Перейти к основному содержанию

ОГЭ

(C6) Геометрическая задача повышенной сложности

Треугольники

Задание 3020

В треугольнике АВС из вершин А и В проведены отрезки АК и ВЕ, причем точки К и Е лежат на сторонах ВС и АС соответственно. Отрезки АК и ВЕ пересекаются в точке М так, что АМ : МК = 5, ВМ : МЕ = 2. Найдите отношения АЕ : ЕС и ВК : КС.

Ответ: 1,5;3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 3144

Точки D и Е расположены на стороне АС треугольника АВС. Прямые ВD и ВЕ разбивают медиану АМ треугольника АВС на три равных отрезка. Найдите площадь треугольника BDE, если площадь треугольника ABC равна 1.

Ответ: 0,3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Текстовое решение временно недоступно, вы можете найти его в видео в начале варианта

Задание 2973

Прямая пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках Р и М соответственно. Найдите отношение площади треугольника АМР к площади четырехугольника МСВР, если АР : РВ = 5 : 4, АМ : МС = 3 : 5.

Ответ: $$\frac{5}{19}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) $$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}9x\cdot 8y\cdot \sin \alpha =36xy\sin \alpha$$ 2) $$S_{APM}=\frac{1}{2}AP\cdot AM\cdot \sin A=\frac{1}{2}5x\cdot 3y\cdot \sin \alpha =7,5xy\sin \alpha$$ 3) $$S_{PBCM}=S_{ABC}-S_{APM}=36xy\sin \alpha-7,5xy\sin \alpha=28,5xy\sin \alpha$$ 4) $$\frac{S_{AMP}}{S_{MCBP}}=\frac{7,5xy\sin \alpha}{28,5xy\sin \alpha}=\frac{75}{285}=\frac{15}{57}=\frac{5}{19}$$

Задание 3315

В равностороннем треугольнике ABC точка М делит основание АС на отрезки 5 и 3. В треугольники АВМ и СВМ вписаны окружности. Найдите площадь фигуры, вершинами которой являются центры окружностей и точки их касания со стороной ВМ.

Ответ: $$\frac{5\sqrt{3}}{6}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 3569

В равностороннем треугольнике АВС высота равна $$\sqrt{3}$$. На стороне АВ взята точка М, такая, что АМ:МВ = 1:3. На стороне ВС взята точка N, такая, что ВN:NС = 3:5.Найдите площадь четырехугольника АМNС.

Ответ: $$\frac{23\sqrt{3}}{32}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) из $$\bigtriangleup AHB$$: $$\sin A=\frac{BH}{AB}$$ $$\Rightarrow$$

$$AB=\frac{BH}{\sin A}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$$

2) $$MB=\frac{3}{4}AB$$; $$BN=\frac{3}{8}BC$$ $$\Rightarrow$$

$$S_{BMN}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}AB\cdot\frac{3}{8}BC\cdot\sin B=\frac{9}{32}\cdot\frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot\sin B=\frac{9}{32}S_{ABC}$$

3) $$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot\sin B=\frac{1}{2}\cdot2\cdot2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$$ $$\Rightarrow$$

$$S_{AMNC}=S_{ABC}-S_{BMN}=\frac{23}{32}S_{ABC}=\frac{23}{32}\cdot\sqrt{3}$$

Задание 4331

Через центр О вписанной в треугольник АВС полуокружности проведена прямая, параллельная стороне ВС и пересекающая стороны АВ и АС соответственно в точках М и N. Периметр треугольника АМN равен 3, ВС = 1, а отрезок АО в 3 раза больше радиуса вписанной в треугольник АВС окружности. Найдите площадь треугольника АВС.

Ответ: $$\frac{1}{\sqrt{2}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$S_{ABC}=p\cdot r=\frac{AB+BC+AC}{2}\cdot r$$; $$P_{AMN}=AM+MN+AN$$; BO - биссетриса $$\Rightarrow$$ $$MO\parallel BO$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle MOB=\angle OBH=\angle OBM$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup MBO$$ - равнобедренный $$\Rightarrow$$ $$MB=MO$$. Аналогично: $$ON=NC$$ $$\Rightarrow$$ $$MN=MO+ON=MN+NC$$; $$AB=AM+MB$$; $$AC=AN+NC$$; $$P_{AMN}=AM+AN+NO+OM=AM+AN+NC+MB=AB+AC=3$$

Из $$\bigtriangleup AOP$$: $$AP=\sqrt{AO^{2}-OP^{2}}=\sqrt{(3r)^{2}-r^{2}}=\sqrt{8}r$$; $$S_{ABC}=\frac{AB+BC+AC}{2}\cdot r=\frac{3+1}{2}\cdot r=2r$$; $$AP=\frac{AB+AC-BC}{2}=\frac{3-1}{2}=1$$ $$\Rightarrow$$ $$AP=1=\sqrt{8}r$$ $$\Rightarrow$$ $$r=\frac{1}{\sqrt{8}}$$; $$S_{ABC}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{8}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

Задание 4654

В прямоугольном треугольнике АВС точки D и E лежат соответственно на катетах BC и AC так, что CD = CE = 1. Точка M - точка пересечения отрезков AD и BE Площадь треугольника BMD больше площади треугольника AME на 1/2. Известно, что AD = $$\sqrt{10}$$ . Найдите длину гипотенузы AB.

