ОГЭ / Окружность, круг и их элементы

Пусть угол B равен 120 градусам, тогда $$\smile AC = 240^{\circ}$$ (по свойству вписанного угла), тогда меньшая дуга CA равна $$360-240=120^{\circ}$$, и центральный угол, опирающийся на эту дугу так же составляет 120 градусов ($$\angle AOC$$). Так как треугольники ABC и ACO равнобедренные, имею общую сторону и равные углы против этой стороны, то они между собой равны, следовательно, AO=5=r, где r - радиус окружности, следовательно, диаметр окружности равен 10

   1) $$OD=AB-BD=4$$

   2) Треугольник OAD - прямоугольный, тогда по теореме Пифагора: $$AD=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$$

   3) OA=AC, OD - общая, тогда прямоугольные треугольники AOD и ODC равны, следовательно, AD=DC=3, и AC=6

   1) Треугольник OAB - равносторонний, тогда $$\angle AOB = 60^{\circ}=\smile AB$$

   2) $$\angle ADB=\angle \alpha=\frac{1}{2}\smile AB=30^{\circ}$$ (по свойству вписанного угла)

   1) По свойству радиуса и касательной $$OB\perp AB$$, тогда треугольник OAB - прямоугольный

   2) По теореме Пифагора $$OB=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5$$

    1) По теореме Пифагора $$AB=\sqrt{30^{2}+(5\sqrt{13})^{2}}=35$$

    2) По свойству прямоугольного треугольника, радиус описанной окружности равен половине гипотенузы, то есть $$R=\frac{35}{2}=17,5$$

   1)OA=OC (радиусы), AB - перпендикуляр (так как расстояние), тогда треугольники AOB и OBC прямоугольные и равные по катету и гипотенузе

   2)AB=BC=0,5AC=36, тогда по теореме Пифагора из треугольника AOB: $$AO=\sqrt{36^{2}+27^{2}}=45$$, следовательно, диаметр составит $$2*45=90$$

Треугольник OMK - равнобедренный (OM=OK - радиусы), тогда $$\angle OMK=\angle OKM$$

По свойству касательной и радиуса OK и касательная - перпендикулярны, тогда $$\angle OKM=90-83=7^{\circ}$$, тогда и угол OMK те же 7 градусов

Если острый угол AOB составляет 66 градуов, то развернутый составляет $$360-66=294^{\circ}$$

Пусть длина большей дуги равна х, тогда:

$$66^{\circ}- 99$$

$$294^{\circ}- x$$

$$x=\frac{294*99}{66}=441$$

  1) Для нахождения угла правильного n-угольника, можно воспользоваться формулой: $$\alpha=\frac{n-2}{n}*180$$

  2) $$\angle ABC = \frac{8-2}{8}*180=135^{\circ}$$

  3) Из треугольника HOA: $$\angle HOA=180-2\angle OHA=180-\angle H=45^{\circ}$$ (треугольник равнобедренный, OH - биссектрисса угла H)

  4) Меньшая дуга $$HA=\angle HOA=45^{\circ}$$ (по свойству центрального угла)

  5) $$\angle ABH=\frac{1}{2}\smile HA=22,5^{\circ}$$ (по свойству вписанного угла)

  1) $$\angle ABC=\frac{1}{2}\smile AC$$ (по свойству вписанного угла), тогда $$\smile AC=2*120=240^{\circ}$$ (большая дуга)

  2) Вся окружность равна $$360^{\circ}$$, тогда меньшая дуга AC составляет $$120^{\circ}$$

  3) $$\angle AOC=\smile AC=120^{\circ}$$ (меньшей дуге, по свойству центрального угла), тогда треугольники ABC и AOC равны (оба равнобедренных, общая сторона), следовательно OC=4, и диаметр составляет 4*2=8

   1) Треугольник ABC - равнобедренный, $$\angle BAC=\angle BCA=\frac{180-177}{2}=1,5$$.

   2) $$\angle BAC=\frac{1}{2}BC$$ (по свойству вписанного угла), тогда $$\smile BC=2*1,5=3^{\circ}$$

   3) $$\angle BOC=\smile BC=3^{\circ}$$ (по свойству центрального угла)

   1) $$\angle ABC=\frac{1}{2}\smile AC$$ (по свойству вписанного угла), тогда $$\smile AC=140^{\circ}$$

   2) $$\angle CAD=\frac{1}{2}\smile DC$$ (по свойству вписанного угла), тогда $$\smile DC=98^{\circ}$$

   3) $$\smile AD=140-98=42^{\circ}$$, тогда $$\angle ABD=\frac{1}{2}\smile AD=21^{\circ}$$ (по свойству вписанного угла)

1) Треугольник AOB - равнобедренный (AO=OB - радиусы), тогда $$\angle OAB=\angle OBA=\frac{180-60}{2}=60^{\circ}$$, следовательно, OAB - равносторонний

2) Из п.1 получаем ,что AO=OB=AB=6