ОГЭ
Задание 3015
Решите неравенство $$\frac{x^{2}+7x+10}{\left|x+2\right|}\leq 0$$
$$\frac{x^{2}+7x+10}{\left|x+2\right|}\leq 0$$ $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+7x+10\leq 0\\x+2\neq 0\end{matrix}\right.$$ $$x^{2}+7x+10=0$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-7\\x_{1}\cdot x_{2}=10\end{matrix}\right.$$ $$x_{1}=-2$$ $$x_{2}=-5$$ $$x\in [-5; -2)$$
Задание 3099
Решите неравенство: $$(x+1-\sqrt{3})^{2}\cdot(x-\sqrt{6}+2)>0$$
$$(x+1-\sqrt{3})^{2}\cdot(x-\sqrt{6}+2)>0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}(x-\sqrt{6}+2)>0\\x+1-\sqrt{3}\neq0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>\sqrt{6}-2\\x\neq\sqrt{3}-1\end{matrix}\right.$$
Задание 3139
Решите неравенство $$\frac{x-3}{x^2-1}+\frac{1}{x+1}\leq \frac{x-2}{x(x-1)}$$
Текстовое решение временно недоступно, вы можете его увидеть в видео в начале варианта
Задание 3186
Найдите значение выражения: $$\sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}$$
$$\sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}=$$ $$=\sqrt{(2+\sqrt{3})^{2}}+\sqrt{(2-\sqrt{3})^{2}}=$$ $$=|2+\sqrt{3}|+|2-\sqrt{3}|=2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}=4$$
Задание 3271
Решите систему уравнений: $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+xy=4y\\y^{2}+xy=4x\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix}x^{2}+xy=4y\\y^{2}+xy=4x\end{matrix}\right.$$ $$x^{2}-y^{2}=4y-4x$$ $$(x-y)(x+y)-4(y-x)=0$$ $$(x-y)(x+y)+4(x-y)=0$$ $$(x-y)(x+y+4)=0$$ $$\left\{\begin{matrix}x=y\\x=-4-y\end{matrix}\right.$$ 1) $$x=y$$ $$y^{2}+y\cdot y=4y$$ $$\Leftrightarrow$$ $$2y^{2}-4y=0$$ $$2y(y-2)=0$$ $$y=0$$ $$\Rightarrow$$ $$x=0$$ $$y=2$$ $$\Rightarrow$$ $$x=2$$ 2) $$x=-4-y$$ $$(-4-y)^{2}+(-4-y)y=4y$$ $$16+8y+y^{2}-4y-y^{2}-4y=0$$ $$16=0$$ $$\Rightarrow$$ нет решений
Задание 3564
Сократите дробь $$\frac{324^{n}}{6^{2n+1}\cdot3^{2n-1}}$$
$$\frac{324^{n}}{6^{2n+1}\cdot3^{2n-1}}=$$ $$=\frac{(36\cdot9)^{n}}{6^{2n+1}\cdot3^{2n-1}}=$$ $$=\frac{(6^{2}\cdot3^{2})^{n}}{6^{2n+1}\cdot3^{2n-1}}=$$ $$=\frac{6^{2n}\cdot3^{2n}}{6^{2n+1}\cdot3^{2n-1}}=6^{2n-2n-1}\cdot3^{2n-2n+1}=\frac{3}{6}=0,5$$
Задание 3841
Решите систему уравнений: $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+7x-y+11=0\\y^{2}+3x-y+15=0\end{matrix}\right.$$
Сложим эти два уравнения: $$x^{2}+y^{2}+10x-2y+26=0$$ $$x^{2}+10x+25+y^{2}-2y+1=0$$ $$(x+5)^{2}+(y-1)^{2}=0$$ Сумма 2х квадратов равна 0 тогда, когда оба равны 0. $$\left\{\begin{matrix}x+5=0\\y-1=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=-5\\y=1\end{matrix}\right.$$
Задание 3992
Решите неравенство $$(\frac{x+2}{8-x})^{2}\leq\frac{1}{16}$$
$$(\frac{x+2}{8-x})^{2}\leq\frac{1}{16}$$
ОДЗ: $$8-1\neq0$$
$$x\neq8$$
$$\frac{x+2}{8-x}=y$$
