ОГЭ
Задание 1909
Радиус OB окружности с центром в точке O пересекает хорду AC в точке D и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды AC, если BD = 1 см, а радиус окружности равен 5 см.
1) $$OD=AB-BD=4$$
2) Треугольник OAD - прямоугольный, тогда по теореме Пифагора: $$AD=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$$
3) OA=AC, OD - общая, тогда прямоугольные треугольники AOD и ODC равны, следовательно, AD=DC=3, и AC=6
Задание 1910
Найдите величину (в градусах) вписанного угла α, опирающегося на хорду AB, равную радиусу окружности.
1) Треугольник OAB - равносторонний, тогда $$\angle AOB = 60^{\circ}=\smile AB$$
2) $$\angle ADB=\angle \alpha=\frac{1}{2}\smile AB=30^{\circ}$$ (по свойству вписанного угла)
Задание 1911
К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB = 12 см, AO = 13 см.
1) По свойству радиуса и касательной $$OB\perp AB$$, тогда треугольник OAB - прямоугольный
2) По теореме Пифагора $$OB=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5$$
Задание 1912
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 30 , $$BC=5\sqrt{13}$$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
1) По теореме Пифагора $$AB=\sqrt{30^{2}+(5\sqrt{13})^{2}}=35$$
2) По свойству прямоугольного треугольника, радиус описанной окружности равен половине гипотенузы, то есть $$R=\frac{35}{2}=17,5$$
Задание 1913
Длина хорды окружности равна 72, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 27. Найдите диаметр окружности.
1)OA=OC (радиусы), AB - перпендикуляр (так как расстояние), тогда треугольники AOB и OBC прямоугольные и равные по катету и гипотенузе
2)AB=BC=0,5AC=36, тогда по теореме Пифагора из треугольника AOB: $$AO=\sqrt{36^{2}+27^{2}}=45$$, следовательно, диаметр составит $$2*45=90$$
Задание 1914
Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:11. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 14.
Задание 1915
Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 83°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.
Треугольник OMK - равнобедренный (OM=OK - радиусы), тогда $$\angle OMK=\angle OKM$$
По свойству касательной и радиуса OK и касательная - перпендикулярны, тогда $$\angle OKM=90-83=7^{\circ}$$, тогда и угол OMK те же 7 градусов
Задание 1917
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 18, CD = 24, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 12.
Задание 1918
На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠AOB = 66°. Длина меньшей дуги AB равна 99. Найдите длину большей дуги.
Если острый угол AOB составляет 66 градуов, то развернутый составляет $$360-66=294^{\circ}$$
Пусть длина большей дуги равна х, тогда:
$$66^{\circ}- 99$$
$$294^{\circ}- x$$
$$x=\frac{294*99}{66}=441$$
Задание 1919
В окружность вписан равносторонний восьмиугольник. Найдите величину угла ABH.
1) Для нахождения угла правильного n-угольника, можно воспользоваться формулой: $$\alpha=\frac{n-2}{n}*180$$
2) $$\angle ABC = \frac{8-2}{8}*180=135^{\circ}$$
3) Из треугольника HOA: $$\angle HOA=180-2\angle OHA=180-\angle H=45^{\circ}$$ (треугольник равнобедренный, OH - биссектрисса угла H)
4) Меньшая дуга $$HA=\angle HOA=45^{\circ}$$ (по свойству центрального угла)
5) $$\angle ABH=\frac{1}{2}\smile HA=22,5^{\circ}$$ (по свойству вписанного угла)
Задание 1921
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 4. Угол при вершине, противолежащий основанию, равен 120°. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.
1) $$\angle ABC=\frac{1}{2}\smile AC$$ (по свойству вписанного угла), тогда $$\smile AC=2*120=240^{\circ}$$ (большая дуга)
2) Вся окружность равна $$360^{\circ}$$, тогда меньшая дуга AC составляет $$120^{\circ}$$
3) $$\angle AOC=\smile AC=120^{\circ}$$ (меньшей дуге, по свойству центрального угла), тогда треугольники ABC и AOC равны (оба равнобедренных, общая сторона), следовательно OC=4, и диаметр составляет 4*2=8
Задание 1922
Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB = BC и ∠ABC = 177°. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах.
1) Треугольник ABC - равнобедренный, $$\angle BAC=\angle BCA=\frac{180-177}{2}=1,5$$.
