ОГЭ
Задание 11157
Задание 10969
Найдите корень уравнения $$(x+10)^2=(5-x)^2$$
$$(x+10)^2=(5-x)^2$$
Получим два уравнения:
1) $$x+10=5-x\to 2x=-5$$
2) $$x+10=x-5\to 10=-5$$
Значит ответ: $$x=-2,5$$
Задание 10451
Найдите корень уравнения $$3+\frac{x}{5}=x+7$$
$$3+\frac{x}{5}=x+7|\cdot 5\Leftrightarrow$$$$15+x=5x+35\Leftrightarrow$$$$15-35=5x-x\Leftrightarrow$$$$4x=-20|:4\Leftrightarrow$$$$x=-5$$
Задание 8840
Решите уравнение: $$x^{2}-35=2x$$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
$$x^{2}-35=2x\Leftrightarrow$$$$x^{2}-2x-35=0$$
По теореме Виета, сумма корней равна 2, произведение -35. Тогда корни будут 7 и -5.
В ответ необходимо указать меньший, то есть -5
Задание 8813
$$x^{2}-20=x\Leftrightarrow$$$$x^{2}-x-20=0$$
По теореме Виетта сумма корней равна 1, произведение -20. Следовательно, корни равны 5 и -4. В ответ необходимо указать больший, то есть 5
Задание 6629
Решите уравнение $$\frac{9x+6}{7}+3=\frac{7x}{+6}$$
$$\frac{9x+6}{7}+3=\frac{7x}{6}\Leftrightarrow$$ $$\frac{9x+6+21}{7}=\frac{7x}{6}\Leftrightarrow$$ $$\frac{9x+27}{7}=\frac{7x}{6}\Leftrightarrow$$ $$54x+27*6=49x\Leftrightarrow$$ $$5x=-162\Leftrightarrow x=-32,4$$
Задание 1754
Решите систему уравнений: $$\left\{\begin{matrix}3x+2y=8\\4x-y=7\end{matrix}\right.$$
В ответе запишите сумму решений системы.
$$\left\{\begin{matrix}3x+2y=8\\4x-y=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}3x+2y=8\\4x-7=y (2) \end{matrix}\right.$$
Подставим из второго уравнения в первое выражение через x:
$$3x+2(4x-7)=8\Leftrightarrow$$$$3x+8x-14=8\Leftrightarrow$$$$11x=22|:11 \Leftrightarrow$$$$x=2$$
Подставим во второе уравнение:
$$y=4*2-7=1$$
Тогда сумма корней:
$$2+1=3$$
Задание 1753
Решите систему уравнений: $$\left\{\begin{matrix}3x-y=-1\\-x+2y=7\end{matrix}\right.$$
В ответе запишите сумму решений системы.
$$\left\{\begin{matrix}3x-y=-1\\-x+2y=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}3x+1=y (1)\\-x+2y=7\end{matrix}\right.$$
Подставим выражение из первого во второе:
$$-x+2(3x+1)=7\Leftrightarrow$$$$-x+6x+2=7\Leftrightarrow$$$$5x=5|:5\Leftrightarrow$$$$x=1$$
Подставим в первое и найдем y:
$$y=3*1+1=4$$
Тогда сумма корней:
$$4+1=5$$
Задание 1752
Решите систему уравнений: $$\left\{\begin{matrix}4x-2y=2\\2x+y=5\end{matrix}\right.$$
В ответе запишите сумму решений системы.
$$\left\{\begin{matrix}4x-2y=2\\2x+y=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}4x-2y=2 (1)\\y=5-2x (2)\end{matrix}\right.$$
Подставим вместо $$y$$ из второго выражение в первое:
$$4x-2(5-2x)=2\Leftrightarrow$$$$4x-10+4x=2\Leftrightarrow$$$$8x=12|:8\Leftrightarrow$$$$x=1,5$$
Найдем $$y$$, подставив полученное значение $$x$$ во второе уравнение:
$$y=5-2*1,5=2$$
Тогда сумма корней:
$$1,5+2=3,5$$
Задание 1751
Найдите наибольшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств: $$\left\{\begin{matrix}5x+15\leq 0\\ x+5\geq 1\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix}5x+15\leq 0\\ x+5\geq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}5x\leq -15\\ x\geq 1-5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x\leq -3\\ x\geq -4\end{matrix}\right.$$
То есть мы получили, что $$x\in [ -4; -3]$$. В таком случае наибольшее значение будет $$x=-3$$
Задание 1750
Найдите наименьшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств: $$\left\{\begin{matrix}6x+18\leq0\\ x+8\geq2\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix}6x+18\leq0\\ x+8\geq2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}6x \leq -18|:6 \\ x\geq 2-8 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x \leq -3\\ x\geq -6 \end{matrix}\right.$$
Получаем, что $$x \in [-6;-3]$$, тогда наименьшее значение $$x=-6$$
Задание 1748
Решите уравнение: $$x-\frac{x}{12}=\frac{55}{12}$$.
