Перейти к основному содержанию

ОГЭ

Арифметические и геометрические прогрессии

Числовые последовательности

Задание 1765

По­сле­до­ва­тель­ность за­да­на фор­му­лой $$c_{n}=n^{2}-1$$. Какое из ука­зан­ных чисел яв­ля­ет­ся чле­ном этой по­сле­до­ва­тель­но­сти?

1) 1
2) 2
3) 3
4) 4

 

Ответ: 3
Скрыть

Данная последовательность возрастающая (в силу монотонности функции $$f_{x}=x^{2}-1$$, при $$x-in N$$. Найдем первые три члена последовательности:
$$c_{1}=1^{2}-1=0$$
$$c_{2}=2^{2}-1=3$$, как видим, третий вариант ответа является членом последовательности
$$c_{3}=3^{2}-1=8$$. Далее нет смысла рассматривать

Задание 1766

По­сле­до­ва­тель­ность за­да­на фор­му­лой $$c_{n}=n+\frac{(-1)^{n}}{n}$$. Какое из сле­ду­ю­щих чисел не яв­ля­ет­ся чле­ном этой по­сле­до­ва­тель­но­сти?

1) $$2\frac{1}{2}$$
2) $$4\frac{1}{4}$$
3) $$5\frac{1}{5}$$
4) $$6\frac{1}{6}$$

 

Ответ: 3
Скрыть

Найдем второй, четвертый, пятый и шестой члены последовательности:
$$c_{2}=2+\frac{(-1)^{2}}{2}=2+\frac{1}{2}=2\frac{1}{2}$$
$$c_{4}=4+\frac{(-1)^{4}}{4}=4+\frac{1}{4}=4\frac{1}{4}$$
$$c_{5}=5+\frac{(-1)^{5}}{5}=5-\frac{1}{5}=4\frac{4}{5}\neq 5\frac{1}{5}$$, следовательно, третий вариант не является членом последовательности
$$c_{6}=6+\frac{(-1)^{6}}{6}=6+\frac{1}{6}=6\frac{1}{6}$$

Задание 1767

Какое из ука­зан­ных чисел не яв­ля­ет­ся чле­ном по­сле­до­ва­тель­но­сти $$a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}$$?

1) $$\frac{1}{2}$$
2) $$-\frac{1}{3}$$
3) $$\frac{1}{16}$$
4) $$\frac{1}{17}$$

 

Ответ: 4
Скрыть

Найдем второй, третий, шестнадцатый и семнадцатый члена последовательности:
$$a_{2}=\frac{(-1)^{2}}{2}=\frac{1}{2}$$
$$a_{3}=\frac{(-1)^{3}}{3}=-\frac{1}{3}$$
$$a_{16}=\frac{(-1)^{16}}{16}=\frac{1}{16}$$
$$a_{17}=\frac{(-1)^{17}}{17}=-\frac{1}{17}\neq \frac{1}{17}$$, следовательно, четвертый вариант ответа не является членом последовательности.

Задание 1769

По­сле­до­ва­тель­но­сти за­да­ны не­сколь­ки­ми пер­вы­ми чле­на­ми. Одна из них — ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия. Ука­жи­те ее.

1) 1; 2; 3; 5; ...
2) 1; 2; 4; 8; ...
3) 1; 3; 5; 7; ...
4) 1; $$\frac{1}{2}; \frac{2}{3}; \frac{3}{4}$$; ...

 

Ответ: 3
Скрыть

Для того, чтобы числовая последовательность была арифметической прогрессией, необходимо выполнение условия $$d=a_{n+1}-a_{n}$$ для всех членов последовательности:
1) 1; 2; 3; 5; ... $$d_{1}=2-1=1 ; d_{2}=3-2=1 ; d_{3}=5-3=2$$, как видим $$d_{3}\neq d_{2}$$, следовательно, это не арифметическая прогрессия
2) 1; 2; 4; 8; ... $$d_{1}=2-1=1 ; d_{2}=4-2=2$$, как видим $$d_{2}\neq d_{1}$$, следовательно, это не арифметическая прогрессия
3) 1; 3; 5; 7; ... $$d_{1}=3-1=2 ; d_{2}=5-3=2 ; d_{3}=7-5=2$$, как видим $$d_{3}=d_{2}=d_{1}$$, следовательно, это арифметическая прогрессия
4) 1; $$\frac{1}{2}; \frac{2}{3}; \frac{3}{4}$$; ... $$d_{1}=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6} ; d_{2}=\frac{3}{4}-\frac{2}{3}=\frac{1}{12} $$, как видим $$d_{2}\neq d_{1}$$, следовательно, это не арифметическая прогрессия