2) $$\angle BAC=\frac{1}{2}BC$$ (по свойству вписанного угла), тогда $$\smile BC=2*1,5=3^{\circ}$$
3) $$\angle BOC=\smile BC=3^{\circ}$$ (по свойству центрального угла)
Задание 1923
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 70°, угол CAD равен 49°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
1) $$\angle ABC=\frac{1}{2}\smile AC$$ (по свойству вписанного угла), тогда $$\smile AC=140^{\circ}$$
2) $$\angle CAD=\frac{1}{2}\smile DC$$ (по свойству вписанного угла), тогда $$\smile DC=98^{\circ}$$
3) $$\smile AD=140-98=42^{\circ}$$, тогда $$\angle ABD=\frac{1}{2}\smile AD=21^{\circ}$$ (по свойству вписанного угла)
Задание 1925
Центральный угол AOB опирается на хорду AB длиной 6. При этом угол OAB равен 60°. Найдите радиус окружности.
1) Треугольник AOB - равнобедренный (AO=OB - радиусы), тогда $$\angle OAB=\angle OBA=\frac{180-60}{2}=60^{\circ}$$, следовательно, OAB - равносторонний
2) Из п.1 получаем ,что AO=OB=AB=6
Задание 1926
В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 30°. Найдите величину угла OAB.
1) Треугольники COD и AOD равны, так как CO=OD=OA=OB (радиусы) и $$\angle COD=\angle AOD$$ (вертикальные углы)
2) Тогда $$\angle OAB=\angle CDO=\angle OCD=30^{\circ}$$
Задание 1927
Найдите градусную меру ∠MON, если известно, NP — диаметр, а градусная мера ∠MNP равна 18°.
1) Треугольник MON - равнобедренный (MO=ON - радиусы), тогда $$\angle ONM=\angle OMN$$
2) $$\angle MON=180-2*18=144^{\circ}$$
Задание 1928
Найдите ∠DEF, если градусные меры дуг DE и EF равны 150° и 68° соответственно.
1) $$\smile DF=360-150-68=142^{\circ}$$
2) $$\angle DEF=\frac{142}{2}=71^{\circ}$$ (по свойству вписанного угла)
Задание 1929
Найдите градусную меру ∠ACB, если известно, что BC является диаметром окружности, а градусная мера ∠AOC равна 96°.
1) Треугольник OAC - ранвобедренный (OA=AC - радиусы), тогда $$\angle OAC=\angle OCA$$
2) $$\angle ACB=\angle ACO=\frac{180-96}{2}=42^{\circ}$$
Задание 1930
Найдите ∠KOM, если известно, что градусная мера дуги MN равна 124°, а градусная мера дуги KN равна 180°.
1) Меньшая дуга $$KM=KN-MN=180-124=56^{\circ}$$
2) $$\angle KOM=\smile MM-56^{\circ}$$ (по свойству центрального угла)
Задание 1931
В окружности с центром O AC и BD — диаметры. Угол ACB равен 26°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.
1) $$\angle AOD=\angle COB$$ (по свойству вертикальных углов)
2) $$\angle COB=\angle OBC$$ (треугольник COB - равнобедренный, так как CO и OB - радиусы)
3) Из треугольника COB: $$\angle COB=180-2*26=128^{\circ}$$, тогда и $$\angle AOD=128^{\circ}$$
Задание 1932
Прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см вписан в окружность. Чему равен радиус этой окружности?
1) Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы. Пусть R - радиус описанной окружности
2) По теореме Пифагора из треугольника ABC: $$AC=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13$$, тогда $$R=\frac{1}{2}AC=6,5$$
Задание 1933
Точки A и B делят окружность на две дуги, длины которых относятся как 9:11. Найдите величину центрального угла, опирающегося на меньшую из дуг. Ответ дайте в градусах.
1) Пусть меньшая дуга 9х, тогда большая дуга 11х
2) $$9x+11x=360\Leftrightarrow$$$$x=18$$ (по свойству градусной меры окружности), тогда меньшая дуга составляет $$9x=9*18=162$$
3) $$\angle AOB=\smile AOB=162^{\circ}$$ (по свойству центрального угла)
Задание 1934
В угол величиной 70° вписана окружность, которая касается его сторон в точках A и B. На одной из дуг этой окружности выбрали точку C так, как показано на рисунке. Найдите величину угла ACB.
