ЕГЭ 2020. Вариант 35 Ященко 36 вариантов ФИПИ школе.

Скрыть В первый день поезд будет в пути $$24:00-18:40=5:20.$$ Во второй день 10:40, следовательно, всего в пути он будет $$10:40+5:20=16$$ часов.

Скрыть На участке с 1:00 по 22:00 3 мая выберем наименьшую отметку. Она соответствует 4:00 со значением минус одно деление относительно нуля, то есть, составляет -1 градус.

Скрыть

Для вычисления площади трапеции воспользуемся формулой $$S=\frac{a+b}{2}\cdot h$$, где $$h$$ - высота трапеции; $$a,b$$ - длины ее оснований. Из рисунка видно, что высота $$h=5,$$ основания $$a=3-1=2$$ и $$b=10-4=6$$. Получаем площадь трапеции $$S=\frac{\left(2+6\right)}{2}\cdot 5=20$$

Скрыть Оранжевых кабинок $$30-11-7=12.$$ Всего кабинок 30. Тогда вероятность попадания в оранжевую кабинку будет равна $$\frac{12}{30}=0,4.$$

Скрыть Упростим уравнение: $${\left(\frac{1}{6}\right)}^{4x-6}={\left(\frac{1}{6}\right)}^2.$$ Переходя к степеням, получаем: $$4x-6=2\to x=2.$$

Скрыть Обозначим через $$x$$ половину угла $$A$$, т.е. $$x=\angle CAB=\angle DAB=\angle A:2$$. Через $$y$$ обозначим половину угла $$B$$, т.е. $$y=\angle B:2$$. Тогда, рассматривая треугольник ABC можем записать $$2x+2y+36{}^\circ =180{}^\circ \to x+y=72{}^\circ .$$ Теперь рассмотрим треугольник AOB. В нем сумма двух углов $$x+y$$ уже известна, следовательно, третий угол AOB будет равен $$180{}^\circ -72{}^\circ =108{}^\circ .$$

Скрыть

Как известно, скорость равна производной от пути, т.е. закон изменения скорости будет равен $$v\left(t\right)=\frac{dx\left(t\right)}{dt}=t+2.$$

В момент времени $$t=7$$, скорость будет равна $$v\left(t=7\right)=7+2=9$$ м/с.

Скрыть При переливе жидкости из одного сосуда в другой ее объем останется неизменным. Объем цилиндра определяется формулой $$V=\pi R^2h=\pi {\left(\frac{d}{2}\right)}^2h,$$ где d - диаметр цилиндра; h - его высота. Если диаметр сосуда будет увеличен в 3 раза, то его объем можно записать так $$V=\pi {\left(\frac{3d}{2}\right)}^2h_2.$$ Так как объем жидкости неизменен, то приравняем первое и второе выражения, и вычислим высоту $$h_2$$ жидкости во втором сосуде, получим: $$h_2\pi \frac{9d^2}{4}=\pi \frac{d^2}{4}63\to h_2=\frac{63}{9}=7.$$

Скрыть

1. Выразим тангенс через синус. Для этого возведем тангенс в квадрат (в данном случае это допустимо, т.к. при $$\alpha \in (0;\frac{\pi }{2})$$ и синус и косинус положительны. Получим: $${{\tan }^{{\rm 2}} \alpha \ }=\frac{{{\sin }^{{\rm 2}} \alpha \ }}{{{\cos }^{{\rm 2}} \alpha \ }}=\frac{{{\sin }^{{\rm 2}} \alpha \ }}{{{\cos }^{{\rm 2}} \alpha \ }+1-1}=\frac{{{\sin }^{{\rm 2}} \alpha \ }}{{{\cos }^{{\rm 2}} \alpha \ }+1-{{\cos }^{{\rm 2}} \alpha \ }-{{\sin }^{{\rm 2}} \alpha \ }}=\frac{{{\sin }^{{\rm 2}} \alpha \ }}{1-{{\sin }^{{\rm 2}} \alpha \ }}$$

2. Подставим вместо синуса числовое выражение: $${{\tan }^{{\rm 2}} \alpha \ }=\frac{25\cdot 26}{{26}^2}:\left(1-\frac{25\cdot 26}{{26}^2}\right)=\frac{25\cdot 26}{{26}^2}:\frac{{26}^2-25\cdot 26}{{26}^2}=\frac{25\cdot 26}{{26}^2}\cdot \frac{{26}^2}{26}=25$$ и $${\tan \alpha \ }=\sqrt{25}=5$$

Скрыть Из равенства $$r(p)\ =\ pq$$ выразим $$p$$, учитывая, что $$q=140-10p,$$ получим: $$r\left(p\right)=p(140-10p)$$. Выручка $$r\left(p\right)=400,$$ следовательно, $$p\left(140-10p\right)=400\to p^2-14p+40=0.$$ Решаем квадратное уравнение, получаем два корня $$p_1=4;\ p_2=10.$$ Наибольшая цена равна 10 тыс. руб.

