ОГЭ
Задание 2657
Даны десять чисел, первое из которых равно 16, а каждое следующее больше предыдущего на 4. Найти пятнадцатое из данных чисел.
$$a_{1}=16$$ $$d=4$$ $$n=15$$ $$a_{15}=16+4(15-1)=72$$
Задание 2761
Последовательность $$(b_{n})$$ задана условиями $$b_{1}=-5$$, $$b_{n+1}=-2\frac{1}{b_{n}}$$. Найдите $$b_{3}$$
$$b_{1}=-5$$; $$b_{n+1}=-2\frac{1}{b_{n}}$$ $$b_{2}=-2\cdot\frac{1}{b_{1}}=-2\cdot\frac{1}{-5}=\frac{2}{5}$$ $$b_{3}=-2\cdot\frac{1}{\frac{2}{5}}=-5$$
Задание 2802
Арифметическая прогрессия an задана условиями: $$a_{1}=-15$$, $$a_{n+1}=a_{n}-10$$.Найдите сумму первых восьми её членов.
$$a_{1}=-15$$; $$a_{2}=a_{1}-10=-15-10=-25$$; $$d=a_{2}-a_{1}=-25-(-15)=-10$$ $$S_{n}=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}\cdot n$$ $$S_{7}=\frac{2\cdot(-15)+(-10)\cdot 7}{2}\cdot 8=(-30-70)\cdot4=-400$$
Задание 2843
Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 2; 6; 10; …Найдите сумму первых сорока её членов.
$$a_1=2$$. Разность арифметической прогрессии тут равна : $$d=a_2-a_1=6-2=4$$ $$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}*n$$, где n - порядковый номер, в нашем случае 40. $$S_40=\frac{2*2+4(40-1)}{2}*40=3200$$
Задание 2880
Арифметическая прогрессия задана условием $$a_{n}=-7,9+7,8n$$. Найдите $$a_{14}$$
$$a_{n}=-7,9+7,8n$$ $$a_{14}=-7,9+7,8*14=101,3$$
Задание 2915
Последовательность ($$a_{n}$$) задана условиями $$a_{1}=5 , a_{n+1}=a_{n}-3$$. Найти $$a_{10}$$
Есть два варианта решения, мы можем находить поочередно все члены со второго по десятый, путем вычитания из предыдущего числа 3. То есть, второй у нас будет равен первый минус 3: 5-3=2. Третий же равен, второй минус 3 = 2-3=-1. И так далее до 10: 5-3-3-3-3-3-3-3-3-3=5-27=-22
Или же воспользуемся формулами арифметической прогрессии. Число, которое мы будем вычитать называется разностью арифметической прогрессии, и оно равно -3: d=-3; n-порядковый номер, у нас n=10. Тогда: $$a_{n}=a_{1}+d(n-1)=5-3*(10-1)=5-27=-22$$
Задание 2962
Укажите номер первого отрицательного члена арифметической прогрессии: 19,2; 19; 18,8; …
$$a_{1}=19,2$$
$$d=19-19,2=0,2$$
$$a_{n}=a_{1}+d(n-1)< 0$$
$$19,2-0,2(n-1)< 0$$
$$19,2-0,2n+0,2< 0$$
$$-0,2n< -19,4$$
$$n > 97$$ $$\Rightarrow$$ 98 номер
Задание 3005
Геометрическая прогрессия задана условием $$b_{n}=-6,4\cdot(-\frac{5}{2})^{n}$$. Найдите $$b_{7}$$
$$b_{n}=-6,4\cdot(-\frac{5}{2})^{n}$$ $$b_{7}=-6,4\cdot(-\frac{5}{2})^{7}=$$ $$=\frac{64}{10}\cdot\frac{5^{7}}{2^{7}}=$$ $$=\frac{5^{6}}{2^{2}}=\frac{125^{2}}{4}=3906,25$$
Задание 3052
Дана арифметическая прогрессия $$(a_{n})$$, для которой $$a_{4} = - 140, a_{10} = - 740$$. Найдите разность прогрессии.
$$a_{n} = a_{1} + d(n-1)$$ - формула н-го члена арифметической прогрессии $$a_{4} = a_{1} + d*3 = - 140$$ $$a_{10} = a_{1} + d*9 = - 740$$ $$a_{10}-a_{4} =a_{1} + d*9-(a_{1} + d*3)=6d=-740-(-140)=-600$$ $$d=-100$$
Задание 3089
Дана арифметическая прогрессия ($$a_n$$), для которой a10 =− 2,4 ; a25=− 0,9. Найдите разность прогрессии.
$$d=\frac{a_m-a_n}{m-n} = \frac{a_{25}-a_{10}}{25-10}=\frac{-0,9-(-2,4)}{25-10}=0,1$$
Задание 3129
Арифметическая прогрессия задана условием: $$a_{n}=-7,9+7,8\cdot n$$. Найдите а14
$$a_{14}=-7,9+7,8\cdot14=-7,9+109,2=101,3$$
Задание 3176
Дана арифметическая прогрессия (an), для которой a4 = - 140, a10 = - 740. Найдите разность прогрессии.
Разность арифметической прогрессии находится по формуле: $$d=\frac{a_{m}-a_{n}}{m-n}=\frac{a_{10}-a_{4}}{10-4}=\frac{-740-(-140)}{6}=-100$$
Задание 3225
Арифметическая прогрессия задана условием an=-7,9+7,8*n . Найдите a14
Нам необходимо найти член прогрессии под номером 14, то есть вместо n мы можем просто подставить 14: $$a_{14}=-7,9+7,8*14=-7,9+109,2=101,3$$
Задание 3261
Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 17; 32; 47; ... Найдите сумму первых тринадцати её членов.
Первый член в данном случае равен 17. Разность арифметической прогрессии равна 32-17 = 15. Надо вычислить сумму первых тринадцати, то есть n = 13. Тогда сумма будет равна: $$S_{n}=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n=$$ $$S_{13}=\frac{2*17+15(13-1)}{2}*13=(17+90)*13=107*13=1391$$
Задание 3300
Дана арифметическая прогрессия (an), для которой a4 = - 140, a10 = - 236 Найдите разность прогрессии.
$$d=\frac{a_{m}-a_{n}}{m-n}=\frac{-236-(-140)}{10-4}=\frac{-96}{6}=-16$$