Перейти к основному содержанию

ОГЭ

ОГЭ / Окружность, круг и их элементы

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11164

Площадь круга равна 69. Найдите площадь сектора этого круга, центральный угол которого равен 120°.
Ответ: 23
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть Площадь сектора находится по формуле: $$S_{cek}=\frac{S_{kr}\cdot \alpha}{360}$$, где $$S_{kr}$$ - площадь круга, $$\alpha$$ - центральный угол сектора: $$S_{cek}=\frac{69\cdot 120}{360}=23$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10976

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 38°, угол CAD равен 33°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть $$\angle ABC=38^{\circ}\to \cup ADC=76^{\circ}; \angle CAD=33^{\circ}\to \cup DC=66^{\circ} \to$$ $$\to \cup AD=76^{\circ}-66^{\circ}=10^{\circ}\to \angle ABD=\frac{\cup AD}{2}=5^{\circ}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 10459

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $$6\sqrt{2}$$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Ответ: 6
Скрыть

Радиус вписанной окружности в квадрат равен половине стороны квадрата, описанной около квадрата - половине диагонали. Пусть а - сторона квадрата, тогда диагонали квадрата $$a\sqrt{2}$$, следовательно: $$\frac{a\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}$$. Тогда $$a=12$$, и радиус вписанной окружности $$\frac{12}{2}=6$$

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10418

Центр окружности, описанной коло треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 44o. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 46
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 8848

В окружности с центром O отрезки AC и BD — диаметры. Угол AOD равен 108°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 36
Скрыть

Так как АС и BD — диаметры, то дуги AD=BC и AB=CD. Найдем градусную меру дуги AB, на которую опирается вписанный угол ACB. Так как угол AOD = 108°, то градусная мера дуги AD = 108° и тогда градусная мера: 

$$AB=\frac{360^{\circ}-AD-BC}{2}=$$$$\frac{360^{\circ}-2\cdot 108^{\circ}}{2}=72^{\circ}$$

Так как угол ACB является вписанным, то он равен половине градусной меры дуги, на которую опирается, то есть:

$$\angle ACB=\frac{AB}{2}=\frac{72^{\circ}}{2}=36^{\circ}$$

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 8821

Отрезки АС и ВD — диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 53°. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 74
Скрыть Треугольник BOC - равнобедренный (OB и OC - радиусы окружности), тогда $$\angle OBC=53^{\circ}\Rightarrow$$$$\angle BOC=180-53\cdot 2=74$$ Но углы BOC и AOB - вертикальны, следовательно, равны
Аналоги к этому заданию:

Задание 6641

Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 10

Ответ: 5
Скрыть

1)$$OM\perp OA$$(свойство радиуса, проведенного в точку касания)

2) $$\Delta OAM=\Delta OAN$$(по гипотенузе и катету)$$\Rightarrow \angle OAM=30$$

3) $$OM=OA\sin\angle OAM=10*\frac{1}{2}=5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 6640

Периметр треугольника равен 56, одна из сторон равна 19, а радиус вписанной в него окружности равен 5. Найдите площадь этого треугольника.

Ответ: 140
Скрыть

Воспользуемся формулой площади треугольника через его полу периметр и радиус вписанной окружности: $$S=p*r$$; $$p=\frac{56}{2}=28$$. Тогда: $$S=28*5=140$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5713

В угол C ве­ли­чи­ной 90° впи­са­на окруж­ность, ко­то­рая ка­са­ет­ся сто­рон угла в точ­ках A и B, точка O - центр окружности. Най­ди­те угол AOB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5712

Треугольник ABC впи­сан в окруж­ность с цен­тром в точке O. Най­ди­те гра­дус­ную меру угла Cтре­уголь­ни­ка ABC, если угол AOB равен 48°.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5711

Точки ABC и D лежат на одной окруж­но­сти так, что хорды AB и СD вза­им­но перпендикулярны, а ∠BDC = 25°. Най­ди­те величину угла ACD.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5710

Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 76°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5709

Окружность с цен­тром на сто­ро­не AC тре­уголь­ни­ка ABC про­хо­дит через вер­ши­ну C и ка­са­ет­ся пря­мой AB в точке B. Най­ди­те AC, если диа­метр окруж­но­сти равен 7,5, а AB = 2.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5708

