ЕГЭ 2022. Вариант 18 Ященко 36 вариантов ФИПИ школе.

$$(\frac{1}{5})^{3x+5}=0,04$$

$$(\frac{1}{5})^{3x+5}=\frac{1}{25}$$

$$(\frac{1}{5})^{3x+5}=(\frac{1}{5})^2$$

$$3x+5=2$$

$$3x=2-5$$

$$3x=-3$$

$$x=-1$$

Воспользуемся расширенной теоремой синусов, которую можно записать в виде:

$$\frac{AB}{\sin\angle C}=2R$$

откуда

$$AB=2R\cdot\sin\angle C$$

$$AB=2\cdot2\sqrt{3}\cdot\sin120=2\cdot2\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=6$$

$$2\sqrt{6}\cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{7\pi}{6}\tan(-\frac{2\pi}{3})=2\sqrt{6}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot(-\frac{1}{2})\cdot\sqrt{3}=$$

$$=-\frac{2\cdot\sqrt{36}}{2\cdot2}=-\frac{6}{2}=-3$$

При погружении детали в жидкость, высота жидкости изменилась на

$$\Delta h=29-25=4$$ см

Учитывая, что площадь основания призмы не менялась, то изменение объема можно записать как

$$\Delta V=\Delta h\cdot S_{осн}$$

где

$$S_{осн}=\frac{V_1}{h_1}=\frac{1100}{25}=44$$

Получаем объем детали:

$$\Delta=4\cdot44=176$$

Известно, что производная положительная в окрестностях точек, где функция возрастает и отрицательная, где функция убывает. Анализ графика производной показывает, что на участке $$[-5; -3]$$ функция $$f(x)$$ возрастала, а затем, на участке $$[-3; 0]$$ – убывала. Следовательно, максимальное значение она приобретает в точке $$-3.$$

Выразим из формулы рейтинга величину A, получим:

$$A=\frac{2In+Op+3Tr+Q}{R}$$

Подставим сюда максимальные значения $$4$$ и $$R=1,$$ получим величину A:

$$A=\frac{2\cdot4+4+3\cdot4+4}{1}=28$$

Пусть $$x$$ км/ч – скорость туриста на спуске. Тогда скорость на подъеме $$x-3$$ км/ч. В задании сказано, что на спуск ушло $$t_1=2$$ часа, значит, на подъем $$t_2=10-2=8$$ часов. Получаем общий пройденный путь:

$$2\cdot x+8\cdot(x-3)=36$$

$$2x+8x-24=36$$

$$10x=60$$

$$x=6$$

Точки A(0;2) и B(-1;3) принадлежат графику функции. Получили:

$$\left\{\begin{matrix} 2=a^0+b\\ 3=a^{-1}+b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 2=1+b\\ a^{-1}=3-b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} b=1\\ a^{-1}=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} b=1\\ a=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$$

Получили:

$$(\frac{1}{2})^x+1=33\Leftrightarrow(\frac{1}{2})^x=32=(\frac{1}{2})^{-5}\Leftrightarrow x=-5$$

$$у=7\ln(х+5)-7х+10$$

Найдём производную функции:

$$y'=7\cdot{1}{x+5}-7$$

Найдём нули производной:

$$7\cdot{1}{x+5}-7=0$$

$$7\cdot{1}{x+5}=7$$

$$\frac{1}{x+5}=1$$

$$x+5=1$$

$$x=1-5=-4$$

Определим знаки производной функции и изобразим её поведение:

Точка максимума $$x=-4,$$ там и будет максимальное значение функции:

$$y(-4)=7\ln(-4+5)-7\cdot(-4)+10=7\cdot0+28+10=38$$

а) Решите уравнение

$$\cos 2x-\sin 2x=\cos x+\sin x+1$$

ОДЗ уравнения: R

Используя формулу косинуса двойного угла $$\cos 2\alpha=\cos^2 \alpha–\sin^2 \alpha,$$ формулу синуса двойного угла $$\sin 2\alpha=2\sin \alpha\cos \alpha,$$ основное тригонометрическое тождество $$cos^2 \alpha+\sin^2 \alpha=1,$$ преобразуем уравнение:

Используя формулу косинуса двойного угла $$\cos 2\alpha=\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha,$$ формулу синуса двойного угла $$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,$$ основное тригонометрическое тождество $$\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1,$$ преобразуем уравнение:

$$\cos^2 x-\sin^2 x-2\sin x\cos x=\cos x+\sin x+\cos^2 x+\sin^2 x$$

$$\cos^2 x-\sin^2 x-2\sin x\cos x-\cos x-\sin x-\cos^2 x-\sin^2 x=0$$

$$-2\sin^2 x-2\sin x\cos x-\cos x-\sin x=0$$

$$2\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos x+\sin x=0$$

Воспользуемся методом группировки:

$$(2\sin^2 x+2\sin x\cos x)+(\cos x+\sin x)=0$$

$$2\sin x(\sin x+\cos x)+(\sin x+\cos x)=0$$

$$(\sin x+\cos x)\cdot(2\sin x+1)=0$$

Уравнение состоит из двух множителей. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла, т. е.

$$\sin x+\cos x=0$$ или $$2\sin x+1=0$$

Решим первое уравнение:

$$\sin x+\cos x=0$$

Получили однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Так как $$\sin x$$ и $$\cos x$$ обращаются в нуль в различных точках, т. е. не могут быть одновременно равными нулю, то можно обе части уравнения разделить на $$\cos x:$$

$$\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\cos x}=\frac{0}{\cos x}$$

$$\tan x+1=0$$

$$\tan x=-1$$

$$x=\arctan(-1)+\pi n,n\in Z$$

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,n\in Z$$

Решим второе уравнение:

$$2\sin x+1=0$$

$$\sin x=-\frac{1}{2}$$

$$x=-\frac{\pi}{6}+2\pi m, m\in Z$$ и $$x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi k, k\in Z$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{5\pi}{2}; -\pi].$$

Выберем корни уравнения при помощи единичной окружности

$$x=-\frac{9\pi}{4};-\frac{13\pi}{6};-\frac{5\pi}{4}$$

а)

$$DM=\frac{\sqrt{3}}{4}$$

$$D_1M=\frac{3\sqrt{3}}{4}$$

$$BC_1=\sqrt{12}$$ (т. Пифагора)

$$MK=\frac{3\sqrt{7}}{4}$$ (т. Пифагора)

$$DB=3\sqrt{2}$$ (свойство квадратов)

$$BM=\sqrt{18+\frac{3}{16}}=\frac{\sqrt{291}}{4}$$ (т. Пифагора)

$$BK=\sqrt{\frac{9}{4}+12}=\frac{\sqrt{57}}{2}$$ (т. Пифагора)

Сравним $$BM^2$$ и $$MK^2+BK^2$$

$$\frac{291}{16}$$ и $$\frac{63}{16}+\frac{57}{4}$$

$$BM^2=MK^2+BK^2$$

По теореме, обратной теореме косинусов вывод:

$$MK\perp BK, чтд$$

б)

$$(ABB_1)||(DD_1C_1)$$

Найдём $$\widehat{(DD_1C_1)(MKB)},$$ он равен искомому.

Д. П. $$KN\perp MK$$

$$ctg\alpha=tg(90^{\circ}-\alpha)=\frac{2}{\sqrt{3}}$$

Треугольник $$KC_1N:$$

$$C_1N=\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$$

$$\Rightarrow$$ т. N совпадает с т. C.$$\Rightarrow CK\perp MK$$

$$\angle BKC=x$$ - искомый (по определению)

Треугольник $$KC_1C:$$

$$KC=\sqrt{\frac{9}{4}+3}=\frac{\sqrt{21}}{2}$$ (по т. Пифагора)

Треугольник $$BKC:$$

$$tgx=\frac{3}{\frac{\sqrt{21}}{2}}=\frac{6}{\sqrt{21}}=\frac{6\sqrt{21}}{21}=\frac{2\sqrt{21}}{7}$$

$$x=arctg\frac{2\sqrt{21}}{7}$$

$$\lg^4(x^2-4)^2-lg^2(x^2-4)^4\geq192$$

ОДЗ: $$x\neq\pm2$$

$$16\lg^4|x^2-4|-16lg^2|x^2-4|\geq192$$

$$\lg^2|x^2-4|=t\geq0$$

$$\left\{\begin{matrix} t\geq0\\ t^2-t-12\geq0 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} t\geq0\\ t\geq4 \end{matrix}\right.$$

