{41}$$ и $$25\sqrt{41}$$ . Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
Гипотенуза (c) = $$\sqrt{(20\sqrt{41})^{2} + (25\sqrt{41})^{2}} =\sqrt{25*41*41}=5*41$$ Высота прямоугольного треугольника h равна произведению катетов деленное на гипотенузу: $$h=\frac{(20\sqrt{41}) *(25\sqrt{41})}{5*41}=100$$
Задание 3184
Площадь прямоугольного треугольника равна $$250\sqrt{75}$$ . Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы треугольника.
Пусть a - катет, лежащий напротив 30 градусов, b - второй катет, с - гипотенуза. Так как a - напротив 30 градусов, то a = 0,5c. Тогда по теореме Пифагора: $$b = \sqrt{c^{2}-(0,5c)^{2}}=\frac{c\sqrt{3}}{2}$$ Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}0,5c*\frac{c\sqrt{3}}{2}$$ $$250\sqrt{75}=\frac{c^{2}*\sqrt{3}}{8}$$ $$c^2=\frac{250\sqrt{75}*8}{\sqrt{3}}=10000$$ Отсюда с равно 100
Задание 3401
Катеты прямоугольного треугольника равны 7 и 24. Найдите гипотенузу этого треугольника.
$$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{7^{2}+24^{2}}=\sqrt{49+576}=25$$
Задание 3403
Катеты прямоугольного треугольника равны $$2\sqrt{6}$$ и $$1$$. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.
$$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{4\cdot6+1}=5$$ $$\angle A<\angle C$$ т.к. $$BC
Задание 4054
В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна $$4\sqrt{51}$$, а сторона AB равна 40. Найдите cosB.
$$\cos\angle B=\frac{BH}{AB}$$
$$BH=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=\sqrt{1600-816}=\sqrt{784}=28$$
$$\cos\angle B=\frac{28}{40}=0,7$$
Задание 4324
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=8, tg A=0,75. Найдите BC.
$$\tan A=0,75=\frac{BC}{AC}=\frac{x}{8}$$; $$x=8\cdot0,75=6$$
Задание 4530
Катеты прямоугольного треугольника равны $$\sqrt{19}$$ и 9 . Найдите косинус наименьшего угла этого треугольника.
$$AB=\sqrt{\sqrt{19}^{2}+9^{2}}=10$$; напротив меньшей стороны - меньший угол $$\Rightarrow$$ $$\angle B<\angle A$$; $$\cos\angle B=\frac{CB}{AB}=\frac{9}{10}=0,9$$
Задание 4796
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=12, $$tg A = \frac{3}{4}$$ . Найдите AB.
$$tg A = \frac{CB}{AC}=\frac{3}{4}\Rightarrow $$$$CB=AC*tg A=9$$ По теореме Пифагора: $$AB=\sqrt{12^{2}+9^{2}}=15$$
Задание 4844
Катеты прямоугольного треугольника равны $$3\sqrt{15}$$ и 3. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.
$$AC=\sqrt{(3\sqrt{15})^{2}+3^{2}}=\sqrt{9\cdot15+9}=12$$; $$\sin A=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{12}=0,25$$
Задание 4892
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=19,2, $$\tan A=\frac{7}{24}$$. Найдите AB.
$$\tan A=\frac{7}{24}=\frac{CB}{19,2}$$; $$CB=\frac{7\cdot19,2}{24}=\frac{28}{5}=5,6$$; $$AB=\sqrt{19,2^{2}+5,6^{2}}=\sqrt{\frac{10000}{5^{2}}}=\frac{100}{5}=20$$
Задание 5122
В треугольнике ABC угол C равен $$90^{\circ}$$, $$\tan A=0,6$$, $$AC=15$$. Найдите BC.
$$tg \angle A = \frac{BC}{AC} = 0,6$$. Тогда $$BC = AC*0,6 =15 * 0,6 =9$$
Задание 5315
В треугольнике ABC угол C равен 90°, СН – высота, AВ = 16, sin A = 3/4 . Найдите BН
Из треугольника ABC : $$CB=AB\sin A = 16*\frac{3}{4}=12$$. $$\angle A = \angle HCB$$ из подобия треугольников при проведении высоты в прямоугольном треугольнике. Из треугольника CHB: $$HB=CB \sin HCB = 12* \frac{3}{4}=9$$
Задание 5360
В треугольнике ABC известно, что AC=24, BC= $$\sqrt{265}$$ , угол C равен 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
По теореме Пифагора: $$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{576+265}=29$$. По свойству радиуса описанной окружности около прямоугольного треугольника : $$R=\frac{AB}{2}=14,5$$
Задание 5362
В треугольнике ABC угол C равен 90°, СН – высота, AВ = 16, sin A = 3/4 . Найдите BН.
Из треугольника ABC: $$CB=AB\sin A=16*\frac{3}{4}=12$$.
Из треугольника CHB: $$HB=CB\sin BCH$$. Но из подобия прямоугольных треугольников при проведении высоты из прямого угла получаем, что $$\sin BCH=\sin A$$, тогда $$HB=CB\sin A=12*\frac{3}{4}=9$$
Задание 6161
Катеты прямоугольного треугольника равны $$3\sqrt{11}$$ и 1. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.
