ОГЭ
Задание 3995
В прямоугольную трапецию вписана окружность. Найдите её радиус, если основания трапеции 2 см и 3 см.
1) Пусть К - точка каасния АВ и окружности
2) Пусть r - радиус окружности $$BK=KA=r$$ $$\Rightarrow$$ $$BA=2r$$
3) По свойству описанного четырехугольника: $$AB+CD=BC+AD$$ $$\Rightarrow$$
$$2r+CD=2+3=5$$ $$\Rightarrow$$
$$CD=5-2R$$
4) Опустим $$CC_{1}\perp AD$$ $$\Rightarrow$$
$$CC_{1}=AB=2r$$
По теореме Пифагора: $$CC_{1}^{2}+C_{1}D^{2}=CD^{2}$$
$$C_{1}D=AD-BC=3-2=1$$
$$(2r)^{2}+1^{2}=(5-2r)^{2}$$
$$4r^{2}+1=25-20r+4r^{2}$$
$$20r=24$$ $$\Rightarrow$$ $$r=1,2$$
Задание 4059
В равнобедренной трапеции диагональ длиной 3 см образует угол $$45^{\circ}$$ с основанием. Найдите площадь трапеции.
1) Построим BH и CM $$\perp AD\Rightarrow$$
$$\bigtriangleup BHD$$ - прямоугольный
$$\angle HDB=45^{\circ}\Rightarrow$$ ; $$\angle HBD=45^{\circ}\Rightarrow$$
$$BH=HD=x$$
$$BH^{2}+HD^{2}=BD^{2}$$
$$2x^{2}=9\Rightarrow x^{2}=\frac{9}{2}$$ $$\Rightarrow$$
$$x=\frac{3\sqrt{2}}{2}$$
2) $$BH=CM;AB=CD\Rightarrow$$
$$\bigtriangleup AHB=\bigtriangleup CMD$$ $$\Rightarrow$$
$$AH=MD=y$$ $$\Rightarrow$$
$$HM=\frac{3\sqrt{2}}{2}-y=BC$$
3) $$S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot BH=$$
$$=\frac{y+\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}-y}{2}\cdot\frac{3\sqrt{2}}{2}=$$
$$=\frac{3\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{9}{2}=4,5$$
Задание 4329
В треугольнике АВС АС=АВ, медианы АМ и ВF пересекаются в точке О, АМ:ВF=8:5.Найдите BF, если площадь треугольника AOF равна 24.
1) Пусть $$S_{ABC}=S$$, тогда $$S=2\cdot\frac{1}{2}\cdot AC\cdot AM\sin\alpha=AC\cdot AM\sin\alpha$$; $$S_{AFO}=\frac{1}{2}\cdot AF\cdot AO\sin\alpha=$$ $$\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}AC\cdot\frac{2}{3}AM\sin\alpha=\frac{1}{6}AC\cdot AM\sin\alpha=24$$ $$\Rightarrow$$ $$AC\cdot AM\sin\alpha=144=S$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{1}{2}AM\cdot CB=144$$
2) Пусть $$AM=8x$$ $$\Rightarrow$$ $$BF=5x$$, по свойству медиан: $$OB=\frac{2}{3}BF=\frac{10x}{3}$$; $$OM=\frac{1}{3}AM=\frac{8x}{3}$$; $$MB=\sqrt{OB^{2}-OM^{2}}=\sqrt{(\frac{10x}{3})^{2}-(\frac{8x}{3})^{2}}=\frac{6x}{3}=2x$$ $$\Rightarrow$$ $$CB=4x$$
3) $$\frac{1}{2}AM\cdot CB=144$$; $$\frac{1}{2}\cdot8x\cdot4x=144$$; $$32x^{2}=288$$; $$x^{2}=9$$ $$x=3$$
4) $$BF=5x=5\cdot3=15$$
Задание 4535
Основание равнобедренного треугольника равно 12 см, а высота, проведенная к боковой стороне, равна 9,6 см. Найдите периметр треугольника
1) Проведем $$BM\perp AC$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup BMC\sim\bigtriangleup AHC$$ (прямоугольные; $$\angle C$$ - общий)
2) $$MC=\frac{1}{2}AC=6$$; $$HC=\sqrt{12^{2}-9,6^{2}}=7,2$$;
3) $$\frac{BM}{AH}=\frac{MC}{HC}$$ $$\Rightarrow$$ $$BM=\frac{AH\cdot MC}{HC}=\frac{9,6\cdot6}{7,2}=8$$
4)$$BC=\sqrt{MC^{2}+BM^{2}}=10=AB$$
$$P_{ABC}=10+10+12=32$$
Задание 4652
Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади четырёхугольника KPCM.
Выполним построение:
Задание 4802
Площадь равнобедренной трапеции равна 96. Диагональ трапеции делит её тупой угол пополам. Длина меньшего основания равна 3. Найдите периметр трапеции.
Построим рисунок согласно условию задачи.
Задание 4870
В равнобедренной трапеции основания равны 12 см и 20 см, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции.
Задание 4897
Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит его на два треугольника, площади которых равны соответственно 6 и 54. Найдите гипотенузу треугольника
Задание 4944
Около окружности диаметром 15 описана равнобедренная трапеция с боковой стороной, равной 17. Найдите длину большего основания трапеции.