Переход к старой переменной:

$$\lg^2|x^2-4|\geq0$$

$$(\lg |x^2-4|\leq-2)(\lg |x^2-4|\leq-2)\geq0$$

$$\left[\begin{matrix} \lg|x^2-4|\leq-2\\ \lg|x^2-4|\geq2 \end{matrix}\right.\left[\begin{matrix} |x^2-4|\leq0,1 (1)\\ |x^2-4|\geq100 (2) \end{matrix}\right.$$

(1) $$\left\{\begin{matrix} x^2-4\leq0,01\\ x^2-4\geq-0,01 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} (x-\sqrt{4,01})(x+\sqrt{4,01})\leq0\\ (x-\sqrt{3,99})(x+\sqrt{3,99})\geq0 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} x\in[-\sqrt{4,01};\sqrt{4,01}]\\ x\in(-\infty;-\sqrt{3,99}];[\sqrt{3,99};+\infty) \end{matrix}\right.$$

$$x\in [-\sqrt{4,01};-\sqrt{3,99}]\cup[\sqrt{3,99};\sqrt{4,01}]$$

(2) $$\left[\begin{matrix} (x-2\sqrt{26})(x+2\sqrt{26})\geq0\\ x^2-4\leq-100\ \end{matrix}\right.$$

$$x\in(-\infty;-2\sqrt{26}];[-\sqrt{4,01};-2);(-2;-\sqrt{3,99}];[\sqrt{3,99};2);(2;\sqrt{4,01}];[2\sqrt{26};+\infty)$$

Пусть Сергей в середине каждого месяца откладывает ​$$x$$​ рублей

Тогда к середине $$n-го$$ месяца у Александра будет ​$$n\cdot x$$​ рублей, а акции будут стоить, по условию, не более $$​160000\cdot1,25^{n−1}$$​

Для того, чтобы Сергей смог купить акции должно быть выполнено неравенство:

$$​x\geq\frac{160000\cdot1,25^{n−1}}{n}​$$

Пусть ​$$an=\frac{1,25^{n−1}}{n}$$​

Нам нужно найти наименьшее из чисел ​$$an​.$$ Найдем когда последовательность убывает, для этого

Сравним ​$$\frac{a_{n+1}}{a_n}\leq1$$​

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}​=\frac{5n}{4(n+1)}\leq1$$​

$$n\leq4​$$

Тогда наименьший элемент последовательности равен ​$$a_4=\frac{125}{256}​$$

Тогда

$$​x=160000\cdot\frac{125}{256}=78125​$$

а) Рассмотрим четырехугольник ALBC, у которого углы $$ACB=ALB=90^{\circ},$$ а значит, вокруг него можно описать окружность (по свойству: сумма противоположных углов $$ACB+ALB=180^{\circ}$$). Тогда хорды AL = LB (треугольники АКС, ALB и ВМС – равнобедренные) стягивают дуги $$\cup AL=\cup LB,$$ следовательно, вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, также равны: $$\angle ACL=\angle LCB=45^{\circ};$$ $$\angle KCA+\angle ACL=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ};$$ $$\angle LCB+\angle BCM=90^{\circ},$$ следовательно, LC перпендикулярна KM и LC – высота треугольника KLM.

б) Площадь треугольника KLM можно найти по формуле:

$$S_{KLM}=\frac{1}{2}KM\cdot LC$$

Пусть BC = a, AC = b, CL = d, AB = c, а P – точка пересечения AB и CL. Так как $$\angle ACP=\angle BCP=45^{\circ},$$ то CB – биссектриса треугольника ABC. По свойству биссектрис:

$$\frac{AP}{PB}=\frac{AC}{CB}=\frac{b}{a}$$

Учитывая, что AP + PB = AB = c, получаем систему:

$$\frac{AP}{PB}=\frac{b}{a}$$

$$AP+PB=c$$

С решением:

$$AP=\frac{bc}{a+b}; PB=\frac{ac}{a+b}$$

Так как углы $$\angle ACL=\angle BAL=45^{\circ},$$ то треугольники ACL и PAL подобны по двум углам и:

$$\frac{AC}{PA}=\frac{CL}{AL}\Rightarrow b: \frac{bc}{a+b}=d:\frac{c}{\sqrt{2}}$$

