Перейти к основному содержанию

ОГЭ

ОГЭ / (C1) Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы

Задание 3015

Решите неравенство $$\frac{x^{2}+7x+10}{\left|x+2\right|}\leq 0$$

Ответ: $$x\in [-5; -2)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\frac{x^{2}+7x+10}{\left|x+2\right|}\leq 0$$ $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+7x+10\leq 0\\x+2\neq 0\end{matrix}\right.$$ $$x^{2}+7x+10=0$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-7\\x_{1}\cdot x_{2}=10\end{matrix}\right.$$ $$x_{1}=-2$$ $$x_{2}=-5$$ $$x\in [-5; -2)$$

Задание 3099

Решите неравенство: $$(x+1-\sqrt{3})^{2}\cdot(x-\sqrt{6}+2)>0$$

Ответ: $$x\in(\sqrt{6}-2;\sqrt{3}-1)\cup(\sqrt{3}-1;+\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$(x+1-\sqrt{3})^{2}\cdot(x-\sqrt{6}+2)>0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}(x-\sqrt{6}+2)>0\\x+1-\sqrt{3}\neq0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>\sqrt{6}-2\\x\neq\sqrt{3}-1\end{matrix}\right.$$

Задание 3139

Решите неравенство $$\frac{x-3}{x^2-1}+\frac{1}{x+1}\leq \frac{x-2}{x(x-1)}$$

Ответ: $$(-\infty;-1);(0;1);(1;2]$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Текстовое решение временно недоступно, вы можете его увидеть в видео в начале варианта

Задание 3186

Найдите значение выражения: $$\sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}$$

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}=$$ $$=\sqrt{(2+\sqrt{3})^{2}}+\sqrt{(2-\sqrt{3})^{2}}=$$ $$=|2+\sqrt{3}|+|2-\sqrt{3}|=2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}=4$$

Задание 3271

Решите систему уравнений: $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+xy=4y\\y^{2}+xy=4x\end{matrix}\right.$$

Ответ: (0;0); (2;2)
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}x^{2}+xy=4y\\y^{2}+xy=4x\end{matrix}\right.$$ $$x^{2}-y^{2}=4y-4x$$ $$(x-y)(x+y)-4(y-x)=0$$ $$(x-y)(x+y)+4(x-y)=0$$ $$(x-y)(x+y+4)=0$$ $$\left\{\begin{matrix}x=y\\x=-4-y\end{matrix}\right.$$ 1) $$x=y$$ $$y^{2}+y\cdot y=4y$$ $$\Leftrightarrow$$ $$2y^{2}-4y=0$$ $$2y(y-2)=0$$ $$y=0$$ $$\Rightarrow$$ $$x=0$$ $$y=2$$ $$\Rightarrow$$ $$x=2$$ 2) $$x=-4-y$$ $$(-4-y)^{2}+(-4-y)y=4y$$ $$16+8y+y^{2}-4y-y^{2}-4y=0$$ $$16=0$$ $$\Rightarrow$$ нет решений

Задание 3310

Решите уравнение: $$(x-3)(x-2)(x-1)x=3$$

Ответ: $$\frac{3\pm\sqrt{11}}{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 3357

Решите систему уравнений $$\left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2}=3\\ x^{3}-y^{3}=7(x-y)\end{matrix}\right.$$

Ответ: $$(2;1);(-2;-1);$$$$(-\frac{5}{\sqrt{3}};\frac{4}{\sqrt{3}});$$$$(\frac{5}{\sqrt{3}};-\frac{4}{\sqrt{3}})$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 3405

Решите уравнение: $$x^{2}+\frac{9x^{2}}{(x-3)^{2}}=16$$

Ответ: $$-1\pm \sqrt{7}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 3564

Сократите дробь $$\frac{324^{n}}{6^{2n+1}\cdot3^{2n-1}}$$

Ответ: 0,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\frac{324^{n}}{6^{2n+1}\cdot3^{2n-1}}=$$ $$=\frac{(36\cdot9)^{n}}{6^{2n+1}\cdot3^{2n-1}}=$$ $$=\frac{(6^{2}\cdot3^{2})^{n}}{6^{2n+1}\cdot3^{2n-1}}=$$ $$=\frac{6^{2n}\cdot3^{2n}}{6^{2n+1}\cdot3^{2n-1}}=6^{2n-2n-1}\cdot3^{2n-2n+1}=\frac{3}{6}=0,5$$

Задание 3841

Решите систему уравнений: $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+7x-y+11=0\\y^{2}+3x-y+15=0\end{matrix}\right.$$

Ответ: $$(-5;1)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Сложим эти два уравнения: $$x^{2}+y^{2}+10x-2y+26=0$$ $$x^{2}+10x+25+y^{2}-2y+1=0$$ $$(x+5)^{2}+(y-1)^{2}=0$$ Сумма 2х квадратов равна 0 тогда, когда оба равны 0. $$\left\{\begin{matrix}x+5=0\\y-1=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=-5\\y=1\end{matrix}\right.$$

Задание 3992

Решите неравенство $$(\frac{x+2}{8-x})^{2}\leq\frac{1}{16}$$

Ответ: $$x\in[-\frac{16}{3};0]$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$(\frac{x+2}{8-x})^{2}\leq\frac{1}{16}$$