Из точки А про­ве­де­ны две ка­са­тель­ные к окруж­но­сти с цен­тром в точке О. Най­ди­те ра­ди­ус окружности, если угол между ка­са­тель­ны­ми равен 60°, а рас­сто­я­ние от точки А до точки Оравно 8.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5707

Окружность радиуса 39 впи­са­на в квадрат. Най­ди­те пло­щадь квадрата.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5706

Сторона AC тре­уголь­ни­ка ABC про­хо­дит через центр опи­сан­ной около него окружности. Най­ди­те ∠C , если ∠A = 44°. Ответ дайте в градусах.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5704

На от­рез­ке AB вы­бра­на точка C так, что AC = 75 и BC = 10. По­стро­е­на окружность с цен­тром A, про­хо­дя­щая через C. Най­ди­те длину от­рез­ка касательной, проведённой из точки B к этой окружности.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5703

Отрезок AB = 40 ка­са­ет­ся окруж­но­сти ра­ди­у­са 75 с цен­тром O в точке B. Окруж­ность пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок AO в точке D. Най­ди­те AD.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5702

Найдите пло­щадь кругового сектора, если длина огра­ни­чи­ва­ю­щей его дуги равна 6π, а угол сек­то­ра равен 120°. В от­ве­те укажите площадь, деленную на π.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5701

Найдите пло­щадь кругового сектора, если ра­ди­ус круга равен 3, а угол сек­то­ра равен 120°. В от­ве­те укажите площадь, деленную на π.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5700

Радиус круга равен 1. Най­ди­те его площадь, деленную на π.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 3596

Угол между сто­ро­ной пра­виль­но­го  -уголь­ни­ка, впи­сан­но­го в окруж­ность, и ра­ди­у­сом этой окруж­но­сти, про­ве­ден­ным в одну из вер­шин сто­ро­ны, равен 54°. Най­ди­те n.

Ответ: 5
Аналоги к этому заданию:

Задание 3595

Пе­ри­метр пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка равен 72. Най­ди­те диа­метр опи­сан­ной окруж­но­сти.

Ответ: 24
Аналоги к этому заданию:

Задание 3594

Два угла впи­сан­но­го в окруж­ность че­ты­рех­уголь­ни­ка равны 82° и 58°. Най­ди­те боль­ший из остав­ших­ся углов. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 122
Аналоги к этому заданию:

Задание 3593

Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 8 и 6. Ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти равен 5. Най­ди­те вы­со­ту тра­пе­ции.

Ответ: 7
Аналоги к этому заданию:

Задание 3592

Бо­ко­вая сто­ро­на рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равна ее мень­ше­му ос­но­ва­нию, угол при ос­но­ва­нии равен 60°, боль­шее ос­но­ва­ние равно 12. Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти этой тра­пе­ции.

Ответ: 6
Аналоги к этому заданию:

Задание 3591

Около тра­пе­ции опи­са­на окруж­ность. Пе­ри­метр тра­пе­ции равен 22, сред­няя линия равна 5. Най­ди­те бо­ко­вую сто­ро­ну тра­пе­ции.

Ответ: 6
Аналоги к этому заданию:

Задание 3590

Бо­ко­вые сто­ро­ны рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равны 40, ос­но­ва­ние равно 48. Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти этого тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 25
Аналоги к этому заданию:

Задание 3589

Сто­ро­на AB тре­уголь­ни­ка ABC равна 1. Про­ти­во­ле­жа­щий ей угол C равен 150°. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около этого тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 1
Аналоги к этому заданию:

Задание 3588

Угол C тре­уголь­ни­ка ABC, впи­сан­но­го в окруж­ность ра­ди­у­са 3, равен 30°. Най­ди­те сто­ро­ну AB этого тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 3
Аналоги к этому заданию:

Задание 3587

Одна сто­ро­на тре­уголь­ни­ка равна ра­ди­у­су опи­сан­ной окруж­но­сти. Най­ди­те угол тре­уголь­ни­ка, про­ти­во­ле­жа­щий этой сто­ро­не. Ответ дайте в гра­ду­сах

Ответ: 30
Аналоги к этому заданию:

Задание 3586

Сто­ро­на AB тре­уголь­ни­ка ABC равна 1. Про­ти­во­ле­жа­щий ей угол C равен 30°. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около этого тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 1
Аналоги к этому заданию:

Задание 3585

Чему равна сто­ро­на пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка, впи­сан­но­го в окруж­ность, ра­ди­ус ко­то­рой равен 6?

