ОГЭ
Задание 6647
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH=12.
Рассмотрим $$\Delta PBK$$: $$\angle B=90\Rightarrow$$ PK-диаметр описанной окружности $$\Rightarrow PK=BH=12$$
Задание 6714
В прямоугольной трапеции с острым углом 45, большая боковая сторона равна $$16\sqrt{2}$$ см, а меньшая диагональ равна 20 см. Найдите площадь трапеции.
1) Пусть $$CH\perp AD$$, тогда $$\Delta CHD$$ – прямоугольный и равнобедренный и $$CH=CD\sin D=$$$$16\sqrt{2}*\frac{\sqrt{2}}{2}=16$$
2) из $$\Delta AHC$$: $$AH=\sqrt{AC^{2}-CH^{2}}=12$$; т.е. CH и $$AB\perp AD$$, то BH=AH=12; AD=AH+HD=28
3) $$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}*CH=$$$$\frac{12+28}{2}*16=320$$
Задание 6859
В треугольнике ABC на стороне AC как на диаметре построена окружность, которая пересекает сторону AB в точке M, а сторону BC – в точке N. Известно, что AC=2, AB=3, AM : MB = 2 : 3. Найдите AN..
1) $$AM :MB= 2: 3$$, $$AB=3$$$$\Rightarrow$$ $$AM=1,2$$, $$MB=1,8$$
2) $$\Delta AMC$$: $$MC=\sqrt{AC^{2}-AM^{2}}=1,6$$
3) $$\Delta MBC$$: $$BC=\sqrt{MB^{2}+MC^{2}}=\sqrt{5,8}$$
4) $$\Delta ABN\sim \Delta CMB$$ (оба прямоугольные ,$$\angle B$$ - общий )$$\Rightarrow$$ $$\frac{AN}{MC}=\frac{AB}{BC}$$$$\Rightarrow$$ $$AN=\frac{1,6*3}{\sqrt{5,8}}=\frac{4,8}{\sqrt{5,8}}$$
Задание 6907
Биссектриса AD равнобедренного треугольника АВС делит его на треугольники АВD и ACD площадью 4 см2 и 2 см2 соответственно. Найдите стороны треугольника АВС, если АС – его основание.
1) Т.к. $$\Delta ABD$$ и $$\Delta ADC$$ имеют общую вершину A , то : $$\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}}=\frac{BD}{DC}=\frac{4}{2}=\frac{2}{1}$$. Пусть $$BD=2x$$, тогда $$DC=x$$ и $$AB=BC=3x$$
2) По свойству биссектрисы: $$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{2}{1}$$, тогда $$AC=\frac{AB}{2}=1,5 x$$
3) $$S_{ABC}=4+2=6$$, По формуле Герона : $$p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{15x}{4}$$; $$6=\sqrt{(\frac{15x}{4}-3x)^{2}*(\frac{15x}{4}-\frac{3x}{2})*\frac{15x}{4}}$$$$\Leftrightarrow$$ $$\frac{9x^{2}}{16}\sqrt{15}=6$$$$\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{4\sqrt{6}}{3\sqrt[4]{15}}$$. Тогда $$AB=BC=\frac{4\sqrt{16}}{\sqrt[4]{15}}$$ и $$AC=\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt[4]{15}}$$
Задание 7003
Медиана АМ треугольника АВС равна половине стороны ВС. Угол между АМ и высотой АН равен 40. Найдите углы треугольника АВС.
1) т.к. медиана равна половине стороны, то $$\Delta ABC$$ – прямоугольный, при этом $$\angle A=90$$ и $$AM=CM=MB$$
2) из $$\Delta AMH$$: $$\angle AMH=90-\angle MAH=50$$
3) из $$\Delta AMC$$: $$\angle CAM +\angle ACM =\angle AMH$$ (как внешний угол при третьей вершине ),при этом $$\angle CAM=\angle ACM\Rightarrow$$ $$\angle ACM =\frac{50}{2}=25$$
4) $$\angle B=90-\angle C=90-25=65$$
Задание 7279
В треугольнике с основанием 15 см проведен отрезок, параллельный основанию. Площадь полученной трапеции составляет ¾ площади треугольника. Найдите длину этого отрезка.
1) Пусть $$A_{1}C_{1}\left | \right |AC$$, тогда $$S_{AA_{1}C_{1}C}=\frac{3}{4} S_{ABC}$$$$\Rightarrow$$ $$S_{A_{1}BC_{1}}=\frac{1}{4} S_{ABC}$$
2) $$\frac{S_{A_{1}BC_{1}}}{S_{ABC}}=$$$$(\frac{A_{1}C_{1}}{AC})^{2}=$$$$\frac{1}{4}\Rightarrow$$ $$\frac{A_{1}C_{1}}{AC}=\frac{1}{2}$$$$\Rightarrow$$ $$A_{1}C_{1}=7,5$$
Задание 7471
Найдите площадь равнобедренного треугольника, если высота, опущенная на основание равна 10 см, а высота, опущенная на боковую сторону равна 12 см.
1) Опустим высоту BH и высоту AM=12. Так как треугольник равнобедренный, то AH=HC=x. Пусть BC=y. Тогда из треугольника BHC: $$BH^{2}+HC^{2}=BC^{2}$$.
2) другой стороны из площади треугольника через его сторону и проведенную к ней высоту получим : $$BH*AC=AM*BC$$. Тогда: $$\left\{\begin{matrix}10^{2}+x^{2}=y^{2}\\10*2x=12*y\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}10^{2}+x^{2}=(\frac{5x}{3})^{2}\\ y=\frac{5x}{3}\end{matrix}\right.\Rightarrow$$ $$900+9x^{2}=25x^{2}\Rightarrow$$ $$x=7,5$$
3) Площадь треугольника в таком случае: $$S=\frac{1}{2}AC*BH=\frac{1}{2}*2*7,5*10=75$$
Задание 8425
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP=18, а сторона BC в 1,2 раза меньше стороны AB .
1) Пусть $$BC=x$$ $$\Rightarrow$$ $$AB=1,2x$$
2) $$\angle B+\angle KPC=180^{\circ}$$ ($$BKPC$$ - вписан), $$\angle KPC+\angle APK=180^{\circ}$$ (смежные) $$\Rightarrow$$ $$\angle APK=\angle B$$; $$\angle A$$ - общий $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup APK\sim\bigtriangleup ABC$$
3) $$\frac{KP}{BC}=\frac{AP}{AB}$$ $$\Rightarrow$$ $$KP=\frac{BC\cdot AP}{AB}=\frac{x\cdot18}{1,2x}=15$$
