Перейти к основному содержанию

ЕГЭ 2020. Вариант 36 Ященко 36 вариантов ФИПИ школе.

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

В школе испанский язык изучают 117 учащихся, что составляет 15% от числа всех учащихся школы. Сколько учащихся в школе?
Ответ: 780
Скрыть Пусть x число учащихся в школе - это 100%. Получаем отношение: $$\frac{x}{100}=\frac{117}{5}$$ откуда $$x=780$$ учащихся.
Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На диаграмме показаны значения относительной влажности в Томске с 1 по 3 мая 2019 года. По горизонтали указаны моменты измерений, по вертикали - относительная влажность в процентах.

Определите по диаграмме значение наибольшей относительной влажности (в процентах) в Томске 2 мая.

Ответ: 76
Скрыть

1. Вычислим цену одного деления по вертикали, получим: $$\frac{30-20}{5}=2.$$

2. Для 2-го мая выберем столбик с наибольшей высотой. Это столбик для 4:00 и составляет $$70+3\cdot 2=76%.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Найдите тангенс угла АОВ.
Ответ: 4
Скрыть

Тангенс угла равен отношению длины противолежащего катета на длину прилежащего катета. Рассмотрим треугольник, показанный на рисунке ниже. Катеты в этом прямоугольном треугольнике равны 4 и 1 соответственно, следовательно, тангенс угла AOB будет равен $${\tan AOB\ }=\frac{4}{1}=4.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

В классе 16 учащихся, среди них два друга - Олег и Михаил. Класс случайным образом разбивают на 4 равные группы. Найдите вероятность того, что Олег и Михаил окажутся в одной группе.
Ответ: 0,2
Скрыть В каждой группе оказывается по 4 учащихся. Рассмотрим группу, в которую попал Олег. Тогда на оставшиеся 3 места будут претендовать 15 учащихся (Олег уже выбран) и вероятность попадания на них Михаила равна $$\frac{3}{15}=\frac{1}{5}=0,2.$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Найдите корень уравнения $${16}^{x-9}=\frac{1}{2}.$$

Ответ: 8,75
Скрыть Упростим уравнение: $${16}^{x-9}=2^{-1}\to 2^{4\left(x-9\right)}=2^{-1}\to 4x-36=-1\to x=8,75.$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 6

В треугольнике ABC угол С равен 52$${}^\circ$$, биссектрисы AD и BE пересекаются в точке О. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 116
Скрыть Обозначим через $$x$$ половину угла A, т.е. $$x=\angle CAD=\angle DAB=\angle A:2$$. Через $$y$$ обозначим половину угла $$B$$, т.е. $$y=\angle B:2$$. Тогда, рассматривая треугольник ABC можем записать $$2x+2y+52=180{}^\circ \to x+y=64{}^\circ .$$ Теперь рассмотрим треугольник AOB. В нем сумма двух углов $$x+y$$ уже известна, следовательно, третий угол AOB будет равен $$180{}^\circ -64{}^\circ =116{}^\circ .$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На рисунке изображены график дифференцируемой функции $$у\ =\ f(х)$$ и касательная к нему в точке с абсциссой $$x_0$$. Найдите значение производной функции $$f(х)$$ в точке $$x_0$$.
Ответ: -0,5
Скрыть

Производная равна тангенсу угла наклона касательной к оси OX. Рассмотрим прямоугольный треугольник, показанный на рисунке ниже и найдем из него тангенс угла наклона касательной в точке $$x_0$$.

Противолежащий катет равен -3, прилежащий равен 6, следовательно, производная равна $$f'\left(x_0\right)={\tan \alpha \ }=-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}=-0,5.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Ответ: 4
Скрыть При переливе жидкости из одного сосуда в другой ее объем останется неизменным. Объем цилиндра определяется формулой $$V=\pi R^2h=\pi {\left(\frac{d}{2}\right)}^2h,$$ где d - диаметр цилиндра; h - его высота. Если диаметр сосуда будет увеличен в 2 раза, то его объем можно записать так $$V=\pi {\left(\frac{2d}{2}\right)}^2h_2.$$ Так как объем жидкости неизменен, то приравняем первое и второе выражения, и вычислим высоту $$h_2$$ жидкости во втором сосуде, получим: $$h_2\pi \frac{4d^2}{4}=\pi \frac{d^2}{4}16\to h_2=4.$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения $$46\sqrt{2}{\cos (-\frac{\pi }{4})\ }{\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)\ }.$$

Ответ: -23
Скрыть Вычислим выражение, учитывая, что $${\cos \left(-x\right)\ }={\cos x\ },$$ а $${\sin (-x)\ }=-{\sin x\ },$$ получим: $$46\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{46}{2}=-23.$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены р (тыс. руб.) задаётся формулой $$q\ =\ 170-10р.$$ Выручка предприятия за месяц r (тыс. руб.) вычисляется по формуле $$r(p)\ =\ p\cdot q.$$ Определите наибольшую цену р, при которой месячная выручка r(p) составит 520 тыс. руб. Ответ приведите в тысячах рублей.