Ответ: 5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Построим чертеж:

1)CE = 1, пусть AE = x. Тогда из треугольника ACD по теореме Пифагора:
$$AC^{2}+CD^{2}=AD^{2}\Leftrightarrow $$$$(1+x)^{2}+1=10\Leftrightarrow $$$$(1+x)^{2}=9\Leftrightarrow $$$$1+x=3$$
То есть AC=3.
2)$$S_{BMD}-S_{AEM}=\frac{1}{2}$$ Если мы добавим и вычтем $$S_{EMDC}$$ то получим следующее:
$$S_{BMD}+S_{EMDC}-S_{AEM}-S_{EMDC}=\frac{1}{2}$$
$$S_{BEC}-S_{ACD}=\frac{1}{2}$$
3) Пусть BD = y, тогда:
$$S_{BEC}=\frac{1}{2}*1*(1+y)=\frac{1+y}{2}$$
$$S_{ACD}=\frac{1}{2}*1*3=\frac{3}{2}$$
C учетом пункта 2:
$$\frac{1+y}{2}-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow $$$$(1+y)-3=1\Leftrightarrow $$$$1+y=4$$
То есть CB=4
4)По теореме Пифагора из треугольника ABC:
$$AB=\sqrt{AC^{2}+CB^{2}}=5$$

Задание 4804

В треугольнике, величина одного из углов которого равна разности величин двух других его углов, длина меньшей стороны равна 1, а сумма площадь квадратов, построенных на двух других сторонах, в два раза больше площади описанного около треугольника круга. Найдите длину большей стороны треугольника.

Ответ: $$x=\sqrt{\frac{2}{4-\pi}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Построим рисунок:

1) Пусть меньший угол $$\alpha$$, а жва других $$x$$ и $$y$$. По условию задания меньший равен равности двух сотавшихся, а по свойству треугольника разность 180 и меньшего дает сумму оставшихся. Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} \alpha= x-y\\180-\alpha =x+y \end{matrix}\right.$$

Сложим оба уравнения системы:

$$\Rightarrow 180=2x \Leftrightarrow x=90$$

То есть мы получили прямоугольный треугольник. Построим новый чертеж по условию задачи и с учетом полученного решения:

2) Пусть $$AC = x ; S_{AEDC}=S_{1}; S_{BCIH}=S_{2}$$. Тогда $$S_{1}=x^{2} ;$$$$ BC=\sqrt{x^{2}-1} \Rightarrow S_{2}=x^{2}-1 \Rightarrow $$$$S_{1}+S_{2}=2x^{2}-1$$

3)Пусть площадь окружности $$S_{3} ; R$$-радиус окружности.Радиус описанной окружотсти вокруг прямоугольного треугольника равен полвине его гипотенузы. $$R=\frac{AC}{2}=\frac{x}{2}$$. Тогда : $$S_{3}=\pi R^{2}=\pi \frac{x^{2}}{4}$$. Приравняем площади: $$2x^{2}-1=2*\pi \frac{x^{2}}{4} \Rightarrow $$$$4x^{2}-2=\pi x^{2} \Rightarrow $$$$x^{2}(4-\pi)=2 \Rightarrow $$$$x=\sqrt{\frac{2}{4-\pi}}$$

Задание 4872

В равностороннем треугольнике АВС из вершин А и В проведена окружность с центром в точке О, проходящая через точку пересечения медиан треугольника АВС и касающаяся его стороны ВС в её середине D. Из точки А проведена прямая, касающаяся этой окружности в точке Е так, что градусная мера угла ВАЕ меньше $$30^{\circ}$$. Найдите отношение площадей треугольника АВЕ и четырехугольника ВЕОD

Ответ: $$\frac{6(13-5\sqrt{2})}{17}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
Пусть сторона треугольника равна а: тогда по т.Пифагора из треугольника ADC: $$AD=\frac{\sqrt{3}}{2}a$$
1) По свойству медиан треугольника: $$AM=\frac{2}{3}AD=\frac{\sqrt{3}a}{3};$$$$MD=\frac{1}{3}AD=\frac{\sqrt{3}a}{6}$$
2)$$OM=OD=OE=\frac{1}{2}MD=\frac{\sqrt{3}}{12}$$
3)По свойству касательной $$OE \perp AQ$$, тогда $$\bigtriangleup AOE \sim \bigtriangleup ADQ$$ ; $$AO=AM+MO=\frac{5\sqrt{a}}{12}$$
Можем записать отношение соответственных сторон:$$\frac{AD}{AE}=\frac{AQ}{AO}=\frac{QD}{EO}(1)$$
По свойству касательной и секущей: $$AE^{2}=AM*AD=\frac{a\sqrt{2}}{2}$$
4) Используя равенство под номером (1) получаем: $$AQ=\frac{AD*AO}{AE}=\frac{5\sqrt{2}a}{8}$$
$$QD=\frac{AD*EO}{AE}=\frac{\sqrt{2}a}{8}$$
5) Треугольники ABE и ABQ имеют общий угол и стороны являются продолжением друг друга, тогда: $$\frac{S_{ABE}}{S_{ABQ}}=\frac{AB*AE}{AB*AQ}=\frac{4}{5}$$
$$S_{ABD}=\frac{1}{2}S_{ABC}=\frac{\sqrt{3}a^{2}}{8}$$
$$S_{ABQ}=\frac{BQ}{BD}S_{ABD}=\frac{\frac{1}{2}a-\frac{\sqrt{2}a}{8}}{\frac{1}{2}a}*\frac{\sqrt{3}a^{2}}{8}=$$$$\frac{\sqrt{3}(4-\sqrt{2})a^{2}}{32}$$
$$S_{ABE}=\frac{4}{5}*\frac{\sqrt{3}(4-\sqrt{2})a^{2}}{32}=$$$$\frac{\sqrt{3}(4-\sqrt{2})a^{2}}{40}$$
6)$$S_{BDOE}=S_{BEQ}+S_{QDOE}=$$$$\frac{1}{5}S_{ABQ}+2S_{QDO}=$$$$\frac{1}{5}*\frac{\sqrt{3}(4-\sqrt{2})a^{2}}{32}+2*\frac{1}{2}*\frac{\sqrt{3}a}{12}*\frac{\sqrt{2}a}{8}=$$$$\frac{a^{2}\sqrt{3}(6-\sqrt{2})}{240}$$
7)$$\frac{S_{ABE}}{S_{BEOD}}=\frac{\frac{\sqrt{3}(4-\sqrt{2})a^{2}}{40}}{\frac{a^{2}\sqrt{3}(6-\sqrt{2})}{240}}=$$$$\frac{6(4-\sqrt{2})}{6-\sqrt{2}}=$$$$\frac{6(13-5\sqrt{2})}{17}$$

