ОГЭ
Задание 10244
Стороны AC , AB и треугольника BC ABC равны $$2\sqrt{2}$$,$$\sqrt{5}$$ и 1 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен треугольнику ABC. Найдите косинус угла AKC, если угол KAC является тупым
Задание 10466
В равнобедренной трапеции ABCD с большим основанием AD биссектриса угла А пересекается с биссектрисой угла С в точке F, а также пересекает сторону CD в точке К. Известно, что прямые АВ и CF параллельны. Найдите CF, если FK=$$4\sqrt{3}$$.
- Пусть $$AF \cap BC=E$$. Так как ABCD – равнобедренная трапеция,$$\angle BAC+\angle BCD=180^{\circ}$$. Пусть $$\angle BAC=2\alpha\Rightarrow$$$$\angle BCD=180^{\circ}-2\alpha$$. Тогда $$\angle ECK=2\alpha$$, $$\angle CEK=\alpha$$ ($$\frac{\angle A}{2}$$ - как накрест лежащие)
- $$\angle AFC=\angle BAF=\alpha=\angle CFK$$ (накрест лежащие и вертикальные)
- $$\angle FCK=\frac{180^{\circ}-2\alpha}{2}=90^{\circ}-\alpha$$. Из треугольника CFK $$\angle CKF=180^{\circ}-(\alpha+90^{\circ}+\alpha)=90^{\circ}$$
- Из треугольника CKE: $$90^{\circ}+3\alpha=180^{\circ}\Rightarrow$$$$\alpha=30^{\circ}$$
- $$CF=\frac{FK}{\cos CFK}=$$$$\frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=8$$
Задание 11066
Высота треугольника разбивает его основание на два отрезка с длинами 8 и 9. Найдите длину этой высоты, если известно, что другая высота треугольника делит её пополам.
Пусть $$BH$$ и $$CM$$ - высоты, $$CM\cap BH=P;HP=PB.$$ Пусть $$HP=PB=x.$$ $$\angle BPM=\angle HPC$$ - вертикальные. $$\triangle BMP\sim \triangle ABH$$ (прямоугольные с общим острым углом) $$\to \angle BAH=\angle MPB=\alpha .$$
Из $$\triangle ABH:{\tan \alpha \ }=\frac{2x}{8}=\frac{x}{4}$$
Из $$\triangle PHC:{\tan \alpha \ }=\frac{9}{x}$$
Получим: $$\frac{x}{4}=\frac{9}{x}=x^2=36\to x=6\to BH=12$$
Задание 11171
Прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АBС в точках К и N соответственно. Известно, что АВ = СN = 16, ВС = 20, АС = 28, АК = 11. Найдите длину отрезка КN.