$$x-\frac{x}{12}=\frac{55}{12}\Leftrightarrow $$$$\frac{12x-x}{12}=\frac{55}{12}|*12 \Leftrightarrow $$$$11x=55 |:11 \Leftrightarrow $$$$x=5$$
Задание 1747
Решите уравнение: $$(-5x+3)(-x+6)=0$$.
Если корней несколько, запишите их в ответ в порядке возрастания, через точку с запятой.
$$(-5x+3)(-x+6)=0 \Leftrightarrow $$произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю $$\left [ \begin{matrix}-5x+3=0\\ -x+6=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left [ \begin{matrix}-5x=-3|:(-5)\\ -x=-6|:(-1)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left [ \begin{matrix}x=0,6\\ x=6\end{matrix}\right.$$
Задание 1746
Решите уравнение: $$4x+7=0$$.
$$4x+7=0 \Leftrightarrow$$$$4x=-7|:4\Leftrightarrow$$$$x=-1,75$$
Задание 1745
Решите уравнение: $$x+7-\frac{x}{3}=3$$.
$$x+7-\frac{x}{3}=3 \Leftrightarrow$$$$\frac{3(x+7)+x}{3}=\frac{3*3}{3}|*3\Leftrightarrow$$$$3x+21+x=9\Leftrightarrow$$$$4x=9-21|:4\Leftrightarrow$$$$x=-6$$
Задание 1744
При каком значении x значения выражений $$7x-2$$ и $$3x+6$$ равны?
$$7x-2=3x+6 \Leftrightarrow$$$$7x-3x=6+2 \Leftrightarrow$$$$4x=8|:4 \Leftrightarrow$$$$x=2$$
Задание 1743
Решите уравнение: $$-x-2+3(x-3)=3(4-x)-3$$.
$$-x-2+3(x-3)=3(4-x)-3 \Leftrightarrow$$$$-x-2+3x-9=12-3x-3\Leftrightarrow$$$$2x+3x=9+11\Leftrightarrow$$$$5x=20|:5\Leftrightarrow$$$$x=4$$
Задание 1742
Решите уравнение: $$3x+5+(x+5)=(1-x)+4$$.
$$3x+5+(x+5)=(1-x)+4\Leftrightarrow $$$$3x+5+x+5=1-x+4\Leftrightarrow $$$$4x+x=5-10\Leftrightarrow $$$$5x=-5|:5\Leftrightarrow $$$$x=-1$$
Задание 1741
Решите уравнение: $$5-2x=11-7(x+2)$$.
$$5-2x=11-7(x+2)\Leftrightarrow $$$$5-2x=11-7x-14\Leftrightarrow $$$$-2x+7x=-3-5\Leftrightarrow $$$$5x=-8|:5\Leftrightarrow $$$$x=-1,6$$
Задание 1740
Найдите корни уравнения: $$2-3(2x+2)=5-4x$$.
Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
$$2-3(2x+2)=5-4x\Leftrightarrow $$$$2-6x-6=5-4x\Leftrightarrow $$$$-6x+4x=5+4\Leftrightarrow $$$$-2x=9|:(-2)\Leftrightarrow $$$$x=-4,5$$
Задание 1739
Pешите уравнение: $$\frac{x}{12}+\frac{x}{8}+x=-\frac{29}{6}$$.
$$\frac{x}{12}+\frac{x}{8}+x=-\frac{29}{6} \Leftrightarrow$$$$\frac{2x}{24}+\frac{3x}{24}+\frac{24x}{24}=\frac{-29*4}{24} \Leftrightarrow$$$$29x=-29*4\Leftrightarrow$$$$x=-4$$
Задание 1738
Решите уравнение: $$13+\frac{x}{4}=x+1$$.