Задание 4946

 На продолжении стороны ВС треугольника АВС за точку В расположена точка Е так, что биссектрисы углов АЕС и АВС пересекаются в точке К, лежащей на стороне АС. Длина отрезка ВЕ = 1, длина отрезка ВС равна 2, градусная мера угла ЕКВ равна $$30^{\circ}$$. Найдите длину стороны АВ. 

Ответ: $$\frac{2}{\sqrt{7}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
1)Пусть $$EA=a$$. По свойству биссектрис из треугольника EAC: $$\frac{EC}{EA}=\frac{CK}{KA}$$ и треугольника  ABC: $$\frac{BC}{BA}=\frac{CK}{KA}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{EC}{EA}=\frac{BC}{BA}$$;  $$\Rightarrow$$ $$AB=\frac{EA\cdot BC}{EC}=\frac{a\cdot2}{3}=\frac{2}{3}a$$
2) $$\angle KBA=\alpha=\angle CBK\Rightarrow$$$$\angle KBE=180^{\circ}-\alpha\Rightarrow$$$$\angle BEK=180-(30+180-\alpha)=\alpha-30=\angle KEA\Rightarrow$$$$\angle BEA=2\alpha-60^{\circ}$$
$$\angle CBE=180-2\alpha\Rightarrow$$$$\angle BCE=180-(2\alpha-60+180-2\alpha)=60^{\circ}$$
3)По теореме косинусов из треугольника BCE: $$\sqrt{1}=\sqrt{(\frac{2}{3}a)^{2}+a^{2}-2\cdot\frac{2}{3}a\cdot a\cdot\cos60}\Rightarrow$$$$1=\frac{4}{9}a^{2}+a^{2}-\frac{4}{3}a^{2}\cdot\frac{1}{2}\Rightarrow$$$$1=\frac{13}{5}a^{2}-\frac{6}{9}a^{2}\Rightarrow$$$$\frac{7}{9}a^{2}=1\Rightarrow$$$$a^{2}=\frac{9}{7}$$$$a=\frac{3}{\sqrt{7}}\Rightarrow$$$$AB=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{\sqrt{7}}=\frac{2}{\sqrt{7}}$$

Задание 5089

Дан треугольник KLM. Через точки K и L проведена окружность, центр которой лежит на высоте LF, опущенной на сторону KM. Известно, что точка F лежит на стороне KM. Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью, если $$KL=1$$, $$KM=\frac{\sqrt{3}}{2}$$, $$FM=\frac{\sqrt{3}}{6}$$

Ответ: $$\frac{3}{8}\pi$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) $$KF=KM-FM=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

2) $$\bigtriangleup LKF$$: $$LF=\sqrt{KL^{2}-LF^{2}}=\sqrt{1^{2}-\frac{3}{9}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$$;

3) $$\bigtriangleup LKN$$ - прямоугольный, т.к. опирается на диаметр $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup KLF\sim\bigtriangleup LKN$$ (по 2 углам) $$\Rightarrow$$ $$\frac{KL}{LN}=\frac{LF}{KL}$$ $$\Rightarrow$$ $$KL^{2}=LN\cdot LF$$ $$\Rightarrow$$ $$KL^{2}=LF(LF+FN)$$, пусть $$FN=x$$

$$1^{2}=\frac{\sqrt{6}}{3}(\frac{\sqrt{6}}{3}+x)$$; $$1-\frac{6}{9}=\frac{\sqrt{6}}{3}x$$; $$\Rightarrow$$ $$x=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{6}}$$; $$LN=LF+FN=\frac{\sqrt{6}}{3}+\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{6}+\frac{\sqrt{6}}{6}=$$ $$\frac{3\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{2}$$

4) $$R=\frac{1}{2}LN$$ (радиус описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы) $$\Rightarrow$$ $$R=\frac{\sqrt{6}}{4}$$

5) $$S=\pi R^{2}=\frac{6}{16}\pi=\frac{3}{8}\pi$$

Задание 5176

В прямоугольном треугольнике ABC проведена биссектриса ВЕ, а на гипотенузе ВС взята точка М так, что $$EM \perp BE$$. Найдите площадь треугольника АВС, если СМ=1, СЕ=2..