Задание 1770

Одна из дан­ных по­сле­до­ва­тель­но­стей яв­ля­ет­ся гео­мет­ри­че­ской про­грес­си­ей. Ука­жи­те эту по­сле­до­ва­тель­ность.
1) 10; 6; 2; -2; ...
2) 5; $$\frac{5}{2}; \frac{5}{4}; \frac{5}{8}$$; ...
3) 1; 2; 3; 5; ...
4) $$\frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \frac{1}{4}; \frac{1}{5}$$; ...
Ответ: 2
Скрыть

Чтобы числовая последовательность была геометрической прогрессией необходимо выполнение условия для всех членов последовательности: $$q=\frac{b_{n+1}}{b_{n}}$$

1) 10; 6; 2; -2; ...; $$q_{1}=\frac{6}{10} ; q_{2}=\frac{2}{6}$$, как видим $$q_{1}\neq q_{2}$$ - не является геометрической прогрессией.
2) 5; $$\frac{5}{2}; \frac{5}{4}; \frac{5}{8}$$; ... $$q_{1}=\frac{\frac{5}{4}}{\frac{5}{2}}=\frac{1}{2}$$ ; $$q_{2}=\frac{\frac{5}{8}}{\frac{5}{4}}=\frac{1}{2}$$, как видим $$q_{1}=q_{2}$$ - является геометрической прогрессией.
3) 1; 2; 3; 5; ...$$q_{1}=\frac{2}{1} ; q_{2}=\frac{3}{2}$$, как видим $$q_{1}\neq a_{2}$$ - не является геометрической прогрессией.
4) $$\frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \frac{1}{4}; \frac{1}{5}$$; ... $$q_{1}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3};$$$$q_{2}=\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{3}}=\frac{3}{5}$$, как видим $$q_{1}\neq a_{2}$$ - не является геометрической прогрессией.

Задание 1771

Какая из сле­ду­ю­щих по­сле­до­ва­тель­но­стей яв­ля­ет­ся ариф­ме­ти­че­ской про­грес­си­ей?
 1) По­сле­до­ва­тель­ность на­ту­раль­ных сте­пе­ней числа 2
2) По­сле­до­ва­тель­ность на­ту­раль­ных чисел, крат­ных 5
3) По­сле­до­ва­тель­ность кубов на­ту­раль­ных чисел.
4) По­сле­до­ва­тель­ность всех пра­виль­ных дро­бей, чис­ли­тель ко­то­рых на 1 мень­ше зна­ме­на­те­ля.
Ответ: 2
Скрыть
1) По­сле­до­ва­тель­ность на­ту­раль­ных сте­пе­ней числа 2: $$2;4;8;16;...;2^{n}$$ - геометрическая прогрессия
2) По­сле­до­ва­тель­ность на­ту­раль­ных чисел, крат­ных 5: $$5;10;15;...;5n$$ - арифметическая прогрессия
3) По­сле­до­ва­тель­ность кубов на­ту­раль­ных чисел: $$1;8;27;...;$$ - числовая последовательность
4) По­сле­до­ва­тель­ность всех пра­виль­ных дро­бей, чис­ли­тель ко­то­рых на 1 мень­ше зна­ме­на­те­ля: $$\frac{n}{n+1}$$ - числовая последовательность.
Арифметической прогрессией является только вариант под номером 2

Задание 1772

По­сле­до­ва­тель­ность за­да­на усло­ви­я­ми $$c_{1}=-3$$, $$c_{n+1}=c_{n}-1$$. Най­ди­те $$c_{7}$$.