ОДЗ: $$8-1\neq0$$

$$x\neq8$$

$$\frac{x+2}{8-x}=y$$

$$y^{2}\leq\frac{1}{16}$$

$$y^{2}-(\frac{1}{4})^{2}\leq0$$

$$\left\{\begin{matrix}y\geq-\frac{1}{4}\\y\leq\frac{1}{4}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\left\{\begin{matrix}\frac{x+2}{8-x}\geq-\frac{1}{4}\\\frac{x+2}{8-x}\leq\frac{1}{4}\end{matrix}\right.$$

1) $$\frac{x+2}{8-x}+\frac{1}{4}\geq0$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\frac{4x+8+8-x}{4(8-x)}\geq0$$

$$\frac{3x+16}{8-x}\geq0$$ $$\Leftrightarrow$$

$$x\in[-\frac{16}{3};8)$$

2) $$\frac{x+2}{8-x}-\frac{1}{4}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\frac{4x+8-8+x}{4(8-x)}\leq0$$

$$\frac{5x}{8-x}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$

$$x\in(-\infty;0]\cup(8;+\infty)$$

Найдем пересечение ответов: $$x\in[-\frac{16}{3};0]$$

Задание 4056

Найдите значение выражения: $$\frac{\sqrt{47+12\sqrt{11}}}{\sqrt{6+\sqrt{11}}}\cdot\sqrt{6-\sqrt{11}}$$

Ответ: 5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Рассмотрим $$47+12\sqrt{11}$$ и выделим полный квадрат:

$$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$$

$$\left\{\begin{matrix}a^{2}+b^{2}=47\\2ab=12\sqrt{11}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$

$$\left\{\begin{matrix}a^{2}+b^{2}=47(1)\\ab=6\sqrt{11}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$

Пусть $$a=6$$, $$b=\sqrt{11}$$ проверим, подставляя в (1):

$$6^{2}+\sqrt{11}^{2}=36+11=47\Rightarrow$$

$$47+12\sqrt{11}=(6+\sqrt{11})^{2}$$

$$\frac{\sqrt{47+12\sqrt{11}}}{\sqrt{6+\sqrt{11}}}\cdot\sqrt{6-\sqrt{11}}=$$

$$=\frac{\sqrt{(6+\sqrt{11})^{2}\cdot(6-\sqrt{11})}}{\sqrt{6+\sqrt{11}}}=$$

$$=\sqrt{(6+\sqrt{11})(6-\sqrt{11})}=\sqrt{36-11}=\sqrt{25}=5$$

Задание 4326

Решите уравнение $$x^{2}(x-2)^{3}=x^{4}(x-2)$$

Ответ: 0;1;2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$x^{2}(x-2)^{3}-x^{4}(x-2)=0$$; $$x^{2}(x-2)((x-2)^{2}-x^{2})=0$$; $$x^{2}(x-2)(x-2-x)(x-2+x)=0$$;

$$\left\{\begin{matrix}x=0\\x=2\\x=1\end{matrix}\right.$$

Задание 4532

Решите неравенство $$\frac{8-4x}{x+1}>4+\frac{x+1}{x-2}$$

Ответ: $$x\in(-1;1)\cup(1;2)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\frac{8-4x}{x+1}>4+\frac{x+1}{x-2}$$; $$\frac{(8-4x)(x-2)-4(x+1)(x+2)-(x+1)(x+1)}{(x+1)(x-2)}>0$$; $$\frac{8x-16-4x^{2}+8x-4x^{2}+8x-4x+8-x^{2}-2x-1}{(x+1)(x-2)}>0$$; $$\frac{-9x^{2}+18x-9}{(x+1)(x-2)}>0$$; $$\frac{-9(x-1)^{2}}{(x+1)(x-2)}>0$$; $$\frac{(x-1)^{2}}{(x+1)(x-2)}<0$$;

$$x\in(-1;1)\cup(1;2)$$

Задание 4649

Решите систему уравнений $$\left\{\begin{matrix} x^{2}-5xy+4y^{2}=0\\ 2x^{2}-y^{2}=31 \end{matrix}\right.$$

Ответ: $$(4;1);(-4;-1);(\sqrt{31};\sqrt{31});(-\sqrt{31};-\sqrt{31})$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Решим первое уравнение системы относительно у: $$x^{2}-5xy+4y^{2}=0$$ $$D=(-5y)^{2}-4*4y^{2}=9y^{2}$$ $$x_{1}=\frac{5y+3y}{2}=4y$$ $$x_{2}=\frac{5y-3y}{2}=y$$ Подставим первый х во второе: $$2*(4y)^{2}-y^{2}=31$$ $$y^{2}=1$$ $$y_{1a}=1 ; y_{1b}=-1$$ Тогда: $$x_{1a}=4 ; x_{1b}=-4$$ Подставим второй х во второе: $$2*y^{2}-y^{2}=31$$ $$y^{2}=31$$ $$y_{2a}=\sqrt{31} ; y_{2b}=-\sqrt{31}$$ Тогда: $$x_{2a}=\sqrt{31} ; x_{2b}=-\sqrt{31}$$