Ответ: 3,84
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
1) Пусть $$\angle ABE = \angle EBM = \alpha$$. Тогда из треугольника ABE $$\angle BEA = 90- \alpha$$. Тогда $$\angle MEC = 180 - (90 - \alpha) - 90 = \alpha$$ (как смежный с $$\angle AEM$$)
2)$$\angle C$$ - общий, тогда треугольники BEC и EMC подобны по двум углам. Тогда: $$\frac{MC}{EC}=\frac{EC}{BC}$$
Пусть BM=x, тогда BC = x+1:
$$\frac{1}{2}=\frac{2}{x+1}$$, следовательно $$x=3$$
3) По свойству биссектрис:
$$\frac{AB}{BC}=\frac{AE}{EC}$$
Пусть AB=a ; AE=b, тогда:
$$\frac{a}{4}=\frac{b}{2}$$, следовательно, $$a=2b$$
4)По теореме Пифагора из треугольника ABC:
$$(2b)^{2}+(b+2)^{2}=4^{2}$$
$$5b^{2}+4b-12=0$$
$$b=1,2$$
Тогда $$S_{ABC}=\frac{1}{2}*2*1,2*(1,2+2)=3,84$$

Задание 5226

 В треугольнике АВС точка D на стороне ВС и точка F на стороне АС расположены так, что ВD:DC=3:2, AF:FC=3:4. Отрезки AD и BF пересекаются в точке Р. Найдите отношение АР:PD. 

Ответ: $$\frac{5}{4}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

ВD:DC=3:2, пусть BD=3x, тогда DC=2x, а BC=5x. AF:FC=3:4, пусть AF=3y, тогда FC=4y. По теореме Менелая для треугольника BFC: $$\frac{AP}{PD}*\frac{BD}{BC}*\frac{CF}{AF}=1\Leftrightarrow$$$$\frac{AP}{PD}*\frac{3x}{5x}*\frac{4y}{3y}=1\Leftrightarrow$$$$\frac{AP}{PD}=\frac{5}{4}$$

Задание 5274

Сторона равностороннего треугольника АВС равна 14. Через его центр проведена прямая $$l$$, пересекающая сторону ВС и проходящая на расстоянии $$\sqrt{7}$$ от середины стороны АВ. В каком отношении прямая $$l$$ делит сторону ВС? 

Ответ: $$\frac{3}{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
1) $$CH$$ - медиана, высота $$\Rightarrow$$ $$CH=AB\cdot\sin60^{\circ}=7\sqrt{3}$$; $$OH=\frac{1}{3}CH=\frac{7\sqrt{3}}{3}$$
2)  из $$\bigtriangleup HKO$$: $$\sin HOK=\frac{HK}{OH}=\frac{\sqrt{7}}{7\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{3}{7}}$$
3) $$OC=\frac{2}{3}CH=\frac{14\sqrt{3}}{3}$$; $$\angle OCM=30^{\circ}$$; $$\bigtriangleup MOC$$ по т. синусов: $$\frac{OM}{\sin OCM}=\frac{MC}{\sin MOC}$$; $$OM=\frac{MC\cdot\sin OCM}{\sin MOC}=\frac{MC\cdot\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}$$; $$\cos HOK=\sqrt{1-\sin^{2}HOK}=\frac{2}{\sqrt{7}}$$;
Пусть $$MC=x$$, тогда $$OM=\frac{x\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}$$
4) По т. косинусов: $$MC^{2}=OM^{2}+OC^{2}-2OM\cdot MC\cos MOC$$; $$x^{2}=\frac{7x^{2}}{4\cdot3}+\frac{196\cdot3}{9}-\frac{2\cdot\sqrt{7}x\cdot14\sqrt{3}\cdot2}{2\sqrt{3}\cdot3\cdot\sqrt{7}}$$;
$$x^{2}=\frac{7x^{2}}{12}+\frac{196}{3}-\frac{28x}{3}$$ $$|\cdot12$$
$$5x^{2}+112x-784=0$$; $$D=12544+15680=168^{2}$$; $$x_{1}=\frac{-112+168}{10}=5,6$$; $$x_{2}<0$$
$$MC=5,6$$ $$\Rightarrow$$ $$BM=14-5,6=8,4$$; $$\frac{BM}{MC}=\frac{8,4}{5,6}=\frac{3}{2}$$

Задание 5417

В треугольнике АВС, площадь которого равна S, точка М середина стороны ВС, точка N на продолжении стороны АВ и точка К на продолжении стороны АС выбраны так, что AN = ½ AB, CK = ½ AC. Найти площадь треугольника MNK.

Ответ: $$\frac{5S}{4}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1)$$S_{MCR}=\frac{1}{4}*S$$

2)Пусть $$MR\left | \right |AC\Rightarrow AR=RB$$(RM-средняя линия)$$\Rightarrow AR=0,5*y=NA\Rightarrow AL$$-средняя линия $$\Rightarrow NL=LM\Rightarrow AL=\frac{1}{2}*RM=\frac{1}{4}*AC=\frac{1}{4}x ; LC=\frac{3}{4}x ;$$

3)$$S_{NMK}=S_{MCK}+S_{MCL}+S_{NLK}$$ $$S_{MCL}=\frac{1}{2}*\frac{3}{4}*S=\frac{3}{8}*S\Rightarrow S_{LMK}=\frac{3}{8}*S=\frac{5*S}{8};$$

4)KL-медиана$$\Rightarrow S_{MLK}=S_{KLN}=\frac{5*S}{8};$$

5) $$S_{MNK}=2*\frac{5*S}{8}=\frac{109}{8}=\frac{5S}{4};$$

Задание 5598

Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM.

Ответ:

Задание 5599

Площадь треугольника ABC равна 80. Биссектриса AD пересекает медиану BK в точке E, при этом BD:CD=1:3. Найдите площадь четырехугольника EDCK.

Ответ:

Задание 5600

В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK : KM = 4 : 1. Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM.

Ответ:

Задание 5601

Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC втрое больше длины стороны AB. Найдите отношение площади четырехугольника KPCM к площади треугольника ABC.