Ответ: 13
Скрыть Выразим объем спроса $$p$$ из формулы $$r\left(p\right)=qp$$, учитывая, что $$q=170-10p$$, получим: $$r\left(p\right)=p\left(170-10p\right).$$ Необходимо найти наибольшую цену, при месячной выручке $$r\left(p\right)=520,$$ имеем: $$p\left(170-10p\right)=520\to p^2-17p+52=0.$$ Решим квадратное уравнение, получим два корня $$p_1=4;\ p_2=13.$$ Наибольшая цена 13 тыс. руб.
Аналоги к этому заданию:

Задание 11

На изготовление 522 деталей первый рабочий затрачивает на 11 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 609 деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 8 деталей больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?
Ответ: 29
Скрыть Пусть $$x$$ деталей делает первый рабочий за 1 час. Тогда второй рабочий за 1 час делает $$x-8$$ деталей. Для изготовления 522 деталей первому рабочему потребуется $$\frac{522}{x}$$ часов, а второму для изготовления 609 деталей $$\frac{609}{x-8}$$ часов. В задаче сказано, что первый рабочий для изготовления 522 деталей затрачивает на 11 часов больше, чем второй для изготовления 609 деталей. Получаем уравнение: $$\frac{609}{x-8}-\frac{522}{x}=11.$$ Отсюда имеем: $$609x-522x+8\cdot 522=11\left(x^2-8x\right)\to 11x^2-175x-4176=0.$$ Решаем квадратное уравнение, получаем два корня $$x_1=29;x_2=-\frac{288}{22}.$$ Выбираем первое решение 29, т.к. число деталей не может быть отрицательным числом.
Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите наименьшее значение функции $$f\left(x\right)=e^{2x}-4e^x+7$$ на отрезке $${\rm [-1};{\rm \ 1].}$$

Ответ: 3
Скрыть Вычислим производную от функции, получим: $$f'\left(x\right)=2e^{2x}-4e^x.$$ В точках экстремума функции производная равна нулю, имеем уравнение $$2e^{2x}-4e^x=0\to 2e^x\left(e^x-2\right)=0.$$ Учитываем, что $$2e^x\ne 0,$$ и рассматриваем уравнение $$e^x-2=0\to e^x=2\to x={\ln 2\ }\in \left[-1;1\right].$$ Найдем значение функции в точке экстремума и на краях диапазона, получим: $$f\left(-1\right)=e^{-2}-4e^{-1}+7;f\left(1\right)=e^2-4e+7$$ данные значения не могут быть выражены конечными десятичными дробями, а значит не являются ответами в ЕГЭ. $$f\left({\ln 2\ }\right)={\left(e^{{\ln 2\ }}\right)}^2-4e^{{\ln 2\ }}+7=4-8+7=3.$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 13

а) Решите уравнение $$2{\sin (x-\frac{\pi }{2})\ }{\cos (\frac{\pi }{2}+x)\ }+\sqrt{3}{\cos x\ }=0.$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[-6\pi ;-5\pi \right].$$

Ответ: а) $$x=\frac{\pi }{2}+\pi n,\ n\in Z; -\frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in Z; -\frac{2\pi }{3}+2\pi l,l\in Z$$; б) $$-\frac{11\pi }{2}.$$
Скрыть

а) Преобразуем уравнение: $$2{\sin (x-\frac{\pi }{2})\ }{\cos (\frac{\pi }{2}+x)\ }+\sqrt{3}{\cos x\ }=0\to $$ $$\to -2{\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\ }{\cos \left(\frac{\pi }{2}+x\right)\ }+\sqrt{3}{\cos x\ }=0\to 2{\sin x\ }{\cos x\ }+\sqrt{3}{\cos x\ }=0\to $$ $$\to {\cos x\ }\left(2{\sin x\ }+\sqrt{3}\right)=0.$$

Имеем два уравнения: $$1) {\cos x\ }=0\to x=\frac{\pi }{2}+\pi n,\ n\in Z$$ $$2) {\sin x\ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}\to x_1=-\frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in Z;x_2=-\frac{2\pi }{3}+2\pi l,l\in Z\ $$

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке $$\left[-6\pi ;-5\pi \right].$$ Получим число $$-\frac{11\pi }{2}.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

В правильной треугольной призме $$ABCA_1B_1C_1$$ стороны основания равны 3, боковые ребра равны 1, точка D - середина ребра $$CC_1$$.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей $$ABC$$ и $$ADB_1$$.

