ОГЭ / (C1) Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Выполним данное задание по действиям:

1. $$\frac{a-c}{a^{2}+ac+c^{2}}\cdot \frac{a^{3}-c^{3}}{a^{2}b-bc^{2}}=$$$$\frac{a-c}{a^{2}+ac+c^{2}}\cdot \frac{(a-c)(a^{2}+ac+c^{2})}{b(a-c)(a+c)}$$$$=\frac{a-c}{b(a+c)}$$
2. $$1+\frac{c}{a-c}-\frac{1+c}{c}=$$$$\frac{ac-c^{2}+c^{2}-a-ac+c+c^{2}}{c(a-c)}=$$$$\frac{c+c^{2}-a}{c(a-c)}$$
3. $$\frac{a-c}{b(a+c)}*\frac{c+c^{2}-a}{c(a-c)}*\frac{bc}{c(1+c)-a}=\frac{1}{(a+c)}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\frac{\sqrt{97+56\sqrt{3}}}{\sqrt{7+4\sqrt{3}}}*\sqrt{7-4\sqrt{3}}$$ Выделим полный квадрат из $$97 +56\sqrt{3}$$ $$\left\{\begin{matrix}a^{2}+b^{2} =97\\2ab=56\sqrt{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}a^{2}+b^{2}=97(1)\\ab=28 \sqrt{3}\end{matrix}\right.$$ $$28\sqrt{3}=2*2*7*\sqrt{3}$$, пусть a = 7 , тогда $$b=4\sqrt{3}.$$ Выполним выполнение равенства(1): $$7^{2}+(4\sqrt{3})^{2}=49+48=97$$ –верно, тогда $$97+56*\sqrt{3}=(7+4\sqrt{3})^{2}.$$ Получим: $$\sqrt{\frac{(7+4\sqrt{3})^{2}}{7+4\sqrt{3}}*(7-4\sqrt{3})}=$$$$\sqrt{(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})}=\sqrt{49-48}=1.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$x^{2}(x-2)^{3}=x^{4}(x-2)$$ $$x^{4}(x-2)-x^{2}(x-2)^{3}=0$$ $$x^{2}(x-2)((x-2)^{2}-x^{2})=0$$ $$x^{2}(x-2)(x-2-x)(x-2+x)=0$$ $$\left\{\begin{matrix}x=0 \\x-2=0 \\2x-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x=0 \\x=2 \\x=1\end{matrix}\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Разложим на множители данное уравнение: $$(x+3)(x^{2}-6x+9)=7(x-3)$$ $$(x+3)(x^{2}-3)^{2}-7(x-3)=0$$ $$(x-3)((x+3)(x-3)-7)=0$$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: $$\left\{\begin{matrix}x-3=0 \\x^{2}-9-7=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=3 \\x^{2}=16 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=3 \\x=4 & & & \\x=-4 \end{matrix}\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\left\{\begin{matrix}x^{2}+xy+y^{2}=37\\x^{3}-y^{3}=37\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+xy+y^{2}=37\\(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})=37\end{matrix}\right.$$ Поделим второе на первое уравнение :$$x-y=1\Leftrightarrow x=1+y$$ $$(1+y)^{2}+(1+y)y+y^{2}=37$$ $$1+2y+y^{2}+y+y^{2}+y^{2}=37$$ $$3y^{2}+3y-36=0|:3$$ $$y^{2}+y-12=0\Leftrightarrow$$ $$D=1+48=49\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y_{1}=\frac{-1+7}{2}=3\\y_{2}=\frac{-1-7}{2}=-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=1+3=4\\x_{2}=1-4=-3\end{matrix}\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     Область определения: $$x^{2}-|x|-2\neq 0\Leftrightarrow$$$$|x|\neq 2, |x|\neq -1\Leftrightarrow$$$$x\neq \pm 2$$

     Раскроем модуль:

1)   При $$x\geq 0 \Rightarrow$$ $$\frac{(x+2)(x+1)}{x^{2}-x-2} \leq -3x\Leftrightarrow$$ $$\frac{(x+2)(x-1)}{(x-2)(x+1)}\leq -3x\Leftrightarrow$$ $$\frac{x+2}{x-2}+3x\leq 0$$

     Рассматриваем числитель дроби, чтобы разбить его на множители: $$3x^{2}-5x+2=0$$

$$D=25-24=1$$

$$x_{1}=\frac{5+1}{6}=1$$

$$x_{2}=\frac{5-1}{6}=\frac{2}{3}$$

     Следовательно,$$\frac{(x-\frac{2}{3})(x+1)}{x-2}\leq 0$$

2)   При $$x<0 \Rightarrow$$$$\frac{(x+2)(x+1)}{x^{2}+x-2}\leq -3x\Leftrightarrow$$ $$\frac{(x+2)(x+1)}{(x+2)(x-1)}+3x\leq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{x+1}{x-1}+3x\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{x+1+3x^{2}-3x}{x-1}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{3x^{2}-2x+1}{x-1}\leq 0$$