1) OA и OB перпенидулярны сторонам угла (по свойству касательной и радиуса в точку касания)
2) Из четырехугольника AEOB: $$\angle AOB=360-2*90-70=110^{\circ}$$ (по свойству суммы углов выпуклого четырехугольника)
3) $$\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB=55^{\circ}$$ (по свойству вписанного и центрального угла)
Задание 2481
| Радиус окружности с центром в точке O равен 85, длина хорды AB равна 80 (см. рисунок). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k. |
| $$OA=OM=85$$ $$AB=80$$ $$\Rightarrow AL=BL=40$$ $$OL=\sqrt{OA^{2}-AC^{2}}=\sqrt{85^{2}-40^{2}}=75$$ $$ML=MO+OL=85+75=160$$ |
Задание 2662
Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 18°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.
|
1) ОМ - радиус $$\Rightarrow$$ МК - диаметр $$\Rightarrow$$ $$\smile LM=180^{\circ}$$ 2) $$\angle DKM=18^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\smile KM=18\cdot 2=36^{\circ}$$ 3) $$\smile LK=\smile LM-\smile KM=180^{\circ}-36^{\circ}=144^{\circ}$$ 4) $$\angle OMK=\frac{\smile LM}{2}=72^{\circ}$$ |
 |
Задание 2663
Найдите периметр прямоугольника, если в него вписана окружность радиуса 5.
|
1) Если в прямоугольник вписана окружность, то он квадрат; 2) r=5 (радиус) $$\Rightarrow$$ a=10 (сторона квадрата); 3) $$P=4\cdot 10=40$$ |
Задание 2848
Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите градусную меру угла C треугольника ABC, если угол AOB равен 140°.
Угол AOB является центральным, и градусная мера дуги, на которую он опирается будет равна его градусной мере, то есть дуга AB = 140. Угол С при этом вписанный, и его градусная мера тогда равна половине дуги, на которую он опирается, то есть половину AB, а значит 140/2=70
Задание 2849
Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 1:2:3. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 17.
Если дуги, на которые опираются углы относятся как 1:2:3, то и углы относятся так же. Следовательно, добавим х к нашему отношению, получим, что углу равны x:2x:3x. Всего получаем x+2x+3x=6x. При этому сумма углов равна 180, значит 6x=180, x=30. Тогда мы имеем углы, равные 30,60,90. То есть у нас прямоугольный треугольник. Тогда меньшая сторона лежит на против меньшего угла в 30 градусов, а значит гипотенуза в два раза больше и равна 34. Радиус описанной окружности вокруг прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то есть 34/2=17
Задание 2885
На окружности по разные стороны от диаметра AB взятыточки M и N. Известно, что ∠NBA=32°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.
Дуга NA в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ее, то есть угла NBA. Получаем NA=2*32=64. AB диаметр, значит дуга BN =180-NA=116. А угол NMB вписанный, и опирается на дугу BN, и равен ее половине, то есть 116/2=58.
Задание 2886
Длина хорды окружности равна 130, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 72. Найдите диаметр окружности.
Введем следующие обозначения:
AH=HB=0.5AB=65 (так как AOB - равнобедренный и OH - высота)
$$OB=\sqrt{OH^2+HB^2}=97$$
OB - радиус, значит диаметр будет 97*2=194
Задание 3010
| Длина хорды окружности равна 24, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 5. Найдите диаметр окружности. |  |
$$r=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13$$ $$d=2r=2\cdot13=26$$
Задание 3058
Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 6.
Проведем радиусы в точки касания и получим два равных прямоугольных треугольника. Значит ОА - биссектриса угла А. Значит она делит угол пополам, и получаем в треугольнике угол в 30 градусов. А катет (в нашем случае это радиус окружности), лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, то есть половине ОА или 3
Задание 3181
Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 50. Найдите величину угла MOK. Ответ дайте в градусах.
Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, значит ∠OKM = 90 - 50 = 40. Треугольник OMK равнобедренный ( так как OK ; OM - радиусы ). Значит ∠OMK = ∠OKM = 40 ∠MOK = 180 - ∠OMK - ∠OKM = 180 - 80 = 100
Задание 3231
На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=36°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.
∠NBA=36° - вписанный, значит дуга, на которую он опирается (AN) в два раза больше, то есть 72° Тогда дуга NB = 180° - 72°=108° (180°-AN так как AB - диаметр) ∠NMB=108°/2 = 54° (так как вписанный, значит равен половине градусной меры дуги, на которую опирается, то есть дуги NB
Задание 3352
Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите градусную меру угла C треугольника ABC, если угол AOB равен 152.