б) Найдите угол между плоскостями $$ABC$$ и $$ADB_1$$.

Ответ: $$arctg\frac{1}{3}.$$
Скрыть

а) Построение. Плоскости $$ABC$$ и $$ADB_1$$ будут иметь две общие точки: точка N, лежащая на пересечении отрезков $$BC$$ и $$B_1D$$ и точка $$A$$, находящаяся в основании призмы (см. рисунок). Отрезок $$AN$$, соединяющий эти две точки, будет образовывать прямую пересечения плоскостей $$ABC$$ и $$ADB_1$$.

б) Угол между плоскостями будет соответствовать углу $$DHC$$, причем отрезок $$CH$$ будет являться высотой треугольника ACN. Из рисунка видно, что треугольники $$B_1C_1D$$ и $$CDN$$ подобны друг другу с коэффициентом подобия $$k=1$$. Отсюда следует, что отрезок $$CN=B_1C_1=3$$. Сторона $$AC=3$$. Следовательно, треугольник ACN равнобедренный с углом $$\angle ACN=120{}^\circ $$ (так как угол $$\angle ACB=60{}^\circ $$ в силу того, что треугольник ABC - равносторонний). В равнобедренном треугольнике высота CH будет являться также и биссектрисой. Высоту CH вычислим из прямоугольного треугольника CHN, в котором CN - гипотенуза с прилежащим к ней углом $$\angle NCH=60{}^\circ $$: $$CH={\cos 60{}^\circ \ }\cdot CN=1,5.$$

Учитывая, что точка D лежит точно посередине отрезка $$CC_1$$, получаем длину отрезка $$CD=\frac{1}{2}=0,5$$.

Найдем тангенс угла $$\alpha $$ между плоскостями $$ABC$$ и $$ADB_1$$ из прямоугольного треугольника $$CDH$$, получим: $${\tan \alpha \ }=\frac{CD}{CH}=\frac{0,5}{1,5}=\frac{1}{3}$$ и $$\alpha =arctg\frac{1}{3}.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство $$-2{{\log }_{\frac{x}{3}} 27\ }\ge {{\log }_3 27x+1\ }.$$

Ответ: $$(0;\frac{1}{9}]\cup [\frac{1}{3};3)$$
Скрыть

1. Запишем ОДЗ: $$\left\{ \begin{array}{c} x>0 \\ \frac{x}{3}\ne 1 \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array}{c} x>0 \\ x\ne 3 \end{array} \right.\to x\in \left(0;3\right)\cup \left(3;+\infty \right).$$

2. Упростим неравенство, получим: $$-6{{\log }_{\frac{x}{3}} 3\ }-3-{{\log }_3 x\ }-1\ge 0\to \frac{6}{{{\log }_{\frac{x}{3}} 3\ }}+{{\log }_3 x\ }+4\le 0\to $$ $$\to \frac{6}{{{\log }_3 x\ }-1}+{{\log }_3 x\ }+4\le 0$$.

3. Сделаем замену: $${{\log }_3 x\ }=t$$, получим: $$\frac{6}{t-1}+t+4\le 0\to \frac{t^2+3t+2}{t-1}\le 0.$$

4. Получаем точки, делящие числовую прямую: $$\left\{ \begin{array}{c} t^2+3t+2=0 \\ t-1\ne 0 \end{array} \right.$$$$\to \left\{ \begin{array}{c} t=-1 \\ t=-2 \\ t\ne 1 \end{array} \right..$$

5. Имеем следующие решения неравенства: Для $$t\le -2$$: $${{\log }_3 x\ }\le {{\log }_3 \frac{1}{9}\ }\to 0<x\le \frac{1}{9}\to x\in (0;\frac{1}{9}]\in $$ ОДЗ. 
 Для $$-1\le t<1:$$ $${{\log }_3 \frac{1}{3}\le {{\log }_3 x\ }\ }<{{\log }_3 3\ }\to \frac{1}{3}\le x<3\to x\in [\frac{1}{3};3)\in $$ ОДЗ.