     Рассмотрим числитель полученной дроби:

$$3x^{2}-2x+1=0$$

$$D=4-12<0$$

     Следовательно, числитель данной дроби всегда положителен и не влияет на знак неравенства: $$\frac{1}{x-1}\leq 0$$

     С учетом обрасти опредеделения:

$$x \in (-\infty ;-2)\cup(-2;\frac{2}{3})\cup [1; 2)$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     Область определения D(y):

$$\left\{\begin{matrix}\frac{3x^{2}-2x-5}{x-2}\geq 0\\x-2\neq 0 & &\end{matrix}\right.$$

     Рассмотрим числитель дроби :$$3x^{2}-2x-5=0$$

$$D=4+60=64$$

$$x_{1}=\frac{2+8}{6}=\frac{5}{3}$$

$$x_{2}=\frac{2-8}{6}=-1$$

     Получаем :

$$\left\{\begin{matrix}\frac{(x-\frac{5}{3})(x+1)}{x-2}\geq 0\\x\neq 2\end{matrix}\right.$$

Тогда: $$x\in [-1 ;\frac{5}{3}]\cup (2;+\infty )$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     Выделим полные квадраты под корнем (чтобы восользоваться формулой $$\sqrt{a^{2}}=|a|$$:

     Пусть $$\left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}=21\\ 2ab=8\sqrt{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}=21\\ab=4\sqrt{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix} a=4\\b=\sqrt{5}\end{matrix}\right.$$

     Тогда: $$\sqrt{(4+\sqrt{5})^{2}}-\sqrt{(4-\sqrt{5})^{2}}=$$$$\left | 4+\sqrt{5} \right |-\left | 4-\sqrt{5} \right |=$$$$4+\sqrt{5}-4+\sqrt{5}=2\sqrt{5}$$ (учитываем знак подмодульного выражения (если положительное, то раскрываем модуль не меняя знаки, если отрицательное - то меняем) при раскрытии модуля)

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     $$\left\{\begin{matrix}(x+y)^{2}+2x=35-2y\\(x-y)^{2}-2y=3-2x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}(x+y)^{2}=35-2(x+y)\\(x-y)^{2}=3-2(x-y)\end{matrix}\right.$$

     Пусть x+y=a; x-y=6

     $$\left\{\begin{matrix}a^{2}=35-2a\\b^{2}=3-2b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a^{2}+2a-35=0\\b^{2}+2b-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}a=-7\\a=5\end{matrix}\right.\\\left[\begin{matrix}b=-3\\b=1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$

     Получаем четыре пары решений: (-7;-3);(-7;1);( 5;-3); (5;1)

     1) $$\left\{\begin{matrix}x+y=-7\\x-y=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$2x=-10\Leftrightarrow$$ $$x=-5\Leftrightarrow$$ $$y=-2$$

     2) $$\left\{\begin{matrix}x+y=-1\\x-y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$2x=-6\Leftrightarrow$$$$x=-3\Leftrightarrow$$ $$y=-4$$

     3) $$\left\{\begin{matrix}x+y=5\\x-y=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$2x=2\Leftrightarrow$$ $$x=1\Leftrightarrow$$ $$y=4$$

     4) $$\left\{\begin{matrix}x+y=5\\x=y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$2x=6\Leftrightarrow$$ $$x=3\Rightarrow$$ $$y=2$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     $$\left\{\begin{matrix}x^{2}-xy+y^{2}=79\\x-y=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}(7+y)^{2}-(7+y)y+y^{2}=79\\x=7+y\end{matrix}\right.$$

     $$49+14y+y^{2}-7y-y^{2}+y^{2}-79=0\Leftrightarrow$$$$y^{2}+7y-30=0$$

     $$\left\{\begin{matrix}y_{1}+y_{2}=-7\\y_{1}y_{2}=-30\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y_{1}=-10\\y_{2}=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=7-10=-3\\x_{2}=7+3-10\end{matrix}\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\left\{\begin{matrix}xy+x-y=7\\x^{2}y-xy^{2}=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}xy+(x-y)=7\\xy(x-y)=6\end{matrix}\right.$$

     Пусть xy=a; x-y=b.

$$\left\{\begin{matrix}a+b=7\\ab=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}a=1\\b=6\end{matrix}\right. (1)\\\left\{\begin{matrix}a=6\\b=1\end{matrix}\right. (2)\end{matrix}\right.$$