Введем обозначения как показано на рисунке:
Угол AOB - центральный, значит его величина равна величине дуги на которую он опирается, то есть дуга AB = 152. Угол С - вписанный, его величина равна половине величины, на которую он опирается, то есть половину AB: 152/2=76
Задание 3354
В треугольнике ABC $$AC=3\sqrt{7}, BC=3\sqrt{2}$$, угол C равен 90. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника
Радиус описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности равен половине длины его гипотенузы. Найдем гипотенузу по теореме Пифагора: $$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{9*7+9*2}=9$$ В таком случае радиус будет равен 9/2 = 4,5
Задание 3559
В окружности с центром O отрезки AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 42°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
$$\angle BOC=\angle AOD=42^{\circ}$$ (вертикальные) $$\bigtriangleup BOC$$ - равнобедренный (BO; OC - радиусы) $$\angle ACB=\frac{180^{\circ}-\angle BOC}{2}=\frac{180-42}{2}=69^{\circ}$$
Задание 3572
Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно $$95^{\circ}$$, $$49^{\circ}$$, $$71^{\circ}$$, $$145^{\circ}$$
. Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 54°. Найдите n.
Задание 3836
Окружность с центром в точке О описана около равнобедренного треугольника АВС, в котором АВ = ВС и $$\angle ABC=138^{\circ}$$. Найдите величину угла ВОС. Ответ дайте в градусах.
$$\angle OBC=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{138^{\circ}}{2}=69^{\circ}$$
$$\bigtriangleup OBC$$ - равнобедренный, т.к. $$OB=OC$$ - радиусы $$\Rightarrow$$
$$\angle OCB=\angle OBC=69^{\circ}$$
$$\Rightarrow$$ $$\angle BOC=180-\angle OBC-\angle OCB=180^{\circ}-138^{\circ}=42^{\circ}$$
Задание 3987
Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что $$\angle ABC=65^{\circ}$$ и $$\angle OAB=10^{\circ}$$. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.
$$\angle AOC=2\angle ABC=130^{\circ}$$
$$\Rightarrow\angle AOC_{1}=360-130=230^{\circ}$$
$$\angle BCO=360-\angle BAO-\angle AOC_{1}-\angle ABC=360-10-230-65=55^{\circ}$$
Задание 4323
На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠AOB=18°. Длина меньшей дуги AB равна 36. Найдите длину большей дуги.
Вся окружность $$360^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ большая дуга $$342^{\circ}$$. Пусть ее длина х:
$$x-342^{\circ}$$
$$36-18^{\circ}$$
$$x=\frac{36\cdot342}{18}=684$$
Задание 4528
Найдите периметр прямоугольника, если в него вписана окружность радиуса 10.
Если в прямоугольник вписана окружность, то он квадрат. Пусть х -сторона $$\Rightarrow$$ $$x=2\cdot r=20$$; $$P=4x=4\cdot20=80$$
Задание 4644
Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 80. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.
Треугольник OMK - равнобедренный, так как OK=OM - радиусы, значит угол OMK равен углу OKM Угол OKM = 90 - 80 = 10
Задание 4842
На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠AOB=8°. Длина меньшей дуги AB равна 99. Найдите длину большей дуги.
Так как угол, опирающийся на малую дугу равен 8 градусам, то оставшийся угол равен $$360-8=352^{\circ}$$. В таком случае мы можем составить пропорцию (зависимость между величиной угла и длинной дуги). Пусть х - длина большей дуги, тогда:
Задание 4889
На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=38°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.
$$\smile NA=38^{\circ}\cdot2=76^{\circ}$$; $$\smile NB=180^{\circ}-76^{\circ}=104^{\circ}$$; $$\angle NMB=\frac{104^{\circ}}{2}=52^{\circ}$$
Задание 5164
Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом $$68^{\circ}$$. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.
$$\angle AOB=180-68=112^{\circ}$$; $$\angle ABO=\frac{180-112}{2}=34^{\circ}$$
Задание 5216
Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC=75° и ∠OAB=18°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.