$$13+\frac{x}{4}=x+1 \Leftrightarrow$$$$\frac{13*4+x}{4}=\frac{(x+1)*4}{4}\Leftrightarrow$$$$52+x=4x+4\Leftrightarrow$$$$52-4=4x-x\Leftrightarrow$$$$3x=48\Leftrightarrow$$$$x=16$$
Задание 1737
Решите уравнение: $$3-\frac{x}{7}=\frac{x}{3}$$.
$$3-\frac{x}{7}=\frac{x}{3}\Leftrightarrow$$$$\frac{3(3*7-x)}{3*7}=\frac{x*7}{3*7}\Leftrightarrow$$$$63-3x=7x\Leftrightarrow$$$$10x=63|:10 \Leftrightarrow$$$$x=6,3$$
Задание 1736
Решите уравнение : $$\frac{5x+4}{2}+3=\frac{9x}{4}$$
$$\frac{5x+4}{2}+3=\frac{9x}{4}\Leftrightarrow$$$$\frac{2(5x+4)+3*4}{4}=\frac{9x}{4}\Leftrightarrow$$$$10x+8+12=9x\Leftrightarrow$$$$10x-9x=-20\Leftrightarrow$$$$x=-20$$
Задание 1735
Решите уравнение: $$\frac{x-12}{x-4}=\frac{3}{5}$$.
Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
$$\frac{x-12}{x-4}=\frac{3}{5}\Leftrightarrow$$$$\frac{(x-12)*5}{5(x-4)}=\frac{3(x-4)}{5(x-4)}\Leftrightarrow$$$$5x-60=3x-12\Leftrightarrow$$$$5x-3x=-12+60\Leftrightarrow$$$$2x=48|:2\Leftrightarrow$$$$x=24$$
Задание 1733
Уравнение $$x^2+px+q=0$$ имеет корни −5; 7. Найдите q.
По теореме Виета: $$x_{1}*x_{2}=q$$. Тогда $$q=-5*7=-35$$
Задание 1732
Решите уравнение: $$8x^2-12x+4=0$$. Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
$$8x^2-12x+4=0$$
$$D=12^{2}-4*8*4=144-128=16$$
$$x_{1}=\frac{12+4}{16}=1$$
$$x_{2}=\frac{12-4}{16}=0,5$$
Задание 1731
Решите уравнение: $$-2x^{2}+x+7=-x^{2}+5x+(-2-x^{2})$$.
$$-2x^{2}+x+7=-x^{2}+5x+(-2-x^{2})$$
$$-2x^{2}+x+7+x^{2}-5x+2+x^{2}=0$$
$$-4x+9=0$$
$$-4x=-9 |: (-4)$$
$$x=2,25$$
Задание 1730
Решите уравнение $$(x-4)^{2}+(x+9)^{2}=2x^{2}$$.
$$(x-4)^{2}+(x+9)^{2}=2x^{2}$$
$$x^{2}-8x+16+x^{2}+18x+81-2x^{2}=0$$
$$10x+97=0$$
$$10x=-97| :10$$
$$x=-9,7$$
Задание 1729
Квадратный трёхчлен разложен на множители: $$x^2+6x-27=(x+9)(x-a)$$. Найдите a.
Для этого воспользуемся формулой : $$ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})$$, где $$x_{1}$$ и $$x_{2}$$ - корни уравнения $$ax^{2}+bx+c=0$$
$$x^2+6x-27=0$$
По теореме Виета:
$$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=-6\\x_{1}*x_{2}=27\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix} x_{1}=-9\\x_{2}=3\end{matrix}\right.$$
Тогда $$ax^{2}+bx+c=(x+9)(x-3)$$
Задание 1728
Уравнение $$x^2+px+q=0$$ имеет корни −6; 4. Найдите p.
По теореме Виета: $$x_{1}+x_{2}=-p$$, тогда $$p=-(-6+4)=2$$
Задание 1727
На рисунке изображены графики функций $$y=3-x^2$$ и $$y=-2x$$. Вычислите координаты точки B.
Приравняем функции, и найдем координаты точки, абсцисса которой будет положительна:
$$3-x^{2}=-2x$$
$$x^{2}-2x-3=0$$
По теореме Виета:
$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=2\\x_{1}*x_{2}=-3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x_{1}=3\\x_{2}=-1\end{matrix}\right.$$
То есть рассматривать мы будем точку с абсциссой 3. Подставим ее в любую из функций:
$$y(3)=3-3^{2}=-6$$
То есть координаты точки B $$(3;-6)$$
Задание 1724
Найдите корни уравнения $$2x^2-10x=0$$.
Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
$$2x^2-10x=0 \Leftrightarrow$$$$2x(x-5)=0 \Leftrightarrow$$$$x=0 ; x=5$$
Задание 1723
Найдите корни уравнения $$25x^2-1=0$$.
Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
$$25x^2-1=0 \Leftrightarrow$$$$25x^{2}=1 \Leftrightarrow $$$$x^{2}=\frac{1}{25} \Leftrightarrow $$$$x=\pm \sqrt{\frac{1}{25}}=$$$$\pm\frac{1}{5}=\pm 0,2$$
Задание 1722
Решите уравнение $$x^2+3x=4$$.
Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
$$x^2+3x=4$$
$$x^{2}+3x-4=0$$
По теореме Виета:
$$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=-3\\x_{1}*x_{2}=-4 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix} x_{1}=-4\\x_{2}=1 \end{matrix}\right.$$
Задание 953
На каком рисунке изображено множество решений системы неравенств
$$\left\{\begin{matrix} -12+3x>0 \\ 9-4x>-3 \end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix} -12+3x>0 \\ 9-4x>-3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$ $$\left\{\begin{matrix} 3x>12 \\ -4x>-12 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow $$ $$\left\{\begin{matrix} x>4 \\ x<3 \end{matrix}\right.$$
Пересечений у этих решений нет, значит система не имеет решений
Задание 948
| На рисунке изображены графики функции y = 3 - x2 и y = 2x. Вычислите абсциссу точки B. |  |
Для решения данного задания приравняем функции:
$$3-x^{2}=-2x \Leftrightarrow x^{2}-2x-3=0$$
$$\Leftrightarrow x_{1}=-1 ; x_{1}=3$$
Абсцисса у точки положительная, поэтому 3
Задание 761
Найдите корень уравнения:$$\frac{1}{3x-4}=\frac{1}{4x-11}$$.
ОДЗ: $$3x-4 \neq 0 ; 4x-11 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{4}{3}; x \neq 2,75$$
$$\frac{1}{3x-4}=\frac{1}{4x-11} \Leftrightarrow$$$$3x-4=4x-11 \Leftrightarrow$$$$-4+11=4x-3x \Leftrightarrow$$$$x=7$$
Задание 760
Найдите корень уравнения: $$\frac{1}{4x-1}=5$$
ОДЗ: $$4x-1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 0,25$$
$$\frac{1}{4x-1}=5\Leftrightarrow$$$$1=5(4x-1) \Leftrightarrow $$$$ 20x-5=1 \Leftrightarrow$$$$20x=6 \Leftrightarrow $$$$x=0,3$$
Задание 759
Найдите корень уравнения: $$\frac{1}{9x-7}=\frac{1}{2}$$
ОДЗ: $$9x-7 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{7}{9}$$
$$\frac{1}{9x-7}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$$$1*2=9x-7 \Leftrightarrow$$$$9x=9\Leftrightarrow$$$$x=1$$
Задание 758
Найдите корень уравнения: $$\frac{x+8}{5x+7}=\frac{x+8}{7x+5}$$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
ОДЗ: $$5x+7 \neq 0 ; 7x+5 \neq 0 \Leftrightarrow x\neq -1,4 ; x \neq -\frac{5}{7}$$
$$\frac{x+8}{5x+7}=\frac{x+8}{7x+5}\Leftrightarrow$$$$(x+8)(7x+5)=(x+8)(5x+7)\Leftrightarrow$$$$(x+8)(7x+5)-(x+8)(5x+7)=0 \Leftrightarrow$$$$(x+8)(7x+5-5x-7)=0 \Leftrightarrow$$$$x=-8 ; 2x-2=0 \Leftrightarrow$$$$x=-8 ; x=1$$
Наибольший из корней равен 1.