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

На отрезке BD взята точка С. Биссектриса BL равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.

а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.

б) Известно, что $${\cos \angle ABC\ }=\frac{1}{5}.$$ В каком отношении прямая DL делит сторону AB?

Ответ: $$\frac{25}{24}.$$
Скрыть

а) Пусть $$\angle ABL=\angle ABL=\alpha ,$$ тогда $$\angle ACB=\angle ABC=2\alpha ,\ \angle D=\alpha $$ по свойству равнобедренного $$\triangle .$$ $$\angle ACB-$$ внешний в $$\angle DCL\to \angle CLD=\angle ACB-\angle CDL=\alpha =\angle CDL\to \triangle DCL-$$ равнобедренный по признаку.

б) 1) Пусть $$LH\bot BD,H\in BD.$$ В прямоугольном $$\triangle LCH:CH=x,{\cos 2\alpha \ }={\cos \angle ABC\ }=,\ CL=CH:{\cos 2\alpha \ }=5x=CD$$ ($$\triangle DCL-$$ равнобедренный).

2) В равнобедренном $$\triangle BLD$$ высота LH является медианой $$\to BH=DH=CH+CD=6x;$$ тогда $$BC=BH+CH=7x.$$

3) Пусть $$BM=CM=BC:2=3,5x;$$ AM - медиана, высота равнобедренного $$\triangle ABC,$$ тогда из прямоугольного $$\triangle AMC:AC=CM:{\cos 2\alpha \ }=3,5x\cdot 5=17,5x;AL=AC-CL=12,5x.$$

4) $$DL\cap AB=K.$$ Через точку С проведем $$CN\parallel DL,CN\cap AB=N.$$ По т. о пропорциональных отрезках:

- (для $$\angle DBK$$) $$\frac{BN}{NK}=\frac{BC}{CD}=\frac{7x}{5x}=\frac{7}{5}\to BN=7a,\ NK=5a\ \left(a>0\right);$$ тогда $$BK=BN+NK=12a.$$

- (для $$\angle CAN$$) $$\frac{AK}{NK}=\frac{AL}{CL}=\frac{12,5x}{5x}=\frac{125}{50}=\frac{5}{2}\to AK=\frac{5NK}{2}=\frac{25a}{2};$$ тогда $$\frac{AK}{BK}=\frac{25a}{2\cdot 12a}=\frac{25}{24}.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором - 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором - 500 ц/га.

Фермер может продать картофель по цене 5000 руб. за центнер, а свёклу - по цене 8000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Ответ: 65 млн. руб.
Скрыть

Вычислим доход фермера с первого поля, если он засеет на нем картофель. Урожайность картофеля на нем 500 ц/га, цена картофеля 5000 за центнер, размер поля 10 гектар, получаем размер дохода $$5000\cdot 500\cdot 10=25000000$$ руб.

Теперь сравним доход, если на первом поле будет засеяна свекла, получим $$8000\cdot 300\cdot 10=24000000$$ руб.

Отсюда видно, что на первом поле выгоднее сажать картофель. Аналогично сравним доход, приносимый вторым полем:

- для картофеля: $$5000\cdot 300\cdot 10=15000000$$ руб;

- для свёклы: $$8000\cdot 500\cdot 10=40000000$$ руб.

Следовательно, на втором поле выгоднее сажать свёклу. Таким образом, максимально возможный доход фермер может получить в сумме $$25+40=65$$ млн. руб.

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите все значения $$a,$$ при каждом из которых неравенство $$2x^3+9x+3\left|x+a-2\right|+2\left|2x-a+2\right|+\sqrt[5]{2x-3}\le 16$$ выполняется для всех значений $$x\in \left[-2;1\right].$$

Ответ:
Скрыть

Поскольку неравенство должно выполняться для всех значений $$x\in \left[-2;1\right]$$, то оно должно выполняться и при $$x=1.$$ Подставим $$x=1$$ в неравенство: $$11+3\left|a-1\right|+2\left|4-a\right|-1\le 16$$ или $$3\left|a-1\right|+2\left|4-a\right|\le 6$$ $$(\cdot )$$.