Ответ:

Задание 5602

Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 12, а площадь равна 18.

Ответ:

Задание 5603

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 96. Найдите стороны треугольника ABC .

Ответ:

Задание 5604

Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 40:1, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 30.

Ответ:

Задание 5605

В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK:KM=3:7 . Найдите отношение площади треугольника ABK к площади треугольника ABC

Ответ:

Задание 5619

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B, проведена биссектриса угла A. Известно, что она пересекает серединный перпендикуляр, проведённый к стороне BC в точке K. Найдите угол BCK, если известно, что угол ACB равен 40°.

Ответ:

Задание 6073

В треугольнике АВС биссектриса АD делит сторону ВС на отрезки ВD и DС, причем ВD : DС = 3:2. На стороне АС выбрана точка Е такая, что биссектриса АD пересекает ВЕ в точке F и ВF : FЕ = 5 : 2. Найдите площадь четырехугольника FDCE, если площадь треугольника АВС равна 70 см2 .

Ответ: 16
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) По т. Менелая из $$\Delta ADC:$$

$$\frac{BF}{FE}*\frac{EA}{AC}*\frac{CD}{BD}=1\Rightarrow$$ $$\frac{EA}{AC}=\frac{2}{5}*\frac{3}{2}=\frac{3}{5}\Rightarrow \frac{AE}{EC}=\frac{3}{2}$$;

2) по т. Менелая $$\Delta BEC$$:

$$\frac{AF}{FD}*\frac{DB}{BC}*\frac{CE}{EA}=1\Rightarrow \frac{AF}{FD}=\frac{5}{3}*\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$$

3) $$S_{ADC}= \frac{DC}{BC}; S_{ABC}=\frac{2}{5}*70=28$$

4) $$\frac{S_{AFE}}{S_{ADC}}=\frac{AF*AE}{AD*AC}=\frac{\frac{5}{7}AD*\frac{3}{5}AC}{AD*AC}=\frac{3}{7}$$, тогда $$S_{FDCE}=\frac{4}{7}*S_{ADC}=\frac{4}{7}*28=16$$

Задание 6405

В остроугольном треугольнике АВС на высоте AD взята точка М, а на высоте ВР – точка N так, что углы ВМС и АNС – прямые. Расстояние между точками М и N равно $$4+2\sqrt{3}$$ , $$\angle MCN = 30$$. Найдите биссектрису СL треугольника CMN

Ответ: $$7+4\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   

     1) $$\angle APB=\angle ADB=90$$ ,т.к. опирается на AB, то $$A_{1},B_{1},D_{1},P_{1}$$ лежат на одной окружности .

     2) $$\angle PDA =\angle PBA$$ (вписаные , на одну дугу)

$$\angle A=90-\angle PBA(\Delta PBA)$$

$$\angle PDC=90-\angle PDA(\Delta ADC)$$

Тогда $$\angle A=\angle PDC$$, и т.к. $$\angle C$$ - общий , то $$\Delta ABC\sim \Delta PDC\Rightarrow$$ $$\frac{CB}{CP}=\frac{AC}{CD}\Leftrightarrow$$ $$AC*CP=BC*CD(1)$$

     3) из $$\Delta ACN :CN^{2}=AC*CP$$

Из $$\Delta CMB: CM^{2}=BC*CD$$

С учетом (1): $$CN^{2}=CM^{2}\Rightarrow$$ $$CN=CM$$ и $$\Delta CMP$$ равнобедренный

     4) Пусть CH- биссектриса , она и медиана и высота . $$NH=\frac{1}{2} NM=2+\sqrt{3}$$

$$\angle HCN=\frac{1}{2}\angle MCN=15$$

Из $$\Delta CHN \frac{HN}{HC}=tg \angle HCN\Rightarrow$$ $$HC=\frac{2+\sqrt{3}}{tg 15}$$

$$tg 15=\frac{\sin 30}{1+\cos 30}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$$

$$HC=(2+\sqrt{3})^{2}=7+4\sqrt{3}$$

Задание 6554

В треугольнике КЕМ длина стороны КЕ равна 27, длина биссектрисы КВ равна 24, а длина отрезка МВ равна 8. Найдите периметр треугольника КМВ.

Ответ: 56
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) Пусть KE=a=27; KM=b; EB=x; BM=y=8; KB=m=24; $$\angle EKB=\angle BKM=\alpha$$

     2) По свойству биссектрисы: $$\frac{x}{y}=\frac{a}{b}(1)$$

     3) Рассмотрим теорему косинусов для $$\Delta EBK$$ и $$\Delta BMK$$:

$$\left\{\begin{matrix}y^{2}=m^{2}+b^{2}-2mb \cos \alpha\\x^{2}=m^{2}+a^{2}-2ma \cos \alpha\end{matrix}\right.$$

  Умножим первое и второе уравнения на a и b соответственно и вычтем из первого второе :

$$\left\{\begin{matrix}y^{2}a =m^{2}a+b^{2}a-2mab \cos \alpha\\x^{2}b=m^{2}b+a^{2}b-2mab \cos \alpha\end{matrix}\right.$$

  Получим: $$y^{2}a-x^{2}b=m^{2}a+b^{2}a-m^{2}b-a^{2}b$$

  Рассмотрим левую часть равенства: $$y^{2}a-x^{2}b=xy(\frac{ya}{x}-\frac{xb}{y})$$ .С учетом , что $$\frac{x}{y}=\frac{a}{b}$$, получим : $$xy(\frac{b}{a}*a-\frac{a}{b}*b)=xy(b-a).$$

  Рассмотрим правую часть равенства: $$m^{2}a+b^{2}a-m^{2}b-a^{2}b=m^{2}(a-b)-ba(a-b)$$. Получим : $$xy(b-a)=m^{2}(a-b)-ba(a-b)$$.