Ответ: -9
Скрыть

В данном случае дана арифметическая прогрессия, найдем ее разность: $$d=c_{n+1}-c_{n}=c_{n}-1-c_{n}=-1$$. Найдем 7ой член прогрессии, воспользовавшись формулой n-го члена арифметической прогрессии: $$c_{7}=-3+(-1)(7-1)=-9$$

Задание 1773

По­сле­до­ва­тель­ность за­да­на усло­ви­я­ми $$b_{1}=4$$, $$b_{n+1}=-\frac{1}{b_{n}}$$. Най­ди­те $$b_{7}$$.

Ответ: 4
Скрыть
Найдем второй член последовательности: $$b_{2}=-\frac{1}{b_{1}}=-\frac{1}{4}$$. Аналогично найдем остальные:
третий $$b_{3}=-\frac{1}{b_{2}}=-\frac{1}{-\frac{1}{4}}=4$$
четвертый $$b_{4}=-\frac{1}{b_{3}}=-\frac{1}{4}$$
пятый $$b_{5}=-\frac{1}{b_{4}}=-\frac{1}{-\frac{1}{4}}=4$$
шестой $$b_{6}=-\frac{1}{b_{5}}=-\frac{1}{4}$$
седьмой $$b_{7}=-\frac{1}{b_{6}}=-\frac{1}{-\frac{1}{4}}=4$$
Примечание: можно заметить, что нечетные члены последовательности совпадают между собой, как и четные, и не расписывать до 7го.

Задание 1774

По­сле­до­ва­тель­ность за­да­на фор­му­лой $$a_{n}=\frac{34}{n+1}$$. Сколь­ко чле­нов в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти боль­ше 6?

Ответ: 4
Скрыть

Необходимо найти все значения $$n\in N$$, при которых $$a_{n}>6$$: решим неравенство $$\frac{34}{n+1}>6\Leftrightarrow$$$$\frac{34-6(n+1)}{n+1}>0\Leftrightarrow$$$$\frac{28-6n}{n+1}>0$$. Начертим координатную прямую и отметим значения Х, когда числитель и знаменатель равны нулю (неравенство строгое, потому обе точки будут пустые) и знаки значений ,которые принимает выражение : $$\frac{28-6n}{n+1}$$ на полученных промежутках:

Нам необходим промежуток тот, где получается положительные значения, то есть $$(-1;\frac{28}{6})$$. Так же необходимо учитывать, что $$n\in N$$, так как это порядковый номер. Тогда натуральных чисел на полученном промежутке 4 (1;2;3;4). 

Задание 1775

Сколь­ко на­ту­раль­ных чисел n удо­вле­тво­ря­ет не­ра­вен­ству $$\frac{40}{n+1}>2$$?

Ответ: 18
Скрыть

Решим данное неравенство: $$\frac{40}{n+1}>2\Leftrightarrow$$$$\frac{40-2(n+1)}{n+1}>0\Leftrightarrow$$$$\frac{38-2n}{n+1}>0$$. Начертим координатную прямую и отметим значения Х, когда числитель и знаменатель равны нулю (неравенство строгое, потому обе точки будут пустые) и знаки значений ,которые принимает выражение : $$\frac{38-2n}{n+1}$$ на полученных промежутках:

 

Нам необходим промежуток тот, где получается положительные значения, то есть $$(-1;19)$$. Так же необходимо учитывать, что $$n\in N$$, так как это порядковый номер. Тогда натуральных чисел на полученном промежутке 18. 