Ответ: 6
Аналоги к этому заданию:

Задание 3583

В тре­уголь­ни­ке ABC AC = 4, BC = 3, угол C равен 90°. Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти этого тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 2,5
Аналоги к этому заданию:

Задание 3581

Ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 12. Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти этого тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 6
Аналоги к этому заданию:

Задание 3580

Ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка, равен 3. Най­ди­те вы­со­ту этого тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 4,5
Аналоги к этому заданию:

Задание 3579

Вы­со­та пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка равна 3. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около этого тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 10
Аналоги к этому заданию:

Задание 3578

Ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка, равен $$\sqrt{3}$$. Най­ди­те сто­ро­ну этого тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 3
Аналоги к этому заданию:

Задание 3577

Сто­ро­на пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка равна $$\sqrt{3}$$. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около этого тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 1
Аналоги к этому заданию:

Задание 3576

Че­ты­рех­уголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность. Угол ABC равен 110°, угол ABD равен 70°. Най­ди­те угол CAD. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 40
Аналоги к этому заданию:

Задание 3575

Че­ты­рех­уголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность. Угол ABD равен 75°, угол CAD равен 35°. Най­ди­те угол ABC. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 110
Аналоги к этому заданию:

Задание 3573

Точки ABCD, рас­по­ло­жен­ные на окруж­но­сти, делят эту окруж­ность на че­ты­ре дуги ABBCCD и AD, гра­дус­ные ве­ли­чи­ны ко­то­рых от­но­сят­ся со­от­вет­ствен­но как 4 : 2 : 3 : 6. Най­ди­те угол A че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 60
Аналоги к этому заданию:

Задание 3572

Сто­ро­ны че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD AB, BC, CD и AD стя­ги­ва­ют дуги опи­сан­ной окруж­но­сти, гра­дус­ные ве­ли­чи­ны ко­то­рых равны со­от­вет­ствен­но $$95^{\circ}$$, $$49^{\circ}$$, $$71^{\circ}$$, $$145^{\circ}$$. Най­ди­те угол B этого че­ты­рех­уголь­ни­ка. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 108
Аналоги к этому заданию:

Задание 3571

Угол A че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD, впи­сан­но­го в окруж­ность, равен 58°. Най­ди­те угол C этого че­ты­рех­уголь­ни­ка. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 122
Аналоги к этому заданию:

Задание 3570

Точки ABC, рас­по­ло­жен­ные на окруж­но­сти, делят ее на три дуги, гра­дус­ные ве­ли­чи­ны ко­то­рых от­но­сят­ся как 1 : 3 : 5. Най­ди­те боль­ший угол тре­уголь­ни­ка ABC. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 100
Аналоги к этому заданию:

Задание 3543

К окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC, про­ве­де­ны три ка­са­тель­ные. Пе­ри­мет­ры от­се­чен­ных тре­уголь­ни­ков равны 6, 8, 10. Най­ди­те пе­ри­метр дан­но­го тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 24
Аналоги к этому заданию:

Задание 3542

В че­ты­рех­уголь­ник ABCD впи­са­на окруж­ность, AB = 10, BC = 11 и CD = 15. Най­ди­те чет­вер­тую сто­ро­ну че­ты­рех­уголь­ни­ка.

Ответ: 14
Аналоги к этому заданию:

Задание 3541

Пе­ри­метр че­ты­рех­уголь­ни­ка, опи­сан­но­го около окруж­но­сти, равен 24, две его сто­ро­ны равны 5 и 6. Най­ди­те боль­шую из остав­ших­ся сто­рон.

Ответ: 7
Аналоги к этому заданию:

Задание 3540

В че­ты­рех­уголь­ник ABCD впи­са­на окруж­ность, AB = 10, CD = 16. Най­ди­те пе­ри­метр че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD.

Ответ: 52
Аналоги к этому заданию:

Задание 3539

Пе­ри­метр пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции, опи­сан­ной около окруж­но­сти, равен 22, ее боль­шая бо­ко­вая сто­ро­на равна 7. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти.

Ответ: 2
Аналоги к этому заданию:

Задание 3538

Около окруж­но­сти опи­са­на тра­пе­ция, пе­ри­метр ко­то­рой равен 40. Най­ди­те длину её сред­ней линии.