  Т.к. $$a\neq b$$ (иначе получим равнобедренный), то поделим $$a-b$$: $$-xy=m^{2}-ba\Rightarrow m^{2}=ab-xy(2)$$ - вообще, это формула длины биссектриссы через две стороны и отрезки третьей, но в учебниках за 7-9 класс ее не встречал, потому необходимо ее выводить.

     4) Итого имеем систему: $$\left\{\begin{matrix}\frac{x}{y}=\frac{a}{b}\\m^{2}=ab-xy\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{x}{8}=\frac{27}{b}\\24^{2}=27b-8x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{216}{b}\\576=27b-\frac{8*216}{b}\end{matrix}\right.$$

$$576b=27b^{2}-1728\Leftrightarrow$$ $$27b^{2}-576b-1728=0|:9\Leftrightarrow$$ $$3b^{2}-64b-192=0$$

$$D=4096+2304=6400$$

$$b_{1}=\frac{64+80}{6}=\frac{144}{6}=24$$

$$b_{2}=\frac{64-80}{6}<0$$

     5) $$P_{BMK}=m+y+b=24+8+24=56$$

Задание 6601

В равнобедренном треугольнике ABC (АВ = ВС) проведена биссектриса АМ. Известно, что ВС : МС = 5 : 2. Найдите отношение длины отрезка МС к радиусу окружности, описанной около треугольника АМС.

Ответ: $$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) $$BC:MC =5:2\Rightarrow$$ $$BM:MC=3:2$$. Пусть $$BM=3y\Rightarrow$$ $$MC=2y, BC=5y$$

     2) По свойству биссектрисы: $$\frac{AB}{AC}=\frac{BM}{MC}\Rightarrow$$ $$\frac{AB}{AC}=\frac{3}{2}$$. $$AB=BC=5y\Rightarrow$$ $$AC=\frac{5*2y}{3}=\frac{10y}{3}$$

     3) $$AM=\sqrt{AB*AC-BM*MC}=$$$$\sqrt{5y*\frac{10y}{3}-3y*2y}=$$$$\sqrt{\frac{50y^{2}-12y^{2}}{3}}=$$$$\sqrt{\frac{32 y^{2}}{3}}=$$$$4y\sqrt{\frac{2}{3}}$$

     4) $$S_{AMC}=S_{ABC}*\frac{MC}{BC}$$, $$p_{ABC}=5y+5y+\frac{10y}{3}=\frac{20y}{3}$$

$$S_{ABC}=\sqrt{\frac{20y}{3}*(\frac{20y}{3}-5y)^{2}(\frac{20y}{3}-\frac{10y}{3})}=$$$$\frac{50y^{2}\sqrt{2}}{9}\Rightarrow$$

$$S_{AMC}=\frac{2}{5}*\frac{50y^{2}\sqrt{2}}{9}=$$$$\frac{20y^{2}\sqrt{2}}{9}$$

     5) $$R=\frac{MC*AC}{4 S_{AMC}}\Rightarrow$$ $$\frac{MC}{R}=\frac{4 S_{AMC}}{AM*AC}=$$$$\frac{4*20y^{2}\sqrt{2}}{9}:(4y\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}*\frac{10y}{3})=$$$$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$

Задание 7005

В треугольнике АВС площадью 90 см2 биссектриса AD делит сторону ВС на отрезки BD и CD, причём BD : CD = 2 : 3. Отрезок BL пересекает биссектрису AD в точке Е и делит сторону АС на отрезки AL и CL такие, что AL : CL = 1 : 2. Найдите площадь четырёхугольника EDCL.

Ответ: 44
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Пусть $$AL=y\Rightarrow$$ $$LC=2y; AC=3y$$

     1) $$S)_{ABC}=90$$; $$\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}}=\frac{BD}{DC}=\frac{2}{3}\Rightarrow$$ $$S_{ABD}=\frac{2}{5}S_{ABC}=36$$. $$S_{ADC}=\frac{3}{5}S_{ABC}=54$$

     2) Пусть $$DK\left | \right |EL \Rightarrow$$ по т. Фалеса : $$\frac{CK}{KL}=\frac{CD}{DB}=\frac{3}{2}\Rightarrow$$$$CK=\frac{3}{5}CL=\frac{6}{5}y$$. $$KL=\frac{2}{5}CL=\frac{4}{5}y$$

     3) По т. Фалеса для $$\angle DAC$$: $$\frac{AE}{ED}=\frac{AL}{LK}=$$$$\frac{y}{0,8 y}=\frac{5}{4}\Rightarrow$$ $$AE=\frac{5}{9}AD$$

     4) $$\frac{S_{AEL}}{S_{ADC}}=\frac{AE*AL}{AD*AC}=\frac{5}{27}\Rightarrow$$ $$S_{DELC}=\frac{22}{27}S_{ADC}=44$$

Задание 7091

Дан треугольник АВС, на стороне АС взята точка Е так, что АЕ : ЕС = 2: 3 , а на стороне АВ взята точка D так, что АD : DB = 1: 4 . Проведены отрезки СD и ВЕ. Найдите отношение площади получившегося четырехугольника к площади данного треугольника.