     1) $$\left\{\begin{matrix}xy=1\\x-y=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}6y+y^{2}=1\\x=6+y\end{matrix}\right.$$

$$y^{2}+6y-1=0$$, $$D=36+4=40\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}y_{1}=\frac{-6+\sqrt{40}}{2}=-3+\sqrt{10}\\y_{2}=\frac{-6-\sqrt{40}}{2}=-3-\sqrt{10}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x_{1}=3+\sqrt{10}\\x_{2}=3-\sqrt{10}\end{matrix}\right.$$

     2)$$\left\{\begin{matrix}xy=6\\x-y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y+y^{2}-6=0\\x=1+y\end{matrix}\right.$$

$$y^{2}+y-6=0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y_{1}+y_{2}=-1\\y_{1}y_{2}=-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}y_{1}=-3\\y_{2}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x_{1}=-2\\x_{2}=3\end{matrix}\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Найдем ОДЗ: $$6-x\geq 0\Leftrightarrow 6(1)$$

$$x^{2}-2x-35=0\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=2\\x_{1}*x_{2}=-35\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=7\notin (1)\\x_{2}=-5\end{matrix}\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     $$\left\{\begin{matrix}x+xy+y=5\\x^{2}+xy+y^{2}=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}(x+y)+xy=5\\x^{2}+2xy+y^{2}-xy=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}(x+y)+xy=5\\(x+y)^{2}-xy=7\end{matrix}\right.$$

     Пусть x+y=a; xy=b

     $$\left\{\begin{matrix}a+b=5(1)\\a^{2}-b=7(2)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$b=5-a$$

     Сложим (1) и (2): $$a^{2}+a=12\Leftrightarrow$$ $$a^{2}+a-12=0$$

     $$\left\{\begin{matrix}a_{1}+a_{2}=-1\\a_{1}*a_{2}=-12\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a_{1}=-4\\a_{2}=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}b=5-(-4)=9\\b=5-3=2\end{matrix}\right.$$

     $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x+y=-4\\xy=9\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x+y=3\\xy=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x=4-y\\(-4-y)y=9\end{matrix}\right. (1)\\\left\{\begin{matrix}x=3+y\\(3-y)y=2\end{matrix}\right.(2)\end{matrix}\right.$$

     (1): $$-y^{2}-4y-9=0\Leftrightarrow$$ $$y^{2}+4y+9=0\Leftrightarrow$$ $$D=16-36<0\Rightarrow$$ решений нет

     (2): $$3y-y^{2}=2\Leftrightarrow$$ $$y^{2}-3y+2=0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}y_{1}=1\\y_{2}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x_{1}=2\\x_{2}=1\end{matrix}\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\sqrt{x-\frac{8}{x-2}}\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x-2\neq 0\\x-\frac{8}{x-2}\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x\neq 2\\\frac{x^{2}-2x-8}{x-2}\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x\neq 2\\\frac{(x-4)(x+2)}{x-2}\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x\geq 4\\\left\{\begin{matrix}x\leq 2\\x>-2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     $$x^{2}+\frac{25x^{2}}{(x+5)^{2}}=\frac{125}{4}$$

ОДЗ: $$x+5\neq 0\Rightarrow$$ $$x\neq -5$$

     $$x^{2}+(\frac{5x}{x+5})^{2}+2*\frac{x*5x}{x+5}-2*\frac{x*5x}{x+5}=\frac{125}{4}\Leftrightarrow$$$$(x-\frac{5x}{x+5})^{2}+\frac{10x^{2}}{x+5}=\frac{125}{4}\Leftrightarrow$$$$(\frac{x^{2}+5x-5x}{(x+5)})^{2}+10*\frac{x^{2}}{x+5}-\frac{125}{4}=0\Leftrightarrow$$$$(\frac{x^{2}}{x+5})^{2}+10*\frac{x^{2}}{x+5}-\frac{125}{4}=0$$

     Пусть $$\frac{x^{2}}{x+5}=y$$: $$y^{2}+10y-\frac{125}{4}=0$$

     $$\left[\begin{matrix}\frac{x^{2}}{x+5}=\frac{5}{2}\\\frac{x^{2}}{x+5}=-\frac{25}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}2x^{2}-5x-25=0(1)\\2x^{2}+25x+125=0(2)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=5\\x=-2,5\end{matrix}\right.$$

1) D=25+200=225: $$\left[\begin{matrix}x_{1}=\frac{5+15}{4}=5\\x_{2}=\frac{5-15}{4}=-\frac{5}{2}\end{matrix}\right.$$

2) D=625-1000<0 - решений нет