ОГЭ
Задание 7000
Решите уравнение $$\frac{(x^{4}-9x^{2}+20)}{\left | x-2 \right |}=0$$
ОДЗ: $$\left | x-2 \right |\neq 0\Leftrightarrow x\neq 2$$
Решение: $$x^{4}-9x^{2}+20=0$$
Пусть : $$x^{2}=y\geq 0$$, тогда получим:
$$y^{2}-9y+20=0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y_{1}+y_{2}=9\\y_{1}*y_{2}=20\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}y_{1}=4\\y_{2}=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x^{2}=4 \\x^{2}=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\pm 2\\x=\pm \sqrt{5}\end{matrix}\right.$$
С учетом ОЗД: $$x=\pm \sqrt{5}; -2$$
Задание 7086
Решите уравнение $$(x+2)^{4}+(x+4)^{4}=82$$
$$(x+2)^{4}+(x+4)^{4}=82\Leftrightarrow$$ $$(x+2)^{4}+(x+4)^{4}=1^{4}+3^{4}\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}\left | x+2 \right |=1\\\left | x+4 \right |=3\end{matrix}\right. (1)\\\left[\begin{matrix}\left | x+2 \right |=3\\\left | x+4 \right |=1\end{matrix}\right. (2)\end{matrix}\right.$$
1) $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}x+2=1\\x+2=-1\end{matrix}\right.\\\left[\begin{matrix}x+4=3\\x+4=-3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}x=-1\\x=-3\end{matrix}\right.\\\left[\begin{matrix}x=-1\\x=-7\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=-1$$
2) $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}x+2=3\\x+2=-3\end{matrix}\right.\\\left[\begin{matrix}x+4=1\\x+4=-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x=1\\x=-5 \end{matrix}\right.\\\left[\begin{matrix}x=-3\\x=-5 \end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=-5$$
Задание 7276
Решите уравнение $$\sqrt{x+3}(x^{2}+7x+10)=0$$
$$\sqrt{x+3}(x^{2}+7x+10)=0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x+3\geq 0\\\left[\begin{matrix}x+3=0\\x^{2}+7x+10=0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x\geq -3\\\left[\begin{matrix}x=-3\\x=-2\\x=-5\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Rightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=-3\\x=-2\end{matrix}\right.$$
Задание 7468
Решите уравнение $$(x^{2}-16)^{2}+(x^{2}+3x-4)^{2}=0$$
Так как дана сумма двух квадратов, и каждый из них число неотрицательное, то ноль в сумме будет лишь в том случае, когда оба слагаемых одновременно равны 0: $$\left\{\begin{matrix}x^{2}-16=0\\x^{2}+3x-4=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pm 4\\x_{1}=-4; x_{2}=1\end{matrix}\right.$$ Как видим, -4 является корнем в обоих случаях, следовательно, это и будет корнем начального уравнения