Задание 2761

Последовательность $$(b_{n})$$ задана условиями $$b_{1}=-5$$, $$b_{n+1}=-2\frac{1}{b_{n}}$$. Найдите $$b_{3}$$

Ответ: -5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$b_{1}=-5$$; $$b_{n+1}=-2\frac{1}{b_{n}}$$ $$b_{2}=-2\cdot\frac{1}{b_{1}}=-2\cdot\frac{1}{-5}=\frac{2}{5}$$ $$b_{3}=-2\cdot\frac{1}{\frac{2}{5}}=-5$$

Задание 2915

Последовательность ($$a_{n}$$) задана условиями $$a_{1}=5 , a_{n+1}=a_{n}-3$$. Найти $$a_{10}$$

Ответ: -22
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Есть два варианта решения, мы можем находить поочередно все члены со второго по десятый, путем вычитания из предыдущего числа 3. То есть, второй у нас будет равен первый минус 3: 5-3=2. Третий же равен, второй минус 3 = 2-3=-1. И так далее до 10: 5-3-3-3-3-3-3-3-3-3=5-27=-22

Или же воспользуемся формулами арифметической прогрессии. Число, которое мы будем вычитать называется разностью арифметической прогрессии, и оно равно -3: d=-3; n-порядковый номер, у нас n=10. Тогда: $$a_{n}=a_{1}+d(n-1)=5-3*(10-1)=5-27=-22$$

Задание 3395

Последовательность $$(b_{n})$$ задана условиями $$b_{1}=-5$$, $$b_{n+1}=-2\cdot\frac{1}{b_{n}}$$ Найдите b3

Ответ: -5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$b_{1}=-5$$ $$b_{2}=-2\cdot\frac{1}{b_{1}}=-2\cdot\frac{1}{-5}=\frac{2}{5}$$ $$b_{3}=-2\cdot\frac{1}{b_{2}}=-2\cdot\frac{1}{\frac{2}{5}}=-5$$

Задание 3554

Последовательность$$(a_{n})$$ задана условиями $$a_{1}=1$$, $$a_{n+1}=a_{n}-5$$. Найдите $$a_{10}$$

Ответ: -44
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$d=-5$$; $$n=10$$; $$a_{1}=1$$ $$a_{n}=a_{1}+d(n-1)$$ $$a_{10}=1-5\cdot(10-1)=1-45=-44$$

Задание 3982

Последовательность $$(a_{n}$$ задана условиями $$a_{1}=-3,a_{n+1}=a_{n}+3$$. Найдите $$a_{10}$$

Ответ: 24
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$a_[1}=-3$$

$$a_{n+1}=a_{n}+3$$

$$d=a_{n+1}-a_{n}=a_{n+3}-a_{n}=3$$

$$a_{n}=a_{1}+d(n-1)$$

$$a_{10}=-3+3\cdot(10-1)=-3+27=24$$

Задание 5074

Последовательность $$(a_{n})$$ задана условиями $$a_{1}=-3$$, $$a_{n+1}=a_{n}+3$$ Найдите $$a_{10}$$

Ответ: 24
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$a_{2}=a_{1}+3=0$$; $$d=3$$; $$a_{10}=-3+3\cdot(10-1)=24$$

Задание 5307

Последовательность $$a_{n}$$ задана условиями $$a_{1}=-3, a_{n+1}=a_{n}-3$$. Найдите $$a_{21}$$

Ответ: -63
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Найдем разность арифметической прогрессии: $$d=a_{n+1}-a_{n}=a_{n}-3-a_{n}=-3$$. Найдем 21 член прогрессии: $$a_{n}=a_{1}+d(n-1)$$ Тогда $$a_{21}=-3-3*(21-1)=-63$$

Задание 6247

Последовательность $$a_{n}$$ задана условиями $$a_{1}=10, a_{n+1}=5-a_{n}$$. Найдите $$a_{11}$$

Ответ: 10
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$a_{1}=10, a_{n+1}=5-a_{n},a_{11}$$ -?

$$a_{2}=5-a_{1}=5-10=-5$$

$$a_{3}=5-a_{2}=5-(-5)=10$$

$$a_{4}=5-a_{3}=5-10=-5$$ 

Видим, что четные члены равны -5, а нечетные, начиная с третьего, равны 10. Тогда и 11ый член будет равен 10

Задание 6775

Последовательность (bn) задана условиями $$b_{1}=-5, b_{n+1}=-2*\frac{1}{b_{n}}$$. Найдите $$b_{4}$$