Скрыть

Пусть $$x$$ деталей делает первый рабочий в 1 час. Тогда второй рабочий за это же время будет делать $$x-1$$ деталь. Время, затрачиваемое первым рабочим на изготовление 252 деталей равно $$\frac{252}{x}$$, а время, затрачиваемое вторым рабочим на изготовление 420 деталей, равно $$\frac{420}{x-1}$$. По условию задачи сказано, что первый рабочий на изготовление 252 деталей затрачивает на 9 часов меньше времени, чем второй на изготовление 420 деталей. Получаем уравнение $$\frac{420}{x-1}-\frac{252}{x}=9$$ откуда имеем $$420x-252x+252-9\left(x^2-x\right)=0\to 3x^2-59x-84=0.$$

Решаем квадратное уравнение, получаем: $$x_1=21;\ x_2=-\frac{8}{6}.$$ Так как число деталей не может быть отрицательным, то получаем $$x=21.$$

Скрыть

Преобразуем выражение $$y\left(x^2-20x+100\right)\left(x+1\right)+3$$ и вычислим производную от этой функции $$y'=\left(2x-20\right)\left(x+1\right)+\left(x^2-20x+100\right)\to y'=\left(x-10\right)\left(3x-8\right).$$ В точках экстремума функции производная равна нулю, имеем: $$\left(x-10\right)\left(3x-8\right)=0\to x_1=10;\ x_2=\frac{8}{3}\notin \left[5;14\right].$$

Для нахождения наименьшего значения функции, вычислим ее значения в граничных точках диапазона и в точке экстремума, получим $$y\left(5\right)=25\cdot 6+3=153;y\left(10\right)=3;y\left(14\right)=16\cdot 15+3=243.$$

Наименьшее значение равно 3.

Скрыть

а) Упростим выражение:$$\ \frac{7}{{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }}-\frac{1}{{\cos x\ }}-6=0.$$ ОДЗ: $${\cos x\ne 0\ },\ x\ne \frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z,$$ имеем: $$7-{\cos x\ }-6{{\cos }^2 x\ }=0.$$ Делаем замену $${\cos x\ }=t,t\in \left[-1;1\right]$$, получаем: $$6t^2+t-7=0.$$

Решаем уравнение: $$t_1=1;\ t_2=-\frac{7}{6}\in \left[-1;1\right].$$ Переходя к косинусу, получаем: $${\cos x\ }=1;x=2\pi n,n\in Z.$$

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке $$\left[-3\pi ;\ -\frac{\pi }{2}\right].$$ Получим число $$-2\pi .$$

Скрыть

а) Построение. Отметим точку K как результат пересечения прямой BC и прямой $$B_1D$$: т.е. $$K=BC\cap B_1D$$ (см. рисунок). Точка A является общей точкой для плоскостей $$ABC$$ и $$ADB_1$$. Следовательно, указанные плоскости пройдут через линию AK (см. рисунок). Данная линия и будет прямой пересечения плоскостей $$ABC$$ и $$ADB_1$$.

б) Необходимо найти угол DHC (см. рисунок). Рассмотрим треугольник $$B_1C_1D$$ и подобный ему треугольник $$KCD$$ с коэффициентом подобия $$k=1$$ (то есть они равны между собой). Отсюда получаем, что $$CK=5$$. Имеем равнобедренный треугольник с углом $$\angle ACK=120{}^\circ $$ (так как угол $$ACB=60{}^\circ $$ у равностороннего треугольника $$ABC$$). В равнобедренном треугольнике высота $$CH$$, проведенная к основанию, является также и биссектрисой. Рассмотрим прямоугольный треугольник CHK, у которого гипотенуза $$CK=5$$ и прилегающий к ней угол $$KCH=60{}^\circ $$. Тогда катет $$CH$$ можно найти как $$CH={\cos 60{}^\circ \ }\cdot CK=\frac{5}{2}=2,5.$$ Найдем тангенс угла $$DHC$$ между плоскостями из прямоугольного треугольника $$DCH$$, получим: $${\tan \angle \ }DHC=\frac{DC}{CH}=\frac{1}{2,5}=\frac{2}{5}$$ и угол между плоскостями равен $$\alpha =\angle DHC=arctg\frac{2}{5}.$$

Скрыть

1. ОДЗ: $$\left\{ \begin{array}{c} 2x^2+x-1>0 \\ 11x-6-3x^2>0 \\ \frac{3x-1}{x+2}>0 \\ \frac{3x-1}{x+2}\ne 1 \end{array} \right.$$

2. Рассмотрим по отдельности каждое неравенство из ОДЗ:

