ЕГЭ 2021. Вариант 35 Ященко 36 вариантов ФИПИ школе.
ЕГЭ 2021, полный разбор 35 варианта Ященко ФИПИ школе 36 вариантов. Решаем типовые варианты от Ященко 2021 года ЕГЭ профиль!
Решаем 35 вариант Ященко 2021 года сборника ФИПИ школе 36 вариантов. Разбор 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19 задания.
Больше разборов на моем ютуб-канале
Задание 1
Призёрами городской олимпиады по математике стали 7 учеников, что составило 5 % от числа участников. Сколько человек участвовало в олимпиаде?
Для определения исходного числа участников, нужно 7 разделить на коэффициент $$\frac{5}{100}$$, получим: 7:0,05 = 140 участников.
Задание 2
На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трёх суток. По горизонтали указываются дата и время, по вертикали - значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наименьшую температуру воздуха 28 мая. Ответ дайте в градусах Цельсия.
Наименьшая температура была между 00:00 и 6:00 и составляла 5 градусов Цельсия
Задание 3
На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён треугольник АВС. Найдите длину его биссектрисы, проведённой из вершины В.
Биссектриса из угла В пойдет по стороне клеток и составит 4 клетки по длине. Так как размер клетки 1х1, то длина будет 4х1=4
Задание 4
За круглый стол на 21 стул в случайном порядке рассаживаются 19 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки не окажутся на соседних местах.
Решим эту задачу от обратного, сначала найдем вероятность того, что девочки окажутся рядом, а затем, вычислим обратную вероятность по формуле 1-P. Допустим, первая девочка уже куда-то села (вероятность этого события 1). Осталось 20 мест и вторая девочка должна сесть или слева или справа от нее. Имеем благоприятное число исходов m=2 и общее число исходов n=20:
$$P=\frac{m}{n}=\frac{2}{20}=0,1$$ ,
тогда противоположная вероятность того, что девочки не будут сидеть рядом, равна:
$$1-P=1-0,1=0,9$$
Задание 5
Найдите корень уравнения $${\left(x\ -\ 5\right)}^3=\ 216.$$
$$(x-5)^{3}=216\Leftrightarrow$$$$x-5=\sqrt[3]{216}\Leftrightarrow$$$$x-5=6\Leftrightarrow$$$$x=11$$
Задание 6
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 25$${}^\circ$$, угол CAD равен 41$${}^\circ$$. Найдите угол АВС. Ответ дайте в градусах.
Воспользуемся свойством: вписанный в окружность угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
По условию задачи даны два угла: первый ABD опирается на дугу AD с градусной мерой $$25\cdot 2=50^{\circ}$$, второй – угол CAD опирается на дугу CD с градусной мерой $$41\cdot 2=82^{\circ}$$.
Следовательно, дуга AC=AD+DC будет иметь градусную меру $$50+82=132^{\circ}$$ , а угол ABC, который на него опирается равен $$132:2=66^{\circ}$$ .
Задание 7
На рисунке изображён график функции $$y\ =\ f(x).$$ На оси абсцисс отмечены точки -2, -1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
1. Значение производной положительно в некоторой точке x, если в окрестности этой точки функция возрастает. Наоборот, если в окрестности точки x функция убывает, то производная в ней отрицательна. Причем значение производной тем больше, чем сильнее изменение функции в окрестности точки x.
2. Выберем точку на графике, в которой функция возрастает наибольшим образом. Это точка -1.
Задание 8
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 5. Найдите объём параллелепипеда.
Так как параллелепипед описан вокруг цилиндра, то в основании параллелепипеда лежит квадрат со стороной равной диаметру цилиндра, т.е. $$d=2R=2\cdot 5=10$$. Тогда площадь квадрата (основания) будет равна 100, а объем $$V=100\cdot 5 =500$$ .
