ОГЭ
Задание 6262
Из вершины В треугольника АВС опущены перпендикуляры ВК и ВМ на биссектрисы внешних углов треугольника, не смежных с углом В. Докажите, что длина отрезка КМ равна полупериметру треугольника АВС.
1) $$BK\cap AC=H; BM\cap AC=N$$
Из $$\Delta HAB$$: AK-высота и биссектриса $$\Rightarrow$$ и медиана и $$AH=AB$$ ($$\Delta AHB$$-равнобедренный)
Из $$\Delta BCH$$: аналогично CM-медиана и BC=CN
2) из п. 1 $$HN=HA+AC+CN=$$$$AB+AC+DC=P_{ABC}$$
K и M-середины , тогда KM-средняя линия и $$KM=\frac{1}{2}HN=\frac{P_{ABC}}{2}$$
Задание 6357
Докажите, что в прямоугольном треугольнике произведение длин отрезков, на которые делит гипотенузу точка касания с вписанной окружностью, равна площади треугольника.
1) Пусть AH=x; HB=y; NO=OM=OH=r. По свойству касательных: AN=AH=x, MB=HB=y
2) $$S_{ABC}=\frac{1}{2}AC*CB=$$$$\frac{1}{2}(x+r)(y+r)=$$$$\frac{1}{2}xy+\frac{1}{2}xr+\frac{1}{2}yr+\frac{1}{2}r^{2}(1)$$
С другой стороны : $$S_{ABC}=2S_{AOH}+2S_{HOB}+S_{CNOM}=$$$$2S_{AOB}+S_{CNOM}=2*\frac{1}{2}(x+y)r+r^{2}=xr+yr+r^{2}(2)$$
Приравняем (1) и (2):
$$\frac{1}{2}xy+\frac{1}{2}xr+\frac{1}{2}yr+\frac{1}{2}r^{2}=xr+yx+r^{2}$$
$$\frac{1}{2}xy=\frac{1}{2}xr+\frac{1}{2}yr+\frac{1}{2}r^{2}|*2$$
$$xy=xr+y^{2}+r^{2}=S_{ABC}$$
Задание 6506
В равнобедренном треугольнике АВС из концов основания АС проведены прямые, которые составляют с основанием равные углы и пересекаются в точке М. Докажите равенство треугольников АВМ и ВСМ
Есть два случая расположения точки M:
1) $$\angle CAM =ACM \Rightarrow$$ $$\Delta ACM$$ –равнобедренный , тогда AM=MC
2) Треугольник ABC - ранвобедренный, следовательно, AB=BC.
3) BM - общая, следовательно, треугольники равны по трем сторонам.
Задание 6715
Докажите, что сумма квадратов медиан прямоугольного треугольника в 1,5 раза больше квадрата гипотенузы.
1) $$CC_{1}=\frac{1}{2}AB$$( свойство медиан из прямого угла) пусть $$AC^{2}=x^{2}$$, $$CB^{2}=y^{2}\Rightarrow$$ $$AB^{2}=x^{2}+y^{2}$$
2) $$CC_{1}^{2}=(\frac{AB}{2})^{2}=\frac{x^{2}+y^{2}}{4}$$
$$\Delta AA_{1}C$$: $$AA_{1}^{2}=AC^{2}+(\frac{CB}{2})^{2}=$$$$x^{2}+\frac{y^{2}}{4}$$
$$\Delta CBB_{1}$$: $$BB_{1}^{2}=CB^{2}+(\frac{AC}{2})^{2}=$$$$y^{2}+\frac{x^{2}}{4}$$
3) $$AA_{1}^{2}+BB_{1}^{2}+CC_{1}^{2}=$$$$x^{2}+\frac{y^{2}}{4}+y^{2}+\frac{x^{2}}{4}+\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{4}=$$$$\frac{3x^{2}+3y^{2}}{2}=1,5(x^{2}+y^{2})=1,5AB^{2}$$
Задание 6742
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Докажите, что если АВ+ВМ=АС+СМ, то треугольник АВС – равнобедренный
1) Пусть $$MK\perp AB$$; $$MH\perp AC$$, тогда $$\Delta AKM=\Delta AMH$$ ( по гипотенузе и острому углу) $$\Rightarrow$$ $$KM=MH$$$$\Rightarrow$$ $$BM^{2}-BL^{2}=CM^{2}-CH^{2}$$$$\Leftrightarrow$$ $$(BM-BK)(BM+BK)=(CM-CH)(CM+CH)(1)$$
2) Т.к. $$AB+BM=AC+CM(2)$$ и $$AK=AH$$, то $$BK+BM=CH+CM$$$$\Rightarrow$$ с учетом (1): $$BM-BK=CM-CH|-AH$$$$\Leftrightarrow$$ $$BM-AB=CM-AC(3)$$
3)Вычтем (2) из (3): $$2AB=2AC$$$$\Rightarrow$$ $$AB=AC$$$$\Rightarrow$$ $$\Delta ABC$$ –равнобедренный.