Ответ: $$\frac{14}{115}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

      1) $$BE\cap CD=H$$ ; Пусть $$AE=2x$$ ; $$AD=y \Rightarrow$$ $$DB=4y; EC=3x$$

      2) Построим $$DK\left | \right |BE (K=DK\cap AC)\Rightarrow$$ по т Фалеса : $$\frac{AD}{DB}=\frac{AK}{KE}\Rightarrow$$ $$AK=0,4 x; KE=1,6 x$$.

      3) Пусть $$S_{ABC}=S$$; $$S_{ADC}=\frac{AD}{AB}S=\frac{S}{5}$$; $$S_{ADK}=\frac{AK}{AC}S_{ADC}=$$$$\frac{2}{25}*\frac{S}{5}=\frac{2S}{125};$$

     4) $$HE\left | \right | DK \Rightarrow$$ $$\Delta CHE\sim \Delta CDK$$; $$\frac{S_{CHE}}{S_{CDK}}=(\frac{CE}{CK})^{2}=$$$$(\frac{15}{23})^{2}=\frac{225}{529}\Rightarrow$$ $$S_{DHEK}=\frac{529-225}{529}*S_{CDK}$$; $$S_{CDK}=S_{ADC}-S_{ADK}=\frac{23S}{125}$$; $$S_{DHEK}=\frac{304}{529}*\frac{23S}{125}=\frac{304 S}{23*125}$$; $$S_{ADHE}=\frac{2S}{125}+\frac{304 S}{23*125}=\frac{350 S}{23*125}=\frac{14 S}{115}\Rightarrow$$ $$\frac{S_{ADHE}}{S_{ABC}}=\frac{14}{115}$$

Задание 7254

В треугольнике ABC биссектрисы AD и BE пересекаются в точке О. Найдите отношение площади четырехугольника DOEC к площади треугольника ABC, если AC:AB:BC = 4:3:2.

Ответ: $$\frac{32}{105}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) Пусть $$AC=4x; AB=3x;BC=2x$$.

     2) По свойству биссектрисы $$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}=\frac{3}{4}\Rightarrow$$ $$BD=\frac{3}{7}BC=\frac{6x}{7}$$; $$DC=\frac{4}{7}BC=\frac{8x}{7}$$. Аналогично, $$\frac{AB}{BC}=\frac{AE}{EC}=\frac{3}{2}\Rightarrow$$ $$AE=\frac{3}{5}AC=\frac{12x}{5}$$; $$EC=\frac{2}{5}AC=\frac{8x}{5}$$

     3) Пусть $$EH\left | \right |OD\Rightarrow$$ по т. Фалеса : $$\frac{AE}{EC}=\frac{DH}{HC}=\frac{3}{2}\Rightarrow$$ $$DH=\frac{3}{5} DC=\frac{24x}{35}$$$$\Rightarrow$$ $$BH=\frac{54x}{35}$$

     4)Пусть $$S_{ABCD}=S$$ $$\Rightarrow$$ при этом $$S_{BEC}=\frac{EC}{AC}S=\frac{2}{5}S$$; $$S_{BEH}=\frac{BH}{BC}S_{BEC}=$$$$\frac{54}{70}*\frac{2}{5}S=\frac{54S}{175}$$

     5) т.к. $$OD\left | \right |EH$$, то $$\frac{S_{OBD}}{S_{BEH}}=(\frac{BD}{BH})^{2}=\frac{25}{81}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{2 S}{3*7}=\frac{2S}{21}\Rightarrow$$ $$S_{DOEC}=S_{BEC}-S_{OBD}=$$$$\frac{2}{5}S-\frac{2S}{21}=\frac{32 S}{105}\Rightarrow$$$$ \frac{S_{DOEC}}{S_{ABC}}=\frac{32}{105}$$

Задание 7716

В треугольнике АВС на сторонах АВ и АС взяты точки M и N соответственно так, что AM : MB = 3 : 2 и AN : NC = 4 : 5. В каком отношении прямая, проходящая через точку М параллельно ВС, делит отрезок BN?

Ответ: 18:7
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 8583

В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 41:40, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC , если BC=18.

Ответ: 41
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 8635

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстоянии соответственно 18 и 22 от вершины A . Найдите радиус окружности, проходящей через точки M , N и касающейся луча AB , если $$\cos \angle BAC=\frac{\sqrt{11}}{6}$$ .

Ответ: 10,8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8975

Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны $$2\sqrt{5}$$, $$\sqrt{13}$$, 1 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает отрезок AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами A, K, C подобен исходному. Найдите косинус угла AKC, если известно, что $$\angle KAC=90$$.

Ответ: $$\frac{2}{\sqrt{5}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9269

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 84. Найдите стороны треугольника ABC .

Ответ: $$21\sqrt{13};63\sqrt{5};42\sqrt{13}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9317

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 96. Найдите стороны треугольника ABC.

Ответ: $$24\sqrt{13}; 48\sqrt{13}; 72\sqrt{5}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9417

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 12. Найдите стороны треугольника АВС.

Ответ: $$3\sqrt{13};6\sqrt{13};9\sqrt{5}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9561

В треугольнике ABC известны длины сторон AB=14, AC=98, точка О - центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

Ответ: 96
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9713

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC , причём AM=36 и AN=44. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB , если $$\cos \angle BAC=\frac{\sqrt{11}}{6}$$ .

Ответ: 21,6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9739

Найдите градусную меру меньшего угла прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 12, а площадь равна 18.

Ответ: 15
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10309

Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC втрое больше стороны длины AB. Найдите отношение площади четырехугольника KPCM к площади треугольника ABC .

Ответ: 9/20
 

Задание 10427

Медиана и биссектриса BM треугольника ABC пересекается в точке K, длина стороны AC относится к длине стороны AB как 9:7. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM.

