ОГЭ
Задание 11164
Задание 10976
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 38°, угол CAD равен 33°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Задание 10459
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $$6\sqrt{2}$$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.
Радиус вписанной окружности в квадрат равен половине стороны квадрата, описанной около квадрата - половине диагонали. Пусть а - сторона квадрата, тогда диагонали квадрата $$a\sqrt{2}$$, следовательно: $$\frac{a\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}$$. Тогда $$a=12$$, и радиус вписанной окружности $$\frac{12}{2}=6$$
Задание 8848
В окружности с центром O отрезки AC и BD — диаметры. Угол AOD равен 108°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Так как АС и BD — диаметры, то дуги AD=BC и AB=CD. Найдем градусную меру дуги AB, на которую опирается вписанный угол ACB. Так как угол AOD = 108°, то градусная мера дуги AD = 108° и тогда градусная мера:
$$AB=\frac{360^{\circ}-AD-BC}{2}=$$$$\frac{360^{\circ}-2\cdot 108^{\circ}}{2}=72^{\circ}$$
Так как угол ACB является вписанным, то он равен половине градусной меры дуги, на которую опирается, то есть:
$$\angle ACB=\frac{AB}{2}=\frac{72^{\circ}}{2}=36^{\circ}$$
Задание 8821
Отрезки АС и ВD — диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 53°. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.
Задание 6641
Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 10
1)$$OM\perp OA$$(свойство радиуса, проведенного в точку касания)
2) $$\Delta OAM=\Delta OAN$$(по гипотенузе и катету)$$\Rightarrow \angle OAM=30$$
3) $$OM=OA\sin\angle OAM=10*\frac{1}{2}=5$$
Задание 6640
Периметр треугольника равен 56, одна из сторон равна 19, а радиус вписанной в него окружности равен 5. Найдите площадь этого треугольника.
Воспользуемся формулой площади треугольника через его полу периметр и радиус вписанной окружности: $$S=p*r$$; $$p=\frac{56}{2}=28$$. Тогда: $$S=28*5=140$$
-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 54°. Найдите n.
Задание 3573
Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 4 : 2 : 3 : 6. Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.
Задание 3572
Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно $$95^{\circ}$$, $$49^{\circ}$$, $$71^{\circ}$$, $$145^{\circ}$$
. Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Задание 1934
В угол величиной 70° вписана окружность, которая касается его сторон в точках A и B. На одной из дуг этой окружности выбрали точку C так, как показано на рисунке. Найдите величину угла ACB.
1) OA и OB перпенидулярны сторонам угла (по свойству касательной и радиуса в точку касания)
2) Из четырехугольника AEOB: $$\angle AOB=360-2*90-70=110^{\circ}$$ (по свойству суммы углов выпуклого четырехугольника)
3) $$\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB=55^{\circ}$$ (по свойству вписанного и центрального угла)
Задание 1933
Точки A и B делят окружность на две дуги, длины которых относятся как 9:11. Найдите величину центрального угла, опирающегося на меньшую из дуг. Ответ дайте в градусах.
1) Пусть меньшая дуга 9х, тогда большая дуга 11х
2) $$9x+11x=360\Leftrightarrow$$$$x=18$$ (по свойству градусной меры окружности), тогда меньшая дуга составляет $$9x=9*18=162$$
3) $$\angle AOB=\smile AOB=162^{\circ}$$ (по свойству центрального угла)
Задание 1932
Прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см вписан в окружность. Чему равен радиус этой окружности?
1) Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы. Пусть R - радиус описанной окружности
2) По теореме Пифагора из треугольника ABC: $$AC=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13$$, тогда $$R=\frac{1}{2}AC=6,5$$
Задание 1931
В окружности с центром O AC и BD — диаметры. Угол ACB равен 26°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.