Задание 9
Найдите значение выражения $$3\sqrt{2}{{\cos }^{{\rm 2}} \frac{13\pi }{8}\ }-3\sqrt{2}{{\sin }^{{\rm 2}} \frac{13\pi }{8}\ }$$
$$3\sqrt{2}\cos^{2}\frac{13\pi}{8}-3\sqrt{2}\sin^{2}\frac{13\pi}{8}=$$$$3\sqrt{2}(\cos^{2}\frac{13\pi}{8}-\sin^{2}\frac{13\pi}{8})=$$$$3\sqrt{2}\cos \frac{13\pi}{4}=$$$$3\sqrt{2}\cos \frac{5\pi}{4}=3\sqrt{2}\cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})=-3$$
Задание 10
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $$m=m_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}$$, где $$m_0$$ - начальная масса изотопа, t - время, прошедшее от начального момента, Т - период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 44 мг. Период его полураспада составляет 6 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 11 мг.
За каждый период полураспада t = 6 минут масса изотопа уменьшается вдвое. Следовательно, за первый период масса уменьшилась с 44 мг до 22 мг, за второй период с 22 мг до 11 мг. Всего прошло два периода полураспада или 12 минут.
Задание 11
Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Обозначим через x км/ч скорость течения. Тогда при движении ложки против течения, ее скорость была равна 11-x км/ч и на преодоления 112 км было потрачено часов. При обратном движении лодка шла по течению, то есть ее скорость была равна 11+x км/ч и на преодоления 112 км было затрачено часов. Известно, что на обратный путь было потрачено на 6 часов меньше.
Имеем уравнение:
$$\frac{112}{11-x}+\frac{112}{11+x}=6$$ ,
откуда;
$$112(11+x)-112(11-x)=6(x^{2}-121)$$ $$6x^{2}+224x-726=0$$
Решаем квадратное уравнение получаем два корня:
$$D=50176+24\cdot 726=67600$$
$$x_{1}=\frac{-224+260}{12}=3, x_{2}<0$$
Получаем один положительный корень x=3 км/ч.
Задание 12
Найдите точку минимума функции $$y\ =\ \left(x^2\ -\ 7x\ +\ 7\right)e^{x-17}.$$
Точка минимума функции – это точка экстремума функции, в которой производная меняет свой знак с отрицательного на положительный. Для вычисления точек экстремума необходимо найти производную функции и приравнять ее к нулю.
Область определения функции: все числа.
Найдем производную функции: $$y'=(2x-7)e^{x-17}+(x^{2}-7x+7)e^{x-17}$$ $$y'=e^{x-17}(x^{2}-5x)$$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один из множителей, а другой при этом не теряет смысла, т.е. $$e^{x-17}>0, x\in R$$, $$x^{2}-5x=0$$, $$x_{1}=0, x_{2}=5$$
Отметим точки 0 и 5 на числовой прямой и найдем знаки производной функции на получившихся промежутках, подставляя любые значения из промежутков в найденную производную (см. рисунок)
В точке x = 5 производная функции меняет знак с отрицательного на положительный, значит, это искомая точка минимума.
Задание 13
а) Решите уравнение $$\cos4x\ +\ \cos2x\ =\ 0.$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\pi ;\ \frac{\pi }{3}]$$
Задание 14
В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а $$AB\ =\ BC\ =\ AC\ =9\sqrt{2}.$$
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На рёбрах DA и DC отмечены точки М и N соответственно, причём $$DM\ :\ MA\ =\ DN\ :\ NC\ =\ 2:7.$$ Найдите площадь сечения MNB.
Задание 16
Окружность с центром О, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках $$C_1,B_1,A_1$$ соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника $${AB}_1C_1$$
а) Докажите, что $$C_1Q$$ - биссектриса угла $$AC_1B_1$$
б) Найдите расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник $$AC_1B_1$$, если известно, что $$BC\ =\ 15,\ AB\ =\ 13,\ AC\ =\ 14.$$
Задание 17
В июле 2022 года планируется взять кредит в банке на сумму 928 200 рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на 10 % по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
Задание 19
Маша и Наташа делали фотографии несколько дней подряд. В первый день Маша сделала m фотографий, а Наташа - n фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 935 фотографий больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.
а) Могли ли они фотографировать в течение 5 дней?
б) Могли ли они фотографировать в течение 6 дней?
в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 50 фотографий?