Ответ: 10
Аналоги к этому заданию:

Задание 3537

Бо­ко­вые сто­ро­ны тра­пе­ции, опи­сан­ной около окруж­но­сти, равны 3 и 5. Най­ди­те сред­нюю линию тра­пе­ции.

Ответ: 4
Аналоги к этому заданию:

Задание 3535

Окруж­ность, впи­сан­ная в рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник, делит в точке ка­са­ния одну из бо­ко­вых сто­рон на два от­рез­ка, длины ко­то­рых равны 5 и 3, счи­тая от вер­ши­ны, про­ти­во­ле­жа­щей ос­но­ва­нию. Най­ди­те пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 22
Аналоги к этому заданию:

Задание 3534

Бо­ко­вые сто­ро­ны рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равны 5, ос­но­ва­ние равно 6. Най­ди­те ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти.

Ответ: 1,5
Аналоги к этому заданию:

Задание 3533

В тре­уголь­ни­ке ABC сто­ро­ны AC = 4, BC = 3, угол C равен 90°. Най­ди­те ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти.

Ответ: 1
Аналоги к этому заданию:

Задание 3532

Ка­те­ты рав­но­бед­рен­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны $$2+\sqrt{2}$$. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в этот тре­уголь­ник.

Ответ: 1
Аналоги к этому заданию:

Задание 3531

Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник со сто­ро­ной $$\sqrt{3}$$.

Ответ: 1,5
Аналоги к этому заданию:

Задание 3530

Най­ди­те сто­ро­ну пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка, опи­сан­но­го около окруж­но­сти, ра­ди­ус ко­то­рой равен $$\sqrt{3}$$.

Ответ: 2
Аналоги к этому заданию:

Задание 3529

Ост­рый угол ромба равен 30°. Ра­ди­ус впи­сан­ной в этот ромб окруж­но­сти равен 2. Най­ди­те сто­ро­ну ромба.

Ответ: 8
Аналоги к этому заданию:

Задание 3528

Сто­ро­на ромба равна 1, ост­рый угол равен $$30^{\circ}$$. Най­ди­те ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти этого ромба.

Ответ: 0,25
Аналоги к этому заданию:

Задание 3527

Ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в пра­виль­ный тре­уголь­ник, равен $$\frac{\sqrt{3}}{6}$$. Най­ди­те сто­ро­ну этого тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 1
Аналоги к этому заданию:

Задание 3526

Сто­ро­на пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка равна $$\sqrt{3}$$. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в этот тре­уголь­ник.

Ответ: 0,5
Аналоги к этому заданию:

Задание 3525

Ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в пра­виль­ный тре­уголь­ник, равен 6. Най­ди­те вы­со­ту этого тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 18
Аналоги к этому заданию:

Задание 3524

Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в пра­виль­ный тре­уголь­ник, вы­со­та ко­то­ро­го равна 6.

Ответ: 2
Аналоги к этому заданию:

Задание 3523

Около окруж­но­сти, ра­ди­ус ко­то­рой равен 3, опи­сан мно­го­уголь­ник, пе­ри­метр ко­то­ро­го равен 20. Най­ди­те его пло­щадь.

Ответ: 30
Аналоги к этому заданию:

Задание 3522

Пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка равен 12, а ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен 1. Най­ди­те пло­щадь этого тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 6
Аналоги к этому заданию:

Задание 3521

Угол ACO равен 24°. Его сто­ро­на CA ка­са­ет­ся окруж­но­сти. Най­ди­те гра­дус­ную ве­ли­чи­ну боль­шей дуги AD окруж­но­сти, за­клю­чен­ной внут­ри этого угла. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 114
Аналоги к этому заданию:

Задание 3520

Най­ди­те угол ACO, если его сто­ро­на CA ка­са­ет­ся окруж­но­сти, O — центр окруж­но­сти, а боль­шая дуга AD окруж­но­сти, за­клю­чен­ная внут­ри этого угла, равна 116°. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 26
Аналоги к этому заданию:

Задание 3519

Угол ACO равен 28°, где O — центр окруж­но­сти. Его сто­ро­на CA ка­са­ет­ся окруж­но­сти. Най­ди­те ве­ли­чи­ну мень­шей дуги AB окруж­но­сти, за­клю­чен­ной внут­ри этого угла. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 62
Аналоги к этому заданию:

Задание 3518

Най­ди­те угол ACO, если его сто­ро­на CA ка­са­ет­ся окруж­но­сти, дуга АВ — равна 64°. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 26
Аналоги к этому заданию:

Задание 3517

Ка­са­тель­ные CA и CB к окруж­но­сти об­ра­зу­ют угол ACB, рав­ный 122°. Най­ди­те ве­ли­чи­ну мень­шей дуги AB, стя­ги­ва­е­мой точ­ка­ми ка­са­ния. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 58
Аналоги к этому заданию:

Задание 3516

Через концы AB дуги окруж­но­сти в 62° про­ве­де­ны ка­са­тель­ные AC и BC. Най­ди­те угол ACB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 118
Аналоги к этому заданию:

Задание 3515

Угол между хор­дой AB и ка­са­тель­ной BC к окруж­но­сти равен 32°. Най­ди­те ве­ли­чи­ну мень­шей дуги, стя­ги­ва­е­мой хор­дой AB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 64
Аналоги к этому заданию:

Задание 3514

Хорда AB стя­ги­ва­ет дугу окруж­но­сти в 92°. Най­ди­те угол ABC между этой хор­дой и ка­са­тель­ной к окруж­но­сти, про­ве­ден­ной через точку B. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 46
Аналоги к этому заданию:

Задание 3513

Хорда AB делит окруж­ность на две части, гра­дус­ные ве­ли­чи­ны ко­то­рых от­но­сят­ся как 5:7. Под каким углом видна эта хорда из точки C, при­над­ле­жа­щей мень­шей дуге окруж­но­сти? Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 105
Аналоги к этому заданию:

Задание 3511

Най­ди­те хорду, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся угол 30°, впи­сан­ный в окруж­ность ра­ди­у­са 3.

Ответ: 3
Аналоги к этому заданию:

Задание 3510

Угол ACB равен 42°. Гра­дус­ная ве­ли­чи­на дуги AB окруж­но­сти, не со­дер­жа­щей точек D и E, равна 124°. Най­ди­те угол DAE. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 20
Аналоги к этому заданию:

Задание 3509

Най­ди­те угол ACB, если впи­сан­ные углы ADB  и DAE опи­ра­ют­ся на дуги окруж­но­сти, гра­дус­ные ве­ли­чи­ны ко­то­рых равны со­от­вет­ствен­но $$118^{\circ}$$ и $$38^{\circ}$$. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 40
Аналоги к этому заданию:

Задание 3508

В окруж­но­сти с цен­тром O от­рез­ки AC и BD — диа­мет­ры. Цен­траль­ный угол AOD равен 110°. Най­ди­те впи­сан­ный угол ACB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 35
Аналоги к этому заданию:

Задание 3507

В окруж­но­сти с цен­тром O от­рез­ки AC и BD — диа­мет­ры. Впи­сан­ный угол ACB равен 38°. Най­ди­те цен­траль­ный угол AOD. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 104
Аналоги к этому заданию:

Задание 3506

Дуга окруж­но­сти AC, не со­дер­жа­щая точки B, со­став­ля­ет 200°. А дуга окруж­но­сти BC, не со­дер­жа­щая точки A, со­став­ля­ет 80°. Най­ди­те впи­сан­ный угол ACB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 40
Аналоги к этому заданию:

Задание 3505

Най­ди­те впи­сан­ный угол, опи­ра­ю­щий­ся на дугу, ко­то­рая со­став­ля­ет $$\frac{1}{5}$$ окруж­но­сти. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 36
Аналоги к этому заданию:

Задание 3504

Чему равен тупой впи­сан­ный угол, опи­ра­ю­щий­ся на хорду, рав­ную ра­ди­у­су окруж­но­сти? Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 150
Аналоги к этому заданию:

Задание 3503

Чему равен ост­рый впи­сан­ный угол, опи­ра­ю­щий­ся на хорду, рав­ную ра­ди­у­су окруж­но­сти? Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 30
Аналоги к этому заданию:

Задание 1934

В угол ве­ли­чи­ной 70° впи­са­на окруж­ность, ко­то­рая ка­са­ет­ся его сто­рон в точ­ках A и B. На одной из дуг этой окруж­но­сти вы­бра­ли точку C так, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла ACB.

