Перейти к основному содержанию

ОГЭ

(C1) Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы

Уравнения

Задание 2334

Ре­ши­те урав­не­ние: $$(x+2)^{4}-4(x+2)^{2}-5=0$$

Ответ: $$-2-\sqrt{5}; -2+\sqrt{5}$$
Скрыть

$$(x+2)^{4}-4(x+2)^{2}-5=0$$
Пусть $$(x+2)^{2}=y\geq 0$$, тогда получаем уравнение:$$y^{2}-4y-5=0$$. По теореме Виета: $$\left\{\begin{matrix}y_{1}+x_{2}=4\\ y_{1}*x_{2}=-5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ y_{1}=5;y_{2}=-1$$
Возвращаемся к обратной замене:
$$\left\{\begin{matrix}(x+2)^{2}=5\\(x+2)^{2}=-1\end{matrix}\right.$$
В первом случае: $$\left\{\begin{matrix}x+2=\sqrt{5}\\x+2=-\sqrt{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ x_{1}=-2+\sqrt{5};x_{2}=-2-\sqrt{5}$$
Во втором случае решений нет, так как при замене указывали, что $$y\geq 0$$(так как квадрат числа число неотрицательное

Задание 2890

Решите уравнение: $$x^{2}(x-1)^{3}=x^{4}(x-1)$$

Ответ: 0;0.5;1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 2925

Решите уравнение $$(x+1)(x^{2}-10x+25)=7(x-5)$$

Ответ: -2 ; 5 ; 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Решение временно отсутствует, можете найти его в моем видео-разборе ( вначале варианта )

Задание 3310

Решите уравнение: $$(x-3)(x-2)(x-1)x=3$$

Ответ: $$\frac{3\pm\sqrt{11}}{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 3405

Решите уравнение: $$x^{2}+\frac{9x^{2}}{(x-3)^{2}}=16$$

Ответ: $$-1\pm \sqrt{7}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 4326

Решите уравнение $$x^{2}(x-2)^{3}=x^{4}(x-2)$$

Ответ: 0;1;2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$x^{2}(x-2)^{3}-x^{4}(x-2)=0$$; $$x^{2}(x-2)((x-2)^{2}-x^{2})=0$$; $$x^{2}(x-2)(x-2-x)(x-2+x)=0$$;

$$\left\{\begin{matrix}x=0\\x=2\\x=1\end{matrix}\right.$$

Задание 4799

Решите уравнение: $$\frac{x^{17}-1}{1-x^{15}}=\frac{1-x^{15}}{x^{13}-1}$$

Ответ: {-1;0}
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Так как в знаменателе переменная, мы исключаем деление на 0. То есть $$x\neq 1$$ $$\frac{x^{17}-1}{1-x^{15}}=\frac{1-x^{15}}{x^{13}-1}\Leftrightarrow $$$$(x^{17}-1)(x^{13}-1)=(1-x^{15})^{2}\Leftrightarrow $$$$x^{30}-x^{17}-x^{13}+1=1-2x^{15}+x^{30}\Leftrightarrow $$$$x^{17}-2x^{15}+x^{13}=0\Leftrightarrow $$$$x^{13}(x^{4}-2x^{2}+1)=0 \Leftrightarrow $$$$x^{13}(x^{2}-1)^{2}=0$$ Тогда или $$x^{13}=0$$, или $$x^{2}-1=0$$. В первом случае $$x=0$$, во втором $$x=\pm 1$$.Корень $$x=1$$ не входит в ОДЗ

Задание 5037

Решите уравнение $$(x^{2}-25)^{2}+(x^{2}+3x-10)^{2}=0$$

Ответ: -5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}x^{2}-25=0\\x^{2}+3x-10=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pm5\\\left\{\begin{matrix}x_{1}=-5\\x_{2}=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$

Задание 5221

Решите уравнение $$(x-2)^{3}-(x-3)^{3}=37$$

Ответ: $$\left \{ -1;6 \right \}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Разложим левую часть уравнения по формуле сокращенного умножения разность кубов: $$((x-2)-(x-3))((x-2)^{2}+(x-2)(x-3)+(x-3)^{2})=37 \Leftrightarrow$$$$(x-2-x+3)(x^{2}-4x+4+x^{2}-5x+6+x^{2}-6x+9)=37 \Leftrightarrow$$$$1*(3x^{2}-15x+19)=37\Leftrightarrow$$$$3x^{2}-15x-18=0 |:3 \Leftrightarrow$$$$x^{2}-5x-6=0$$ Воспользуемся теоремой Виета: $$\left[\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=5\\ x_{1}*x_{2}=-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left[\begin{matrix}x_{1}=6\\ x_{2}=-1\end{matrix}\right.$$