Угол ABC вписанный, угол AOC - центральный, они опираются на одну дугу, значит угол AOC в два раза больше, то есть 150 градусов. Тогда внутренний угол $$AOC=360-150=210$$. Тогда по свойству углов четырехугольника $$\angle BCO = 360-210-75-18 =57^{\circ}$$
Задание 5407
В окружности с центром O отрезки AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 34°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Так как О - цент окружности, то $$\angle BOC=\angle AOD$$ (вертикальные) и BO и OC - радиусы. Тогда: $$\angle ACB=\frac{180-\angle AOD}{2}=\frac{180-34}{2}=73$$
Задание 6110
Прямая касается окружности в точке M . Точка O — центр окружности. Хорда MN образует с касательной угол, равный 22°. Найдите величину угла ONM. Ответ дайте в градусах
- OM перпендикулярен касательной (свойство радиуса, проведенного в точку качсания)
- ON=OM (радиусы), тогда $$\angle ONM=\angle OMN$$
- $$\angle OMN=90-22=68$$
Задание 6205
На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=44°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.
- $$\angle NBA=\frac{1}{2}\cup AN\Rightarrow \cup AN=44*2=88$$
- $$\cup NB=180-\cup NA=180-88=92$$
- $$\angle NMB=\frac{1}{2}\cup NB=\frac{92}{2}=46$$
Задание 6206
Длина хорды окружности равна 24, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 5. Найдите диаметр окружности.
- $$CB=\frac{1}{2}CD=\frac{24}{2}=12$$
- $$AB\perp CD$$, тогда из $$\Delta ABC:$$ $$AC=\sqrt{AB^{2}+CB^{2}}=\sqrt{2^{2}+5^{2}}=13=r$$
- Тогда $$d=2r=2*13=26$$
Задание 6396
Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 16.
AO-биссектриса $$\angle A\Rightarrow$$ $$\angle OAB=30$$
$$OB\perp AB$$(свойство радиуса в точку касания )$$\Rightarrow OB=OA* \sin 30=16\frac{1}{2}=8$$
Задание 6442
Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 35. Найдите величину угла MOK. Ответ дайте в градусах
$$\angle OKM=\angle OMK$$($$\Delta OMK$$ - равнобедренный ) $$\angle OKM=90-35=55$$ $$\angle MOK=180-2*55=70$$
Задание 6498
На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что $$\angle NBA = 48^{\circ}$$. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах
$$\smile AB=180=\smile AN+\smile NB$$
$$\smile AN=2\angle NBA=96$$
$$\smile NB=180-96=84$$
$$\angle NMB=\frac{\smile NB}{2}=\frac{84}{2}=42$$
Задание 6591
Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 96. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.
- $$\angle AOB=180-\angle C=84\Rightarrow$$ $$\angle OAB+\angle ABO=96$$
- $$OA=OB$$(радиусы)$$\Rightarrow$$ $$\angle ABO=\frac{96}{2}=48$$
Задание 6640
Периметр треугольника равен 56, одна из сторон равна 19, а радиус вписанной в него окружности равен 5. Найдите площадь этого треугольника.
Воспользуемся формулой площади треугольника через его полу периметр и радиус вписанной окружности: $$S=p*r$$; $$p=\frac{56}{2}=28$$. Тогда: $$S=28*5=140$$
Задание 6641
Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 10
1)$$OM\perp OA$$(свойство радиуса, проведенного в точку касания)
2) $$\Delta OAM=\Delta OAN$$(по гипотенузе и катету)$$\Rightarrow \angle OAM=30$$
3) $$OM=OA\sin\angle OAM=10*\frac{1}{2}=5$$
Задание 6706
Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите градусную меру угла В треугольника ABC, если угол AOС равен 140. Ответ дайте в градусах .
$$\angle ABC=\frac{1}{2}\angle AOC$$ (свойство вписанного угла)
$$\angle ABC=\frac{1}{2}*140=70$$
Задание 6849
В окружности с центром O отрезки AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 65°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
1) $$\angle AOD=\angle BOC$$ (вертикальные)
2) $$\Delta BOC$$-равнобедренный (OB=OC –радиусы )$$\Rightarrow$$ $$\angle OCB=\angle OBC=\frac{180-\angle BOC}{2}=57,5$$
Задание 6898
Окружность с центром в точке О описана около равнобедренного треугольника АВС, в котором АВ = ВС и $$\angle ABC=138^{\circ}$$. Найдите величину угла ВОС. Ответ дайте в градусах.