1) $$\angle AOD=\angle COB$$ (по свойству вертикальных углов)
2) $$\angle COB=\angle OBC$$ (треугольник COB - равнобедренный, так как CO и OB - радиусы)
3) Из треугольника COB: $$\angle COB=180-2*26=128^{\circ}$$, тогда и $$\angle AOD=128^{\circ}$$
Задание 1930
Найдите ∠KOM, если известно, что градусная мера дуги MN равна 124°, а градусная мера дуги KN равна 180°.
1) Меньшая дуга $$KM=KN-MN=180-124=56^{\circ}$$
2) $$\angle KOM=\smile MM-56^{\circ}$$ (по свойству центрального угла)
Задание 1929
Найдите градусную меру ∠ACB, если известно, что BC является диаметром окружности, а градусная мера ∠AOC равна 96°.
1) Треугольник OAC - ранвобедренный (OA=AC - радиусы), тогда $$\angle OAC=\angle OCA$$
2) $$\angle ACB=\angle ACO=\frac{180-96}{2}=42^{\circ}$$
Задание 1928
Найдите ∠DEF, если градусные меры дуг DE и EF равны 150° и 68° соответственно.
1) $$\smile DF=360-150-68=142^{\circ}$$
2) $$\angle DEF=\frac{142}{2}=71^{\circ}$$ (по свойству вписанного угла)
Задание 1927
Найдите градусную меру ∠MON, если известно, NP — диаметр, а градусная мера ∠MNP равна 18°.
1) Треугольник MON - равнобедренный (MO=ON - радиусы), тогда $$\angle ONM=\angle OMN$$
2) $$\angle MON=180-2*18=144^{\circ}$$
Задание 1926
В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 30°. Найдите величину угла OAB.
1) Треугольники COD и AOD равны, так как CO=OD=OA=OB (радиусы) и $$\angle COD=\angle AOD$$ (вертикальные углы)
2) Тогда $$\angle OAB=\angle CDO=\angle OCD=30^{\circ}$$
Задание 1925
Центральный угол AOB опирается на хорду AB длиной 6. При этом угол OAB равен 60°. Найдите радиус окружности.
1) Треугольник AOB - равнобедренный (AO=OB - радиусы), тогда $$\angle OAB=\angle OBA=\frac{180-60}{2}=60^{\circ}$$, следовательно, OAB - равносторонний
2) Из п.1 получаем ,что AO=OB=AB=6
Задание 1923
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 70°, угол CAD равен 49°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
1) $$\angle ABC=\frac{1}{2}\smile AC$$ (по свойству вписанного угла), тогда $$\smile AC=140^{\circ}$$
2) $$\angle CAD=\frac{1}{2}\smile DC$$ (по свойству вписанного угла), тогда $$\smile DC=98^{\circ}$$
3) $$\smile AD=140-98=42^{\circ}$$, тогда $$\angle ABD=\frac{1}{2}\smile AD=21^{\circ}$$ (по свойству вписанного угла)
Задание 1922
Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB = BC и ∠ABC = 177°. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах.
1) Треугольник ABC - равнобедренный, $$\angle BAC=\angle BCA=\frac{180-177}{2}=1,5$$.
2) $$\angle BAC=\frac{1}{2}BC$$ (по свойству вписанного угла), тогда $$\smile BC=2*1,5=3^{\circ}$$
3) $$\angle BOC=\smile BC=3^{\circ}$$ (по свойству центрального угла)
Задание 1921
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 4. Угол при вершине, противолежащий основанию, равен 120°. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.
1) $$\angle ABC=\frac{1}{2}\smile AC$$ (по свойству вписанного угла), тогда $$\smile AC=2*120=240^{\circ}$$ (большая дуга)
2) Вся окружность равна $$360^{\circ}$$, тогда меньшая дуга AC составляет $$120^{\circ}$$
3) $$\angle AOC=\smile AC=120^{\circ}$$ (меньшей дуге, по свойству центрального угла), тогда треугольники ABC и AOC равны (оба равнобедренных, общая сторона), следовательно OC=4, и диаметр составляет 4*2=8
Задание 1919
В окружность вписан равносторонний восьмиугольник. Найдите величину угла ABH.