Задание 5269

 Решите уравнение $$\frac{6}{(x+1)(x+2)}+\frac{8}{(x-1)(x+4)}=1$$

Ответ: $$0 ; -3 ; \frac{-3\pm \sqrt{73}}{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\frac{6}{(x+1)(x+2)}+\frac{8}{(x-1)(x+4)}=1$$ ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x+1\neq 0\\ x+2\neq 0\\ x-1\neq 0\\ x+4\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x\neq -1\\ x\neq -2\\ x\neq 1\\ x\neq -4\end{matrix}\right.$$ Раскроем скобки в знаменателях: $$\frac{6}{(x^{2}+3x+2}+\frac{8}{(x^{2}+3x-4}=1$$ Пусть $$x^{2}+3x+2=y$$ , тогда $$x^{2}+3x-4=x^{2}+3x+2-6=y-6$$ $$\frac{6}{y}+\frac{8}{y-6}=1\Leftrightarrow $$ $$6(y-6)+8y=y(y-6)\Leftrightarrow $$ $$6y-36+8y-y^{2}+6y=0|\cdot(-1)\Leftrightarrow $$ $$y^{2}-20y+36=0\Leftrightarrow $$ $$D=400-144=256=16^{2}$$ $$\left [ \begin{matrix}y_{1}=\frac{20+16}{2}=18\\ y_{2}=\frac{20-16}{2}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$ $$\left [ \begin{matrix}x^{2}+3x+2=18\\ x^{2}+3x+2=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$ \left [ \begin{matrix}x^{2}+3x-16=0(1) \\ x^{2}+3x=0(2) \end{matrix}\right.$$ $$1)x^{2}+3x-16=0$$ $$D=9+64=73$$ $$x_{1,2}=\frac{-3\pm \sqrt{73}}{2}$$ $$2)x^{2}+3x=0\Leftrightarrow $$$$x(x+3)=0 \Leftrightarrow $$$$x=0 ; x=-3$$

Задание 5317

Решите уравнение $$(x+2)(x^{2}-6x+9)=-4(x-3)$$

Ответ: -1 ; 2 ; 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$(x+2)(x^{2}-6x+9)=-4(x-3) \Leftrightarrow$$$$(x+2)(x^-3)^{2}+4(x-3)=0 \Leftrightarrow$$$$(x-3)((x+2)(x-3)+4)=0$$ Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: $$\left [ \begin{matrix}x-3=0\\ (x+2)(x-3)+4=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left [ \begin{matrix}x=3\\ x^{2}-x-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left [ \begin{matrix}x=3\\ x=2\\ x=-1\end{matrix}\right.$$

Задание 6210

Решите уравнение: $$x^{2}(x-2)^{3}=x^{4}(x-2)$$

Ответ: 0;1;2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$x^{2}(x-2)^{3}=x^{4}(x-2)$$ $$x^{4}(x-2)-x^{2}(x-2)^{3}=0$$ $$x^{2}(x-2)((x-2)^{2}-x^{2})=0$$ $$x^{2}(x-2)(x-2-x)(x-2+x)=0$$ $$\left\{\begin{matrix}x=0 \\x-2=0 \\2x-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x=0 \\x=2 \\x=1\end{matrix}\right.$$

Задание 6257

Решите уравнение $$(x+3)(x^{2}-6x+9)=7(x-3)$$

Ответ: -4;3;4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Разложим на множители данное уравнение: $$(x+3)(x^{2}-6x+9)=7(x-3)$$ $$(x+3)(x^{2}-3)^{2}-7(x-3)=0$$ $$(x-3)((x+3)(x-3)-7)=0$$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: $$\left\{\begin{matrix}x-3=0 \\x^{2}-9-7=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=3 \\x^{2}=16 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=3 \\x=4 & & & \\x=-4 \end{matrix}\right.$$

Задание 6644

Решите уравнение $$x^{2}-2x+\sqrt{6-x}=\sqrt{6-x}+35$$

Ответ: -5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Найдем ОДЗ: $$6-x\geq 0\Leftrightarrow 6(1)$$

$$x^{2}-2x-35=0\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=2\\x_{1}*x_{2}=-35\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=7\notin (1)\\x_{2}=-5\end{matrix}\right.$$

Задание 6785

Решите уравнение $$x^{2}+\frac{25x^{2}}{(x+5)^{2}}=\frac{125}{4}$$

Ответ: -2,5;5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     $$x^{2}+\frac{25x^{2}}{(x+5)^{2}}=\frac{125}{4}$$

ОДЗ: $$x+5\neq 0\Rightarrow$$ $$x\neq -5$$

     $$x^{2}+(\frac{5x}{x+5})^{2}+2*\frac{x*5x}{x+5}-2*\frac{x*5x}{x+5}=\frac{125}{4}\Leftrightarrow$$$$(x-\frac{5x}{x+5})^{2}+\frac{10x^{2}}{x+5}=\frac{125}{4}\Leftrightarrow$$$$(\frac{x^{2}+5x-5x}{(x+5)})^{2}+10*\frac{x^{2}}{x+5}-\frac{125}{4}=0\Leftrightarrow$$$$(\frac{x^{2}}{x+5})^{2}+10*\frac{x^{2}}{x+5}-\frac{125}{4}=0$$

     Пусть $$\frac{x^{2}}{x+5}=y$$: $$y^{2}+10y-\frac{125}{4}=0$$

$$D=100+125=15$$
$$y_{1}=\frac{-10+15}{2}=\frac{5}{2}$$
$$y_{2}=\frac{-10-15}{2}=-\frac{25}{2}$$

     $$\left[\begin{matrix}\frac{x^{2}}{x+5}=\frac{5}{2}\\\frac{x^{2}}{x+5}=-\frac{25}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}2x^{2}-5x-25=0(1)\\2x^{2}+25x+125=0(2)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=5\\x=-2,5\end{matrix}\right.$$

1) D=25+200=225: $$\left[\begin{matrix}x_{1}=\frac{5+15}{4}=5\\x_{2}=\frac{5-15}{4}=-\frac{5}{2}\end{matrix}\right.$$

2) D=625-1000<0 - решений нет