Ответ: 55
Скрыть

1) OA и OB перпенидулярны сторонам угла (по свойству касательной и радиуса в точку касания)

2) Из четырехугольника AEOB: $$\angle AOB=360-2*90-70=110^{\circ}$$ (по свойству суммы углов выпуклого четырехугольника)

3) $$\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB=55^{\circ}$$ (по свойству вписанного и центрального угла)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1933

Точки A и B делят окруж­ность на две дуги, длины ко­то­рых от­но­сят­ся как 9:11. Най­ди­те ве­ли­чи­ну цен­траль­но­го угла, опи­ра­ю­ще­го­ся на мень­шую из дуг. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 162
Скрыть

1) Пусть меньшая дуга 9х, тогда большая дуга 11х

2) $$9x+11x=360\Leftrightarrow$$$$x=18$$ (по свойству градусной меры окружности), тогда меньшая дуга составляет $$9x=9*18=162$$

3) $$\angle AOB=\smile AOB=162^{\circ}$$ (по свойству центрального угла)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1932

Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 5 см и 12 см впи­сан в окруж­ность. Чему равен ра­ди­ус этой окруж­но­сти?

Ответ: 6,5
Скрыть

1) Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы. Пусть R - радиус описанной окружности

2) По теореме Пифагора из треугольника ABC: $$AC=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13$$, тогда $$R=\frac{1}{2}AC=6,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 1931

В окруж­но­сти с цен­тром O AC и BD — диа­мет­ры. Угол ACB равен 26°. Най­ди­те угол AOD. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 128
Скрыть

1) $$\angle AOD=\angle COB$$ (по свойству вертикальных углов)

2) $$\angle COB=\angle OBC$$ (треугольник COB - равнобедренный, так как CO и OB - радиусы)

3) Из треугольника COB: $$\angle COB=180-2*26=128^{\circ}$$, тогда и $$\angle AOD=128^{\circ}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 1930

Най­ди­те ∠KOM, если из­вест­но, что гра­дус­ная мера дуги MN равна 124°, а гра­дус­ная мера дуги KN равна 180°.

Ответ: 56
Скрыть

1) Меньшая дуга $$KM=KN-MN=180-124=56^{\circ}$$

2) $$\angle KOM=\smile MM-56^{\circ}$$ (по свойству центрального угла)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1929

Най­ди­те гра­дус­ную меру ACB, если из­вест­но, что BC яв­ля­ет­ся диа­мет­ром окруж­но­сти, а гра­дус­ная мера AOC равна 96°.

Ответ: 42
Скрыть

1) Треугольник OAC - ранвобедренный (OA=AC - радиусы), тогда $$\angle OAC=\angle OCA$$

2) $$\angle ACB=\angle ACO=\frac{180-96}{2}=42^{\circ}$$ 

Аналоги к этому заданию:

Задание 1928

Най­ди­те ∠DEF, если гра­дус­ные меры дуг DE и EF равны 150° и 68° со­от­вет­ствен­но.

Ответ: 71
Скрыть

1) $$\smile DF=360-150-68=142^{\circ}$$

2) $$\angle DEF=\frac{142}{2}=71^{\circ}$$ (по свойству вписанного угла)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1927

Най­ди­те гра­дус­ную меру ∠MON, если из­вест­но, NP — диа­метр, а гра­дус­ная мера ∠MNP равна 18°.

Ответ: 144
Скрыть

1) Треугольник MON - равнобедренный (MO=ON - радиусы), тогда $$\angle ONM=\angle OMN$$

2) $$\angle MON=180-2*18=144^{\circ}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 1926

В окруж­но­сти с цен­тром в точке О про­ве­де­ны диа­мет­ры AD и BC, угол OCD равен 30°. Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла OAB.

Ответ: 30
Скрыть

1) Треугольники COD и AOD равны, так как CO=OD=OA=OB (радиусы) и $$\angle COD=\angle AOD$$ (вертикальные углы)

2) Тогда $$\angle OAB=\angle CDO=\angle OCD=30^{\circ}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 1925

Цен­траль­ный угол AOB опи­ра­ет­ся на хорду AB дли­ной 6. При этом угол OAB равен 60°. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти.