Ответ: 0,4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
  • $$b_{2}=-2*\frac{1}{b_{1}}=$$$$-2*\frac{1}{-5}=\frac{2}{5}$$
  • $$b_{3}=-2*\frac{1}{b_{2}}=$$$$-2*\frac{1}{\frac{2}{5}}=-5$$
  • $$b_{4}=-2*\frac{1}{b_{3}}=$$$$-2*\frac{1}{-5}= \frac{2}{5}=0,4$$

Задание 6844

Последовательность (an) задана условиями  a1=2 , an+1=an+5. Найдите a10

Ответ: 47
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Найдем разность арифметической прогрессии: $$d=a_{n+1}-a_{n}=a_{n}+5-a_{n}=5$$

Найдем 10-ый член: $$a_{n}=a_{1}+d(n-1)$$$$\Rightarrow$$ $$a_{10}=2+5(10-1)=47$$

Задание 7531

Последовательность (an) задана условиями a1=-5, an+1=(-1)nan+5. Найдите a10.

Ответ: 10
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 8621

Какое наибольшее число последовательных натуральных чисел, начиная с 1, можно сложить, чтобы получившаяся сумма была меньше 528?

Ответ: 31
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8961

Последовательность задана формулой $$a_{n}=\frac{40}{n+1}$$. Сколько членов последовательности больше 2?

Ответ: 18
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9603

Последовательность $$b_{n}$$ задана условиями: $$b_{1}=7$$, $$b_{n+1}=-\frac{3}{b_{n}}$$. Найдите $$b_{3}$$
Ответ: 7
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9752

Последовательность ($$b_{n}$$) задана условиями: $$b_{1}=4$$, $$b_{n+1}=-2\cdot \frac{1}{b_{n}}$$. Найдите $$b_{4}$$.
Ответ: -0,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9912

Последовательность задана условиями $$b_{1}=4$$ и $$b_{n+1}=-\frac{1}{b_{n}}$$. Найдите $$b_{538}$$ .

Ответ: -0,25
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11057

Последовательность задана формулой $$c_n=n^2-1$$. Сколько членов этой последовательности больше 200 и меньше 500?

Ответ: 8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть $$\left\{ \begin{array}{c} n^2-1>200 \\ n^2-1<500 \\ n\in N \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} n^2>201 \\ n^2<501 \\ n\in N \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} n>\sqrt{201} \\ n<\sqrt{501} \\ n\in N \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} n\ge 15 \\ n\le 22 \\ n\in N \end{array} \right.\to 22-14=8.$$
 

Задание 11292

В 11:00 часы сломались и за каждый следующий час отставали на одно и то же количество минут по сравнению с предыдущим часом. В 21:00 того же дня часы отставали на двадцать минут. На сколько минут отставали часы спустя 24 часа после того, как они сломались?

Ответ: 48
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11313

В 8:00 часы сломались и за каждый следующий час отставали на одно и то же количество минут по сравнению с предыдущим часом. В 23:00 того же дяя часы отставали на 15 минут. На сколько минут отставали часы спустя 36 часов после того, как они сломались?

Ответ: 36
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13517

Ваня, Миша, Алик и Вадим ловили рыбу. Оказалось, что количества рыб, пойманных каждым из них, образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Если бы Алик поймал столько же рыб, сколько Вадим, а Вадим поймал бы на 12 рыб больше, то количества рыб, пойманных юношами, образовали бы в том же порядке геометрическую прогрессию. Сколько рыб поймал Миша?

Ответ: 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13667

Ваня, Миша, Алик и Вадим ловили рыбу. Оказалось, что количества рыб, пойманных каждым из них, образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Если бы Алик поймал столько же рыб, сколько Вадим, а Вадим поймал бы на 12 рыб больше, то количества рыб, пойманных юношами, образовали бы в том же порядке геометрическую прогрессию. Сколько рыб поймал Миша?

Ответ: 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13854

Каждый день больной заражает четырёх человек, каждый из которых, начиная со следующего дня, каждый день также заражает новых четырех и так далее. Болезнь длится 14 дней. В первый день месяца в город N приехал заболевший гражданин К, и в это же день он заразил четырех человек. В какой день станет 3125 заболевших? (В ответе укажите только число.)

Ответ: 5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!