а) неравенство $$2x^2+x-1>0$$ имеет корни: $$x_1=-1\ ;x_2=\frac{1}{2}\ ;$$

б) неравенство $$11x-6-3x^2$$$$>0$$ имеет корни: $$x_1=\frac{2}{3};x_2=\ 3;$$

в) неравенство $$\frac{3x-1}{x+2}>0$$ имеет корни: $$x_1=\frac{1}{3};x_2=-2;$$

г) неравенство $$\frac{3x-1}{x+2}\ne 1\to 3x-1\ne x+2$$ и $$x\ne 1,5$$

3. Объединяя все четыре решения, получаем: $$x\in (\frac{2}{3};1,5)\cup (1,5;3)$$

4. Возвращаемся к исходному неравенству и воспользуемся методом рационализации: $${{\log }_n f\ }-{{\log }_n g\ }\to \left(n-1\right)\left(f-g\right).$$

Таким образом, на заданном ОДЗ можем записать: $$(\frac{3x-1}{x+2}-1)(2x^2+x-1-11x+6+3x^2)\ge 0.$$ Упрощаем выражение, получаем: $$\left(\frac{2x-3}{x+2}\right)\left(5x^2-10x+5\right)\ge 0\to \left(\frac{2x-3}{x+2}\right){\left(x-1\right)}^2\ge 0.$$

Получаем решения: $$\left\{ \begin{array}{c} x\ne 1,5 \\ x=1 \\ x\ne -2 \end{array} \right.\to x\in \left(-\infty ;-2\right)\cup [1]\cup (1,5;+\infty )$$.

5. Пересекаем ОДЗ с полученным решением, окончательно получаем: $$x\in [1]\cup (1,5;3)$$

Скрыть

а) Дана трапеция ABCD, в которой M - середина BC, а N - середина AD (см. рисунок ниже). Следовательно, $$BM=MC$$ и $$AN=ND (1)$$. По условию задания в трапецию ABMN можно вписать окружность, значит, суммы ее противоположных сторон равны: $$AB+MN\ =\ BM+AN$$, откуда $$MN\ =\ BM+AN-AB.$$ Аналогично для трапеции MCDN: $$CD+MN\ =\ MC+ND.$$ $$MN\ =\ MC+ND-CD.$$

Приравниваем два выражения для MN, имеем: $$BM+AN-AB\ =\ MC+ND-CD$$ и, учитывая равенство (1), получаем: $$AB\ =\ CD$$

Получаем равенство боковых сторон, значит, трапеция ABCD - равнобедренная.

б) Так как радиус вписанных окружностей равен 4, значит, высота трапеции $$MN=2\cdot 4=8.$$ Также по условию дана длина $$BC=14$$ и, следовательно, $$BM=BC:2=14:2=7.$$ Обозначим BF через x (см. рисунок ниже). Тогда $$BM_1=x\ $$как отрезки касательных.

Получаем, что $$M_1M=7-x$$, поэтому и $$MZ=7-x$$, $$NZ\ =\ MN-MZ\ =\ 8-(7-x)\ =\ x+1,$$ следовательно, $$N_1N=x+1$$ (так как соответствующие отрезки касательных равны). Так как $$MZ=ZN$$ (радиус $$O_1Z$$ вписанной окружности будет параллелен основаниям трапеции), имеем: $$7-x=x+1\to x=3.$$

Значит, $$BF=BM_1\ =\ 3$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BO_1A$$ (он прямоугольный, так как $$AO_1$$ и $$BO_1$$ - биссектрисы, а $$\angle A+\angle B=180{}^\circ $$, поэтому $$\angle BO_1A=90{}^\circ $$). Квадрат высоты $$OF_1$$, проведенной из прямого угла, равен: $$O_1F^2=BF\cdot FA\to FA=\frac{16}{3}$$ и по теореме Пифагора $$O_1A=\sqrt{O_1F^2-FA^2}=\sqrt{16+\frac{{16}^2}{9}}=\frac{20}{3}.$$

Обозначим радиус малой окружности $$AO=y$$, тогда $$OA=O_1A-OO_1=O_1A-\left(4+y\right)=\frac{8}{3}-y.$$

Учитывая, что треугольники $$AFO_1$$ и $$AYO$$ подобны по двум углам, можем записать отношение: $$\frac{y}{4}=\frac{AO}{AO_1}=\frac{\frac{8}{3}-y}{\frac{20}{3}}\to 32-12=20y\to y=1$$

Скрыть

Чтобы произвести максимальный объем сплава, необходимо добыть максимальное количество алюминия и никеля в обеих областях, в равных пропорциях, чтобы не было переизбытка материала. Очевидно, что в первой области 20 рабочих следует разделить на две равные группы по 10 человек, которые буду добывать $$0,2\cdot 10\cdot 10=20$$ кг алюминия и $$0,2\cdot 10\cdot 10=20$$ кг никеля в сутки.