Ответ: 6
Скрыть

1) Треугольник AOB - равнобедренный (AO=OB - радиусы), тогда $$\angle OAB=\angle OBA=\frac{180-60}{2}=60^{\circ}$$, следовательно, OAB - равносторонний

2) Из п.1 получаем ,что AO=OB=AB=6

Аналоги к этому заданию:

Задание 1923

Че­ты­рех­уголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность. Угол ABC равен 70°, угол CAD равен 49°. Най­ди­те угол ABD. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 21
Скрыть

   1) $$\angle ABC=\frac{1}{2}\smile AC$$ (по свойству вписанного угла), тогда $$\smile AC=140^{\circ}$$

   2) $$\angle CAD=\frac{1}{2}\smile DC$$ (по свойству вписанного угла), тогда $$\smile DC=98^{\circ}$$

   3) $$\smile AD=140-98=42^{\circ}$$, тогда $$\angle ABD=\frac{1}{2}\smile AD=21^{\circ}$$ (по свойству вписанного угла)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1922

Окруж­ность с цен­тром в точке O опи­са­на около рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, в ко­то­ром AB = BC и ∠ABC = 177°. Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла BOC. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 3
Скрыть

   1) Треугольник ABC - равнобедренный, $$\angle BAC=\angle BCA=\frac{180-177}{2}=1,5$$.

   2) $$\angle BAC=\frac{1}{2}BC$$ (по свойству вписанного угла), тогда $$\smile BC=2*1,5=3^{\circ}$$

   3) $$\angle BOC=\smile BC=3^{\circ}$$ (по свойству центрального угла)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1921

Бо­ко­вая сто­ро­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равна 4. Угол при вер­ши­не, про­ти­во­ле­жа­щий ос­но­ва­нию, равен 120°. Най­ди­те диа­метр окруж­но­сти, опи­сан­ной около этого тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 8
Скрыть

  1) $$\angle ABC=\frac{1}{2}\smile AC$$ (по свойству вписанного угла), тогда $$\smile AC=2*120=240^{\circ}$$ (большая дуга)

  2) Вся окружность равна $$360^{\circ}$$, тогда меньшая дуга AC составляет $$120^{\circ}$$

  3) $$\angle AOC=\smile AC=120^{\circ}$$ (меньшей дуге, по свойству центрального угла), тогда треугольники ABC и AOC равны (оба равнобедренных, общая сторона), следовательно OC=4, и диаметр составляет 4*2=8

Аналоги к этому заданию:

Задание 1919

В окруж­ность впи­сан рав­но­сто­рон­ний вось­ми­уголь­ник. Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла ABH.

Ответ: 22,5
Скрыть

  1) Для нахождения угла правильного n-угольника, можно воспользоваться формулой: $$\alpha=\frac{n-2}{n}*180$$

  2) $$\angle ABC = \frac{8-2}{8}*180=135^{\circ}$$

  3) Из треугольника HOA: $$\angle HOA=180-2\angle OHA=180-\angle H=45^{\circ}$$ (треугольник равнобедренный, OH - биссектрисса угла H)

  4) Меньшая дуга $$HA=\angle HOA=45^{\circ}$$ (по свойству центрального угла)

  5) $$\angle ABH=\frac{1}{2}\smile HA=22,5^{\circ}$$ (по свойству вписанного угла)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1918

На окруж­но­сти с цен­тром O от­ме­че­ны точки A и B так, что ∠AOB = 66°. Длина мень­шей дуги AB равна 99. Най­ди­те длину боль­шей дуги.

Ответ: 441
Скрыть

Если острый угол AOB составляет 66 градуов, то развернутый составляет $$360-66=294^{\circ}$$

Пусть длина большей дуги равна х, тогда:

$$66^{\circ}- 99$$

$$294^{\circ}- x$$

$$x=\frac{294*99}{66}=441$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 1917

От­рез­ки AB и CD яв­ля­ют­ся хор­да­ми окруж­но­сти. Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до хорды CD, если AB = 18, CD = 24, а рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до хорды AB равно 12.

Ответ: 9
Скрыть

OE перпендикулряно AB, следовательно, треугольники AOE и OEB равны (так как OA=OB-радиусы) по катету и гипотенузе. Тогда AE=EB=0,5AB=9.
По теореме Пифагора из треугольника OEB: $$OB=\sqrt{12^{2}+9^{2}}=15$$, следовательно, OD=15
Из треугольника OFD по теореме Пифагора: $$OF=\sqrt{OD^{2}-FD^{2}}$$, FD=0,5CD=12. Тогда: $$OF=\sqrt{15^{2}-12^{2}}=9$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 1915

Пря­мая ка­са­ет­ся окруж­но­сти в точке K. Точка O — центр окруж­но­сти. Хорда KM об­ра­зу­ет с ка­са­тель­ной угол, рав­ный 83°. Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла OMK. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 7
Скрыть

Треугольник OMK - равнобедренный (OM=OK - радиусы), тогда $$\angle OMK=\angle OKM$$

По свойству касательной и радиуса OK и касательная - перпендикулярны, тогда $$\angle OKM=90-83=7^{\circ}$$, тогда и угол OMK те же 7 градусов

Аналоги к этому заданию:

Задание 1914

Вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка делят опи­сан­ную около него окруж­ность на три дуги, длины ко­то­рых от­но­сят­ся как 3:4:11. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, если мень­шая из сто­рон равна 14.