Рассмотрим функцию $$f\left(a\right)=3\left|a-1\right|+2\left|4-a\right|$$ на трёх промежутках: 
$$1) \left\{ \begin{array}{c}a\ge 4 \\ f\left(a\right)=3\left(a-1\right)+2\left(a-4\right)=5a-11 \end{array}\right.$$ 
$$2) \left\{ \begin{array}{c}1<a<4 \\ f\left(a\right)=3\left(a-1\right)+2\left(4-a\right)=a+5 \end{array}\right.$$ 
$$3) \left\{ \begin{array}{c}a\le 1 \\ f\left(a\right)=3\left(1-a\right)+2\left(4-a\right)=-5a+11 \end{array}\right.$$ 
При $$a>1$$ функция возрастает, а при $$a<1$$ убывает. Следовательно, она принимает наименьшее значение в точке $$a=1.$$ Имеем: $$f_{min}=f\left(1\right)=6.$$ Значит, неравенство $$(\cdot )$$ может быть выполнено только при $$a=1.$$

При $$a=1$$ получим $$2x^3+9x+3\left|x-1\right|+2\left|2x+1\right|+\sqrt[5]{2x-3}\le 16.$$

Поскольку $$x\in \left[-2;1\right],$$ то $$2x^3+9x+3\left(1-x\right)+2\left|2x+1\right|+\sqrt[5]{2x-3}\le 16\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow 2x^3+6x+2\left|2x+1\right|+\sqrt[5]{2x-3}-13\le 0\ \left(\cdot \cdot \right).$$

Пусть $$g\left(x\right)=2x^3+6x+2\left|2x+1\right|+\sqrt[5]{2x-3}-13,\ x\in \left[-2;1\right].$$

При $$x\in \left[-2;-\frac{1}{2}\right];g\left(x\right)=2x^3+6x-2\left(2x+1\right)+\sqrt[5]{2x-3}-13=$$ $$=2x^3+2x+\sqrt[5]{2x-3}-15.$$

При $$x\in \left[-\frac{1}{2};1\right];g\left(x\right)=2x^3+6x+2\left(2x+1\right)+\sqrt[5]{2x-3}-13=$$ $$=2x^3+10x+\sqrt[5]{2x-3}-11$$ функция $$g\left(x\right)$$ также возрастающая, как сумма возрастающих функций. И поскольку $$g\left(1\right)=0,$$ то при всех $$x\in \left[-2;1\right]$$ выполняется неравенство $$(\cdot \cdot )$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

Моток веревки режут без остатка на куски длиной не меньше 80 см, но не больше 85 см (назовем такие куски стандартными).

а) Некоторый моток веревки разрезали на 16 стандартных кусков, среди которых есть куски разной длины. На какое наибольшее число одинаковых стандартных кусков можно было бы разрезать тот же моток веревки?

б) Можно ли нарезать на стандартные куски моток длиной 700 см.

в) Найдите такое наименьшее число $$l$$, что любой моток веревки, длина которого больше $$l\ $$см, можно разрезать на стандартные куски.

Ответ: а) 22; б) нет; в) 1280
Скрыть

Рассмотрим моток веревки длиной x см. Условие того, что его можно разрезать на n стандартных кусков, записывается в виде $$80n\le x\le 85n$$ или~$$80\le \frac{x}{n}\le 85$$

а) В данном случае имеем $$80\cdot 16<x<85\cdot 16$$ (неравенства строгие, поскольку среди кусков есть неравные). Пусть эту веревку можно разрезать на 16 стандартных кусков, тогда получаем $$1280<x<1360$$. Разрежем веревку на 22 куска, тогда должно выполняться неравенство $$x\ge 22\cdot 80=1760=20,7\cdot 80$$ - подходит. При $$n=23$$, $$23\cdot 80=1840=85\cdot 21,6>x$$, т.е. этот моток веревки нельзя разрезать больше, чем на 22 стандартных куска.

б) $$80\le \frac{x}{n}\le 85\to 80\le \frac{700}{n}\le 85\to $$ из этого неравенства получаем, что нет целого числа n кусков, на которые можно поделить моток.

в) Отрезки $$\left[80n;85n\right]$$ и $$\left[80(n+1);85(n+1)\right]$$, являющиеся решением неравенств $$80n\le x\le 85n$$ и $$80(n+1)\le x\le 85(n+1)$$ , имеют общие точки для всех $$n$$, при которых $$80\left(n+1\right)\le x\le 85n$$, т.е. при $$n\ge 16$$.

Наибольшее $$n$$ при котором существует интервал $$\left[85n;80(n+1)\right]$$ $$n=16$$, а все точки $$x\ge 80\cdot 16=1280$$ принадлежат отрезку $$\left[80n;85n\right]$$, где $$n\ge 16$$. При $$x\ge 1280$$ веревку можно разрезать на стандартные куски. 
Таким образом, искомое число равно 1280.