Во второй области следует также поровну распределить рабочих по 10 человек, которые добудут $$\sqrt{10\cdot 10}=10$$ кг алюминия и $$\sqrt{10\cdot 10}=10$$ кг никеля. 

В итоге, поставляя на завод в сумме по 30 кг алюминия и 30 кг никеля, можно будет выплавлять по 60 кг сплава ежедневно.

Скрыть

Рассмотрим два случая:

$$1: \left\{ \begin{array}{c} x-5y+5\ge 0 \\ x^2+5x+y^2-y-\left(x-5y+5\right)=52 \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x-5y+5\ge 0 \\ x^2+4x+y^2+4y=57 \end{array} \right.\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x-5y+5\ge 0 \\ {\left(x+2\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=65 \end{array} \right.$$

Получили дугу окружности с центром $$A(-2;2)$$ радиуса $$\sqrt{65}.$$

$$2: \left\{ \begin{array}{c} x-5y+5<0 \\ x^2+5x+y^2-y+\left(x-5y+5\right)=52 \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x-5y+5<0 \\ x^2+6x+y^2-6y=47 \end{array} \right.\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x-5y+5<0 \\ {\left(x+3\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=65 \end{array} \right.\ $$

Получили дугу окружности с центром $$A(-3;3)$$ радиуса $$\sqrt{65}.$$

Решив эти системы, получим точки пересечения окружностей $$C(5;2)$$ и $$D\left(-10;-1\right).$$

Второе уравнение исходной системы представляет собой пучок прямых, проходящих через точку $$C.$$

Решениями системы являются фиксированная точка $$C(5;2)$$ и подвижная точка E - пересечения совокупности дуг с прямой пучка. Необходимо два решения. Значит, прямая пучка не должна пересекать дуги в прямых точках, кроме $$C$$ и $$E$$.

Поскольку коэффициент прямой AC равен $$-\frac{1}{8},$$ то касательная, перпендикулярная АС в точке С имеет наклон 8. Поскольку коэффициент прямой ВС равен $$\frac{4}{7},$$ то касательная, перпендикулярная радиусу BC в точке С имеет наклон $$-\frac{7}{4}.$$ При изменении наклона прямой пучка в промежутке $$\left[-\frac{7}{4};8\right]$$ не будет появляться новых точек пересечения (кроме С и Е).

Ответ: $$a\in [-\frac{7}{4};8]$$

Скрыть

а) Число-палиндром - это число, которое остается неизменным, если его читать наоборот. Возьмем четырехзначное число-палиндром и составим его из цифр a и b, получим: abba. Нужно подобрать цифры a и b так, чтобы число abba делилось на 15, т.е. оно должно быть кратно 15. Чтобы число было кратно 15, цифра a должна быть равна 5. Остается подобрать цифру b так, чтобы число было кратно 15, получим:

- число 5115 - кратно 15;

- число 5225 - не кратно 15;

- число 5335 - не кратно 15;

- число 5445 - кратно 15; и т.д.

б) Чтобы число делилось на 15, последняя цифра должна быть 5 (0 на конце недопустим), получим числа по форме 5aba5. Также это число должно делиться еще и на 3, т.к. $$15=3\cdot 5$$, где 3 и 5 - простые числа. Признаком делимости числа на 3 является то, что сумма цифр числа делится на 3, таким образом, получаем условие: $$5+a+b+a+5=10+2a+b$$ должно быть кратно 3. Очевидно, цифра b может быть от 0 до 9, имеем:

- для b=0: $$10+2a\to a=1;4;7$$;

- для b=1: $$11+2a\to a=2;5;8$$;

- для b=2: $$12+2a\to a=0;3;6;9$$;

- для b=3: $$13+2a\to a=1;4;7$$.

Дальше все повторяется, т.к. сумма увеличилась на 3. Таким образом, в первой тройке значений имеем 10 вариантов чисел-палиндромов. Аналогично для второй и третьей тройки. В последнем варианте при $$b=9$$ имеем 3 варианта и того $$30+3=33$$ варианта.

в) Найдем 37-е по счету число-палиндром, начиная с самого младшего, т.е. с трехзначного числа типа 5a5, затем переберем четырехзначные 5aa5, получим:

- для трехзначных: 525, 555, 585;

- для четырехзначных: 5115, 5445, 5775;

Итак, имеем 6 первых чисел-палиндромов. В соответствии со схемой, представленной в пункте б), найдем 37-е число-палиндром. По сути, нужно найти $$37-6=31$$-е пятизначное число-палиндром, которое будет соответствовать $$b=2$$ и $$a=9$$, т.е. получим число 59295