Задание 757
Найдите корень уравнения:$$\frac{13}{2x^{2}-5}=1$$ . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
ОДЗ: $$2x^{2}-5 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \pm \sqrt{2,5}$$
$$\frac{13}{2x^{2}-5}=1\Leftrightarrow $$$$13=2x^{2}-5 \Leftrightarrow $$$$2x^{2}=18\Leftrightarrow $$$$x=\pm 3$$
Больший из корней равен 3
Задание 756
Найдите корень уравнения:$$\frac{9}{x^{2}-16}=1$$ . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
ОДЗ: $$x^{2}-16 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \pm 4$$
$$\frac{9}{x^{2}-16}=1\Leftrightarrow $$$$9=x^{2}-16 \Leftrightarrow $$$$x^{2}=25\Leftrightarrow $$$$x=\pm 5$$
Больший из корней равен 5
Задание 755
Найдите корень уравнения:$$\frac{6x-15}{x-2}=x$$. В ответ запишите больший из корней
ОДЗ: $$x-2\neq 0\Leftrightarrow x\neq 2$$
$$\frac{6x-15}{x-2}=x\Leftrightarrow$$$$6x-15=x(x-2)\Leftrightarrow$$$$6x-15-x^{2}+2x=0\Leftrightarrow$$$$-x^{2}+8x-15=0\Leftrightarrow$$$$x^{2}-8x+15=0$$
$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=8\\ x_{1}*x_{2}=15\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{1}=5\\x_{2}=3 \end{matrix}\right.$$
В ответе необходимо указать больший, то есть 5
Задание 754
Найдите корень уравнения: $$\frac{x+1}{x+7}=-5$$
$$\frac{x+1}{x+7}=-5\Leftrightarrow$$$$x+1=-5(x+7)\Leftrightarrow$$$$x+1=-5x-35\Leftrightarrow$$$$x+5x=-35-1\Leftrightarrow$$$$6x=-36\Leftrightarrow$$$$x=-6$$
(так же следует учитывать , что знаменатель дроби не равен 0, то есть x не равно -7)
Задание 753
Найдите корень уравнения: $$(x-3)^{3}=-8$$
$$(x-3)^{3}=-8\Leftrightarrow$$$$(x-3)^{3}=(-2)^{3}\Leftrightarrow$$$$x-3=-2\Leftrightarrow$$$$x=1$$
Задание 752
Найдите корень уравнения: $$(x-3)^{3}=8$$
$$(x-3)^{3}=8\Leftrightarrow$$$$(x-3)^{3}=2^{3}\Leftrightarrow$$$$x-3=2\Leftrightarrow$$$$x=5$$
Задание 751
Найдите корень уравнения: $$\frac{x^{2}}{3}=16\frac{1}{3}$$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
$$\frac{x^{2}}{3}=16\frac{1}{3}\Leftrightarrow$$$$\frac{x^{2}}{3}=\frac{49}{3}\Leftrightarrow$$$$x^{2}=49$$$$x=\pm7$$
$$x=-7$$ является наименьшим в данном случае
Задание 750
Найдите корень уравнения: $$x^{2}+9=(x+9)^{2}$$
$$x^{2}+9=(x+9)^{2}\Leftrightarrow$$$$x^{2}+9=x^{2}+18x+81\Leftrightarrow$$$$9-81=18x\Leftrightarrow$$$$-72=18x\Leftrightarrow$$$$x=-4$$
Задание 749
Найдите корень уравнения: $$(x-6)^{2}=-24x$$
$$(x6)^{2}=-24x\Leftrightarrow$$$$x^{2}-12x+36=-24x\Leftrightarrow$$$$x^{2}+12x+36=0\Leftrightarrow$$$$(x+6)^{2}=0\Leftrightarrow$$$$x=-6$$
Задание 748
Найдите корень уравнения: $$(2x+7)^{2}=(2x-1)^{2}$$
$$(2x+7)^{2}=(2x-1)^{2}\Leftrightarrow$$$$4x^{2}+28x+49=4x^{2}-4x+1\Leftrightarrow$$$$28x+4x=1-49\Leftrightarrow$$$$32x=-48\Leftrightarrow$$$$x=-1,5$$
Задание 747
Найдите корень уравнения:$$x^{2}-17x+72=0$$ . Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них
$$x^{2}-17x+72=0\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=17\\x_{1}*x_{2}=72 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}x_{1}=9\\x_{2}=8 \end{matrix}\right.$$
Меньший корень в данном случае 8.
Задание 746
$$(x-10)^{2}=(x+4)^{2}\Leftrightarrow$$$$x^{2}-20x+100=x^{2}+8x+16\Leftrightarrow$$$$x^{2}-20x+100-x^{2}-8x-16=0\Leftrightarrow$$$$-28x=-84\Leftrightarrow$$$$x=3$$
Задание 745
Найдите корень уравнения: $$\frac{4}{7}x=7\frac{3}{7}$$
$$\frac{4}{7}x=7\frac{3}{7}\Leftrightarrow$$ $$\frac{4}{7}x=\frac{52}{7}\Leftrightarrow$$$$x=\frac{52}{7}*\frac{7}{4}\Leftrightarrow$$$$x=13$$