1) По свойству радиусов .проведенных в точку касания, диаметр и высота трапеции одинаковы, тогда, из треугольника CND по теореме Пифагора: $$ND=\sqrt{CD^{2}-CN^{2}}=\sqrt{17^{2}-15^{2}}=8=AK$$
2) По свойству четырехугольника, описанного около окружности имеем, что $$BC+AD=AB+CD$$. Пусть $$BC=KN=x$$, тогда $$x+8+x+8=17+17$$, тогда $$x=9$$, следовательно, $$AD=8+9+8=25$$
Задание 4991
Через концы хорды, длина которой 30, проведены две касательные, до пересечения в точке А. Найдите расстояние от точки А до хорды, если радиус окружности равен 17.
1) Треугольник OCD - равнобедренный (OC=OD - Радиусы). Треугольник OCA равен треугольнику OAD (оба прямоугольные по свойству касательной и радуиса в точку касания, AC=AD по свойству касательной, OA - общая). Тогда углы COA и DOA равны, тогда треугольники COH и OHD равны. Тогда $$CH=\frac{1}{2}CB=15$$; $$OH=\sqrt{OC^{2}-CH^{2}}=\sqrt{17^{2}-15^{2}}=8$$;
2) Пусть $$CA=x$$,$$HA=y$$, тогда по теореме Пифагора и по формуле высоты прямоугольного треугольника как произведение катетов деленное на гипотенузу:
$$\left\{\begin{matrix}CA^{2}+CO^{2}=OA^{2}\\CH=\frac{OC\cdot CA}{OA}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+17^{2}=(8+y)^{2}\\15=\frac{17\cdot x}{8+y}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$120+15y=17\cdot x$$; $$y=\frac{17x-120}{15}$$; $$x^{2}+289=(8+\frac{17x-120}{15})^{2}$$; $$x^{2}+289=\frac{289x^{2}}{225}$$; $$225x^{2}+289\cdot225=289x^{2}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$64x^{2}=289\cdot225$$;$$x=\frac{17\cdot15}{8}=31,875$$; $$y=28,125=28\frac{1}{8}$$
Задание 5040
Меньшее основание прямоугольной трапеции равно 12,5 см, а большая диагональ является биссектрисой угла при большем основании и равна 20 см. Найдите площадь трапеции.
1) $$\angle BDC=\angle ADB$$ (BD - биссект.); $$\angle CDB=\angle BDA$$ (накрестлежащие); $$\Rightarrow$$ $$\angle CBD=\angle BCD$$ $$\Rightarrow$$ $$BC=CD=12,5$$
2) $$CH$$ - высота, тогда $$AH=HD=12,5$$. Пусть $$AB=CH=x$$, $$HD=y$$,тогда: из $$\bigtriangleup CHD$$ и $$\bigtriangleup ABD$$: $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=(12,5)^{2}\\x^{2}+(12,5+y)^{2}=20^{2}\end{matrix}\right.$$
$$20^{2}-(12,5+y)^{2}+y^{2}=12,5^{2}$$; $$400-12,5^{2}-25y-y^{2}+y^{2}-12,5^{2}=0$$; $$400-312,5=25y$$; $$y=3,5$$ $$\Rightarrow$$ $$x=\sqrt{400-256}=12$$
3) $$S=\frac{12,5+12,5+3,5}{2}\cdot12=171$$
Задание 5087
Основания трапеции равны 6 см и 18 см. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям, до пересечения с боковыми сторонами. Найдите длину отрезка этой прямой.
1) $$\bigtriangleup BOC\sim\bigtriangleup AOD$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{OC}{AO}=\frac{BC}{AD}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$$
2) т.к. $$\bigtriangleup AOM\sim\bigtriangleup ABC$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{MO}{BC}=\frac{AO}{AC}$$; $$\frac{AO}{AC}=\frac{AO}{AO+OC}$$; $$OC=\frac{1}{3}AO$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{AO}{AO+OC}=\frac{AO}{AO+\frac{1}{3}AO}=\frac{3}{4}$$ $$\Rightarrow$$ $$MO=\frac{3}{4}BC=4,5$$
3) т.к. $$\bigtriangleup OCN\sim\bigtriangleup ACD$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{ON}{AD}=\frac{OC}{AC}$$; $$\frac{OC}{AC}=\frac{OC}{OC+3OC}=\frac{1}{4}$$ $$\Rightarrow$$ $$ON=\frac{1}{4}AD=4,5$$ $$\Rightarrow$$ $$MN=9$$
Задание 5224
На сторонах ВС и ВА треугольника АВС взяты точки E и F такие, что ВE:EС=1:3, ВF:FА=1:2. Площадь треугольника BEF равна 10. Найти площадь треугольника АВС
$$\frac{S_{ABC}}{S_{BEF}}=\frac{AB*BC}{BF*BE}(1)$$. Так как ВE:EС=1:3, то BC=4BE, так как ВF:FА=1:2, то AB=3BF. Подставим данные выражения в формулу (1): $$\frac{S_{ABC}}{S_{BEF}}=\frac{3BF*4BE}{BF*BE}=12$$, тогда $$S_{ABC}=12S_{BFE}=12*10=120$$
Задание 5320
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки длины 15 и 20 см.
1)$$\frac{AC}{CB}=\frac{AL}{LB}=\frac{3}{4}$$ по свойству биссектрисы. Тогда, пусть AC=3x ; CB=4x
2)Из треугольника ABC по теореме Пифагора: $$AC^{2}+CB^{2}=AB^{2} \Leftrightarrow$$$$(3x)^{2}+(4x)^{2}=35^{2}$$. Отсюда x=7. Тогда AC=21 ; CB = 28.
3)$$S_{ABC}=\frac{1}{2}AC*CB=\frac{1}{2}*21*28=294$$