Ответ: 112/135
 

Задание 10985

В треугольнике АВС на его медиане ВМ отмечена точка К так, что $$ВК : КМ = 6 : 7$$. Прямая АК пересекает сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади треугольника ВКР к площади треугольника АВК.

Ответ: 3:10
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1)$$S_{ABM}=\frac{S_{ABC}}{2}=0,5S$$ (тогда BM - медиана)

2)$$\frac{S_{ABK}}{S_{AKM}}=\frac{BK}{KM}=\frac{6}{7}$$ (общая вершина) $$\to S_{ABK}=\frac{6}{13}S_{ABM}=\frac{3S}{13}.$$

3) Пусть $$ML\parallel KP\to \frac{BP}{PL}=\frac{BK}{KM}=\frac{6}{7}$$. Но $$\frac{PL}{LC}=\frac{AM}{MC}=\frac{1}{1}\to BP:PL:LC=6:7:7$$. Тогда $$\frac{S_{ABP}}{S_{ABC}}=\frac{BP}{BC}=\frac{6}{20}\to S_{ABP}=\frac{3}{10}S;$$ $$S_{BKP}=\frac{3S}{10}-\frac{3S}{13}=\frac{(39-30)S}{130}=\frac{9S}{130}\to \frac{S_{BKP}}{S_{ABK}}=\frac{9S}{130}\cdot \frac{13}{3S}=\frac{3}{10}$$

 

Задание 11047

В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK:KM=4:9. Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника AKM к площади четырехугольника KPCM.

Ответ: $$\frac{11}{15}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Пусть $$S_{ABC}=S\to S_{ABM}=S_{BMC}=\frac{S}{2}.$$

2) $$\frac{S_{ABK}}{S_{AKM}}=\frac{BK}{KM}=\frac{4}{9}\to S_{AKM}=\frac{9}{13}S_{ABM}\frac{9}{13}\cdot \frac{S}{2}=\frac{9S}{26}.$$

3) Пусть $$ML\parallel AP\to ML$$ - средняя линия $$\triangle APL$$ и $$PL=LC.$$ Но $$KP\parallel ML\to \frac{BK}{KM}=\frac{BP}{PL}=\frac{4}{9},$$ тогда $$\frac{BP}{PC}=\frac{4}{18}.$$

4) $$\frac{S_{APC}}{S_{ABC}}=\frac{PC}{BC}=\frac{18}{22}\to S_{APC}=\frac{9}{11}S\to S_{KPOM}=S_{APC}-S_{AKM}=\frac{9S}{11}-\frac{9S}{26}=$$ $$=\frac{9S(26-11)}{26\cdot 11}=\frac{15\cdot 9S}{26\cdot 11}\to \frac{S_{AKM}}{S_{KPCM}}=\frac{9}{26}\cdot \frac{26\cdot 11}{15\cdot 9}=\frac{11}{15}.$$

 

Задание 11541

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 64. Найдите периметр треугольника ABC.

Ответ: $$48(\sqrt{13}+\sqrt{5})$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11606

Найдите градусную меру меньшего угла прямоугольного треугольника, если гипотенуза равна 20, а площадь равна $$50\sqrt{2}$$.

Ответ: 22,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11648

В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60o. Докажите, что точки A, C, центр описанной окружности треугольника ABC и точка пересечения высот треугольника ABC лежат на одной окружности.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11670

В треугольнике АВС биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 96. Найдите стороны треугольника АВС.

Ответ: $$24\sqrt{13}; 48\sqrt{13}; 72\sqrt{5}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12193

В треугольнике АВС биссектриса угла А делит высоту, проведённую из вершины В, в отношении 17:15, считая от точки В. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если ВС=16.

Ответ: 17
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12214

В треугольнике АВС биссектриса угла А делит высоту, проведённую из вершины В, в отношении $$13:12$$, считая от точки В. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если $$ВС\ =\ 20.$$

Ответ: 26
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12941

Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади четырёхугольника KPCM к площади треугольника AMK .

Ответ: $$\frac{5}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13009

В треугольнике АВС на его медиане ВМ отмечена точка К так, что ВК : КМ = 4 :9 . Прямая АК пересекает сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади треугольника АКМ к площади четырёхугольника КРСМ.

Ответ: 11:15
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13117

Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC втрое больше длины стороны AB. Найдите отношение площади четырехугольника KPCM к площади треугольника ABC.

Ответ: 0,45
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13528

Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC втрое больше стороны длины AB. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM.

Ответ: 4:9
 

Задание 13654

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B, проведена биссектриса угла A. Известно, что она пересекает серединный перпендикуляр, проведённый к стороне BC, в точке K . Найдите градусную меру угла BCK, если известно, что угол ACB равен 40.

Ответ: $$25^{\circ}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13762

В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK:KM=7:3. Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника BKP к площади четырёхугольника KPCM .

Ответ: 49/81
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13994

В треугольнике АВС биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 96. Найдите стороны треугольника АВС.

Ответ: $$24\sqrt{13}$$; $$48\sqrt{13}$$; $$72\sqrt{5}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14015

В треугольнике АВС биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 12. Найдите стороны треугольника АВС.

Ответ: $$3\sqrt{13}$$; $$6\sqrt{13}$$; $$9\sqrt{5}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14180

В треугольнике АВС биссектриса угла А делит высоту, проведённую из вершины В, в отношении 13:12, считая от точки В. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если ВС=20.

Ответ: 26
 

Задание 14202

В треугольнике АВС биссектриса угла А делит высоту, проведённую из вершины В, в отношении 17:15, считая от точки В. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если ВС=16.

Ответ: 17