ОГЭ
Задание 6071
В прямоугольную трапецию с основаниями 5 см и 6 см вписана окружность. Найдите площадь этой трапеции.
1) BC=5; CD=6; опустим $$CH\perp AD$$ , тогда $$HD=6-5=1$$.
2) Пусть AB=x, тогда CH=x Пусть CD=y , тогда из $$\Delta CHD: x^{2}+1^{2}=y^{2}$$
По свойству описанного многоугольника : $$5+6=x+y$$. Тогда:
$$\left\{\begin{matrix}x^{2} +1=y^{2}\\x+y-11 & &\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}x^{2}+1=(11-x)^{2} \\y=11-x\end{matrix}\right.$$
3)$$S=\frac{5+6}{2}*\frac{60}{11}=30$$.
Задание 6118
Диагональ равнобедренной трапеции делит пополам угол при её основании. Найдите большее основание трапеции, если её меньшее основание равно 5 см, а высота - 4,8 см.
- $$\angle BAC=\angle CAD$$ (AC - биссектрисса)
- $$\angle CAD=\angle BCA$$ (накрест лежащие при параллельных), следовательно треугольник ABC - равнобедренный и $$AB=BC=CD=5$$
- Проведем перпендикуляры BM и CH к AD. Из треугольника CHD: $$HD=\sqrt{CD^{2}-CH^{2}}=\sqrt{5^{2}-4,8^{2}}=1,4$$
- $$AM=HD=1,4$$, тогда $$AD=5+1,4*2=7,8$$
Задание 6213
Около круга радиуса 2 см описана равнобедренная трапеция с острым углом 30. Найдите длину средней линии трапеции.
- Пусть BH-высота, тогда BH=2ч=4
- из $$\Delta ABH$$: $$AB=BH \sin A=\frac{4}{\frac{1}{2}}=8=CD$$
- т.к. $$AB+CD=BC+AD$$(свойство описанного выпуклого четырехугольника) , то $$BC+AD=16$$, тогда средняя линия $$\frac{16}{2}=8$$
Задание 6261
В треугольник со сторонами АВ=8, ВС=6, АС=4 вписана окружность. Найдите длину отрезка DE, где D, Е – точки касания этой окружности со сторонами АВ и АС соответственно.
1) Пусть O-центр окружности , тогда: $$OD\perp AB OE\perp AC$$ (свойство радиуса к касательной)
2) $$OD=OC=\frac{S}{p}=$$$$\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}$$ (формула Герона); $$p=\frac{8+6+4}{2}=9$$; $$OD=\sqrt{\frac{(9-6)(9-8)(9-4)}{9}}=$$$$\sqrt{\frac{3*1*5}{9}}=\sqrt{\frac{5}{3}}$$
3) $$\cos A=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2*AB*AC}=\frac{8^{2}+4^{2}-6^{2}}{2*8*4}=\frac{11}{16}$$ (теорема косинусов)
4) $$\angle DOE=180-\angle A\Rightarrow$$ $$\cos DOE=-\cos A=-\frac{11}{16}$$
5)$$\Delta DOE$$: $$DE=\sqrt{DO^{2}+OE^{2}-2DO*OE*\cos DOE}=$$$$\sqrt{\frac{5}{3}+\frac{5}{3}+2\frac{5}{3}*\frac{11}{16}}=$$$$\sqrt{\frac{10}{36}+\frac{110}{16*3}}=$$$$\sqrt{\frac{270}{16*3}}=\sqrt{\frac{90}{16}}=\frac{3\sqrt{10}}{4}$$