1) из $$\Delta ABC$$: $$\angle BAC=\angle BCA=\frac{180-\angle ABC}{2}=21$$ 2) из $$\angle BOC=2\angle BAC=42$$ (центральный в 2 раза больше вписанного на ту же дугу опирающегося)
Задание 6947
Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC=65° и ∠OAB=10°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.
1) $$\Delta ABO$$ - равнобедренный $$\Rightarrow$$ $$\angle OAB=\angle ABO=10$$$$\Rightarrow$$ $$\angle OBC=65-10=55$$
2) $$\Delta OBC$$ – равнобедренный $$\Rightarrow$$ $$\angle BCO=\angle OBC=55$$
Задание 7083
На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠AOB=27°. Длина меньшей дуги AB равна 18. Найдите длину большей дуги.
$$\angle AOB$$ меньший относится к $$\angle AOB$$ большему (360-27=333) так же , как и дуги $$\Rightarrow$$ $$\frac{27}{333}=\frac{18}{x}\Rightarrow$$ $$x=\frac{333*18}{27}=222$$
Задание 7129
Найдите периметр прямоугольника, если в него вписана окружность радиуса 6
Если в него вписана окружность, то это квадрат , тогда его сторона в 2 раза больше радиуса окружности $$\Rightarrow$$ $$P=2*6*4=48$$
Задание 7155
Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 70. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.
1) $$\angle K=90$$ (по свойству радиус в точку касания) $$\Rightarrow$$ $$\angle OKM=90-70=20$$
2) $$OK=OM$$ – радиусы $$\Rightarrow$$ $$\Delta OMK$$ - равнобедренный и $$\angle OMK=\angle OKM=20$$
Задание 7272
На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠AOB=18°. Длина меньшей дуги AB равна 66. Найдите длину большей дуги.
Если угол АОВ составляет 18 градусов , то оставшаяся часть будет 360-18=342. Следовательно, пусть ее длина х , тогда:
$$x=\frac{341*66}{18}=1254$$
Задание 8392
Площадь треугольника ABC с внутренними углами $$\angle C=90^{\circ}$$ и $$\angle B=90^{\circ}$$ равна $$32\sqrt{3}$$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
Задание 8821
Отрезки АС и ВD — диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 53°. Найдите угол АОD. Ответ дайте в градусах.
Задание 8848
В окружности с центром O отрезки AC и BD — диаметры. Угол AOD равен 108°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Так как АС и BD — диаметры, то дуги AD=BC и AB=CD. Найдем градусную меру дуги AB, на которую опирается вписанный угол ACB. Так как угол AOD = 108°, то градусная мера дуги AD = 108° и тогда градусная мера:
$$AB=\frac{360^{\circ}-AD-BC}{2}=$$$$\frac{360^{\circ}-2\cdot 108^{\circ}}{2}=72^{\circ}$$
Так как угол ACB является вписанным, то он равен половине градусной меры дуги, на которую опирается, то есть:
$$\angle ACB=\frac{AB}{2}=\frac{72^{\circ}}{2}=36^{\circ}$$
Задание 10459
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $$6\sqrt{2}$$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.
Радиус вписанной окружности в квадрат равен половине стороны квадрата, описанной около квадрата - половине диагонали. Пусть а - сторона квадрата, тогда диагонали квадрата $$a\sqrt{2}$$, следовательно: $$\frac{a\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}$$. Тогда $$a=12$$, и радиус вписанной окружности $$\frac{12}{2}=6$$
Задание 10953
В треугольнике ABC угол A равен $$80{}^\circ $$, а угол B равен $$40{}^\circ $$. Длина стороны AB равна $$20\sqrt{3}$$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
Задание 10976
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 38°, угол CAD равен 33°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Задание 11037
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС - равен 92°, угол CAD равен 60°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Задание 11059
На отрезке $$AB$$ выбрана точка $$C$$ так, что $$AC=60$$, $$BC=15$$. Построена окружность с центром $$A$$, проходящая через $$C$$. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки $$B$$ к этой окружности.
Задание 11164
Площадь круга равна 69. Найдите площадь сектора этого круга, центральный угол которого равен 120°.
Задание 11785
Точка O – центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что $$\angle ABC=15^{\circ}$$ и $$\angle OAB=8^{\circ}$$. Найдите градусную меру угла BCO. Если найденных значений несколько, запишите их в порядке возрастания без пробелов, запятых и других символов между ними.