и $$d=\frac{a+b}{\sqrt{2}}.$$ Из равенства KM = KC + CM, получаем:

$$KM=\frac{a}{\sqrt{2}}+\frac{b}{\sqrt{2}}=d=6$$

Следовательно:

$$S_{KLM}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot6=18$$

Найдем производную заданной функции: $$f'(x)=4ax^3+12x^2-6x.$$ Необходимо и достаточно, чтобы f' имела на отрезке [−2; 2] два нуля, в которых она меняет знак с плюса на минус. При этом, если корней ровно два, то в одном из них производная знак не меняет. Следовательно, корней ровно три и характеры смены знака в них чередуются (с плюса на минус, с минуса на плюс и снова с плюса на минус). Поэтому все три корня должны лежать на отрезке [−2; 2]. Тогда

$$4ax^3+12x^2-6x=0\Leftrightarrow 2x(2ax^2+6x-3)=0.$$

Следовательно, число $$x=0$$ — корень, то есть теперь необходимо и достаточно, чтобы два корня уравнения $$2ax^2+6x-3=0$$ лежали на отрезке [−2; 2].

Учитывая, что графиком функции $$g(x)=2ax^2+6x-3$$ при $$a<0$$ является парабола, ветви которой направлены вниз, необходимо и достаточно выполнения системы неравенств:

$$\left\{\begin{matrix} g(2)\leq0,\\ g(-2)\leq0,\\ D>0,\\ x_{верш}\in(-2;2), \end{matrix}\right.$$

то есть

$$\left\{\begin{matrix} 8a+12-3\leq0,\\ 8a-12-3\leq0,\\ 36+24a>0,\\ -2<-\frac{6}{4a}<2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a\leq-\frac{9}{8},\\ a\leq\frac{15}{8},\\ a>-\frac{3}{2},\\ a>-\frac{3}{4} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a\leq-\frac{9}{8}.$$

Раскладывая все числа от 1 до n на простые множители и объединяя затем множители 2 и 5 в пары, мы будем получать множители 10, которые просто прибавляют 0 на конце числа. Когда множители 2 или 5 (на самом деле всегда 5) закончатся, оставшееся число не будет кончаться на 0, поэтому количество нулей равно либо суммарному количеству пятерок, либо суммарному количеству двоек в разложении всех чисел от 1 до n на простые множители.

а) Пусть n = 45. Есть ровно 9 чисел кратных 5 от 1 до 45, при этом одно (25) содержит сразу две пятерки. Ясно, что 10 двоек наберется (там есть 22 четных числа, дающих минимум по одной двойке).

б) Среди чисел 1, 2, ..., 74 есть 14 кратных 5, из них 25, 50 кратны 5². Значит, 74! оканчивается на (14 − 2) + 2 · 2 = 16 нулей. При этом 75! = 74! · 75 окачивается на 18 нулей. Ясно, что при n < 74 число нулей будет не более 16, а при n > 75 — не менее 18.

в) Среди чисел от 1 до n ровно $$\left[\frac{n}{5}\right]$$ кратны 5 и ровно $$\left[\frac{n}{25}\right]$$ кратны 25, поэтому степень пятерки в n! равна $$\left[\frac{n}{5}\right]-\left[\frac{n}{25}\right]+2\cdot\left[\frac{n}{25}\right]=\left[\frac{n}{5}\right]+\left[\frac{n}{25}\right]$$ (здесь используется, что n ≤ 75, то есть числа, кратные 5³, 5⁴, ..., отсутствуют). Тогда в записи n! · (75 − n)! ровно

$$\left[\frac{n}{5}\right]+\left[\frac{75-n}{5}\right]+\left[\frac{n}{25}\right]+\left[\frac{75-n}{25}\right]=\left[\frac{n}{5}\right]+\left[15-\frac{n}{5}\right]+\left[\frac{n}{25}\right]+\left[3-\frac{n}{25}\right]$$

нулей. Заметим, что при целом k [α] + [k − α] = k при целом α и [α] + [k − α] = k − 1 при нецелом α, поэтому $$\left[\frac{n}{5}\right]+\left[15-\frac{n}{5}\right]=15$$ или $$14$$ и $$\left[\frac{n}{25}\right]+\left[3-\frac{n}{25}\right]=3$$ или $$2.$$ Нас интересует вариант 15 + 2 (вариант 14 + 3 означал бы, что n не кратно 5, но кратно 25, что невозможно). Значит, n кратно 5, но не 25. Таких чисел 12.

Отметим, что одно из чисел n или 100 − n не меньше 38, поэтому его факториал содержит не менее 19 четных множителей, так что двоек на все эти пятерки хватит.