1)$$\angle A<\angle B$$, т.к. $$CB<AC$$
2)Найдем $$AB=\sqrt{(3\sqrt{11})^{2}+1^{2}}=\sqrt{100}=10.$$
3) $$\sin \angle A =\frac{CB}{AB}=\frac{1}{10}=0,1.$$
Задание 6208
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=9, sin A=0,6. Найдите AB
$$\sin A=\frac{CB}{AB}$$, тогда $$AB=\frac{CB}{\sin A}=\frac{9}{0,6}=15$$
Задание 6351
Катеты прямоугольного треугольника равны $$5\sqrt{3}$$ и 5. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.
$$CB>AC\Rightarrow \angle B<\angle A$$
$$AB=\sqrt{5^{2}+(5\sqrt{3})^{2}}=10$$
$$\sin A=\frac{AC}{AB}=\frac{5}{10}=0,5$$
Задание 6443
Катеты прямоугольного треугольника равны 24 и 7. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
Пусть c-гипотенуза, h-высота $$c=\sqrt{24^{2}+7^{2}}=25$$ (по т. Пифагора) $$h=\frac{24*7}{25}=6,72$$
Задание 6445
Площадь прямоугольного треугольника равна $$49\sqrt{12}$$ . Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы треугольника.
Пусть x-гипотенуза AB, тогда $$AC=\frac{x}{2}$$
$$S=\frac{1}{2}*AB*AC*\sin A=49\sqrt{12}\Leftrightarrow$$$$\frac{1}{2}*x*\frac{x}{2}*\frac{\sqrt{3}}{2}=49\Leftrightarrow$$$$\sqrt{12} x^{2}=49*2*2^{3}\Leftrightarrow$$ $$x=7*4=28$$
Задание 6547
В треугольнике ABC угол C равен 90, CH — высота, BC=15, CH=9. Найдите sin A
$$\sin A=\sin HCB$$( из $$\Delta ABC\sim \Delta HCB$$)
$$\sin HCB=\frac{HB}{CB}$$
$$HB=\sqrt{15^{2}-9^{2}}=12$$
$$\sin HCB=\frac{12}{15}=0,8$$
Задание 6639
В треугольнике АВС углы А и С равны 32° и 68° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.
1) $$\angle B=180-(\angle A+\angle \angle C)=80$$
2) $$\angle DBC=\frac{1}{2}\angle B=40$$(DB - биссектриса)
3) $$\angle HBC=90-\angle C=22$$($$\Delta BHC$$ - прямоугольный)
4) $$\angle DBH=\angle DBC-\angle HBC=18$$
Задание 6708
В треугольнике ABC $$AC=\sqrt{5}$$ , $$BC=\sqrt{11}$$ , угол C равен 90. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы:
$$R=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\sqrt{11+5}=2$$
Задание 6781
Катеты прямоугольного треугольника равны 7 и 24. Найдите гипотенузу этого треугольника.
По т. Пифагора : $$\sqrt{7^{2}+24^{2}}=25$$
Задание 6783
Катеты прямоугольного треугольника равны $$5\sqrt{3}$$ и 5. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.
Пусть CB=5; $$AC=5\sqrt{3}$$; $$CB<AC$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle A<\angle B$$ и $$\sin A$$ - наименьший
$$AB=\sqrt{AC^{2}+CB^{2}}=10$$; $$\sin A=\frac{CB}{AB}=0,5$$
Задание 6998
В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна $$4\sqrt{51}$$ , а сторона AB равна 40. Найдите cos B
1) из $$\Delta ABH$$: $$BH=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=$$$$\sqrt{40^{2}-(4\sqrt{51})^{2}}=$$$$\sqrt{1600-816}=\sqrt{784}=28$$ 2) $$\cos \beta=\frac{BH}{AB}=$$$$\frac{28}{40}=0,7$$
Задание 7084
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=8, tg A=0,75. Найдите BC.
$$tg A=\frac{CB}{AC}\Rightarrow$$ $$CB=AC*tgA=0,75*8=6$$
Задание 7131
Катеты прямоугольного треугольника равны $$5\sqrt{3}$$ и 5 . Найдите наименьший угол этого треугольника.
Меньший угол напротив меньшей стороны . Пусть $$BC=5\Rightarrow$$ $$\angle A$$-меньший
$$tg\angle A=\frac{BC}{AB}=$$$$\frac{1}{\sqrt{3}}=$$$$\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow$$ $$\angle A=30$$
Задание 7244
В треугольнике ABC угол C равен 90, AC=16, $$tg A=\frac{3}{4}$$ . Найдите AB.
1) $$tg A=\frac{BC}{AC}\Rightarrow$$ $$BC=AC tgA=16*\frac{3}{4}=12$$ 2) по т. Пифагора : $$AB=\sqrt{BC^{2}+AC^{2}}=20$$
Задание 7274
Катеты прямоугольного треугольника равны $$3\sqrt{15}$$ и 3. Найдите косинус наибольшего угла этого треугольника.
Пусть $$AC=3\sqrt{15}; CB=3$$; Наибольший угол в прямоугольном треугольнике составляет 90 (прямой) $$\Rightarrow$$ $$\cos 90=0$$
Задание 8820
Задание 8847
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=14, AB=20. Найдите $$\sin B$$
Задание 10458
Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 23°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90 градусов, тогда второй острый: $$90^{\circ}-23^{\circ}=67^{\circ}$$