Ответ: 14
Скрыть

Пусть меньший угол K, тогда по свойству треугольника меньшая сторона AM. Углы треугольника для окружности являются вписанными, следовательно, равны половинам дуг, на которые опираются, а значит и относятся так же , как и дуги.
Пусть угол К равен 3х, тогда M=4x и A=11x. По свойству углов треугольника: $$3x+4x+11x=180\Leftrightarrow$$$$x=10$$, тогда угол К составляет 30 градусов, а меньшая дуга MA составляет 60 градусов. 
Угол MOA является центральным, следовательно $$\angle MOA=\smile MA=60^{\circ}$$, тогда треугольник MOA не только равнобедренный (OM=OA - радиусы), но и равносторонний, следовательно, MA=14
Аналоги к этому заданию:

Задание 1913

Длина хорды окруж­но­сти равна 72, а рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до этой хорды равно 27. Най­ди­те диа­метр окруж­но­сти.

Ответ: 90
Скрыть

   1)OA=OC (радиусы), AB - перпендикуляр (так как расстояние), тогда треугольники AOB и OBC прямоугольные и равные по катету и гипотенузе

   2)AB=BC=0,5AC=36, тогда по теореме Пифагора из треугольника AOB: $$AO=\sqrt{36^{2}+27^{2}}=45$$, следовательно, диаметр составит $$2*45=90$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 1912

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, AC = 30 , $$BC=5\sqrt{13}$$. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около этого тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 17,5
Скрыть

    1) По теореме Пифагора $$AB=\sqrt{30^{2}+(5\sqrt{13})^{2}}=35$$

    2) По свойству прямоугольного треугольника, радиус описанной окружности равен половине гипотенузы, то есть $$R=\frac{35}{2}=17,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 1911

К окруж­но­сти с цен­тром в точке О про­ве­де­ны ка­са­тель­ная AB и се­ку­щая AO. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, если AB = 12 см, AO = 13 см.

Ответ: 5
Скрыть

   1) По свойству радиуса и касательной $$OB\perp AB$$, тогда треугольник OAB - прямоугольный

   2) По теореме Пифагора $$OB=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 1910

Най­ди­те ве­ли­чи­ну (в гра­ду­сах) впи­сан­но­го угла α, опи­ра­ю­ще­го­ся на хорду  AB, рав­ную ра­ди­у­су окруж­но­сти.

Ответ: 30
Скрыть

   1) Треугольник OAB - равносторонний, тогда $$\angle AOB = 60^{\circ}=\smile AB$$

   2) $$\angle ADB=\angle \alpha=\frac{1}{2}\smile AB=30^{\circ}$$ (по свойству вписанного угла)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1909

Ра­ди­ус OB окруж­но­сти с цен­тром в точке O пе­ре­се­ка­ет хорду AC в точке D и пер­пен­ди­ку­ля­рен ей. Най­ди­те длину хорды AC, если BD = 1 см, а ра­ди­ус окруж­но­сти равен 5 см.

Ответ: 6
Скрыть

   1) $$OD=AB-BD=4$$

   2) Треугольник OAD - прямоугольный, тогда по теореме Пифагора: $$AD=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$$

   3) OA=AC, OD - общая, тогда прямоугольные треугольники AOD и ODC равны, следовательно, AD=DC=3, и AC=6

Аналоги к этому заданию:

Задание 956

На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=38°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 57
Скрыть

Дуга AN на которую опирается угол NBA в два раза больше самого угла (он вписанный, его величина равна половине дуги, на которую он опирается). Значит величина этой дуги = 38 * 2 = 76 градусов. В то же время дуга NB, на которую опирается угол NMB равна 180 - AN = 104 градуса, а значит угол NMB равен 104/2 = 57 (как вписанный)