Перейти к основному содержанию

ОГЭ

(C4) Геометрическая задача на вычисление

Углы

Аналоги к этому заданию:

Задание 5524

В треугольнике АВС углы А и С равны 20° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5523

Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны $$2\sqrt{5},\sqrt{7}$$ и 2 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K , A и C подобен исходному. Найдите косинус угла AKC, если ∠KAC>90° .

Ответ: $$\frac{17}{8\sqrt{5}}$$
Скрыть

1) $$\cos\angle B=\frac{BC^{2}+AB^{2}-AC^{2}}{2BC\cdot AB}<0$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle B>90^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle B=\angle CAK$$ (из подобия)

2) $$\angle ACK\neq\angle BCA$$ (иначе $$K\in CB$$) $$\Rightarrow$$ $$\angle ACK=\angle BAC$$ и $$\angle AKC=\angle BCA$$ $$\Rightarrow$$ $$\cos\angle AKC=\cos\angle BCA=\frac{BC^{2}+AB^{2}-AC^{2}}{2BC\cdot AB}=\frac{4+20-7}{2\cdot2\cdot2\sqrt{5}}=\frac{17}{8\sqrt{5}}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5522

В треугольнике АВС углы А и С равны 40° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.

Ответ: $$10^{\circ}$$
Скрыть

1) из $$\bigtriangleup CHB$$: $$\angle HBC=90^{\circ}-\angle C=30^{\circ}$$

2) из $$\bigtriangleup ABC$$: $$\angle B=180^{\circ}-(\angle A+\angle C)=80^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle CBD=\frac{\angle B}{2}=40^{\circ}$$ ($$BD$$ - биссектриса)

3) $$\angle CBH=\angle CBD-\angle CBH=10^{\circ}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5521

На сторонах угла BAC и на его биссектрисе отложены равные отрезки AB, AC и AD. Величина угла BDC равна 160°. Определите величину угла BAC.

Ответ: $$40^{\circ}$$
Скрыть

1) $$AB=AD=AC$$ (по условию); $$\angle BAD=\angle DAC$$ ($$AD$$ - биссектриса), тогда $$\bigtriangleup BAD=\bigtriangleup ADC$$

2) $$\angle BDA=\angle ADC=\frac{\angle BDC}{2}=80^{\circ}$$

3) $$\angle ABD=\angle BDA$$ ($$AB=AD$$) $$\Rightarrow$$ $$\angle BAD=180^{\circ}-2\cdot80^{\circ}=20^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle BAC=20^{\circ}\cdot2=40^{\circ}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5520

Найдите величину угла AOE, если OE — биссектриса угла AOC , OD— биссектриса угла COB.

Ответ: 65
Скрыть

1) т.к. $$OD$$ - биссектриса, то $$\angle COD=\angle DOB=25^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle COB=50^{\circ}$$

2) $$\angle AOC=180^{\circ}-\angle COB=130^{\circ}$$ (смежный)

3) $$\angle AOE=\frac{\angle AOC}{2}=65^{\circ}$$ ($$OE$$ - биссектриса)

Аналоги к этому заданию:

Задание 5519

Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 16, DC = 24 , AC = 25.

Ответ: 15
Скрыть

1) $$\angle BAM=\angle MCD$$ (накрестлежащие)

2) $$\angle AMB=\angle DMC$$ (вертикальные) $$\Rightarrow$$ из п.1 и п.2 $$\bigtriangleup ABM\sim\bigtriangleup DMC$$

3) Из подобия: $$\frac{AB}{DC}=\frac{AM}{MC}$$ Пусть $$AM=x$$, тогда $$MC=25-x$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{16}{24}=\frac{x}{25-x}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{2}{3}=\frac{x}{25-x}$$ $$\Rightarrow$$ $$50-2x=3x$$ $$\Rightarrow$$ $$x=10$$ $$\Rightarrow$$ $$MC=15$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5518

Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О — центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 100°.

Ответ: $$10^{\circ}$$
Скрыть

1) $$OA\perp AC$$ по свойству радиуса, проведенного в точку касания;

2) $$\smile KA=100^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle KOA=100^{\circ}$$ (центральный) $$\Rightarrow$$ $$\angle DOA=80^{\circ}$$ (смежный) ($$\smile DA\neq100^{\circ}$$ т.к. $$\angle DOA<90^{\circ}$$)

3) $$\angle ACO=90^{\circ}-\angle COA=10^{\circ}$$