Треугольники

На продолжении AD за точку D отложим DE=AD, тогда ABEC - параллелограмм (по признаку) $$\Rightarrow BE||AC;$$

$$BE=AC$$ и $$\angle EAC=\angle BEA=90^{\circ}$$ (как накрест лежащие), $$\angle BAE=30^{\circ}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow BE=\frac{1}{2}AB\Rightarrow AC=\frac{1}{2}AB\Rightarrow \frac{AC}{AB}=\frac{1}{2}$$

Пусть BH — высота.

$$AH=8$$ и $$CH=9$$

Высота AL пересекает высоту BH в точке K:

$$BK=KH=x$$

Треугольники $$\Delta AKH, \Delta BLK$$ и $$\Delta BCH$$ подобные.

Они прямоугольные в $$\Delta AKH, \Delta BLK$$ т.к. углы $$AKH$$ и $$BKL$$ равны как вертикальные,

а $$\Delta BLK, \Delta BCH$$ имеют общий угол $$B.$$

$$\frac{KH}{AH}=\frac{CH}{BH}$$

$$\frac{x}{8}=\frac{9}{2x}$$

$$x\cdot 2x=9\cdot8$$

$$2x^2=72$$

$$x^2=36$$

$$x=6$$

$$BK=KH=6$$

$$BH=12$$

Прямоугольный треугольник KPB с гипотенузой PK вписан в окружность. Следовательно, PK является диаметром окружности. (по теореме об описанной окружности).

$$PK=BH=11$$