Задание 6908
Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. Вписанная в него окружность с центром О касается боковой стороны ВС в точке Р и пересекает биссектрису угла В в точке М. Докажите, что отрезки МР и ОС параллельны.
1) Пусть $$\angle PCO=x$$, тогда $$\angle POC=90-x$$ ($$OP\perp BC$$ как радиус в точку касания )
2) $$\Delta OHC=\Delta OPC$$$$\Rightarrow$$ $$\angle OCH=x$$$$\Rightarrow$$ $$\angle HBC=90-2x$$$$\Rightarrow$$ из $$\Delta OBP$$: $$\angle BOP=2x$$
3) из $$\Delta MOP$$ ($$MO=OP$$ - радиусы): $$\angle OMP=\angle MPO=\frac{180-2x}{2}=90-x=\angle POC$$$$\Rightarrow$$ накрест лежащие углы равны и $$MP\left | \right |OC$$
Задание 7090
В равностороннем треугольнике ABC точки Е, F, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник ЕFK — равносторонний.
1) т.к. AE=EB и BF=FC, то EF-средняя линия и EF=0,5 AC
2) аналогично , FK=0,5 AB и EK=0,5 BC, но AB=BC=AC$$\Rightarrow$$ EF=FK=EK
Задание 7136
В треугольнике АВС проведена медиана ВК и средняя линия КЕ, параллельная стороне АВ. Площадь треугольника ВКЕ равна 1. Найдите площадь треугольника АВС.
1) $$S_{BKE}=S_{EKC}$$ (BE=EC,общая вершина ) $$\Rightarrow$$ $$S_{ERC}=1$$
2) $$\frac{S_{EKC}}{S_{ABC}}=(\frac{EK}{AB})^{2}=$$$$\frac{1}{4}\Rightarrow$$ $$S_{ABC} =4$$ (средняя линия равна половине стороны)
Задание 7137
В треугольнике АВС прямая, проходящая через вершину А, делит медиану ВМ пополам. Докажите, что эта прямая делит сторону ВС в отношении 1 : 2.
1) Построим $$MK\left | \right |AM$$. По т. Фалеса : $$\frac{CM}{MA}=\frac{CK}{KM}\Rightarrow$$ $$\frac{CK}{KM}=\frac{1}{1}\Rightarrow$$ $$CK=KM$$
2) Аналогично : $$\frac{BH}{HM}=\frac{BM}{MK}=\frac{1}{1}\Rightarrow$$ $$CK=KM=MB\Rightarrow$$ $$CM:MB=2:1$$
Задание 7280
Докажите, что длина высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, равна отношению произведения катетов к гипотенузе этого треугольника.
Площадь данного треугольника:$$S=\frac{1}{2}ab$$ или $$S=\frac{1}{2} h*c$$, тогда: $$\frac{1}{2} ab=\frac{1}{2}hc\Rightarrow$$ $$h=\frac{ab}{c}$$, где a,b-катеты ,c-гипотенуза, h-высота
Задание 7473
Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник АВС касается катетов АС и ВС в точках L и K соответственно. АL = 12 см, ВК = 8 см. Найдите площадь треугольника ВОМ, где О – центр вписанной в треугольник окружности, М – точка пересечения медиан треугольника АВС.
1) Пусть окружжность окружность касается AB в точке H. По свойству касательных: CL=CK=x, KB=BH=8, AL=AH=12. Тогда AC=12+x, BC=8+x, AB=20. Тогда по теореме Пифагора: $$(12+x)^{2}+(8+x)^{2}=20^{2}\Leftrightarrow$$$$x=4$$
2) Так как $$OK\perp BC, OL\perp AC$$ (радиус проведенный в точку касания) и $$OK=OL$$, то CLOK - квадрат, следовательно, OK=4
3) Пусть OB пересекает AC в точке R, тогда треугольники RCB и OKB подобны (прямоугольные с общим острым углом) и $$\frac{RC}{OK}=\frac{CB}{KB}=\frac{3}{2}$$. Тогда RC=6
4) $$S_{RCB}=\frac{1}{2}RC*CB=36$$, $$S_{DCB}=\frac{1}{2}DC*CB=48$$, тогда $$S_{DRB}=48-36=12$$
5) $$\frac{DM}{MB}=\frac{1}{2}$$ (по свойству медианы), но из подобия RCB и OKB: $$\frac{RO}{OB}=\frac{1}{2}$$, а так как угол DBR - общий, то треугольники MOB и DRB - подобны, и $$S_{MOB}=(\frac{MB}{DB})^{2}S_{DRB}=(\frac{2}{3})^{2}*12=\frac{16}{3}$$