$$y^{2}\leq\frac{1}{16}$$
$$y^{2}-(\frac{1}{4})^{2}\leq0$$
$$\left\{\begin{matrix}y\geq-\frac{1}{4}\\y\leq\frac{1}{4}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\left\{\begin{matrix}\frac{x+2}{8-x}\geq-\frac{1}{4}\\\frac{x+2}{8-x}\leq\frac{1}{4}\end{matrix}\right.$$
1) $$\frac{x+2}{8-x}+\frac{1}{4}\geq0$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\frac{4x+8+8-x}{4(8-x)}\geq0$$
$$\frac{3x+16}{8-x}\geq0$$ $$\Leftrightarrow$$
$$x\in[-\frac{16}{3};8)$$
2) $$\frac{x+2}{8-x}-\frac{1}{4}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\frac{4x+8-8+x}{4(8-x)}\leq0$$
$$\frac{5x}{8-x}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$
$$x\in(-\infty;0]\cup(8;+\infty)$$
Найдем пересечение ответов: $$x\in[-\frac{16}{3};0]$$
Задание 4056
Найдите значение выражения: $$\frac{\sqrt{47+12\sqrt{11}}}{\sqrt{6+\sqrt{11}}}\cdot\sqrt{6-\sqrt{11}}$$
Рассмотрим $$47+12\sqrt{11}$$ и выделим полный квадрат:
$$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$$
$$\left\{\begin{matrix}a^{2}+b^{2}=47\\2ab=12\sqrt{11}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$
$$\left\{\begin{matrix}a^{2}+b^{2}=47(1)\\ab=6\sqrt{11}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$
Пусть $$a=6$$, $$b=\sqrt{11}$$ проверим, подставляя в (1):
$$6^{2}+\sqrt{11}^{2}=36+11=47\Rightarrow$$
$$47+12\sqrt{11}=(6+\sqrt{11})^{2}$$
$$\frac{\sqrt{47+12\sqrt{11}}}{\sqrt{6+\sqrt{11}}}\cdot\sqrt{6-\sqrt{11}}=$$
$$=\frac{\sqrt{(6+\sqrt{11})^{2}\cdot(6-\sqrt{11})}}{\sqrt{6+\sqrt{11}}}=$$
$$=\sqrt{(6+\sqrt{11})(6-\sqrt{11})}=\sqrt{36-11}=\sqrt{25}=5$$
Задание 4326
Решите уравнение $$x^{2}(x-2)^{3}=x^{4}(x-2)$$
$$x^{2}(x-2)^{3}-x^{4}(x-2)=0$$; $$x^{2}(x-2)((x-2)^{2}-x^{2})=0$$; $$x^{2}(x-2)(x-2-x)(x-2+x)=0$$;
$$\left\{\begin{matrix}x=0\\x=2\\x=1\end{matrix}\right.$$
Задание 4532
Решите неравенство $$\frac{8-4x}{x+1}>4+\frac{x+1}{x-2}$$
$$\frac{8-4x}{x+1}>4+\frac{x+1}{x-2}$$; $$\frac{(8-4x)(x-2)-4(x+1)(x+2)-(x+1)(x+1)}{(x+1)(x-2)}>0$$; $$\frac{8x-16-4x^{2}+8x-4x^{2}+8x-4x+8-x^{2}-2x-1}{(x+1)(x-2)}>0$$; $$\frac{-9x^{2}+18x-9}{(x+1)(x-2)}>0$$; $$\frac{-9(x-1)^{2}}{(x+1)(x-2)}>0$$; $$\frac{(x-1)^{2}}{(x+1)(x-2)}<0$$;
$$x\in(-1;1)\cup(1;2)$$
Задание 4649
Решите систему уравнений $$\left\{\begin{matrix} x^{2}-5xy+4y^{2}=0\\ 2x^{2}-y^{2}=31 \end{matrix}\right.$$
Решим первое уравнение системы относительно у: $$x^{2}-5xy+4y^{2}=0$$ $$D=(-5y)^{2}-4*4y^{2}=9y^{2}$$ $$x_{1}=\frac{5y+3y}{2}=4y$$ $$x_{2}=\frac{5y-3y}{2}=y$$ Подставим первый х во второе: $$2*(4y)^{2}-y^{2}=31$$ $$y^{2}=1$$ $$y_{1a}=1 ; y_{1b}=-1$$ Тогда: $$x_{1a}=4 ; x_{1b}=-4$$ Подставим второй х во второе: $$2*y^{2}-y^{2}=31$$ $$y^{2}=31$$ $$y_{2a}=\sqrt{31} ; y_{2b}=-\sqrt{31}$$ Тогда: $$x_{2a}=\sqrt{31} ; x_{2b}=-\sqrt{31}$$