1) Для нахождения угла правильного n-угольника, можно воспользоваться формулой: $$\alpha=\frac{n-2}{n}*180$$
2) $$\angle ABC = \frac{8-2}{8}*180=135^{\circ}$$
3) Из треугольника HOA: $$\angle HOA=180-2\angle OHA=180-\angle H=45^{\circ}$$ (треугольник равнобедренный, OH - биссектрисса угла H)
4) Меньшая дуга $$HA=\angle HOA=45^{\circ}$$ (по свойству центрального угла)
5) $$\angle ABH=\frac{1}{2}\smile HA=22,5^{\circ}$$ (по свойству вписанного угла)
Задание 1918
На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠AOB = 66°. Длина меньшей дуги AB равна 99. Найдите длину большей дуги.
Если острый угол AOB составляет 66 градуов, то развернутый составляет $$360-66=294^{\circ}$$
Пусть длина большей дуги равна х, тогда:
$$66^{\circ}- 99$$
$$294^{\circ}- x$$
$$x=\frac{294*99}{66}=441$$
Задание 1917
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 18, CD = 24, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 12.
Задание 1915
Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 83°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.
Треугольник OMK - равнобедренный (OM=OK - радиусы), тогда $$\angle OMK=\angle OKM$$
По свойству касательной и радиуса OK и касательная - перпендикулярны, тогда $$\angle OKM=90-83=7^{\circ}$$, тогда и угол OMK те же 7 градусов
Задание 1914
Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:11. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 14.
Задание 1913
Длина хорды окружности равна 72, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 27. Найдите диаметр окружности.
1)OA=OC (радиусы), AB - перпендикуляр (так как расстояние), тогда треугольники AOB и OBC прямоугольные и равные по катету и гипотенузе
2)AB=BC=0,5AC=36, тогда по теореме Пифагора из треугольника AOB: $$AO=\sqrt{36^{2}+27^{2}}=45$$, следовательно, диаметр составит $$2*45=90$$
Задание 1912
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 30 , $$BC=5\sqrt{13}$$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
1) По теореме Пифагора $$AB=\sqrt{30^{2}+(5\sqrt{13})^{2}}=35$$
2) По свойству прямоугольного треугольника, радиус описанной окружности равен половине гипотенузы, то есть $$R=\frac{35}{2}=17,5$$
Задание 1911
К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB = 12 см, AO = 13 см.
1) По свойству радиуса и касательной $$OB\perp AB$$, тогда треугольник OAB - прямоугольный
2) По теореме Пифагора $$OB=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5$$
Задание 1910
Найдите величину (в градусах) вписанного угла α, опирающегося на хорду AB, равную радиусу окружности.
1) Треугольник OAB - равносторонний, тогда $$\angle AOB = 60^{\circ}=\smile AB$$
2) $$\angle ADB=\angle \alpha=\frac{1}{2}\smile AB=30^{\circ}$$ (по свойству вписанного угла)
Задание 1909
Радиус OB окружности с центром в точке O пересекает хорду AC в точке D и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды AC, если BD = 1 см, а радиус окружности равен 5 см.
1) $$OD=AB-BD=4$$
2) Треугольник OAD - прямоугольный, тогда по теореме Пифагора: $$AD=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$$
3) OA=AC, OD - общая, тогда прямоугольные треугольники AOD и ODC равны, следовательно, AD=DC=3, и AC=6
Задание 956
| На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=38°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах. |
|
Дуга AN на которую опирается угол NBA в два раза больше самого угла (он вписанный, его величина равна половине дуги, на которую он опирается). Значит величина этой дуги = 38 * 2 = 76 градусов. В то же время дуга NB, на которую опирается угол NMB равна 180 - AN = 104 градуса, а значит угол NMB равен 104/2 = 57 (как вписанный)